Сибирский журнал вычислительной математики

Том 13, 2010

Номер 1, c. 1-121
Номер 2, c. 123-241
Номер 3, с. 243-359
Номер 4, c. 361-475


Номер 1, c. 1-121

УДК 519.714.5 

Клеточно-автоматный метод исследования свойств пористых сред с. 1-13

Бандман Ольга Леонидовна1 

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

bandman@ssd.sscc.ru

Новосибирский госуниверситет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

 

Аннотация
В статье предлагается клеточно-автоматный метод определения свойств пористой среды с произвольной конфигурацией пор и разной шероховатостью их стенок. Метод объединяет две разные клеточно-автоматные модели, функционирующие в одном и том же дискретном пространстве. Первая модель предназначена для построения компьютерного представления внутренней структуры (морфологии) пористого материала, которая получается в процессе эволюции клеточного автомата, формирующего «устойчивый образ». Полученный результат используется второй моделью, которая моделирует протекание вязкой жидкости. Поток жидкости моделируется гидродинамическим клеточным автоматом со специальными краевыми условиями. Приводится алгоритм моделирования и результаты тестирования программной реализации для малого фрагмента пористого материала на персональном компьютере, а также параллельной версии для пористой пластины реального размера (катод водородного электроэлемента) на многопроцессорном кластере.

Ключевые слова: математическое моделирование, мелкозернистый параллелизм, клеточный автомат, клеточно-автоматная гидродинамика, пористая среда, образование устойчивых образов, потоки жидкости в порах.

Литература

1. Sahimi M. Flow phenomena in rocks: from continuum models to fractals, percolation,  cellular automata and simulated annealing // Rev. in Modern Physics. —  1993. —  Vol. 65,  № 4. —  P. 1393-1533.

2. Garboczi E.J., Bentz D.P., Snyder K.A., and et al. Modeling and Measuring the Structure and Properties of Cement-Based Materials (An electronic monograph). — http://ciks.cbt.nist.gov/garbocz/appendix2/node8.html

3. Rothman B.H., Zaleski S. Lattice-Gas Cellular Automata. Simple Models of Complex Hydrodynamics. —   London: Cambridge University Press, 1997.

4. Frish U., d'Humieres D., Hasslacher B., Lallemand P., Pomeau Y., and Rivet J.P. Lattice-Gas hydrodynamics in two and three dimensions // Complex Systems.  —  1987. —  Vol. 1. —  P. 649-707.

5. Succi S. The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond.  —  New York: Oxford University Press, 2001.

6. Clague D.S., Kandhai D., Zang R., and Sloot P.M.A. Hydraulic permeability of (un)bounded fibrous media using the Lattice Boltzmann method // Physical Review E. —  2000.  —   Vol. 61 (1). —  P. 616-625.

7. Pan C., Hilpert M., and Miller C.T. Pore-scale modeling of saturated permeabilities in random sphere packings // Physical Review E. —  2001. —  Vol. 64 (6). —  Article  № 006702.

8. Nabovati A., Sousa A.C.M. Fluid flow simulation in random porous media at pore level  using the Lattice Boltzmann method // J. of Eng. Sci. and Techn.  —   2007. —   Vol. 2,  № 3. —   P. 226-237.

9. Bandman O. A Lattice-Gas model of fluid flow through tortuous channels of hydrophilous and hydrophobic porous materials // Parallel Computing Technologies. Proc. PaCT-2009. —  P. 168-182. —  (Lect. Notes Comp. Sci. 5896).

10. Bandman O. Composing fine-grained parallel algorithms for spatial dynamics simulation // Parallel Computing Technologies. Proc. PaCT-2005. — P. 168-182. —  (Lect. Notes Comp. Sci. 3606).

11. Бандман О.Л. Клеточно-автоматное моделирование пространственной динамики // Методы и модели современного программирования. —  Новосибирск: Изд-во СО РАН, серия «Системная информатика 10». —  С. 59-113.

12. Chua L. CNN: a Paradigm for Complexity. —  Singapore: World Scientific, 2002.

13. Bandman O. Mapping physical phenomena onto CA-models // AUTOMATA-2008. Theory and Application of Cellular Automata. Proc. Automata-2008.  —  UK: Luniver Press, 2008. —  P. 391-397.

14. Wolfram S. A New Kind of Science. —  Champaign, Ill., USA: Wolfram Media Inc., 2002.

15. Тоффолли Т., Марголус Н. Машины клеточных автоматов. —  М.: Мир, 1988.

16. Achasova S., Bandman O., Markova V., and Piskunov S. Parallel Substitution Algorithm. Theory and Application. —  Singapore: World Scientific, 1994.

17. Larminie J., Dicks A. Fuel Cells Systems Explained. —   New York: John Willey\&Sons, 2003.

=====================================================================

УДК 517.518

О нелинейных алгебро-дифференциальных системах (АДС), допускающих сведение к невырожденным системам обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Теория и численные методы решения с. 15-21

Бояринцев Юрий Еремеевич1

1Институт динамики систем и теории управления Сибирского отделения Российской академии наук, ул. Лермонтова, 134, г. Иркутск, 664033

bojar33@mail.ru

 

Аннотация

В статье рассматривается алгебро-дифференциальная система (АДС) вида dAx/dt = Bx+f(x,t) с регулярной парой матриц (A,B). Даются условия приводимости такой системы к невырожденной системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка относительно производной x'(t). Предлагаются способы численного получения решения x(t).

