Сибирский журнал вычислительной математики

Том 9, 2006

Содержание

Номер 1, c.  1-108
Номер 2, c. 109-206 
Номер 3, c. 207-323
Номер 4, c. 325-421


Номер 1, c. 1-108

Богданов В.В., Волков Ю.С.
Выбор параметров обобщённых кубических сплайнов при выпуклой интерполяции (
на русском), с. 5-22

Показано, что построение интерполяционных обобщенных кубических сплайнов сводится к решению трехдиагональной системы линейных уравнений со столбцевым диагональным преобладанием относительно значений второй производной сплайна в узлах сетки. Найдены условия неотрицательности решения для таких систем. Предложена общая схема выбора управляющих параметров обобщенных сплайнов для обеспечения выпуклости интерполянта в задаче выпуклой интерполяции. Результирующий сплайн минимально отличается от классического кубического и совпадает с ним, если для последнего выполняются достаточные условия выпуклости. Конкретные алгоритмы рассмотрены на примерах обобщенных сплайнов: рациональных,  экспоненциальных, переменной степени, гиперболических и сплайнов с дополнительными узлами.
Ключевые слова: выпуклая интерполяция, рациональный сплайн, изогеометрия, выбор управляющих параметров, монотонная матрица, трехдиагональная система.

Кретинин А.В.
Метод взвешенных невязок на базе нейросетевых пробных функций для моделирования задач гидродинамики (
на русском), с. 23-35

Разработан алгоритм численного решения уравнений гидродинамики с представлением решения по методу взвешенных невязок на базе общей нейросетевой аппроксимации во всей расчетной области. Проведено тестирование алгоритма на решении двумерных уравнений Навье-Стокса. Алгоритм применен для моделирования потока переменной массы.
Ключевые слова: нейросеть, гидродинамика.

Михайленко Б.Г., Решетова Г.В.
Численно-аналитический метод решения задачи о распространении
сейсмических и акусто-гравитационных волн для неоднородной модели
Земля-Атмосфера
(
на русском), с. 37-46

В работе рассматривается численно-аналитический метод решения задачи о распространении сейсмических и акусто-гравитационных волн для неоднородной модели Земля-Атмосфера. Распространение сейсмических волн описывается системой динамических уравнений теории упругости первого порядка, распространение акусто-гравитационных волн в атмосфере описываются линеаризованными уравнениями Навье-Стокса. Алгоритм основан на комплексировании интегральных преобразований Лагерра по времени, конечных интегральных преобразований Бесселя по радиальной координате с конечно-разностным методом решения редуцированной задачи по вертикальной координате. В работе приведены примеры расчета сейсмических и акусто-гравитационных волн для неоднородной модели Земля-Атмосфера для различных положений источника.
Ключевые слова: сейсмические волны, акусто-гравитационные волны, волновые процессы, численно-аналитические метод, преобразования Бесселя и Лагерра.

Могхраби И.А.Р.
Многошаговые методы многократного обновления в оптимизации без ограничений (
на английском), с. 47-53

Квазиньютоновские многошаговые методы, разработанные в работе [2], показали значительные преимущества по сравнению со стандартным одношаговым методом секущих (BFGS). В данных методах используется вариант уравнения секущей с обновлением (или обращением) гессиана на каждой итерации. В данной работе рассматривается алгоритм, обновленный гессиан которого удовлетворяет нескольким соотношениям секущих, и исследуются численные возможности этой техники. Используется дробно-рациональное приближение, свободный параметр которого выбирается так, чтобы обеспечить симметричность матрицы приближения гессиана. Полученные нами алгоритмы перспективны и превосходят другие существующие методы при минимальных дополнительных вычислительных затратах.
Ключевые слова: оптимизация без ограничений, Квази-ньютоновские методы, многошаговые методы.

Роженко А.И.
О расчете скалярных произведений B-сплайнов (
на русском), с. 55-61

Работа посвящена алгоритмам устойчивого расчета скалярных произведений B-сплайнов. В ней предложен алгоритм модифицированного рекуррентного расчета интегралов в матрице Грама, требующий почти в два раза меньше арифметических операций, чем квадратуры Гаусса и алгоритм полного рекуррентного расчета.
Ключевые слова: B-сплайн, разделенная разность, матрица Грама.

