Сибирский журнал вычислительной математики

Том 4, 2001

Содержание

Номер 1, с. 1-109
Номер 2, с. 111-199
Номер 3, с. 201-303
Номер 4, с. 305-402

Номер 1, с. 1-109

Амелькин В.А.
Алгоритмы точного решения задач перечисления, кодирования и генерирования серийных последовательностей
(на русском), с. 1-12.

Рассматриваются двоичные и n-ичные серийные последовательности заданной структуры. Без использования аппарата производящих функций получены обобщенные формулы точного решения перечислительных задач для основных видов этих последовательностей. Предложен обобщенный алгоритм кодирования и  генерирования двоичных серийных последовательностей, структура которых  задается ограничениями: на число серий единиц, на вес последовательности, на длины серий единиц, на длины серий нулей.

Артемьев С.С., Якунин М.А.
Многомерная модель динамики цен акций и задача формирования
инвестиционного портфеля (на русском), с. 13-20.

Рассматривается многомерная модель динамики цен акций в виде системы стохастических дифференциальных уравнений. Исследуются оценки неизвестных параметров модели на основе исторических цен. Вводятся характеристики риска и прибыли инвестиционного портфеля акций, вычисление которых методом Монте-Карло позволяет построить множество допустимых портфелей.

Боган~Ю.А.
Об интегральных уравнениях Фредгольма в двумерной анизотропной теории упругости
(на русском), с. 21-30.  

При помощи простого приема, позволяющего обойтись без знания фундаментального решения системы уравнений двумерной задачи теории упругости, построены упругие потенциалы для первой и второй краевых задач и интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Показано, что они приводятся к уравнениям Д.И. Шермана для второй краевой задачи (первую Д.И. Шерман для анизотропных материалов не изучал). Указаны минимальные требования на границу и граничные данные, при которых существует решение краевой задачи в классах Гельдера. Рассмотрен переход к изотропному материалу. Показано, что при этом имеется полное совпадение с уравнениями Д.И. Шермана. 

Знак В.И.
Синфазно-взвешенный медианный фильтр: расчет весов и обработка гармонического сигнала
(на русском), с. 31-40.  

В работе вводится определение синфазно-взвешенного медианного фильтра, относящегося к классу взвешенных процентильных фильтров, и рассматривается его специфика в условиях обработки гармонического сигнала. Предлагается алгоритм расчета весов такого фильтра и находится оценка его отклика на синусоидальную функцию. Полученные выводы подтверждаются результатами численного статистического моделирования. 

Никольский Э.В.
Обобщенные функционально-инвариантные решения уравнения теории упругости
(на русском), с. 41-50.

Впервые  получены необходимые и достаточные условия существования обобщенных функционально-инвариантных решений для уравнения теории упругости. Проведено исследование этих условий и построены решения в классе плоских и сферических волн для продольных и поперечных колебаний. 

Смелов В.В.
Локальный алгоритм гладкой аппроксимации приближенных конечно-разностных и негладких вариационных решений задач
(на русском), с. 51-60.  

Предложен локальный алгоритм гладкой аппроксимации приближенных решений одномерных задач, полученных конечно-разностным методом или вариационным алгоритмом на основе кусочно-гладких пробных функций. Алгоритм ориентирован на приближенные решения, найденные с погрешностью O(h^ ν), ν=1,2. Алгоритм изначально распараллелен и предельно прост как в теоретическом, так и в практическом аспекте. Результат локальной аппроксимации - дважды непрерывно дифференцируемая функция, сохраняющая геометрические свойства исходного приближенного решения. Продемонстрированы определенные преимущества перед кубическим сплайном.

Сорокин С.Б.
Обоснование метода двусторонних приближений для собственных чисел эллиптического оператора второго порядка
(на русском), с. 61-84.  

В работе обосновывается метод двусторонних приближений для спектральных задач с эллиптическим  оператором второго порядка, основанный на широко известном методе фиктивных областей. Получены разложение собственных чисел вспомогательной задачи в  степенной ряд по малому параметру продолжения независимо от его знака и неулучшаемые оценки близости двусторонних приближений. Решающую  роль для достижения результата играет использование  сопряженно-факторизованной структуры оператора задачи. Исследование проводится на разностном уровне. 

Шишкин Г.И.
Метод декомпозиции для сингулярно возмущенных параболических уравнений конвекции-диффузии с разрывными начальными условиями
(на русском), с. 85-109.  