Ключевые слова: алгебро-дифференциальные, нелинейные, численные методы решения.

Литература

1. Чистяков В.Ф., Щеглова А.А. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем. —  Новосибирск: Наука, 2003.

2. Бояринцев Ю.Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы. —  Новосибирск: Наука, 2000.

3. Бояринцев Ю.Е., Орлова И.В. Пучки матриц и алгебро-дифференциальные системы. —  Новосибирск: Наука, 2006.

=====================================================================

УДК 519.853.32

Применение приведенного градиента в квадратичном программировании с. 23-31

Котельников Евгений Алексеевич1

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090
 

Аннотация

В статье приводятся специфичные аспекты реализации алгоритма решения задач квадратичного программирования, который базируется на технологии приведенного градиента. В подпространстве супербазисных переменных минимизация проводится методом сопряженных градиентов. Имеются примеры решения тестовых задач.

Ключевые слова: квадратичное программирование, приведенный градиент, сопряженный градиент, базис, супербазис.

Литература

1. Murtagh B.A., Saunders M.A. Large-scale linearly constrained optimization // Math. Programming. —   1978. —   № 14. —  P. 41-72.

2. Муртаф Б. Современное линейное программирование. Теория и практика. —  М.: Мир, 1984.

3. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. —  М.: Мир, 1985.

4. Уилкинсон Дж., Райнш К. Справочник на языке Алгол. Линейная алгебра.  —  М.: Машиностроение, 1976.

5. Forrest J.J.H., Tomlin J.A. Updated triangular factors of the basis to maintain sparsity in the product form simplex method // Math. Programming. —  1972. —  Vol. 2,  № 3. —   P. 263-278.

6. Забиняко Г.И., Котельников Е.А., Кобкова Т.М., Рожин В.Е. Программы линейного программирования ЛП-ВЦ.  —   Новосибирск, 1995. —  (Отчет / ВЦ СО РАН;  № ГР.01.9.30001317; Инв.  № 02.9.50003757).

7. Hellerman E., Rarick D.C. Reinversion with the pressigned pivot procedure // Math. Programming. —   1971. —   Vol. 1,  № 2. —  P. 195-216.

8. Mittelman H.D. Decision Tree for Optimization Software.  —   http://plato.asu.edu/guide.html/

9. Martin A., Achterberg T., and Koch T. MIPLIB - Mixed Integer Problem Library.  —  2003. —   http://miplib.zib.de/

=====================================================================

УДК 519.632

Решение методом конечных элементов регуляризированной задачи для стационарного магнитного поля в неоднородной проводящей среде с. 33-49

Кремер Игорь Альбертович1, Урев Михаил Вадимович2

1ЗАО “Центр РИТМ”, ул. Кутателадзе, 4а, Новосибирск, 630128

 kremer@aoritm.com

2Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

urev@nmsf.sscc.ru

 

Аннотация

В данной работе приводится обоснование применения векторного метода конечных элементов для решения регуляризированной стационарной магнитной задачи, сформулированной в терминах векторного магнитного потенциала. Для аппроксимации обобщенного решения используются векторные элементы Неделека второго типа первого порядка на тетраэдрах. Доказано существование и единственность решения дискретной регуляризированной задачи и его сходимость к обобщенному решению для случая неоднородной по электромагнитным свойствам трехмерной области. Обсуждаются вопросы численного решения дискретной регуляризированной задачи. На серии численных экспериментов показаны способы оптимизации алгоритмов.

Ключевые слова: стационарные уравнения Максвелла, регуляризация, разрывные коэффициенты, векторные конечные элементы.

Литература

1. Иванов М.И., Катешов В.А., Кремер И.А., Урев М.В. Решение трехмерных стационарных задач импульсной электроразведки // Автометрия. —  2007. —  Т. 43,  № 2. —  С. 22-32.

2. Иванов М.И., Катешов В.А., Кремер И.А., Урев М.В. Решение трехмерных нестационарных задач импульсной электроразведки // Автометрия. —  2007. —  Т. 43,  № 2. —  С. 33-44.

3. Кремер И.А., Урев М.В. Метод регуляризации стационарной системы Максвелла в неоднородной проводящей среде // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. —  Новосибирск, 2009. —  Т. 12,  № 2. —  С. 161-170.

4. Girault V., Raviart P.-A. Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations. —  Berlin: Springer-Verlag, 1986.

5. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods.  —  New York: Springer-Verlag, 1991.

6.  Greif C., Schötzau D. Preconditioners for the discretized time-harmonic Maxwell equations in mixed form // Numer. Linear Algebra Appl.  —  2006. —  Vol. 00. —  P 1-15.

7. Чижонков Е.В. Релаксационные методы решения седловых задач. —  М.: ИВМ РАН, 2002.

8.  Hu Q., Zou J. Substructuring preconditioners for saddle-point problems arising from Maxwell's equations in three dimensions // Math. Comp.  —  2003. —  Vol. 73. —  P. 35-61.

9.  Haase G., Kuhn M., and Langer U. Parallel multigrid 3D Maxwell solvers // Parallel Computing. —  2001. —  Vol. 27, Issue 6. — P. 761-775.

10. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. —  М.: Наука, 1980.

11. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. —  М.: Мир, 1971.

