Сибирский журнал вычислительной математики

Том 7, 2004

Содержание

Номер 1, с. 1-95
Номер 2, с. 97-185
Номер 3, с. 187-282
Номер 4, с. 283-376.


Номер 1, с. 1-95

Бакушинский А.Б., Кокурин M.Ю.

Непрерывные методы устойчивой аппроксимации решений нелинейных уравнений в

банаховом пространстве на основе регуляризованной схемы Ньютона-Канторовича

(на русском), с.1-12.

 

Строится и исследуется класс методов аппроксимации решений нелинейных уравнений с приближенно заданным гладким оператором в банаховом пространстве при отсутствии свойства регулярности у производной оператора. Конструкция предлагаемых методов связана с операторным дифференциальным уравнением, определяемым линеаризацией исходного уравнения по схеме Ньютона-Канторовича и различными способами ее регуляризации. В предположении истокообразной представимости начальной невязки устанавливаются оценки погрешности получаемых приближений. 

Ключевые слова: нелинейное уравнение, нерегулярное уравнение банахово пространство, операторное дифференциальное уравнение, регуляризация, правило останова.

 

Клименко О.А.

Метод решения одной задачи электроупругости (на русском), с.13-24.

 

В статье исследуется задача электроупругости. В теории электроупругости изучается взаимное воздействие поля деформации и электромагнитного поля в твердом упругом теле. Рассматривается упругая проводящая среда, заполняющая трехмерное полупространство (напр., земля). На границе этой среды создается специальный мгновенный точечный источник деформации. Эта деформация вызывает движение заряженных частиц в проводящей среде. Требуется определить коэффициент как функцию глубины, характеризующий электрический ток. Дополнительной

информацией для решения этой задачи является одна из компонент напряженности электрического поля, измеренная на границе среды. 

 

Для сложной модели электроупругости проведено упрощение, и для полученной модели построены алгоритмы решения прямой и обратной задач. 

Ключевые слова: обратная задача, электроупругость.

 

Ларин М.Р.

Об одном многосеточном  методе решения   частичной   собственной проблемы (на английском), с.25-42.

 

Недавно в работе \cite{L2000} было предложено использовать идеи многосеточных методов непосредственно для вычисления минимального собственного значения и соответствующего собственного вектора разреженной симметричной положительно-определенной матрицы А. Этот метод решает аналогичные собственные проблемы на

последовательности вложенных сеток, используя интерполянт решения на грубой сетке как начальное приближение для внутреннего итерационного процесса на следующей (мелкой) сетке.

 

В настоящей работе предлагается обобщение данного метода для вычисления нескольких минимальных собственных значений и соответствующих собственных векторов эллиптического оператора. Кроме того, качество метода улучшается за счет использования нелинейных итераций Гаусса-Зейделя взамен стандартных (линейных) итераций Гаусса-Зейделя на этапе релаксации. В заключении даны практические советы по вопросам выбора оптимальных параметров многосеточного метода. 

Ключевые слова: многосеточные методы, собственные проблемы, матрицы.

 

Марченко М.А.

Комплекс программ MONC для распределенных вычислений методом Монте-Карло (на русском), с.43-55.

 

Для методов статистического моделирования в работе описывается технология распределенных вычислений в сети персональных компьютеров с использованием комплекса программ MONC. Описывается параллельная модификация генератора базовых псевдослучайных чисел, равномерно распределенных в единичном интервале; описываются функциональные возможности системы MONC; приводятся требования к написанию программы пользователя; приводится соотношение для трудоемкости случайных оценок при применении подобных распределенных вычислений. На примере решения диффузионных задач показаны возможности системы MONC.  

Ключевые слова: параллельные вычисления, метод Монте-Карло, генераторы псевдослучайных чисел, вычислительные комплексы.

 

Нечепуренко М.И.

О некоторых характеристиках реберной связности мультиграфов (на русском), с.57-65.

