Сибирский журнал вычислительной математики

Том 8, 2005

Содержание

Номер 1, c.  1-88
Номер 2, c.  89-176
Номер 3, c. 177-271
Номер 4, c. 273-362


Номер 1, c. 1-88

Аверина Т.А., Артемьев С.С.
Численное решение стохастических дифференциальных уравнений с растущей дисперсией
(на русском), с. 1-10.

В работе предлагается способ сведения  исходной неустойчивой в среднем квадратическом системы СДУ к системе СДУ с решением, близким к стационарному процессу. С использованием формулы дифференцирования Ито получены системы СДУ для стохастической составляющей как в случае линейных, так и  нелинейных исходных систем СДУ.
Ключевые слова: стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), неустойчивые СДУ, численные методы решения СДУ, методы  Монте-Карло.

Андрамонов М.Ю.
Решение систем нелинейных уравнений параметрическим подходом с любым начальным приближением
(на русском), с. 11-22.

Предлагаются алгоритмы для решения систем нелинейных уравнений, когда хорошее приближение к решению неизвестно и метод Ньютона неэффективен. Методы основаны на выборе весов для вспомогательной функции и на спуске в пространстве весов. Сходимость зависит от соотношения между мерами областей притяжения решений. Для ускорения сходимости рассматриваются методы возмущений.
Ключевые слова: нелинейные уравнения, параметрический подход, случайные веса.

Андреев А.Б., Максимов Й.Т., Рачева М.Р.
Конечноэлементное моделирование балки на Винклеровом основании с переменной эластичностью
(на английском), с. 23-30.

Исследуется балковая конструкция на Винклеровом основании, находящаяся под действием поперечной силы. Поперечная сила вертится вокруг оси балки. Эластичность основы есть функция, изменяющаяся во времени. Для конструкции такого типа дана общая математическая модель. Получена вариационная формулировка рассматриваемых краевых задач. Пользуясь методом конечных элементов, определяется динамическое напряжение балки. Чтобы использовать метод нормальных форм, дискутируется соответствующая спектральная задача. В заключении, представлены численные результаты, имеющие практическое применение. 
Ключевые слова: метод конечных элементов, Винклерово основание, динамические напряжения.

Кашуба Е.В., Рукавишников В.А.
О p-версии метода конечных элементов для краевой задачи с сингулярностью
(на английском), с. 31-42.

Рассматривается одномерная первая краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка с сильной сингулярностью решения, вызванной согласованным вырождением исходных данных в начале координат. Решение поставленной задачи определяется как -обобщенное. Доказывается принадлежность решения весовому пространству С.Л. Соболева при определенных условиях на коэффициенты и правую часть дифференциального уравнения. Строится схема метода конечных элементов на фиксированной сетке с использованием полиномов произвольной степени p (p-версия метода конечных элементов). При этом конечно-элементное пространство содержит сингулярные полиномы. Используя регулярность -обобщенного решения задачи, устанавливается оценка скорости сходимости второго порядка по степени p полиномов в норме весового пространства С.Л. Соболева.
Ключевые слова:
  p-версия метода конечных элементов, краевые задачи с сингулярностью, весовые пространства С.Л. Соболева, система ортонормированных сингулярных полиномов.
 

Кретинин А.В.
Формирование нейросетевой базы данных для оптимизации структуры персептронов
(на русском), с. 43-55.

Результаты решения множества задач нейросетевых аппроксимаций одномерных функций различного вида использованы для формирования обучающего множества, по которому построена нейросетевая база данных с целью определения оптимального количества нейронов в скрытом слое однослойного персептрона для достижения требуемого качества аппроксимации.
Ключевые слова: персептрон, оптимизация структуры.

Немировский Ю.В., Янковский А.П.
Обобщение методов Рунге-Кутты и их применение к интегрированию начально-краевых задач математической физики
(на русском), с. 57-76.