12. Копачевсий Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике. —  М.: Наука, 1989.

13. Nedelec J.C. A new family of mixed finite elements in R3 // Numer. Math. —  1986. —  Vol. 50. —  P. 57-81.

14. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. —  М.: Мир, 1980.

15. Bermúdez A., Rodríguez R., and Salgado P. A finite element method with Lagrange multipliers for low-frequency harmonic Maxwell equations // Math. Comp. —  2005. —  Vol. 74. —  P. 123-151.

16. Babuška I. The finite element method for elliptic equations with discontinuous coefficients // Computing. —  1970. —  Vol 5. —  P. 207-213.

17. Alonso A., Valli A. An optimal domain decomposition preconditioner for low-frequency time-harmonic Maxwell equations // Math. Comp. —  1999. —  Vol. 68. —  P. 607-631.

18. Ciarlet P. Jr., Zou J. Fully discrette finite element approaches for time-dependent Maxwell's equations // Numer. Math. —  1999. —  Vol. 82. —  P. 193-219.

19. Chen Z., Du Q., and Zou J. Finite element methods with matching and non-matching meshes for Maxwell equations with discontinuous coefficients // SIAM J. Numer. Anal.  —  2000. —  Vol. 37. —  P. 1542-1570.

=====================================================================

УДК 519.6:532.5

Применение неконформных конечных элементов для решения задач диффузии-адвекции с. 51-65

Кузин Виктор Иванович1, Кравченко Виктория Викторовна2

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

kuzin@sscc.ru

Новосибирский госуниверситет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

2Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

Viktory_1@mail.ru

 

Аннотация

Объектом исследования являются неконформные конечные элементы и схемы, построенные с их помощью для решения уравнения диффузии-адвекции. Цель исследования - получение новых схем для решения параболических уравнений. Метод исследования - метод конечных элементов, вариационно-разностные схемы, тестовые расчеты. В работе рассматривалось два вида схем: полученная методом Бубнова-Галеркина из слабой постановки задачи (немонотонная) и монотонная схема типа направленных разностей, полученная из приближенной слабой постановки, в которой специальным образом аппроксимируются кососимметрические члены.

Ключевые слова: неконформные конечные элементы, уравнение диффузии-адвекции, метод конечных элементов, метод Бубнова-Галеркина, схема типа направленных разностей.

Литература

1. Crouzeix M., Raviart P.A. Conforming and non-conforming finite element methods for solving the stationary Stokes equations // R.A.I.R.O., Model. Math. Anal. Numer.  —  1973. —  Vol. 7. —  P. 33-76.

2. Hua B.-L., Thomasset F. A noise-free finite element scheme for the two-layer shallow water equations // Tellus. —  1984. —  Vol. 36 A. —  P. 157-165.

3. Кузин В.И. Метод конечных элементов в моделировании океанических процессов. —  Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1985.

4. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. —  М.: Наука, 1973.

5. Marchuk G.I., Kuzin V.I. On a combination of finite element and splitting-up methods in the solution of parabolic equations // J. of Comput. Phys. —  1983. —  Vol. 52,  № 2. —  P. 237-272.

6. Ikeda T. Artificial viscosity in finite element approximations to the diffusion equation with drift terms // Lecture Note in Num. Appl. Anal. —  1980. —  Vol. 2. —  P. 59-78.

7. Kikuchi F., Ushijima T. On finite element method for convection dominated phenomena // Math. Meth. Appl. Science. —  1982. —  Vol. 4. —  P. 98-122.

8. Fudjii H. Some Remarks on Finite Element Analysis of Time-dependent Field Problems. Theory and Practice in Finite Element Structural Analysis. —  Tokyo: University Tokyo Press, 1973.

=====================================================================

УДК 517.958

О нахождении фронта волны, описываемой двумерным уравнением эйконала, для случая, когда скорость в среде зависит от одной пространственной координаты с. 67-73

Москаленский Ефим Давыдович1

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

 

Аннотация

Рассматривается уравнение эйконала fx2 + fy2 = (ky + b)2α. Если его решение найдено, то соотношение f(x,y) = C задаёт положение фронта волны. Однако получение решений связано с большими трудностями. В статье предлагается, не решая уравнения, сразу искать в параметрической форме кривую, задающую волновой фронт.

Ключевые слова: распространение волн, уравнение эйконала.

Литература

1. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. —  М.: Наука, 1966.

2. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. —  М.: Физико-математическая литература, 2003.

3. Боровских А.В. Двумерное уравнение эйконала // Сибирский матем. журн. —  2006. —  Т. 47,  № 5. —  С. 993-1018.

4. Марчук Ан.Г., Чубаров Л.Б., Шокин Ю.И. Численное моделирование волн цунами. —  Новосибирск: Наука, 1983.

5. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. —  М.: Физматгиз, 1959.

====================================================================

УДК 519.853.4

Локальный поиск в квадратично-линейной задаче двухуровневого программирования с. 75-88

Стрекаловский Александр Сергеевич 1, Орлов Андрей Васильевич 2, Малышев Антон Валентинович 3

1Институт динамики систем и теории управления СО РАН, ул. Лермонтова, 134, Иркутск, 664033

cmstrekal@icc.ru

2Институт динамики систем и теории управления СО РАН, ул. Лермонтова, 134, Иркутск, 664033

anor@icc.ru

3Институт динамики систем и теории управления СО РАН, ул. Лермонтова, 134, Иркутск, 664033

anton@irk.ru   

 

Аннотация

Рассматривается квадратично-линейная задача двухуровневого программирования и производится редукция ее оптимистической постановки к невыпуклой задаче математического программирования с квадратично-билинейной структурой. Разработан, обоснован и протестирован на серии случайно сгенерированных задач приближенный алгоритм локального поиска в квадратично-билинейной задаче.