Рассматриваются сеточные аппроксимации одномерной задачи Коши для сингулярно возмущенных параболических уравнений. Предельное уравнение при ε = 0, где ε - возмущающий параметр при старшей производной) содержит производную по пространственной переменной (конвективный член); начальное условие терпит разрыв I рода. Решение задачи при фиксированных значениях параметра ε имеет особенности в окрестности разрыва начальных данных, а при малых значениях ε - особенность типа переходного слоя. С использованием техники декомпозиции области и решения строятся специальные разностные схемы, сходящиеся ε-равномерно на всем сеточном множестве. В ближайшей окрестности разрыва начального условия явно выделяется сингулярное решение, порождаемое разрывом начальной функции; в окрестности переходного слоя используются специальным образом сгущающиеся сетки.


Номер 2, с. 111-199

Войтишек А.В., Ухинов С.А.
Использование существенной выборки в методе Монте-Карло
(на русском), с. 111-122. 

В данной работе  рассмотрена задача вычисления нормировочной константы плотности по заданным выборочным значениям. Для решения этой задачи построен и исследован численный метод, являющийся аналогом алгоритма выборки по важности, в котором используются существенные (т.е. соответствующие минимальной - нулевой - дисперсии стандартного метода Монте-Карло) выборочные значения. Показано, что в случае, когда методом Монте-Карло вычисляется интеграл и существенные выборочные значения заранее не заданы, то целесообразно использовать не в точности существенные, а близкие к существенным выборочные значения. Для этого случая предложен новый алгоритм, названный двусторонним геометрическим методом, который позволяет понизить трудоемкость вычислений.

Гейт В.Э.
О полиномах, наименее уклоняющихся от нуля в метрике L[-1,1]  (второе сообщение)
(на русском), с. 123-136

Здесь продолжено изучение свойств максимальных полиномов наименьшего уклонения от нуля в интегральной метрике, формы которых  вычислялись в первом сообщении [5]. Теорема 2.2 содержит перечисление всех полиномов, наименее уклоняющихся от нуля в метрике L[-1,1] с четырьмя произвольно заданными старшими коэффициентами.

Дробышевич В.И., Каткова Л.Н.
Метод Кранка-Николсон с различными временными шагами в подобластях для решения параболических задач
(на русском), с. 137-150.

Предложен метод построения разностной схемы с различными временными шагами в подобластях на основе схемы Кранка-Николсон. Применяется интерполяция решения на границе подобластей. Доказано, что решение разностной задачи в равномерной норме сходится к решению соответствующей дифференциальной задачи с порядком O(τ^2+h^2).

Дулов Е.В., Андрианова Н.А.
К вопросу о численном решении полиномиальных матричных уравнений
(на русском), с. 151-162. 

В данной статье предлагаются прямые и итерационные алгоритмы решения полиномиальных уравнений вида AX+AX^2+... +AX^n=C. Приводится теорема о локальной сходимости итерационных методов и исследованы условия, ею накладываемые. Получена оценка скорости сходимости итерационных методов и приводятся рекомендации по их эффективной численной реализации. Подробно рассматривается частный случай, возникающий в некоторых задачах идентификации параметров линейных стохастических динамических систем. 

Золотухин А.Я., Намм Р.В., Пачина А.В.
Приближенное решение вариационной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона
(на русском), с. 163-177.  

Работа посвящена построению и обоснованию устойчивого метода решения вариационной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе, основанного на комбинировании метода итеративной prox-регуляризации и  модифицированного метода Ньютона с регулировкой шага.

Савченко А.О.
Оптимальные квадратуры для решения интегральных уравнений Вольтерра и задачи Коши
(на русском), с. 179-184.

Получены уравнения для оптимальных значений узлов и квадратурных коэффициентов в задаче численного решения интегральных уравнений Вольтерра и задаче Коши. Оптимальность понимается в смысле минимума суммы квадратов погрешностей аппроксимации во всех точках подсеточного разбиения, при условии, что последний узел фиксирован и совпадает с правым концом разбиения. Численно найдены искомые значения узлов для различного числа точек подсеточного разбиения.

Стрекаловский А.С., Кузнецова А.А., Яковлева Т.В.
О численном решении задач невыпуклой оптимизации
(на русском), с. 185-199. 

В работе рассматривается поиск глобального минимума невыпуклых функций, в частности, квадратичных функций со знаконеопределенной матрицей на параллелепипеде. Процедура глобального поиска основана на условиях глобальной оптимальности, связанных с классической теорией экстремума, и заключается в нетривиальной комбинации линеаризованных по базовой невыпуклости задач, локального спуска, аппроксимации поверхностей уровня выпуклых функций и одномерного поиска. С целью проверки эффективности алгоритма проведены разнообразные численные расчеты.


Номер 3, с. 201-303

Беспалов А.Ю., Рукавишников В.А.
Использование сингулярных функций в \hp\ версии метода конечных элементов
для задачи Дирихле с вырождением исходных данных (на русском), с. 201-228. 