Шишкин Г.И.
Метод повышенной точности для квазилинейного сингулярно возмущенного эллиптического уравнения конвекции-диффузии (
на русском), с. 81-108

Рассматривается задача Дирихле на прямоугольнике для квазилинейного сингулярно возмущенного эллиптического уравнения конвекции-диффузии в случае, когда граница области не имеет характеристических участков; старшие производные уравнения содержат параметр ε, принимающий произвольные значения из полуинтервала (0,1]. Для такого типа линейной задачи ε-равномерная скорость сходимости хорошо известных схем не выше первого порядка (в равномерной норме). Для рассматриваемой краевой задачи строятся сеточные аппроксимации, сходящиеся ε-равномерно со скоростью O{N-2ln2N}, где N характеризует число узлов сетки по каждой переменной. Используются кусочно-равномерные сетки, сгущающиеся в пограничном слое. В том случае, когда значения параметра малы по сравнению с эффективным шагом сетки, применяется метод декомпозиции области, мотивируемый "асимптотическими конструкциями''. Используются монотонные аппроксимации "вспомогательных'' подзадач, описывающих главные члены асимптотических представлений решений в окрестностях регулярных и углового пограничных слоев и вне этих окрестностей. Указанные подзадачи решаются на подобластях последовательно, причем на равномерных сетках. Если же значения параметра не являются достаточно малыми (по сравнению с эффективным шагом сетки), применяются классические разностные схемы с аппроксимацией первых производных центральными разностными производными. Отметим, что вычисление решений построенной разностной схемы (схемы на основе метода "асимптотических конструкций'') существенно упрощается при достаточно малых значениях параметра ε.
Ключевые слова: сингулярно возмущенная задача Дирихле, квазилинейное эллиптическое уравнение конвекции-диффузии, повышение точности, метод асимптотических конструкций, декомпозиция области, кусочно-равномерные сетки.

Урев М.В.
Сходимость метода конечных элементов для осесимметричной задачи магнитостатики (
на русском), с. 63-79

Рассматривается задача расчета стационарных магнитных линейных осесимметричных полей в неоднородных средах. В отличие от традиционных формулировок задачи в терминах азимутальной компоненты векторного потенциала или функции потока магнитного поля, в данной работе предложено сведение задачи к иной искомой функции, удовлетворяющей более удобному для исследования уравнению. Основная особенность поставленной задачи состоит в ее вырождении на оси симметрии, что требует при исследовании задачи привлечения соответствующих пространств с весом. Для метода конечных элементов с использованием кусочно-линейных элементов доказана сходимость приближенного решения к точному с оценкой погрешности не хуже, чем в случае эллиптического уравнения без вырождения.
Ключевые слова: вырождающееся уравнение, весовые пространства Соболева, метод конечных элементов.
 


Номер 2, c. 109-206

Амелькин В.А.
Пересчет, нумерация и генерирование серийных последовательностей с
отделенными натуральными сериями
(
на русском), с.109-121

Рассматриваются множества целочисленных серийных последовательностей длины  m, структура которых определяется ограничениями на количество, суммарную длину и допустимые длины натуральных серий, а также на длины разделительных 0-серий. Рассматриваются и случаи, когда длины граничных серий могут и не удовлетворять заданным ограничениям. Для указанных множеств получены точные решения задач пересчета, кодирования и генерирования.
Ключевые слова: cерия, последовательность серий, ограничения, перечисление.

Годунов С.К., Селиванова С.В.
Эксперименты по использованию резонанса для спектрального анализа конечномерных кососимметрических операторов
(на русском), с. 123-136

Предлагается и исследуется алгоритм спектрального анализа кососимметрических матриц, основанный на возбуждении резонанса. Обсуждается его применимость к нахождению колебательных спектров консервативных систем гиперболических уравнений на примере трехмерной линейной упругости.
Ключевые слова: спектральная задача, кососимметрический оператор, резонанс, гиперболические уравнения.

Кузнецов Ю.И.
Ортогональные и узловые многочлены
(на русском), с. 137-145

Рассматриваются многочлены Pk(x) степени k, ортогональные на конечном множестве точек xi, i=1(1)n, с весами
ci
> 0. Показано, что многочлен Pk(x) есть линейный функционал узловых многочленов той же степени, выраженный через xi, ci. Вектор, задающий функционал, положителен и нормирован. Такие свойства функционала характеризуют его как среднее, или центр тяжести, узловых многочленов, распределенных с соответствующей плотностью.
Ключевые слова: многочлен, ортогональный, узлы, конечный, множество, точки, линейный, функционал, среднее, плотность.