 Предложена и апробирована идея обобщения методов Рунге-Кутты на двумерный случай для приближенного интегрирования начально-краевых задач, соответствующих дифференциальным уравнениям в частных производных. Показано, что некоторые классические конечно-разностные схемы интегрирования уравнения переноса и нестационарной одномерной теплопроводности могут быть получены как следствия такого обобщения. Получены новые схемы высоких порядков точности для различных задач математической физики. Доказана устойчивость этих схем и приведены результаты расчетов для задач с большими градиентами решения. На конкретных примерах показано, что классические схемы низких порядков точности неудовлетворительно описывают решения таких задач, а схемы высоких порядков, построенные при помощи предложенных обобщенных методов Рунге-Кутты, дают хорошие приближения к точным решениям.
Ключевые слова:
численное интегрирование, начально-краевые задачи, обобщение методов Рунге-Кутты, большие градиенты решения, устойчивость численных схем.

Шевалдин В.Т.
Аппроксимация локальными параболическими сплайнами с произвольным расположением узлов
(на русском), с. 77-88.

Для класса функций с ограниченной почти всюду второй производной построен линейный локальный метод параболической сплайн-аппроксимации с произвольным расположением узлов сплайна, обладающий сглаживающими свойствами и наследующий локально свойства монотонности и выпуклости исходных данных (значений функции в точках сетки). На этом классе вычислена точно величина погрешности аппроксимации построенными сплайнами.
Ключевые слова: локальный метод, параболическая сплайн-аппроксимация, погрешность аппроксимации.


Номер 2, c.  89-176

Андреев А.Б., Тодоров Т.Д.
Сверхсходимость градиента для кубических треугольных конечных элементов
(на английском), с. 89-100.

Анализируется и доказывается сверхсходимость градиента приближенного решения эллиптических задач с использованием 10-узловых треугольных кубических конечных элементов. Для этих элементов доказывается существование точек сверхсходимости. Представлена техника восстановления градиента в подобласти. Доказывается свойство сверхблизости. Получена также оценка типа сверхсходимости для функции восстановленного градиента. Теоретические результаты иллюстрируются численными экспериментами.
Ключевые слова: метод конечных элементов, сверхсходимость, восстановленный градиент.

Артемьев С.С., Корсун А.Е., Якунин М.А.
Исследование вероятностных характеристик одного торгового алгоритма
(на русском), с. 101-108. 

Для торгового алгоритма, основанного на простейшей модели ценового ряда, исследуются вероятностные характеристики случайной последовательности, формирующей суммарную доходность. В случае модели ценового ряда с гауссовым распределением доходностей приводятся формулы для вычисления некоторых вероятностных характеристик.
Ключевые слова: торговый алгоритм, доходность, плотность вероятности.

Каменский А.Г., Каменский Г.А.
О сходимости одной разностной схемы к решению третьей краевой задачи
для системы абстрактных эллиптических уравнений
(на русском), с. 109-126.

Рассматривается третья краевая задача для абстрактных эллиптических уравнений. Изучается устойчивость решений системы эллиптических уравнений в ограниченной области при малых негладких возмущениях границы области. Предлагается разностная схема для приближенного решения рассматриваемой задачи и выводятся условия сходимости решений этой схемы к точному решению задачи.
Ключевые слова: уравнения эллиптического вида, разностные схемы, краевые задачи.
 

Ларин М.Р.
Использование метода компенсации в алгебраических методах многоуровневых итераций для решения конечно-элементных задач
(на английском), с. 127-142.

В настоящей работе предлагается модификация алгебраического метода многоуровневых итераций для решения конечно-элементных задач, ранее предложенного в работе \cite{AxLar}. С целью ускорения скорости сходимости итерационного процесса используется семейство итерационных параметров, определяемых из условия компенсации ошибки. Проведенные численные эксперименты показали эффективность данного подхода.
Ключевые слова: алгебраический метод многоуровневых итераций, метод сопряженных градиентов с предобуславливанием, метод конечных элементов.

Попов А.С.
Поиск наилучших кубатурных формул для сферы, инвариантных относительно группы вращений октаэдра с инверсией
(на русском), с. 143-148.

