Сибирский журнал вычислительной математики

Том 5, 2002

Содержание

Номер 1, с. 1-92
Номер 2, с. 93-198
Номер 3, с. 199-293
Номер 4, с. 295-394

Номер 1, с. 1-92

Аверина Т.А.
Статистический алгоритм моделирования динамических систем с переменной структурой
(на русском), с. 1-10.

Рассматриваются динамические системы с переменной структурой. Построен статистический алгоритм на основе численного решения стохастических дифференциальных уравнений  (СДУ) для вероятностного анализа двух типов систем с переменной структурой. Приводятся результаты численных экспериментов

Войтишек А.В., Головко Н.Г., Шкарупа Е.В.
Оценка погрешности многомерного аналога метода полигона частот
(на русском), с. 11-24. 

В работе получено разложение L_2-погрешности многомерного аналога метода полигона частот на три компоненты, для каждой из которых построена верхняя граница. Доказано утверждение об ограниченности максимума дисперсий стохастических оценок в узлах сетки. Построены верхние границы смещений оценок в узлах для C-подхода и L_2-подхода. На этой основе показано, что для метода полигона частот нецелесообразно применять гладкие восполнения решения по приближенным значениям в узлах сетки. 

Леонтьев В.Л.
О сходимости смешанного вариационно-сеточного метода
(на русском), с. 25-34. 

Рассматривается вариационно-сеточный метод, связанный со смешанным вариационным принципом и с аппроксимацией точного решения ортогональными финитными функциями. Эти функции отличаются от других ортогональных финитных функций простотой структуры и симметрией и поэтому упрощают алгоритм метода. Исследуется сходимость приближенных решений в задаче математической физики и в плоской задаче теории упругости. Устанавливаются оценки скорости их сходимости. Ортогональные финитные базисные функции определяют структуру системы сеточных уравнений вариационно-сеточного метода, которая допускает исключение части неизвестных узловых величин. Это делает возможным использование классической методики исследования сходимости разностных схем и устраняет основной недостаток смешанных вариационно-сеточных методов, который связан с увеличенным числом узловых неизвестных по сравнению с методами, основанными на вариационных принципах для выпуклых функционалов. При этом сохраняются все достоинства смешанных методов, порожденные независимой аппроксимацией неизвестных функций и их производных. 

Смелов В.В.
Корректная  версия S_n-метода в теории переноса излучения
(на русском), с. 35-38. 

Объяснено возникновение локальной неустойчивости хорошо известного S_n-метода. Предложен другой абсолютно устойчивый вариант этого метода. 

Ухинов С.А., Юрков Д.И.
Оценки методов Монте-Карло для параметрических производных поляризованного излучения
(
на русском), с. 39-56.  

В данной работе приводятся результаты теоретических и численных исследований параметрических производных двойной локальной оценки метода Монте-Карло для векторного уравнения переноса с учетом поляризации в сферической атмосфере планеты. 

Хе Дж.Х.
Приближенное аналитическое решение некоторых сильно нелинейных задач с осцилляциями с помощью вариационно-итерационного метода
(на английском), с. 57-69. 

В данной статье описывается новый аналитический метод решения нелинейных задач, названный вариационно-итерационным. Метод используется для приближенного решения задач с сильными осцилляциями. В этом методе функционал коррекции строится с помощью общих лагранжевых множителей, оптимально выбираемых на основе вариационного подхода. Предложенная техника не зависит от предположения о малости параметра и поэтому позволяет преодолеть недостатки и ограничения методов возмущений. Некоторые примеры показывают, что даже аппроксимации первого порядка имеют высокую точность и одинаково обоснованы не только для слабо нелинейных, но и для сильно нелинейных систем.

Шишкин Г.И.
Сеточные аппроксимации с улучшенной скоростью сходимости для сингулярно возмущенных эллиптических уравнений в областях с характеристическими границами
(
на русском), с. 71-92.

На прямоугольнике рассматривается задача Дирихле для сингулярно возмущенных эллиптических уравнений с конвективными членами в случае характеристик вырожденных уравнений, параллельных сторонам. Для таких задач конвекции-диффузии равномерная по возмущающему параметру ε скорость сходимости хорошо известных специальных схем на кусочно-равномерных сетках не выше первого порядка (в равномерной L_∞-норме). Для указанной задачи на основе асимптотических разложений решений строятся схемы, сходящиеся ε-равномерно со скоростью O{N^{-2}\ln^2N}, где N характеризует число узлов сетки по каждой переменной. При не слишком малых значениях параметра применяются классические разностные аппроксимации на кусочно-равномерных сетках, сгущающихся в пограничных слоях; при малых значениях параметра используются аппроксимации вспомогательных задач, описывающих главные члены асимптотических представлений решения в окрестности пограничного слоя и вне его. Отметим, что вычисление решений построенной разностной схемы упрощается при достаточно малых значениях параметра ε.