Ключевые слова: двухуровневое программирование, оптимистическое решение, невыпуклые задачи оптимизации, локальный поиск, генерация тестовых задач, вычислительный эксперимент.

Литература

1. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. —  М.: Наука, 1976.

2. Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. —  М.: Радио и связь, 1982.

3. Васин А.А., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики.  —  М.: МАКС Пресс, 2005.

4. Bard J.F. Practical Bilevel Optimization. —  Dordrecht, Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1998.

5. Dempe S. Foundations of Bilevel Programming. —  Dordrecht, Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 2002.

6. Антипин А.С. Экстрапроксимальный метод решения равновесных и игровых задач // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. —   2005. —   Т. 45,  № 11. —  С. 1969-1990.  № 12. —  С. 2102-2111.

7. Luo Z.-Q., Pang J.-S., and Ralph D. Mathematical Programs with Equilibrium Constraints.  —  Cambridge: Cambridge University Press, 1996.

8. White D., Anandalingam G. A penalty function approach for solving bi-level linear programs // J. of global optimization. —  1993. —  Vol. 3. —  P. 397-419.

9. Liu G.S., Han J.Y., and Zhang J.Z. Exact penalty functions for convex bilevel programming problems // J. of optimization theory and applications.  —  2001. —  Vol. 110,  №  3. —  P. 621-643.

10. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. —  М.: Факториал-пресс, 2002.

11. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы.  —  М.: Мир, 1982.

12. Horst R., Tuy H. Global Optimization. Deterministic Approaches. —  Berlin: Springer-Verlag, 1993.

13. Стрекаловский А.С. Элементы невыпуклой оптимизации. —  Новосибирск: Наука, 2003.

14. Стрекаловский А.С., Орлов А.В. Биматричные игры и билинейное программирование. —   М.: Физматлит, 2007.

15. Стрекаловский А.C. О минимизации разности двух выпуклых функций на допустимом множестве // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. —  2003. —  Т. 43,  № 3. —  С. 399-409.

16. Strekalovsky A.S., Orlov A.V. A new approach to nonconvex optimization // Вычислительные методы и программирование. —  Издательство Московского  университета. —  2007. —  Т. 8,  № 2. —  P. 11-27.

17. Орлов А.В., Стрекаловский А.С. О численном поиске ситуаций равновесия в биматричных играх // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. —   2005. —  Т. 45,  № 6. —  С. 983-997.

18. Васильев И.Л., Климентова К.Б., Орлов А.В. Параллельный глобальный поиск равновесных ситуаций в биматричных играх // Вычислительные методы и программирование. —  Издательство Московского университета. —  2007. —  Т. 8,  №  2. —  С. 84-94.

19. Орлов А.В. Численное решение задач билинейного программирования // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. —  2008. —  Т. 48,  №  2. —  С. 45-62.

20. Calamai P., Vicente L. Generating linear and linear-quadratic bilevel programming problems // SIAM J. on Scientific Computing archive. —  1993. —  Vol. 14,  № 4. —  P. 770-782.

21. Calamai P., Vicente L. Generating qadratic bilevel programming test problems // ACM Transactions on Mathematical Software. —  1994. —  Vol. 20. —  P. 103-119.

 =====================================================================

УДК 517.948

Оценка погрешности приближенного решения обратной задачи тепловой диагностики с. 89-100

Танана Виталий Павлович1, Булатова Марина Геннадьевна2

1Южно-уральский госуниверситет, пр. Ленина, 76, Челябинск, 454080

tvpa@susu.ac.ru   

2Южно-уральский госуниверситет, пр. Ленина, 76, Челябинск, 454080

bulatovamg@rambler.ru

 

Аннотация  

При тепловой диагностике ракетных двигателей [1] необходим учет физических свойств, используемых композиционных материалов. Это приводит к решению обратных граничных задач для уравнений с разрывными коэффициентами. Высокие требования, предъявляемые к точности приближенных решений данного класса задач, заставляют получать оценки погрешности используемых методов.

Ключевые слова: оптимальный метод, операторные уравнения, регуляризация.

Литература

1. Исаков Г.Н., Кузин А.Я., Савельев В.Н., Ермолаев Ф.В. Определение характеристик тонкослойных теплозащитных покрытий из решения обратных задач тепло- и массопереноса // Физика горения и взрыва. —  2003. —  Т. 39, № 5. —  С. 86-96.

2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. —  М.: Наука, 1972.

=====================================================================

AMS 530.1

Особенности описания физических процессов во фрактальных системах с. 101-109

Хатунцева Ольга Николаевна1

1РКК «Энергия» им. С.П. Королева, ул. Ленина, д. 4а, г. Королев, Московская область, 141070

ol-khatun@yandex.ru

 

Аннотация

В работе предложен метод описания физических процессов, протекающих во фрактальных пространствах с использованием дифференциальных уравнений, описывающих аналогичные процессы в структурах с евклидовой геометрией, с помощью введения дополнительной координаты, характеризующей масштаб разбиения фрактала в каждой точке.