Рассматривается задача Дирихле для несамосопряженного эллиптического уравнения второго порядка с сильной сингулярностью решения, вызванной согласованным вырождением исходных данных в точках границы двумерной области. Для аппроксимации поставленной задачи используется \hp\ версия метода конечных элементов. Введено конечноэлементное пространство с сингулярным базисом, зависящим от того класса, которому принадлежит решение задачи. Установлена экспоненциальная скорость сходимости метода в норме весового пространства С.Л. Соболева. 

Блатов И.А., Китаева Е.В.
Метод неполной факторизации в сочетании с быстрым преобразованием Фурье решения сеточных эллиптических задач с различными типами краевых условий
(на русском), с. 229-242. 

Для матрицы системы линейных алгебраических уравнений, соответствующей разностному аналогу Пуассона на прямоугольной сетке в сеточной области с криволинейной границей с N узлами, построен спектрально эквивалентный предобуславливатель типа неполной блочной факторизации, обращение которого осуществляется c помощью быстрого преобразования Фурье за O(N\ln N) арифметических операций. В случае первой краевой задачи для отыскания решения исходной СЛАУ необходим также внешний итерационный процесс, скорость сходимости которого не зависит от сетки. Если же на нижней части границы заданы краевые условия второго рода, а в остальных граничных узлах - первого, то такого процесса не требуется. Основные результаты доказаны в предположении, что сеточная область является трапецией с прямолинейными основаниями и кусочно-гладкими боковыми сторонами.

Искаков К.Т.
Оптимизационный метод решения дискретной обратной задачи для одномерного уравнения гиперболического типа
(на русском), с. 243-258. 

В данной работе исследован  оптимизационный метод решения дискретной задачи определения коэффициента для одномерного уравнения гиперболического типа в интегральной постановке. Изучены свойства решений прямой и обратной дискретной задачи. Получены оценки целевого функционала и его градиента. Доказана сходимость метода наискорейшего спуска, минимизирующего функционал невязки. 

Карчевский А.Л., Фатьянов А.Г.
Численное решение обратной задачи для системы упругости с последействием для вертикально неоднородной среды
(на русском), с. 259-268. 

В работе представлены результаты по численному решению одномерной обратной задачи для системы упругости с последействием для вертикально неоднородной среды. Для учета последействия выбрана модель Больцмана. Целью обратной задачи является определение продольной и поперечной скорости по известным продольным и поперечным смещениям на поверхности. Проводился ряд модельных расчетов и представлены результаты восстановления скоростной модели среды характерной для Западной Сибири.

Леонов А.С.
Численная реализация специальных регуляризующих алгоритмов для решения одного класса некорректных задач с истокообразно представимыми решениями
(на русском), с. 269-177. 

Рассматривается важный класс некорректно поставленных задач - обратные задачи продолжения значений абстрактной функции. Этот класс связан с некоторыми полугруппами операторов. Задачи из этого класса априорно имеют истокообразно представимые решения с известной степенью. Для решения таких задач применяется специализированный тихоновский регуляризующий алгоритм обобщенного принципа невязки. Приближенные решения, полученные с помощью этого алгоритма и предлагаемой его модификации, имеют оптимальный порядок точности, независимо от величины положительного показателя истокопредставимости. Алгоритм эффективно реализуется численно. Приводится пример его использования. 

Попов А.С.
Hовые кубатурные формулы для сферы, инвариантные относительно группы вращений октаэдра
(на русском), с. 281-284. 

В данной работе строятся новые кубатурные формулы типа Гаусса для сферы, инвариантные относительно группы вращений октаэдра. Приводятся с 16 значащими цифрами параметры кубатурных формул 12-, 13-, 14-, 16-, 18-, 20-, 21-, 22-, 24- и 25-го порядков точности. 

Роженко А.И.
О построении нормального псевдорешения системы линейных уравнений с прямоугольной матрицей
(на русском), с. 285-294. 

В работе предлагается модификация алгоритма QR-разложения матрицы, позволяющая вычислить нормальное псевдорешение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с прямоугольной матрицей или матрицей неполного ранга с такой же эффективностью как и при построении решения СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей. В качестве приложения исследуется случай вырождения сетки при построении аналитического сплайна и предлагается модификация алгоритма построения сплайна, обеспечивающая "наилучший" выбор решения.

Рысбайулы Б.Р.
Метод конечных разностей для одномерного теплопроводного вязкого сжимаемого газа с контактным разрывом
(на русском), с. 295-303. 

В работе получены априорные оценки для решения одного класса разностной схемы  вязкого одномерного теплопроводного газа с контактным разрывом. Используя полученные априорные оценки, доказаны устойчивость и сходимость разностной задачи. Обоснован метод Ньютона для изучаемой системы нелинейных уравнений.