Номер 2, с. 93-198

Артемьев С.С., Якунин М.А.
Стохастические волновые модели цен различных финансовых инструментов
(на русском), с. 93-100.  

Рассматриваются различные математические модели цен акций, валют и финансовых фьючерсов в виде стохастических дифференциальных уравнений, учитывающие волновой характер динамики цен на фондовых, валютных и срочных рынках. Для одной модели приводятся способ вычисления оценок ее параметров и пример вычислений по реальным наблюдениям цен. 

Бакушинский А.Б., Кокурин M.Ю., Юсупова Н.А.
Итерационные методы ньютоновского типа с проектированием для решения нелинейных некорректных операторных уравнений
(
на русском), с. 101-111. 

Строится и исследуется класс итерационных методов ньютоновского типа для приближенного решения нелинейных уравнений без свойства регулярности при наличии погрешностей. Возможная априорная информация об искомом решении учитывается при помощи операции проектирования на выпуклое замкнутое множество, содержащее решение. Рассматриваются два способа организации вычислений, один из которых предполагает останов итераций на подходящем шаге, а другой обеспечивает получение последовательности приближений, стабилизирующейся в малой окрестности решения. 

Беляков В.Г., Мирошниченко Н.А., Рубцова Е.В.
Методы исследования стохастической сети со скачками интенсивностей обслуживания
(
на русском), с. 113-126.

Исследуются стационарный и нестационарный режимы специфичной мультипликативной стохастической сети - униформного тандема со скачками интенсивностей обслуживания в узлах. Униформный тандем определяется как последовательность узлов, идентичных в отношении обслуживания требований. Он является удобной математической моделью для анализа воздействия скачков интенсивности обслуживания на сетевые вероятностно-временные характеристики, связанные, в частности, с переходными процессами. 

Для стационарного режима исследована структура множества состояний и получено преобразование Лапласа-Стилтьеса распределения вероятностей длительности цикла. Для нестационарного режима развит рекуррентный метод решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова, вычислена длительность переходного периода, исследованы особенности поведения интегральных и фазовых траекторий для соответствующего марковского процесса. 

Гилева Л.В., Шайдуров В.В.
Каскадный многосеточный алгоритм в методе конечных элементов для трехмерной задачи Дирихле в области с криволинейной границей
(
на русском), с. 127-147.

В работе рассматривается трехмерная задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в области с гладкой криволинейной границей. Для построения схемы метода конечных элементов используются вложенные подпространства базисных функций без строгой вложенности последовательности пространственных триангуляций. Доказано, что ошибка дискретизации имеет такой же порядок, как и для обычных кусочно-линейных элементов на многограннике. Для решения полученной системы линейных алгебраических уравнений на последовательности сеток применяется каскадная организация двух итерационных  алгоритмов, которая дает наиболее простую версию многосеточных методов, без предобуславливания и без проекции на более редкую сетку. Каскадный алгоритм начинается на самой редкой сетке, где сеточная задача решается прямым методом. На более мелких сетках приближенные решения получаются итерационным методом; начальное приближение берется в результате интерполяции приближенного решения с предыдущей, более грубой сетки. Доказано, что скорость сходимости этого алгоритма не зависит от числа неизвестных и количества сеток. 

Задорин А.И., Чеканов А.В.
Редукция трехточечной разностной схемы на бесконечном интервале к схеме с конечным числом узлов
(на русском), с. 149-161. 

Рассматривается трехточечная разностная схема с бесконечным числом узлов. Исследуется метод редукции схемы к схеме с конечным числом узлов. Метод основан на выделении многообразия решений, удовлетворяющих предельным условиям на бесконечности. Обсуждаются результаты численных экспериментов.

Зоткевич А.А., Лаевский Ю.М.
Об одном классе двухуровневых явных схем
(на русском), с. 163-173. 

Статья касается нового класса явных схем для решения параболических задач, описывающих многомасштабные процессы. Метод основан на составной схеме первого порядка точности и явной схеме предиктор-корректор второго порядка. Доказаны теоремы устойчивости и рассмотрен численный пример. 

Меньщиков Б.В.
Вычисление производных от решений краевых задач методом Монте-Карло
(на русском), с. 175-187. 

В данной статье рассмотрены методы построения оценок производных по параметру и по пространственной переменной от решений смешанных краевых задач для диффузионного уравнения с комплексным параметром c=a+ib при помощи метода “блуждания по сферам” с отражением от границы. Рассмотрено также построение оценок производных по времени, по параметру и по пространственной переменной от решения смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности.