Ключевые слова: фрактал, дробная размерность, скейлинг.

Литература

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. —  М.: Наука, 1988.

2. Саттаров Р.М., Нагиев Ф.Б., Мамедов Р.М. Процессы теплопереноса в реологически сложных жидкостях с фрактальной структурой // Минский междунар. форум, ММФ-96 «Тепломассообмен». —  Минск, 1996. —  Т. VI. —  С. 198-205.

3. Олемской А.И., Флат А.Я.Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды // Успехи физических наук. —  1993. —  Т. 163,  № 12. —  С. 1-48.

4. Hentschel H.G.E., Procaccia I.Fractal nature of turbulence as manifested in turbulent diffusion //Phys. Rev.  —  1983. —   A27. —  P. 1266-1269.

5. Hentschel H.G.E., Procaccia I. Relative diffusion in turbulent media: The fractal dimension of clouds // Phys. Rev. —  1984. —  A29. —  P. 1461-1470.

6. Хатунцева О.Н. Теоретическое определение размерности односвязных фрактальных объектов в задачах образования вязких «пальцев» и росте дендритов // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние.  —  Новосибирск, 2009.  —  Т. 12,  № 2.  —  С. 231-241.

7. Федер Е. Фракталы. —  М.: Мир, 1991.

8. Балханов В.К. Введение в теорию фрактального исчисления. —  Улан-Удэ: Изд-во Бурятского госуниверситета, 2001.

9. Носков М.Д., Малиновский А.С., Закк М., Шваб А.И. Моделирование роста дендритов и частичных разрядов в эпоксидной смоле // ЖТФ. —  2002. —  Т. 72, вып. 2. — С. 121-128.

10. Тихонов А.Н., Самарский А.А.Уравнения математической физики. —  М.: Наука, 1972.

=====================================================================

УДК 519.65

Локальные £-сплайны, сохраняющие ядро дифференциального оператора с. 101-121

Шевалдина Елена Валерьевна1

1Институт математики и механики УрО РАН, ул. С. Ковалевской, 16, Екатеринбург, 620219, ГСП-384

shevaldina@k66.ru

 

Аннотация  

В статье строятся локальные £-сплайны нечетного порядка с равномерными узлами, сохраняющие базисные функция из ядра линейного дифференциального оператора £ с постоянными действительными коэффициентами, корни характеристического многочлена которого попарно различны. Приводится поточечная оценка погрешности аппроксимации построенными сплайнами на соответствующих классах дифференцируемых функций.

Ключевые слова: локальные £-сплайны, дифференциальный оператор, погрешность аппроксимации.

Литература

1. Lyche T., Schumaker L.L. Local spline approximation methods // J. Approxim. Theory. —  1975. —  Vol. 15,  № 4. —  P. 294-325.

2. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. —  М.: Наука, 1980.

3. Корнейчук Н.П. О приближении локальными сплайнами минимального дефекта // Укр. матем. журн. —  1982. —  Т. 34,  № 5.  —  C. 617-621.

4. Wronicz Z. Chebyshevian splines: Dissertations Mathematical.  Polska Academia Nauk, Institute Matematyczny. —  Warszawa, 1990.

5. Субботин Ю.Н. Наследование свойств монотонности и выпуклости при локальной аппроксимации // ЖВМиМФ. —  1993. —  Т. 33, № 7. —  С. 996-1003.

6. Шарма А., Цимбаларио И. Некоторые линейные дифференциальные операторы и обобщенные разности // Матем. заметки. —  1977. —  Т. 21,  № 2. —  С. 161-173.

7. Шевалдин В.Т. Аппроксимация локальными L-сплайнами, соответствующими линейному дифференциальному оператору второго порядка // Тр. Института математики и механики УрО РАН. —  2006 —  Т. 12,  № 2. —  С. 195-213.

 


Номер 2, c. 123-241

 

УДК 519.632
Задача о скважинах для стационарного уравнения диффузии с. 123-142

Лаевский Юрий Миронович1

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

laev@labchem.sscc.ru

Новосибирский госуниверситет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

 

Аннотация

В статье рассмотрена задача со скважинами, на которых задано интегральное краевое условие. Показано, что данная задача эквивалентна задаче без скважин в смешанной формулировке. Для такой формулировки в двумерном случае изучена погрешность смешанного метода конечных элементов.

Ключевые слова: скважины, смешанная формулировка, смешанный метод конечных элементов, оценка  погрешности.

Литература

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1966.

2. Чекалин А.Н. Численные решения задач фильтрации в водонефтяных пластах.— Казань: Изд-во Казанского университета, 1982.

3. Андреев В.Б., Кряквина С.А. Сеточные аппроксимации задачи о скважине // Численные методы решения задач фильтрации несжимаемой жидкости.— Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1975.— С. 51-59.

4. Галанин М.П., Лазарева С.А., Савенков Е.Б. Численное исследование метода конечных суперэлементов на примере решения задачи о скважине для уравнения Лапласа.— М., 2005.— (Препринт / РАН. ИПМ им. М.В. Келдыша; 79).

5. Konovalov A.N. Problems of Multiphase Fluid Filtration.— New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific, 1994.

6. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods.— New-York: Springer-Verlag, 1991.