Милосердов В.В.
Условная оптимизация дискретно-стохастических численных процедур в случае применения кубических сплайнов
(на русском), с. 147-163

Исследуются дискретно-стохастические процедуры глобального приближения решения интегрального уравнения второго рода с помощью аппроксимации Стренга-Фикса с образующей функцией, представляющей собой B-сплайн третьего порядка. В случае использования кубических сплайнов дискретная компонента погрешности процедур имеет более высокий порядок приближения по шагу сетки по сравнению с хорошо изученным случаем кусочно-линейной образующей функции. В то же время сохраняется свойство "сноса погрешности в узлы'' (устойчивости), так как коэффициенты аппроксимации представляют собой линейные комбинации значений приближаемой функции в узлах сетки. Это позволяет строить верхние границы для стохастической компоненты погрешности. Для исследуемых дискретно-стохастических процедур построены общие верхние оценки погрешности и вычислены условно-оптимальные параметры при фиксированном значении оценки погрешности.
Ключевые слова: дискретно-стохастические процедуры, аппроксимации Стренга-Фикса, кубические сплайны, локальные оценки, метод сопряженных блужданий.

Новиков С.И.
Периодическая интерполяция с минимальным значением нормы m производной
(на русском), с. 165-172

В работе рассматривается задача интерполирования ограниченных по lp-норме периодических данных множеством гладких периодических функций. Для p=2 и p=найдены точные значения Lp-норм m-й производной наилучших интерполянтов на классе последовательностей.
Ключевые слова: интерполяция, сплайн, экстремальная задача.
 

Хлуднев А.М., Леонтьев А.Н.
Проблема течения через полупроницаемое препятствие

(на английском), с. 173-188

Статья посвящена исследованию задачи о потенциальных течениях через тонкое полупроницаемое препятствие. Краевые условия на препятствии имеют вид системы равенств и неравенств. Доказана разрешимость задачи и исследованы свойства решения. Используются граничные элементы и оптимизационная техника для численного анализа задачи, существующие методы при минимальных дополнительных вычислительных затратах.
Ключевые слова: полупроницаемое препятствие, односторонние краевые условия, потенциальное течение, граничные элементы.


Шарый С.П.
Внутреннее оценивание множеств решений неотрицательных интервальных линейных систем
(на русском), с. 189-206

В работе предлагается способ нахождения максимальных по включению внутренних оценок для множеств решений интервальных линейных систем с неотрицательными матрицами, основанный на свойстве монотонности конфигурации этих множеств решений.
Ключевые слова: интервальная линейная система, неотрицательная матрица, множество решений, внутреннее оценивание, максимальная оценка.


Номер 3, c. 207-323

Базанов П.В., Джосан О.В.
Выделение информативных признаков на изображении лица в задаче идентификации человека
(на русском), с. 207-214

В данной работе представлены три различных способа извлечения информативных признаков из изображений лица. Предложены эффективные модификации методов извлечения черт изображений на основе метода главных компонент, вейвлетов, скрытых Марковских моделей. Первый метод проводит анализ целостных признаков лица. С помощью вейвлетов Габора выделяются локальные признаки. Скрытые Марковские модели позволяют структурировать изображение.

Поставлены эксперименты по распознаванию лица над нормализованной базой данных изображений, по результатам которых установлены достоинства и недостатки методов.
Ключевые слова: выделение признаков изображения, распознавание изображений лица, метод главных компонент, вейвлеты Габора, скрытые марковские модели.

Борисов Ю.C.
Визуализация городской обстановки пленоптическим методом
(на русском), с. 215-223

Описывается алгоритм рендринга по изображениям, позволяющий визуализировать большие пространственные сцены. В качестве входной информации используются изображения, полученные обычной цифровой камерой. Эти изображения для хранения переводятся в специальные структуры, которые мы назвали панорамными видами, которые являются четырехмерной параметризацией полной пленоптической функции. С использованием простой аппроксимирующей геометрии из этих структур строятся новые изображения с виртуальной камеры.