 

В работах [1-3] для (p,q)-мультиграфов были даны значения наибольшей реберной связности λ(p,q) и наименьшего числа B(p,q) разрезов мощности λ(p,q). В данной работе приводится полное и исправленное доказательство результатов из [3]. Как следствие, получены асимптотические значения вероятностей связности одного класса случайных мультиграфов. 

Ключевые слова: мультиграф, наименьшее число разрезов, максимальная реберная связность.

 

Смелов В.В.

Об экономичной аппроксимации кусочно-гладких функций на основе их представления быстросходящимися кусочно-полиномиальными рядами (на русском), с.67-78.

 

Предложен вариант разложения кусочно-гладких функций в быстросходящиеся ряды по специфическим кусочно-полиномиальным функциям, сформированным на основе полиномов Лежандра. Работа  является  дальнейшим  развитием  опубликованных ранее результатов автора [1] и служит основой для экономичных аппроксимаций функций заявленного класса. 

Ключевые слова: кусочно-гладкие функции, быстросходящиеся ряды, кусочно-полиномиальный базис, аппроксимация. 

 

Шурина Э.П., Гельбер М.А.

О векторном методе конечных элементов для решения задач электромагнетизма (на русском), с.79-95.

 

Векторный метод конечных элементов - достаточно новый подход, и для него еще не создано единой теории и вычислительной методики. Цель данной работы - анализ применения данного метода для решения задач электромагнетизма. В зависимости от задачи построены специальные векторные вариационные формулировки. Теоретически и экспериментально исследованы интерполяционные свойства различных типов элементов. 

Ключевые слова: векторный метод конечных элеметов, моделирование трехмерных электромагнитных полей.

 


Номер 2, с. 97-185

Задорин А.И., Харина О.В.

Численный метод для системы линейных уравнений второго порядка с малым параметром на полубесконечном интервале (на русском), с.103-114.

 

Рассматривается краевая задача для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старших производных на полубесконечном интервале. Рассматриваются системы уравнений типа реакция-диффузия и конвекция-диффузия. Исследуется метод редукции задачи к конечному интервалу на основе выделения многообразия решений, удовлетворяющих предельному условию на бесконечности. Вспомогательные сингулярные задачи Коши для дифференциальных матричных уравнений Риккати решаются на основе разложений решения по степеням малого параметра и независимой переменной. Оценивается точность предложенного подхода. Редуцированная к конечному интервалу задача решается с применением сетки Шишкина. Приводятся результаты численных экспериментов. 

Ключевые слова: система дифференциальных уравнений, перенос краевого условия из бесконечности, разностная схема, матричное дифференциальное уравнение Риккати, асимптотические разложения, устойчивость краевой задачи.

 

Каменский Г.А., Варфоломеев Е.М.

Приближенное решение вариационной задачи для нелокальных функционалов смешанного типа (на английском), с.115-123.

 

Работа посвящена приближенному решению задачи об экстремуме нелокального функционала смешанного типа. Исследуется применение метода Ритца и метода наименьших квадратов к проблеме экстремума квадратичного функционала указанного типа. 

Ключевые слова: вариационное исчисление, нелокальные функционалы, приближенное решение, метод Ритца, метод наименьших квадратов.

 

Каргин Б.А., Сабельфельд К.К., Артемьев С.С., Войтишек А.В.

К юбилею Геннадия Алексеевича Михайлова (на русском), с.97-101.

 

Носков М.В., Осипов Н.Н.

Минимальные и почти минимальные решетчатые кубатурные формулы ранга 1,

точные на тригонометрических многочленах двух переменных (на русском), с.125-134.

 

В двумерном случае приводится описание решетчатых кубатурных формул ранга 1, обладающих тригонометрическим d-свойством (d 1). Число узлов рассматриваемых кубатурных формул минимально или отличается от минимального на один (при четном d) или на два (при нечетном d). 

Ключевые слова: минимальная кубатурная формула, решетчатая кубатурная формула с тригонометрическим d-свойством.