7. Grault V., Raviart P-A. Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations. Theory and Algorithms.— Berlin: Springer-Verlag, 1986.

8. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.— М.: Наука, 1964.

9. Raviart P-A., Thomas J.M. A mixed finite element method for 2-nd order elliptic problems.— New York: Springer-Verlag, 1977.— P. 292-315.— (Lect. Notes in Math.).

10. Ciarlet Ph.G. The Finite Element Method for Elliptic Problems.— Amsterdam: North-Holland, 1978.

11. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений.— Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1979.

12. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа.— М.: Наука, 1965.

13. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.— М.: Наука, 1983.

====================================================================

УДК 550.834

Решение двумерных уравнений Максвелла спектральным методом Лагерра с. 143-160

Мастрюков Александр Федорович1, Михайленко Борис Григорьевич2

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

maf@omzg.sscc.ru

2Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

mikh@sscc.ru

 

Аннотация  

В работе представлен спектральный метод решения двумерных уравнений Максвелла с релаксацией электромагнитных параметров. Метод основан на разложении решения уравнений по функциям Лагерра во временной области. Операция свертки функций, входящая в формулы, описывающие процессы релаксации, сводится к сумме произведений гармоник. Уравнения Максвелла переходят в систему линейных алгебраических уравнений для гармоник решения. В алгоритме используется внутренний параметр преобразования Лагерра. Большие значения этого параметра сдвигают решение в область высоких гармоник. Это используется для упрощения численного алгоритма и повышения эффективности решения задачи.

 

Приводятся результаты сравнения точности метода Лагерра с конечно-разностным методом как для двумерной структуры среды, так и для слоистой среды. Приводятся результаты сравнения эффективности спектрального и конечно-разностного методов для аксиальной геометрии и для плоской геометрии задачи.

Ключевые слова: уравнения Максвелла, электромагнитные волны, время релаксации, проводимость, диэлектрическая проницаемость, метод Лагерра, конечно-разностный метод, аксиальная симметрия, система линейных уравнений.

Литература

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1982.

2. Электроразведка. Справочник геофизика / А.Г. Тархов. — М.: Недра, 1980.

3. Эпов М.И., Миронов В.Л., Комаров С.А., Музалевский К.В. Электромагнитное зондирование флюидонасыщенного слоистого коллектора наносекундными импульсами // Геология и геофизика. — 2007. — Т. 48, № 12. — С. 1357-1365.

4. Wang T., Signorelli J. Finite-difference modeling of electromagnetic tool response for logging while drilling // Geophysics. — 2004. — Vol. 69. — P. 152-160.

5. Wu X., Habashy T.M. Influence of steel casings on electromagnetic signals // Geophysics. — 1994. — Vol. 59. — P. 378-390.

6. Lee K.H., Kim H.J., and Uchida T. Electromagnetic fields in a steel-cased borehole // Geophysical Prospecting. — 2005. — Vol. 53. — P. 13-21.

7. Кашкин В.Б., Сухинин Ф.И. Дистанционное зондирование Земли из космоса. — М.: Логос, 2001.

8. Turner G., Siggins A.F. Constant Q attenuation of subsurface radar pulses // Geophysics. — 1994. — Vol. 59. — P. 1192-1200.

9. Bergmann T., Robertsson J.O.A., and Holliger K. A simplified Lax-Wendroff correction for staggered-grid FDTD modeling of electromagnetic wave in frequency-dependent media // Geophysics. — 1999. — Vol. 64. — P. 1369-1377.

10. Конюх Г.В., Михайленко Б.Г. Применение интегрального преобразования Лагерра при решении динамических задач сейсмики // Тр. ИВМиМГ. Мат. моделирование в геофизике. — Новосибирск, 1998. — № 5. — С. 107-112.

11. Мастрюков А.Ф., Михайленко Б.Г. Численное моделирование распространения электромагнитных волн в неоднородных средах с затуханием на основе спектрального преобразования Лагерра // Геология и геофизика. — 2003. — Т. 44, № 10. — С. 1060-1069.

12. Мастрюков А.Ф., Михайленко Б.Г. Моделирование распространения электромагнитных волн в релаксационных средах на основе спектрального преобразования Лагерра // Геология и геофизика. — 2006. — Т. 47, № 3. — С. 397-407.

13. Мастрюков А.Ф., Михайленко Б.Г. Численное решение уравнений Максвелла в анизотропных средах на основе преобразования Лагерра // Геология и геофизика. — 2008. — Т. 49, № 8. — С. 397-407.

14. Справочник по специальным функциям / М. Абрамовиц, И. Стигун. — М.: Наука, 1979.

15. Fornberg B., Ghrist M. Spatial finite difference approximation for wave-type equations // SIAM J. Numer. Anal. — 1999. — Vol. 37. — P. 105-130.

16. Paige C.C., Saunders M.A. LSQR: an algorithm for sparse linear equations and sparse least squares // ACM Transaction on Mathematical Software. — 1982. — Vol. 8. — P. 43-71.

17. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999.

18. Снеддон И. Преобразование Фурье. — М.: ИЛ, 1955.

19. Ghrist M., Fornberg B., and Driscoll T.A. Staggered time integrator for wave equations // SIAM J. Numer. Anal. — 2000. — Vol. 38. — P. 718-741.

20. Физические свойства горных пород. Справочник геофизика / Н.Б. Дортман. — М.: Недра, 1984.