Дается определение наилучшей кубатурной формулы для сферы, инвариантной относительно группы вращений октаэдра с инверсией. Описывается процесс поиска наилучших кубатурных формул данного типа симметрии. Приводится таблица, содержащая основные характеристики всех наилучших на сегодняшний день кубатурных формул группы вращений октаэдра с инверсией до 53-го алгебраического порядка точности. Даются с 16 значащими цифрами веса и координаты узлов новых кубатурных формул 21-, 25-, 27-, 31- и 33-го порядков точности.
Ключевые слова: численное интегрирование, кубатурные формулы,  группа вращений октаэдра.

Шапеев А.В.
Исследование смешанной спектрально-разностной аппроксимации на примере задачи о вязком течении в диффузоре
(на русском), с. 149-162.

Рассмотрен в общем случае подход, основанный на смешанной спектрально-разностной аппроксимации, к построению эффективных численных методов для задач, решения которых по одним переменным ведут себя достаточно гладко, а по другим - не гладко. 

Рассмотренный подход применен к задаче о течении вязкой несжимаемой жидкости в плоском диффузоре. На основе вычислительных экспериментов исследованы свойства численного метода.
Ключевые слова: нестационарное, автомодельное течение жидкости в диффузоре, конфузоре; математическое моделирование, численный метод, смешанная спектральная разностная аппроксимация.
 

Шкарупа Е.В.
Функциональный алгоритм блуждания по решетке для бигармонического уравнения. Оценка погрешности и оптимизация
(на русском), с. 163-176.

Рассмотрен алгоритм блуждания по решетке, применяемый при глобальном решении задачи Дирихле для бигармонического уравнения \cite{mih3,luk}. В метрике пространства непрерывных функций C  построена верхняя граница погрешности и получены оптимальные в смысле верхней границы погрешности значения параметров алгоритма (числа узлов и объема выборки). На примере задачи о прогибе тонкой эластичной пластины со свободно опертыми краями проведено сравнение эффективности указанного алгоритма с глобальным алгоритмом блуждания по сферам, основанном на использовании фундаментального решения бигармонического уравнения \cite{mca3,prep}.
Ключевые слова: методы Монте-Карло, функциональные алгоритмы, случайные блуждания, бигармоническое уравнение, оценка погрешности, оптимизация.


Номер 3, c. 177-271

Гурий Иванович Марчук (к восьмидесятилетию со дня рождения) (на русском), с. 177-178

Алексеев А.С., Глинский Б.М., Котелевский С.П., Кучин Н.В., МалышкинВ.Э., Селихов А.В.
История развития Сибирского Суперкомпьютерного Центра, его текущее состояние и перспективы развития
(на русском), с. 179-187.

Дается краткий обзор истории развития вычислительных ресурсов СО РАН и организации решения больших задач моделирования. Рассматриваются результаты проекта создания высокопроизводительной вычислительной системы СИБИРЬ в 80-х годах, текущая структура Сибирского Суперкомпьютерного Центра (ССКЦ), основные результаты работы центра в 2004 г. и перспективы его развития.
Ключевые слова: супервычисления, суперцентр, мультикомпьютеры, численное моделирование.
 

Андреев А.Б., Петров М.С., Тодоров Т.Д.
Основные результаты аппроксимации изопараметрической спектральной задачи для сосредоточенной массы на треугольных сетках
(на английском), с. 189-205.

В статье рассматривается численный квадратурный метод конечных элементов с диагонализацией матрицы массы (сосредоточенной массы). Метод применим к классу самосопряженных эллиптических операторов второго порядка, определенных на ограниченной области в плоскости. Используются изопараметрические преобразования конечных элементов и треугольные лагранжевы конечные элементы. 

Статья включает в себя исследования, начатые в \cite{and1,and2}, для изопараметрического варианта модификации сосредоточенной массы для плоских спектральных задач второго порядка. Показана связь между возможными квадратурными формулами и точностью метода. Оценено влияние численного интегрирования на ошибку вычисления собственных значений и собственных функций. В заключении представлены численные результаты, подтверждающие теорию.
Ключевые слова: спектральная задача, изопараметрический метод конечных элементов,  сосредоточенная масса, численное интегрирование.
 