 

Омелаева О.С.

Об одном варианте коммутативного метода переменных направлений (на русском), с.135-141.

 

В работе рассматривается один из вариантов итерационного адаптивного коммутативного метода переменных направлений. Оптимизация данного метода не требует априорной спектральной информации. Оценка скорости сходимости сохраняется такой же, как и при наличии априорной информации. 

Ключевые слова: оптимизация, двухслойные итерационные методы.

 

Палымский И.Б.

Линейный и нелинейный анализ численного метода расчета конвективных течений (на русском), с.143-163.

 

Исследуются спектральные характеристики численного метода расчета конвективных течений, которые сравниваются со спектральными характеристиками исходной дифференциальной задачи. На модельной системе уравнений проведен нелинейный анализ численного метода. Приведены результаты расчетов турбулентной конвекции с числом Рэлея до 1350 критических значений, полученные результаты сопоставляются с данными лабораторных экспериментов по изучению турбулентной конвекции и численными результатами других авторов.

Ключевые слова:  конвекция, спектральные характеристики, число Рэлея, число Прандтля, турбулентность, стохастический режим, надкритичность.

 

Пригарин С.М., Мартин А., Винклер Г.

Численные модели бинарных случайных полей на основе пороговых преобразований гауссовских функций (на английском), с.165-175.

 

Изучаются численные модели бинарных случайных полей на основе пороговых преобразований гауссовских функций. Представлены результаты вычислительного эксперимента по оцениванию параметров моделей и имитации наблюдаемых полей. Исследуемые модели могут быть использованы для анализа и синтеза текстур, для имитации стохастической структуры атмосферной облачности, а также при решении других задач, где возникает проблема статистического анализа и построения моделей бинарных случайных полей. 

Ключевые слова: статистическое моделирование, численные модели случайных полей, бинарные поля, анализ и синтез текстур.

 

Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И.

Об оценке погрешности метода конечных элементов для третьей краевой задачи с сингулярностью в пространстве L*(2,ν+γ} (на русском), с.177-185.

 

Иcследуется метод конечных элементов для третьей краевой задачи для несамосопряженного эллиптического уравнения второго порядка с согласованным вырождением исходных данных и с сингулярностью решения. Схема метода конечных элементов построена на основе определения Rν-обобщенного решения задачи, при этом конечноэлементное пространство содержит сингулярные степенные функции. Установлено, что скорость сходимости приближенного решения к точному Rν-обобщенному решению в норме весового пространства Лебега L*{2,ν+γ}(Ω) имеет порядок сходимости O(h2)

Ключевые слова: метод конечных элементов, сильная сингулярность, Rν-обобщенное решение.

 


Номер 3, с. 187-282

К юбилею Сергея Константиновича Годунова (на русском), с. 187-188.

 

Аксельсон О., Гололобов С.В.

Монотонность и оценки погрешности дискретизации для задач диффузии-конвекции

(на ангийском), с. 189-202.

 

Монотонные операторы обеспечивают получение поузловых оценок для решений и погрешностей аппроксимации для задач с такими операторами. Мы применяем эту технику для уравнений конвекции-диффузии, в том числе и для анизотропного  диффузионного члена, и показываем, что погрешность аппроксимации  имеет более высокий порядок вблизи границы с условием Дирихле. Другими  словами, второй порядок погрешности аппроксимации сохраняется даже  если локально использовать схему с первым порядком аппроксимации  вблизи границы с условием Дирихле. 

Ключевые слова: сингулярно-возмущенная задача, конечно-разностная аппроксимация, оператор положительного типа, сетки Шишкина.

 

Гилева Л.В., Шайдуров В.В.

Два многосеточных итерационных алгоритма для дискретного аналога бигармонического уравнения (на русском), с. 213-228.