В статье формулируются условия, при которых сцены можно визуализировать предложенным способом. Приводятся результаты работы реализованного программного средства как для смоделированных, так и для реальных сцен.
Ключевые слова: рендеринг по изображениям, виртуальная прогулка, пленоптическая функция, панорамные виды.

Ваганова Н.А., Мацокин А.М.
Алгоритмы постфильтрации изображений и видео
(на русском), с. 225-240

Появления блочности и ложных границ на декодированных изображениях - это два основных артефакта, возникающих после применения алгоритмов блочного сжатия изображений и видео с высокой степенью компрессии. Большинство существующих алгоритмов устранения этих артефактов имеют высокую трудоемкость и не пригодны для реализации в программах, работающих в режиме реального времени. В статье предложен адаптивный алгоритм постобработки, позволяющий в процессе своей работы выделять текстуры и оставлять их неизменными, а также устранять ложные контуры. Этот алгоритм может сгладить или устранить вышеперечисленные артефакты, при этом гарантирует сохранение истинных контуров и текстур. Более того, предлагаемый метод имеет низкую вычислительную трудоемкость, что позволяет встроить его в программируемые процессоры. На изображениях с разрешением 352x288 процесс постобработки будет выполняется примерно за 0.31 мс, что демонстрирует работу в режиме
реального времени (25-30 кадров в с).
Ключевые слова: постобработка изображений, фильтры устранения артефактов, сжатие изображений и видео.

Ганелина Н.Д., Фроловский В.Д.
Исследование методов построения кратчайшего пути обхода отрезков на плоскости
(на русском), с. 241-252

В настоящей статье рассматривается решение задачи поиска гамильтонова цикла на отрезках с помощью метода колонии муравьев. Исследуются свойства алгоритма на примере произвольного множества отрезков и карты раскроя для станка с ЧПУ.
Ключевые слова: колония муравьев, феромон, гамильтонов цикл.

Ермолин Е.Н., Казаков А.Ю.
Импульсный метод одновременного разрешения столкновений твердых тел
(на русском), с. 253-262

В данной статье предложено развитие импульсного подхода к численному моделированию ударов между твердыми телами. Предложенный подход позволяет одновременно разрешать несколько ударов, предполагает наличие в системе сил трения скольжения, допускает неупругие, сопровождающиеся потерей энергии, удары и поддерживает ограничения сборки.
Ключевые слова: динамика системы твердых тел, разрешение столкновений, ограничения сборки.

Конушин А.С., Гаганов В.А., Вежневец В.П.
Обобщение алгоритмов устойчивой оценки параметров на основе случайных выборок для случая неизвестного и изменяющегося уровня шума
(на английском), с. 263-277

Робастные методы оценки параметров широко применяются в области машинного зрения для решения таких задач, как калибровка камеры и оценка фундаментальной матрицы. В статье предлагается новый робастный метод на основе оценки максимального правдоподобия. Он обобщает известный алгоритм MLESAC на случай неизвестного и переменного уровня шума. Метод использует рандомизированную схему построения выборок и дает оценку максимального правдоподобия, в отличие от широко распространенной практики использования эвристических оценок. В отличие от MLESAC, он одновременно оценивает все параметры шума - долю выбросов, среднеквадратичное отклонение шума и плотность распределения ошибки выбросов. Предлагаются методы понижения вычислительной сложности алгоритма. В статье приведены результаты как на синтетических, так и на реальных наборах исходных данных. Предложенный алгоритм существенно превосходит аналогичные методы при примении к задаче калибровки камеры и показывает сравнимые или превосходящие результаты в других задачах.
Ключевые слова: робастная оценка, оценка максимального правдоподобия, случайные выборки, оценка позы камеры, калибровка камеры, подгонка прямых, подгонка окружностей, нелинейная оптимизация, итеративное уточнение.

Коробейников А. В., Турлапов В.Е
Моделирование и инженерный анализ платформ Стюарта
(на английском), с. 279-286

В статье представлен эффективный алгоритм решения прямой задачи кинематики платформ Стюарта и приложение для моделирования их движения. Приложение способно: решать прямую задачу кинематики с заданной точностью; вычислять траекторию движения инструмента, закрепленного на подвижной платформе; вычислять возможные отклонения инструмента от номинального положения или номинальной траектории, если длины опор платформы меняются в пределах допусков; определять случаи пересечения опор платформы в процессе движения. Проектируемое движение платформы может быть задано явными параметрическими выражениями для координат платформы или в виде сплайн-интерполяции заданных узлов траектории. Вычислительное ядро построено на упомянутом новом эффективном алгоритме, который обеспечивает минимальное число неизвестных и квадратичную сходимость, даже в случае значительного удаления одного рассчитываемого положения от другого.
Ключевые слова: автоматизированное проектирование, инженерный анализ, кинематика, платформы Стюарта, параллельные манипуляторы.