Квак До И., Ли Джун С.
О сходимости V-циклического многосеточного метода в конечно-разностной схеме для уравнения Гельмгольца
(на английском), с. 207-218. 

В статье анализируется V-цикличный многосеточный метод на шестиугольных сетках для положительно-определенного уравнения Гельмгольца. В частности, этот метод применяется для численной схемы, основанной на решениях уравнения Гельмгольца в смысле средних значений и представленной в работе [1]. Показана сходимость метода. Теория сходимости V-циклических многосеточных методов рассмотрена с точки зрения работы [6] через оценку энергетической нормы оператора продолжения и доказательство условий аппроксимации и регулярности. В численных экспериментах представлены собственные значения, числа обусловленности и сжатия.
Ключевые слова: многосеточный метод, решение по средним значениям, конечно-разностные методы.
 

Лисица В.В.
Оптимальные сетки для решения волнового уравнения с переменными коэффициентами
(на русском), с. 219-229. 

В данной статье представлены исследования метода построения оптимальных сеток для численного решения волнового уравнения и его обобщение на случай дифференциального оператора с переменными коэффициентами. Построена оценка точности решения, вычисляемого с помощью данных сеток. Представленные в данной работе эксперименты иллюстрируют существенное сокращение времени расчетов при использовании оптимальных сеток.
Ключевые слова: оптимальные сетки, аппроксимации Паде-Чебышева, квадратуры Гаусса, метод Ланцоша.

Луговкин С.Э.
Верификация данных в некоторых задачах линейного программирования и обобщенная задача Бернштейна
(на русском), с. 231-244. 

Рассматривается задача нахождения необходимого и достаточного условия того, чтобы данный набор чисел мог быть набором вероятностей некоторых событий и их совмещений по два. Найден алгоритм построения системы неравенств для решения этой задачи. Обсуждается применение полученного алгоритма для решения задач более общего вида.
Ключевые слова: событие, вероятность, метод исключения, надежность, совместимость параметров.
 

Марченко М.А.
Статистическое моделирование пространственно неоднородной коагуляции с учетом  диффузионного переноса частиц
(на русском), с. 245-258. 

Разработан алгоритм метода Монте-Карло для моделирования пространственно неоднородной коагуляции частиц с диффузией. При этом решается краевая задача для одномерного уравнения Смолуховского с конвекционным и диффузионным членами. 

Алгоритм численного решения основан на методе стохастических пробных частиц в ячейках. Основными свойствами алгоритма являются использование специального марковского случайного процесса и применение схемы расщепления по физическим процессам. 

Разработана специальная методика уменьшения относительной статистической погрешности численного решения. Предлагается способ предварительного оценивания параметров вычислительного алгоритма. 
Ключевые слова: метод Монте-Карло, уравнение Смолуховского, коагуляция, диффузия, нуклеация.
 

Табаринцева Е.В.
Об оценке погрешности метода квазиобращения при решении задачи Коши для полулинейного дифференциального уравнения
(на русском), с. 259-271. 

В  работе получены оценки погрешности приближенного решения некорректно поставленной задачи Коши для полулинейного дифференциального уравнения. Для получения оценок используется стандартная оценочная функция - модуль непрерывности обратного оператора. Величина модуля непрерывности вычисляется для двух классов равномерной регуляризации поставленной задачи. Устойчивые приближенные решения строятся методом квазиобращения.
Ключевые слова: дифференциально-операторное уравнение, задача Коши, некорректно поставленная задача, метод приближенного решения, оценка погрешности.


Номер 4, c. 273-362

Акыш А.Ш.
Устойчивость в \ellp некоторых разностных схем  для одной системы нелинейных параболических уравнений
(на русском), c. 273-280

В работе для некоторых разностных схем, соответствующих для одной системы нелинейных  параболических уравнений,  доказывается устойчивость в пространстве \ellp. Статья   является развитием  предыдущих работ автора.
Ключевые слова:  система нелинейных параболических уравнений, устойчивость разностных схем в пространстве \ellp, явная схема, неявная схема, схема расщепления.