Танана В.П., Табаринцева Е.В.
О решении некорректной задачи для полулинейного дифференциального уравнения
(на русском), с. 189-198. 

Некорректным задачам, связанным с нелинейными операторными и  дифференциально-операторными уравнениями, посвящена достаточно обширная литература. Как правило, построение регуляризующих алгоритмов основывается на "операторном" подходе с использованием специальных свойств оператора задачи (напр., монотонности, см. [6]). 

В настоящей работе для построения устойчивых приближенных решений некорректной дифференциальной задачи используется модификация метода квазиобращения Р. Латтеса-Ж.-Л. Лионса. Исследуются условия сходимости построенных приближенных решений к точному решению исходной задачи.


Номер 3, с. 199-293

Акыш (Акишев) А.Ш.
Об устойчивости в
некоторых разностных схем для  уравнения переноса (на русском), с. 199-214. 

В работе для широкого класса разностных аналогов кинетического уравнения переноса с постоянными и переменными коэффициентами, а также для нелинейной системы Карлемана в теории уравнения Больцмана доказывается устойчивость в пространстве , 1 < p ≤ ∞,. Из устойчивости по норме пространства   как частный случай вытекает устойчивость в норме l_2, что совпадает с устойчивостью в энергетическом пространстве, а при p=∞ - в норме пространства С. Причем  результат достигается аналогичным методам получения априорных оценок в норме пространства для самих дифференциальных задач. 

Амелькин В.А.
Алгоритмы  перечисления и нумерационного кодирования последовательностей  с заданными длинами максимальных серий
(на русском), с. 215-223. 

Рассматриваются множества двоичных и n-ичных  последовательностей длины m с заданными ограничениями на длины максимальных серий. Получены точные формулы для определения мощностей таких множеств. Для двоичных последовательностей получены алгоритмы нумерационного кодирования и генерирования.

Данаев Н.Т., Смагулов Ш.С., Тукенова Л.М.
Об одном классе итерационных схем для решения сеточных уравнений Навье-Стокса
(на русском), с. 225-231. 

В работе рассматриваются вопросы численного решения стационарных уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости конечно-разностными методами. Предложены итерационные алгоритмы, для которых методом априорных оценок исследованы вопросы устойчивости и сходимости. Приводятся результаты вычислительных экспериментов.

Деревцов Е.Ю., Кашина И.Г.
Численное решение задачи векторной томографии с помощью полиномиальных базисов
(на русском), с. 233-254. 

Рассматривается задача реконструкции соленоидальной части векторного поля в круге по его известному лучевому преобразованию. Предложены два варианта приближенного метода решения задачи. В одном из них полученная способом наименьших квадратов полиномиальная аппроксимация поля может содержать произвольную потенциальную часть. Поэтому дальнейшая процедура решения задачи состоит в выделении из аппроксимации поля потенциальной части путем решения однородной краевой задачи для уравнения Пуассона. На основе анализа структуры конечномерных подпространств соленоидальных и потенциальных полей полиномиального вида задача об отыскании коэффициентов полинома, аппроксимирующего потенциальную часть, сводится к последовательному решению ряда систем линейных уравнений уменьшающейся размерности. Другой вариант подхода состоит в использовании подпространств, натянутых на базисные соленоидальные поля полиномиального вида. В этом случае метод наименьших квадратов сразу дает полиномиальную аппроксимацию соленоидальной части поля. Численные эксперименты подтвердили работоспособность и эффективность построенных алгоритмов.

Ковалева И.М.
Восстановление и интегрирование функций из анизотропного класса Коробова
(на русском), с. 255-266.

Рассмотрена задача приближенного восстановления функций из класса E^{r_1,... ,r_s} посредством оператора, имеющего вид периодизированного алгебраического полинома. Для нахождения оптимальных коэффициентов оператора используется алгоритм, основанный на применении теории дивизоров в круговых полях целых алгебраических чисел. Рассмотрена задача приближенного интегрирования функций из класса E^{r_1,... ,r_s} по области, отличной от [0,1]^s

Носков М.В., Шмид Х.И.
Минимальные кубатурные формулы четной степени тригонометрической точности в двумерном случае
(на английском), с. 267-274. 

В  статье  описаны минимальные кубатурные формулы четной степени тригонометрической точности не выше 30 для приближенного вычисления интегралов от функций двух переменных. Все такие формулы получены решением нескольких матричных уравнений. Это первая попытка построения формул тригонометрической степени точности таким способом. Вычисления проводились с помощью систем компьютерной алгебры. Показано, что до 30 степени точности имеется только одна минимальная формула четной степени (и дуальная к ней), если один узел формулы фиксирован. Во всех случаях получилась известная ранее формула с узлами в решетке ранга 1. 