Ландовский В.В., Фроловский В.Д.
Исследование методов интегрирования дифференциальных уравнений в задаче моделирования поведения ткани на основе метода частиц
(на русском), с. 287-298

В работе на основе метода частиц с учетом деформационных свойств разработана дискретная модель ткани и алгоритмы для моделирования поведения ткани на поверхности твердого многогранного объекта. Проведен сравнительный анализ эффективности различных методов интегрирования. Приведены результаты моделирования.
Ключевые слова: моделирование ткани, метод частиц, энергетические функции, физические свойства ткани, шаг интегрирования, точность, устойчивость.

Местецкий Л.М.
Скелетизация многосвязной многоугольной фигуры на основе дерева смежности ее границы
(на русском), с. 299-314

Рассматривается задача построения непрерывного скелета многоугольной фигуры - замкнутой области, граница которой состоит из конечного числа простых непересекающихся многоугольников. Предлагается алгоритм вычисления скелета за время O(n log n) в худшем случае, где n - общее число вершин фигуры. Отличительной особенностью алгоритма является построение двойственного к диаграмме Вороного графа смежности сайтов, образующих границу фигуры. В основе решения лежит построение дерева смежности всех многоугольников методом плоского заметания. При этом сайты и многоугольники считаются смежными, если они имеют общую касательную пустую окружность. Предложенный подход позволяет обобщить известный алгоритм Ли, используемый для построения скелета простого многоугольника, на случай многосвязной многоугольной фигуры.
Ключевые слова: многоугольник с дырами, скелет, граф Делоне, смежность многоугольников, плоское заметание.

Позин А.Г.
Пространственный подход к решению задачи построения 3D поверхности
(на русском), с. 315-323

Описывается процесс создания единой 3D модели из набора фрагментов, приведенных в одну систему координат. Использование пространственного подхода делает решение этой задачи интуитивно понятным и простым в реализации. Приводится описание структуры данных, уменьшающей использование памяти, необходимой для обработки больших моделей.
Ключевые слова: 3D сканирование, восстановление поверхностей.
 


Номер 4, c. 325-421

Артемьев С.С., Якунин М.А.
Анализ числа сигналов купли/продажи торговых алгоритмов
(на русском), c. 325-334

Для торговых алгоритмов, использующих сглаживание ценового ряда с помощью экспоненциального скользящего среднего, исследуются вероятностные характеристики результатов торговли. В случае модели ценового ряда с гауссовым распределением приращений цены проводится параметрический анализ математического ожидания числа сделок купли/продажи и вероятности совершения сделки.
Ключевые слова:
торговый алгоритм, число сделок, скользящее среднее.

Вторушин Е.В.
Численное исследование модельной задачи деформирования упругопластического тела с трещиной при условии возможного контакта берегов
(на русском), с.335-344

Рассматривается система уравнений Ламе в двумерной области с трещиной. На внешней границе области задаются условия Дирихле и Неймана, а на берегах разреза задано условие неотрицательности скачка нормальной компоненты вектора перемещений. Наряду с этим свертка девиатора тензора напряжений должна быть ограничена некоторой константой внутри области. Таким образом, можно говорить о модельной задаче деформирования идеального упругопластического тела (модель Генки), содержащего трещину с условием текучести Мизеса. При этом на трещине должно выполняться условие непроникания берегов. Задача ставится как вариационная, искомый вектор перемещений должен доставлять минимум функционалу энергии на некотором выпуклом множестве. Дискретизация задачи проводится методом конечных элементов, для решения задачи применяется алгоритм типа Удзавы. Приводятся результаты решения дискретной задачи.
Ключевые слова: трещина, непроникание, модель идеальной пластичности Генки, вариационное неравенство, МКЭ, алгоритм типа Удзавы.