Номер 4, с. 305-402

Памяти В.А. Василенко 1947-2001 (на русском), с. 305-306.

Памяти В.А. Василенко 1947-2001 (на английском), с. 307-308.

Антюфеев В.С.
Об определении оптических параметров плоского слоя
(на русском), с. 309-316.

Предложен новый метод определения фазовой функции и оптической толщины однородного плоского слоя по данным измерения углового распределения интенсивности пропущенного излучения. Уравнение переноса излучения рассматривается как эволюционное уравнение, задающее полугруппу оператора. Производящий оператор этой полугруппы восстанавливается по оператору пропускания, полученному из данных измерений. Этот оператор содержит всю информацию об оптических параметрах слоя. Вычислив производящий оператор, можно найти искомые оптические параметры.

Бакушинский А.Б., Кокурин M.Ю., Юсупова Н.А.
Об итеративных методах градиентного типа для решения нелинейных некорректных уравнений
(на русском), с. 317-329.

Строятся и исследуются итерационные методы градиентного типа для приближенного решения нелинейных уравнений без свойства регулярности при наличии погрешностей. Устанавливается сходимость вырабатываемых приближений к окрестности решения, радиус которой пропорционален уровню погрешностей в данных и в истокообразном представлении начальной невязки. Это свойство обеспечивается комбинацией метода градиентного спуска для функционала невязки и процедур приближенного проектирования на специально выбранные конечномерные подпространства.

Глобиш Г.
Многосеточные методы для задач с поверхностями раздела
(на английском), с. 331-352.

Мы анализируем многосеточную сходимость, когда двумерные эллиптические граничные задачи с поверхностями раздела дискретизируются с использованием методов конечных элементов, где грубые сетки не аппроксимируют геометрию поверхностей раздела. Начиная с первоначальной сетки, используемый генератор сеток, адаптированных к поверхностям раздела, строит сетку конечных элементов до определенного уровня точности, где  линии поверхностей раздела аппроксимируются достаточно точно. Показано, что многосеточные циклы, основанные на сглаживании SOR и особых операторах интерполяции и ограничения, сходятся независимо от параметра размера сетки. Кроме того, на практике сходимость также не зависит от отношения коэффициентов скачка. Путем численных примеров, мы демонстрируем эффективность нашего метода.

Годунов С.К.
Расслоение спектра с помощью эрмитовых форм и одномерные спектральные портреты матриц
(на английском), с. 353-360.

Существуют многочисленные (как правило, несамосопряженные) матричные операторы с кластерами из плохо обусловленных индивидуальных собственных значений. Для приложений удобно описывать свойства этих операторов при помощи критериев спектральной дихотомии. Спектр расслаивается серией плоских кривых, зависящих от одного параметра. Критерии удаления спектра от каждой из кривых (критерий дихотомии), изображенный графически в зависимости от параметра, естественно образует спектральный портрет матрицы.

Критерии дихотомии связываются с эрмитовыми формами (напомним, что Эрмит ввел эти формы в 1856 г. для использования в аналогичной задаче).

Кузнецов Ю.И.
Циклические матрицы и многочлены Чебышева
(на русском), с. 361-371.

Последовательность многочленов, порожденная циклической матрицей якобиевого типа [1], рассматривается как функция целочисленного аргумента - порядка многочленов. Построены формулы суммы и разности как функций, так и их аргументов, обобщающие аналогичные формулы для тригонометрических функций. Получено выражение многочленов таких последовательностей через многочлены Чебышева II рода. Получена формула делимости многочленов Чебышева II рода. Дано решение обратной задачи для многочленов Чебышева: по их свойствам описать соответствующие им функции целочисленных аргументов.

Махоткин О.А.
Эффективный алгоритм моделирования конечных одномерных плотностей вероятности методом двустороннего исключения
(на русском), с. 373-388.

Рассматривается эффективный универсальный метод моделирования одномерных плотностей вероятности, заданных на конечном интервале. Предложен конструктивный алгоритм двустороннего исключения, основанный на построении кусочно-линейных интервальных аппроксимаций для структурно-простых функций. Проведено исследование его быстродействия для бета-распределения с неотрицательными параметрами. Предложена модификация алгоритма для неограниченных плотностей и плотностей, заданных на бесконечных интервалах.

Симонов Н.А.
Решение параболического уравнения со случайным коэффициентом методом Монте-Карло
(на английском), с. 389-402.

Рассматривается уравнение параболического типа, в котором коэффициент при решении, правая часть и начальные значения являются случайными функциями. Построены и обоснованы оценки метода Монте-Карло для выборочных значений решения и для некоторых функционалов от него.