Артемьев С.С., Войнов А.Н., Корсун А.Е., Сердцева Н.А.
Параметрический анализ торговых алгоритмов c помощью метода Монте-Карло
(на русском), c. 281-287 

С помощью метода Монте-Карло проводится параметрический анализ основных характеристик доходности и риска двух торговых алгоритмов. Численные эксперименты проводятся на модельных ценах акций, являющихся дискретными аналогами стохастических дифференциальных уравнений. Дается описание моделирующей программы.
Ключевые слова:
параметрический анализ, торговый алгоритм, метод Монте-Карло, доходность, риск.

Букенов М.М.
Постановка динамической задачи  линейной вязкоупругости в скоростях напряжений
(на русском), c. 289-295 

Исследована сопряженно-операторная модель  вязкоупругости в постановке скорости напряжения. Для ее численной реализации построен класс неявных разностных схем, основанных на расщеплении по пространственным переменным.
Ключевые слова: модель, скорости напряжения, конечно-разностная схема.
 

Гусев С.А.
Оценки методом Монте-Карло производных по параметрам решения параболического уравнения на основе численного решения СДУ
(на русском), с. 297-306 

В работе предложен статистический метод оценки решения параболического уравнения и его производных по параметрам на основе численного решения стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) методом Эйлера. Установлен порядок сходимости используемых функционалов решения СДУ. Приведены результаты численных экспериментов.
Ключевые слова: параболическое уравнение, производные по параметрам, стохастические дифференциальные уравнения, метод Эйлера.
 

Калинкин А.А., Лаевский Ю.М.
Об экстраполяции по параметру в возмущенной вариационной задаче в смешанной постановке (на русском), c. 307-323 

В работе исследуется экстраполяция по параметру регуляризации в смешанной вариационной задаче. Полученные оценки применяются к нескольким примерам краевых задач. Приводятся результаты численных экспериментов.
Ключевые слова: смешанный метод конечных элементов, экстраполяция, задача Стокса.

Крупчатников В.Н., Боровко И.В.
Некоторые особенности динамики полярного вихря
(на русском), c. 325-335 

В этой работе исследуются некоторые особенности динамики полярного вихря. Используется математическая модель, в которой в качестве основного состояния рассматривается поток с линейным сдвигом, на который наложены стационарные волны. Исследуется взаимодействие основного потока с нестационарными волнами Россби Проведен анализ устойчивости траекторий. Сделана численная оценка некоторых характеристических параметров и показано явление хаотической адвекции.
Ключевые слова: динамика стратосферы, полярный вихрь, устойчивость траекторий.

Нурмолдин Е.Е.
Восстановление функций, интегралов и решений уравнения теплопроводности из U2-классов Ульянова
(на русском), c. 337-351 

Изучаются задачи численного интегрирования, восстановления функций и дискретизации решений уравнения теплопроводности с функциями распределения начальных температур из классов U2(β,θ,α), принадлежность функций к которым определяется скоростью убывания их тригонометрических коэффициентов Фурье. Для классов U2((β1, β2),(θ1, θ2),(1,1)) получены точные или точные в соответствующих шкалах порядки убывания погрешностей квадратурных формул, восстановления функций и дискретизации решений уравнения теплопроводности по тригонометрическим коэффициентам Фурье в нормах L2 и L.
Ключевые слова: оптимальная квадратурная формула, оптимальное восстановление функций, дискретизация решений уравнения теплопроводности.
 

Редди М.В.
Среднее отклонение при интегрировании периодических функций
(на английском), с. 353-362 

При численном интегрировании периодических функций по s-мерному единичному кубу используются различные критерии, такие как Pα и R. В статье использован критерий, называемый L2-отклонением. Аналог этой величины ранее использовался для оценки ошибки при интегрировании непериодических функций. Для этой величины получены оценки среднего в случае теоретико-числовых правил и правил 2s-копирования. Значения этих средних сравнивались на одинаковом числе узлов.
Ключевые слова: среднее L2-отклонение, теоретико-числовое правило,
правило 2s-копирования.