Исмагилов Т.З.
О гладко-объемном подходе, законе сохранения и противопоточной схеме с монотонной реконструкцией
(на английском), с.345-352

Выводится интегральный закон сохранения для гладкого объема в Лагранжевых координатах. Обсуждается метод для аппроксимации интегральных законов сохранения для гладкого объема. Предлагается способ расширения для построения гладко-объемных схем. Для гиперболических систем предлагаются две гладко-объемные схемы: схема Годунова и противопоточная схема. Схемы применяются к уравнениям газовой динамики и проверяются на газодинамических задачах об ударной трубе.
Ключевые слова:  интегральные законы сохранения, метод гладких объемов, метод гладких частиц, метод конечных объемов, противопоточная аппроксимация, монотонная реконструкция.

Танана В.П., Япарова Н.М.
Об оптимальном по порядку методе решения условно-корректных задач
(на русском), с.353-368

В настоящей работе найдены необходимые и достаточные условия на множества банахова пространства, при выполнении которых они являются классами корректности. Дано понятие метода решения условно-корректной задачи. Определена количественная характеристика его точности на соответствующем классе. Полученные результаты использованы для решения одной обратной задачи физики твердого тела.
Ключевые слова:  операторное уравнение, класс корректности, точность решения, оптимальность по порядку.

Федотов А.В.
Прогнозирование динамики банковских ресурсов методом Монте-Карло
(на русском), с.369-378

На основе математической модели динамики банковского счета методом Монте-Карло производится прогноз банковской ликвидности. Рассчитываются разнообразные статистические характеристики банковской прибыли и риска.
Ключевые слова:  модель динамики банковского счета, метод Монте-Карло, прогноз риска ликвидности, статистический анализ.

Шамин Р.В.
Об одном численном методе в задаче о движении идеальной жидкости со свободной поверхностью
(на русском), с.379-389

В работе предлагается численный метод решения задачи о нестационарном потенциальном течении идеальной жидкости со свободной поверхностью в гравитационном поле. Для предложенного метода доказывается его сходимость к решению в предположении о существовании гладкого решения. Приведена схема для эффективных расчетов.
Ключевые слова:  гидродинамика со свободной поверхностью, численные методы.

Шевалдина Е.В.
Аппроксимация локальными экспоненциальными сплайнами с произвольными узлами
(на русском), с.391-402

Для класса функций WĽ²  [a,b] = { f: f'є AC, || Ľ2 (D)f || 1}  (Ľ2 (D) = D2 - β2I,  β>0, D  - оператор дифференцирования) построен новый неинтерполяционный линейный метод локальной экспоненциальной сплайн-аппроксимации с произвольным расположением узлов сплайна, обладающий сглаживающими свойствами и наследующий локально свойства монотонности и обобщенной выпуклости исходных данных (значений функции f є WĽ²  в точках сетки). Вычислена точно величина погрешности аппроксимации класса WĽ²  такими сплайнами в равномерной метрике.
Ключевые слова: локальный метод, экспоненциальная сплайн-аппроксимация, погрешность аппроксимации.

Юнг М., Мацокин А.М., Непомнящих С.В., Ткачев Ю.А.
Методы многоуровневого переобуславливания на локально модифицированных сетках
(на английском), с.403-421

В статье рассматриваются системы сеточных уравнений, аппроксимирующих эллиптические краевые задачи на локально модифицированных сетках. Предлагаются правила сдвига приграничных узлов равномерной триангуляции области для построения новой триангуляции, аппроксимирующей границу области со вторым порядком точности. Локально модифицированная сетка обладает следующими свойствами: она имеет регулярную структуру, процесс генерации сетки быстр, такая конструкция позволяет использовать многоуровневые переобусловливатели (аналогичные BPX методу). Предлагаемые итерационные методы решения сеточных эллиптических краевых задач основаны на двух подходах: методе фиктивного пространства, т.е. сведении исходной задачи к задаче во вспомогательном (фиктивном) пространстве и многоуровневом методе декомпозиции, т.е. построении переобусловливателей на основе разложений функций на иерархических сетках. Скорость сходимости итерационного процесса с соответствующим переобусловливателем не зависит от шага сетки. Построение сетки и переобусловливающего оператора для трехмерного случая осуществляется аналогичным образом.
Ключевые слова: эллиптические краевые задачи, генерация сетки, метод конечных элементов.