Шадиметов Х.М.
Построение весовых решетчатых оптимальных квадратурных формул в пространстве L_2^m(0,N)
(на русском), с. 275-293.

В настоящей работе явно найдены оптимальные коэффициенты весовых  квадратурных формул в пространстве L_2^m(0,N) для любого m≥1 с использованием алгоритма, предложенного С.Л. Соболевым.


Номер 4, с. 295-394

Кокурин М.Ю., Ключев В.В.
Необходимые условия сходимости с данной скоростью итерационных методов решения линейных  некорректных операторных уравнений в банаховом пространстве
(
на русском), с. 295-310. 

Исследуется скорость сходимости итерационных методов решения линейных некорректных уравнений с секториальными операторами в банаховом пространстве. Установлено, что условие степенной истокопредставимости начальной невязки с произвольным положительным показателем, достаточное для выполнения степенных оценок скорости сходимости рассматриваемых методов с тем же показателем, близко к необходимому и не может быть существенно ослаблено. 

Малышкин Г.Н.
Математическая модель дисперсной среды для расчета ослабления нерассеянного излучения
(
на русском), с. 311-330. 

Построена математическая модель случайной двухкомпонентной дисперсной среды для расчета ослабления нерассеянного излучения дисперсными средами. В основе модели лежит описание распределения компонент дисперсной среды на прямой в виде альтернирующего процесса восстановления. 

В рамках данной модели рассчитано ослабление потока нерассеянного излучения плоским слоем модельной монодисперсной среды с кубическими и сферическими включениями и проведено сравнение с результатами, полученными методом эффективного сечения. 

Махоткин О.А.
Моделирование точек, равномерно распределенных в многоугольниках
(
на русском), с. 331-350. 

Рассматривается алгоритм моделирования точек, равномерно распределенных в многоугольниках, основанный на разложении их на треугольники. Доказана корректность предлагаемого алгоритма разбиения, на конкретных примерах продемонстрирована эффективность предлагаемого метода. Обсуждаются вопросы компьютерной реализации методов разбиения и моделирования, приводятся проверенные на практике реализации алгоритмов моделирования. 

Намм Р.В., Сачков С.А.
Об устойчивом методе решения задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе, основанном на схеме двойственности
(
на русском), с. 351-365. 

Работа посвящена построению устойчивого метода решения вариационной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе и может рассматриваться как продолжение исследований, начатых в работе \cite{Namm2}. Приближенное решение осуществляется на основе метода итеративной prox-регуляризации, при этом каждая вспомогательная задача сводится к поиску седловой точки функционала Лагранжа. Определены оценки погрешности численного решения задачи при реализации данного алгоритма с помощью метода конечных элементов на последовательности триангуляций области. Представлены результаты численных расчетов. 

Попов А.С.
Поиск наилучших кубатурных формул для сферы, инвариантных относительно группы вращений октаэдра
(
на русском), с. 367-372. 

Предлагается новый критерий оптимальности кубатурной формулы для сферы, инвариантной относительно произвольной группы симметрии. Существенным отличием нового критерия от других является использование главного члена погрешности кубатурной формулы. Работа нового критерия демонстрируется на примере кубатурных формул, инвариантных относительно группы вращений октаэдра. Приводится таблица, содержащая основные характеристики всех наилучших на сегодняшний день кубатурных формул группы вращений октаэдра до 35-го алгебраического порядка точности. Даются с 16 значащими цифрами веса и координаты узлов новых кубатурных формул 26-го и 27-го порядков точности. 

Рачева М.Р., Андреев А.Б.
Вариационные аспекты одномерных задач четвертого порядка, граничные условия которых включают спектральный параметр
(на английском), с.
373-380.
 

Исследуется общая задача  собственных значений для уравнения четвертого порядка в одномерном случае. Спектральный параметр входит в граничных условиях линейно. 

Как известно, методы Галеркина зависят от вариационной формулировки данной краевой задачи. В этой работе даны условия, обеспечивающие симметричность вариационных билинейных форм и принадлежность собственных функций подходящему пространству Гильберта. Полученные результаты применимы к задачам собственных частот механических систем. Эффект теоретических результатов иллюстрируется практическими примерами. 

Шкарупа E.B.
Применение квантового компьютера для глобальной оценки интеграла, зависящего от параметра
(на русском), с. 381-394. 

Рассмотрены вопросы применения квантовых алгоритмов для вычисления интегралов. Предложены новые квантовые алгоритмы для глобального приближения интеграла, зависящего от параметра. Получены верхние границы погрешностей предложенных алгоритмов в метрике пространства С. На этой основе получены оптимальные соотношения между параметрами алгоритмов. Проведено сравнение трудоемкостей квантовых функциональных алгоритмов с трудоемкостями функциональных алгоритмов метода Монте-Карло.