 

Применительно к двумерной задаче Дирихле для бигармонического уравнения в области, составленной из прямоугольников, рассматривается стандартная схема метода конечных элементов с применением бикубических элементов на прямоугольной квазиравномерной сетке. Для ее решения на последовательности вложенных прямоугольных сеток исследованы два многосеточных алгоритма: полный алгоритм с V-циклом и более простой каскадный алгоритм. Наличие у области угла 3π / 2 создает дефицит гладкости решения, который усложняет обоснование сходимости предложенных итерационных алгоритмов и приводит к появлению логарифмического множителя в числе арифметических операций каскадного алгоритма по сравнению с полной гладкостью решения. Вместе с тем, число арифметических операций остается почти оптимальным для каскадного алгоритма и оптимальным для V-циклов. 

Ключевые слова: бигармоническое уравнение, метод конечных элементов, многосеточный итерационный алгоритм, каскадный алгоритм, оценка числа операций.

 

Худаяров Б.А.

Численное решение нелинейных задач о флаттере вязкоупругих оболочек (на русском), с. 277-282.

 

Исследуются задачи о флаттере вязкоупругих цилиндрических  оболочек, обтекаемых потоком газа. Основное направление работы состояло в учете вязкоупругих свойств материала при сверхзвуковых скоростях. Уравнения колебаний относительно прогибов описываются интегродифференциальными уравнениями в частных производных. При помощи метода Бубнова-Галеркина задачи сведены к исследованию системы обыкновенных интегродифференциальных уравнений (ИДУ). Решение ИДУ находится численным методом, основанным на использовании квадратурных формул. Определены критические скорости флаттера оболочек. 

Ключевые слова: вязкоупругость, флаттер, оболочка, интегродифференциальное уравнение.

 

Мограби И.А.

Симметричные одноранговые многошаговые квазиньютоновские алгоритмы неявного обновления (на английском), с. 241-248.

 

Неявные многошаговые квазиньютоновские методы, предложенные в [1], используют аппроксимацию гессиана для вычисления на каждой итерации параметров, необходимых для интерполяции. Чтобы упростить вычисление матрично-векторных произведений, необходимых для данного подхода, были предложены аппроксимации на основе уравнения Секанта. Исходя из работы [2], для преодоления этой трудности был предложен другой подход, при котором стандартные одношаговые квазиньютоновские обновления заменялись на последовательных итерациях на двухшаговые, так что можно было обойтись без этих аппроксимаций.  Последние исследования показали, что величины, необходимые для вычисления выше указанных параметров, можно точно получить рекуррентно, так что метод альтернирования более не является единственным. В данной работе рассматривается вывод новых рекуррентностей для методов неявного обновления на основе известной симметричной формулы ранга один. Представлены результаты ряда численных экспериментов для сравнения и оценки развитых здесь методов. 

Ключевые слова: аппроксимация без ограничений, квазиньютоновский метод, многошаговый метод.

 

Нечепуренко М.И.

Уточнение условий сходимости метода Чебышева (на русском), с. 249-260.

 

Исследуется итерационный метод Чебышева приближенного решения в банаховых пространствах уравнений вида F(x)=0 при предположении, что F'' удовлетворяет условию Липшица. Получены в явном виде точные (достижимые)

оценки областей существования и единственности решения, неулучшаемые условия осуществимости и сходимости метода Чебышева, а также асимптотические оценки скорости сходимости. 

Ключевые слова: уравнения в банаховом пространстве, итерационный метод Чебышева, оценка точности, область существования и единственности

 

Певный А.Б.

Кратномасштабный анализ в пространстве \ell^2(\Bbb Z) на основе дискретных сплайнов

(на русском), с. 261-275.

 

Построен нестационарный  кратномасштабный анализ (КМА) Vk_(k≥0) в \ell2(\Bbb Z), в котором подпространства Vk состоят из дискретных сплайнов. Нестационарность заключается в том, что в каждом Vk найдется своя функция υk такая, что система {υk(·-l2k): \ l\in\Bbb Z} образует базис Рисса в Vk. Соответственно, система вейвлетов ψkl (j)=ψk(j-l2k), l\in\Bbb Z, k=1,2,..., не порождается растяжениями и сдвигами одной функции. Подпространства Wk= span {ψkl}:\ l\in\Bbb Z} образуют ортогональное разложение всего пространства: \ell2(\Bbb Z)=\oplus_{k=1} Wk.