=====================================================================

УДК 510.52

Сильнополиномиальный алгоритм решения общей задачи наименьших модулей с. 161-181

Миронов Валентин Васильевич1

1Рязанский государственный радиотехнический университет, ул. Гагарина, 59/1, г. Рязань, 390005

mironov1vv@yandex.ru

 

Аннотация

Обоснован алгоритм полиномиальной алгебраической сложности для решения классической задачи: минимизации взвешенной суммы модулей части переменных при линейных ограничениях на все переменные.

 

Приведен алгоритм полиномиальной алгебраической сложности (сильнополиномиальный алгоритм) для решения классической задачи математического программирования: минимизации взвешенной суммы модулей части переменных при линейных ограничениях на все переменные. Дана также оценка сложности алгоритма. Проведено моделирование.

Ключевые слова: алгоритм, минимальные модули, сложность алгоритма.

Литература

1. Smale S. Mathematical Problems for the Next Century. In Mathematics: Frontiers and Perspectives 2000 (Eds. V. Arnold, M. Atiyah, P. Lax, and B. Mazur). — Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.

2. Голиков А.И., Евтушенко Ю.Г. Отыскание нормальных решений в задачах линейного программирования // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 2000. — Т. 40, № 12. — С. 1766-1786.

3. Юдин Д.Б., Немировский А.С. Информационная сложность и эффективные методы решения выпуклых экстремальных задач // Экономика и матем. методы. — 1976. — Т. XXII, № 2.

4. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. — М.: Наука, 1966.

5. Мудров В.И., Кушко В.Л. Метод наименьших модулей. — М.: Знание, 1971.

6. Бахшиян Б.Ц., Назиров Р.Р., Эльясберг П.Е. Определение и коррекция движения. — М.: Наука, 1980.

7. Назиров Р.Р. Влияние ошибок модели движения на точность определения положения ИСЗ вдоль его орбиты. — М.: Изд-во ИКИ АН СССР, 1983.

8. Todc M.J. Polynomial expected behavior of a pivoting algorithm for linear complementarity and linear programming problems // Math. Programming. — 1986. — Vol. 35.

9. Coppersmith D., Winograd S. Matrix multiplication via arithmetic progression. — Dept. of Math. Sci. — IBM Thomas J. Watson Res. Centr. — (Preprint, 1986, Nov.)

10. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. — М.: Наука, 1984.

11. Crandall R., Klivington J. Fast matrix algebra on Apple G9. Advanced Computation Group, Apple Computer. — 2000.

12. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. — М.: Наука, 1977.

=====================================================================

УДК 514.8:517.983:519.6

Восстановление 2-тензорных полей, заданных в единичном круге, по их лучевым преобразованиям на основе МНК с использованием B-сплайнов с. 183-199

Светов Иван Евгеньевич1, Полякова Анна Петровна2

1Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, просп. Акад. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090

svetoy@gorodok.net

Новосибирский госуниверситет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

 

2Новосибирский госуниверситет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

 SeaGirl1987@gorodok.net

 

Аннотация

Предлагается численный метод решения задачи тензорной томографии по восстановлению симметричного 2-тензорного поля, заданного в единичном круге. По поперечным и (или) продольным лучевым преобразованиям, вычисленным вдоль прямых, пересекающих носитель поля, находится потенциальная и (или) соленоидальная часть искомого поля с предписанными свойствами на границе. Решение ищется посредством метода наименьших квадратов с использованием, в качестве аппроксимирующей последовательности, локальных базисов, построенных на основе B-сплайнов.

Ключевые слова: Тензорная томография, потенциальное поле, соленоидальное поле, метод наименьших квадратов, B-сплайны, аппроксимация, быстрое преобразование Фурье.

Литература

1. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. — М: Наука, 1984.

2. Романов В.Г. Интегральная геометрия на геодезических изотропной римановой метрики ДАН СССР. — 1978. — Т. 241, № 2. — C. 290-293.

3. Sharafutdinov V.A. Integral Geometry of Tensor Fields. — Utrecht: VSP, 1994.

4. Derevtsov E.Yu., Kleshchev A.G., and Sharafutdinov V.A. Numerical solution of the emission 2D -tomography problem for a medium with absorption and refraction. // J. Inverse and Ill-Posed Problems. — 1999. — Vol. 7, № 1. — P. 83-103.

5. Деревцов Е.Ю., Светов И.Е., Волков Ю.С Использование B-сплайнов в задаче эмиссионной 2D-томографии в рефрагирующей среде // Сибирский журн. индустриальной математики. — 2008. — Т. 11, № 3(35). — С. 45–-60.

6. Деревцов Е.Ю., Кашина И.Г. Приближенное решение задачи векторной томографии с помощью полиномиальных базисов. — Новосибирск, 2000. — (Препринт / Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН; 74).

7. Derevtsov E.Yu., Svetov I.E., Volkov Yu.S., and Schuster T. Numerical B -spline solution of emission and vector 2D-tomography problems for media with absorbtion and refraction // Proc. 2008 IEEE Region 8 International Conference on Computational Technologies in Electrical and Electronics Engineering SIBIRCON-08, Novosibirsk Scientific Center, Novosibirsk, Russia, July 21-25. — 2008. — P. 212-217.