 

Основная идея - в качестве Vk брать пространства дискретных сплайнов {\bmm S}_{p,2k} порядка p с расстоянием между узлами 2k. При каждом натуральном p получается свой КМА (при p=1 - хааровский КМА). 

Ключевые слова: дискретные сплайны, дискретные вейвлеты, кратномасштабный анализ.

 

Воронина Т.А.

Определение пространственного распределения источников колебаний по дистанционным измерениям в конечном числе точек (на русском), с. 203-211.

 

В работе рассматривается задача определения пространственного распределения источников колебаний по дистанционным измерениям в конечном числе точек. Задача ставится как обратная задача математической физики для восстановления начальной формы волны цунами по колебаниям уровня свободной поверхности, обусловленным пришедшей волной и зарегистрированным в серии удаленных приемников. Распространение волн описывается в рамках теории мелкой воды, когда глубина океана есть функция двух переменных. Для решения этой некорректной задачи применяется подход, использующий r-решения. Регуляризация оператора в этом случае осуществляется путем сужения оператора на подпространство, натянутое на конечный набор первых сингулярных векторов. Путем численного моделирования определяется оптимальная система наблюдения. 

Ключевые слова: распространение волн, обратная задача теории распространения волн, регуляризация, сингулярное разложение, разностная схема, численное моделирование.

 

Жуковский Е.Л.

Решение интегральных уравнений с $\delta$-образным ядром (на русском), с. 229-240.

 

Рассматриваются интегральные уравнения с δ-образным ядром, которые возникают при обработке спектров физических процессов, в импульсной технике, а также в анализе временных рядов. При решении известны оценки, полученные на основе метода наименьших квадратов по Лежандру или Гауссу, и их регуляризованные формы в виде метода ортогональных проекций. Здесь, в отличие от указанных подходов, исследуется форма метода наименьших квадратов, которая использует теорию целых функций, когда спектр и  протяженность функции связаны соотношением неопределенности. 

Ключевые слова: интегральные уравнения, соотношение неопределенности, метод наименьших квадратов, регуляризация, спектр.

 


Номер 4, с. 283-376

Богульский И.О., Чеверда В.А.

Итерационная по времени процедура моделирования нестационарных процессов  в существенно неоднородных средах (на русском), с. 283-286.

 

В работе показано, что предложенные в [1, 2] алгоритмы численного решения задач динамического деформирования твердых тел достаточно эффективны в случае применения итерационной по времени процедуры решения этих задач для существенно неоднородных областей с небольшими по протяженности, но сильно жесткими включениями. В

неодномерном случае это, в частности, решает проблему построения адаптивных к неоднородной среде сеток и сопряжения решения на границах раздела подобластей.

Ключевые слова: итерационный, динамический, сетка, алгоритм, неоднородный.

 

Бубякин А.А., Лаевский Ю.М.

Об одном подходе к построению схем повышенного порядка точности  в методе конечных элементов (на русском), с. 287-300.

 

В работе рассматриваются схемы метода конечных элементов повышенного порядка точности с тем же количеством степеней свободы, что и в схемах, построенных по методу Галеркина  с использованием кусочно-полилинейных функций. В основе предлагаемого подхода лежит специальный выбор сеточных скалярных произведений и ограниченных на множестве сеточных функций линейных функционалов правой части. В сеточной энергетической норме устанавливается четвертый порядок точности.

Ключевые слова: смешанная производная, конечный элемент, компактная схема, билинейная форма, точность.

 

Горунеску Ф., Горунеску М., Горунеску Р.

Метод метаэвристических генетических алгоритмов в поддержку решения о выборе при лечении рака (на английском), с. 301-307.

 

Настоящая статья посвящена метаэвристическому методу, который помогает при определении сложности лечения рака.  Мы показываем, как помочь найти (почти) оптимальную формулу лечения с использованием подхода генетических алгоритмов. После решения проблемы диагноза, внимание переключается на планирование процедуры лечения. Цель данной работы - исследовать подход, основанный на генетическом алгоритме, для   определения (почти) оптимальной формулы лечения, зависящей от некоторых особенностей пациента.  Также показано применение к случаям рака груди и матки.

Ключевые слова: лечение рака, генетический алгоритм, программа эволюции, реализация на языке Java.

 

Котельников Е.А.

Поиск глобального максимума квадратичной функции при линейных ограничениях

(на русском), с. 327-334.

 

Глобальный максимум квадратичной функции локализуется с помощью убывающей последовательности линейных или квадратичных мажорант целевой функции, построенных на подмножествах множества допустимых решений.

Ключевые слова: глобальный оптимум квадратичной функции.

 

Ларин М.Р., Падий А.

К теории обобщенного метода окаймления для построения предобуславливающих матриц

(на ангийском), с. 335-343.

 

Настоящая статья посвящена получению улучшенных теоретических оценок для недавно предложенного в работе \cite{APP00} метода построения предобуславливающих матриц на основе обобщенного метода окаймления. В частности, мы находим более точную нижнюю оценку на собственные значения предобусловленной матрицы используя свойства проектора участвующего в определении предобуславливателя.

Ключевые слова: системы линейных алгебраических уравнений, итерационные методы с предобуславливанием.

 

Пригарин С.М., Федченко Н.В.

Решение краевых задач для линейных систем стохастических дифференциальных уравнений (на русском), с. 345-361.

 

Работа  посвящена численным методам решения краевых задач для линейных систем стохастических дифференциальных уравнений, получены необходимые и достаточные условия существования и единственности решения, обсуждается ряд специальных вопросов (стационарные краевые задачи, сведение краевой задачи к задаче Коши, расширенные краевые задачи, активность и пассивность краевых условий и др.).

Ключевые слова: стохастические дифференциальные уравнения, краевые задачи, численные методы, линейные системы, существование и единственность решения, активные и пассивные краевые условия.

 

Шарый С.П.

Решение интервальных линейных систем со связями (на русском), с. 363-376.

 

В работе дается обзор современных подходов к задаче внешнего оценивания множеств решений интервальных линейных систем, на параметры которых наложены дополнительные связи. Для оптимального (точного) внешнего

покоординатного оценивания множеств решений интервальных линейных систем уравнений с симметричными, кососимметричными, теплицевыми и ганкелевыми матрицами мы развиваем так называемые методы дробления

параметров (PPS-методы), основанные на идее адаптивного дробления интервальных исходных данных задачи.

Ключевые слова: интервальные линейные системы, связанные параметры, адаптивное дробление, PPS-методы.

 

Железовский С.Е.

К оценкам погрешности схем проекционно-разностного метода для гиперболических уравнений (на русском), с. 309-325.

 

Исследуется сходимость трехслойной схемы проекционно-разностного метода для абстрактного квазилинейного гиперболического уравнения. Устанавливаются асимптотические энергетические оценки погрешности, неулучшаемые по порядку. Основой вывода оценок служит предварительно получаемый результат об условной устойчивости схемы (W-устойчивости в смысле вводимого в работе определения). Применение полученных общих результатов иллюстрируется на примере схемы решения первой начально-краевой задачи для гиперболического уравнения второго порядка с дискретизацией по пространству методом конечных элементов. Отмечается также возможность применения общих результатов в случае, когда дискретизация по пространству проводится методом Галеркина в форме Михлина.

Ключевые слова: квазилинейное гиперболическое уравнение, проекционно-разностный метод, асимптотические оценки погрешности.