8. Деревцов Е.Ю., Кашина И.Г. Приближенное решение задачи реконструкции тензорного поля второй валентности с помощью полиномиальных базисов. // Сибирский журн. индустриальной матем. — 2002 — Т. 5, № 1(9). — С. 39–-62.

9. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. — М.: Наука, 1980.

10. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. — М: Мир, 1990.

11. Derevtsov E.Yu., Dietz R., Louis A.K., and Schuster T. Influence of refraction to the accuracy of a solution for the 2D-emission tomography problem. // J. Inverse and Ill-Posed Problems — 2000. — Vol. 8, № 2. — P. 161-191.

12. Статистические методы для ЭВМ / К. Энслейн, Э.Рэлстон, Г.С. Уилф. — М.: Наука, 1986.

=====================================================================

УДК 519.853.4

Численное решение одного класса задач двухуровневого программирования  с. 201-212

Стрекаловский Александр Сергеевич 1, Орлов Андрей Васильевич 2, Малышев Антон Валентинович 3

1Институт динамики систем и теории управления СО РАН, ул. Лермонтова, 134, Иркутск, 664033

cmstrekal@icc.ru

2Институт динамики систем и теории управления СО РАН, ул. Лермонтова, 134, Иркутск, 664033

anor@icc.ru

3Институт динамики систем и теории управления СО РАН, ул. Лермонтова, 134, Иркутск, 664033

anton@irk.ru

 

Аннотация

Рассматривается квадратично-линейная задача двухуровневого программирования в оптимистической постановке и осуществляется ее редукция к серии невыпуклых одноуровневых задач. Предложен алгоритм глобального поиска для редуцированных задач. Приводятся и анализируются результаты численного тестирования разработанного алгоритма на случайно сгенерированных задачах.

Ключевые слова: двухуровневое программирование, оптимистическое решение, невыпуклые задачи оптимизации, глобальный поиск, вычислительный эксперимент.

Литература

1. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. — М.: Наука, 1976.

2. Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. — М.: Радио и связь, 1982.

3. Васин А.А., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики. — М.: МАКС Пресс, 2005.

4. Bard J.F. Practical Bilevel Optimization. — Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1998.

5. Dempe S. Foundations of Bilevel Programming. — Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 2002.

6. Colson B., Marcotte P., and Savard G. An overview of bilevel optimization // Annals of operations research. — 2007. — Vol. 153, № 1. — P. 235-256.

7. Saboia C.H., Campelo M., and Scheimberg S. A computational study of global algorithms for linear bilevel programming // Numerical Algorithms. — 2004. — Vol. 35, № 2-4. — P. 155-173.

8. Audet C., Savard G., and Zghal W. New branch-and-cut algorithm for bilevel linear programming // J. of Optimization Theory and Applications. — 2007. — Vol. 134, № 2. — P. 53-370.

9. Muu L.D., Quy N.V. A global optimization method for solving convex quadratic bilevel programming problems // J. of Global Optimization. — 2003. — Vol. 26, № 2. — P. 199-219.

10. Li H., Wang Y. A hybrid genetic algorithm for solving a class of nonlinear bilevel programming problems // Proc. of 6th International Conference Simulated Evolution and Learning. Hetei, China, October 15-18, 2006 / Wang T.D., Li X. et al. — Springer. — P. 408-415.

11. Bard J.F. Convex two-level optimization // Mathematical Programming. — 1988. — Vol. 40, № 1. — P. 15-27.

12. Gumus Z.H., Floudas C.A. Global optimization of nonlinear bilevel programming problems // J. of Global Optimization. — 2001. — Vol. 20, № 1. — P. 1-31.

13. Colson B., Marcotte P., and Savard G. A trust-region method for nonlinear bilevel programming: algorithm and computational experience // Computational Optimization and Applications. — 2005. — Vol. 30, № 3. — P. 211-227.

14. Стрекаловский А.С., Орлов А.В., Малышев А.В. Локальный поиск в квадратично-линейной задаче двухуровневого программирования // Сиб. журн. вычисл. матем. / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2010. — Т. 13, No 1. — С. 75-88.

15. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. — М.: Факториал-пресс, 2002.

16. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. — М.: Мир, 1982.

17. Стрекаловский А.С. Элементы невыпуклой оптимизации. — Новосибирск: Наука, 2003.

18. Стрекаловский А.C. О минимизации разности двух выпуклых функций на допустимом множестве // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2003. — Т. 43, № 3. — С. 399-409.

19. Стрекаловский А.С., Орлов А.В. Биматричные игры и билинейное программирование. — М.: Физматлит, 2007.

20. Strekalovsky A.S., Orlov A.V. A new approach to nonconvex optimization // Вычислительные методы и программирование. Изд-во Московского университета. — 2007. — Т. 8, № 2. — P. 11-27.

21. Орлов А.В., Стрекаловский А.С. О численном поиске ситуаций равновесия в биматричных играх // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2005. — Т. 45, № 6. — С. 983-997.

22. Васильев И.Л., Климентова К.Б., Орлов А.В. Параллельный глобальный поиск равновесных ситуаций в биматричных играх // Вычислительные методы и программирование. Изд-во Московского университета. — 2007. — Т. 8, № 2. — С. 84-94.

23. Орлов А.В. Численное решение задач билинейного программирования // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2008. — Т. 48, № 2. — С. 45-62.

24. Calamai P., Vicente L. Generating linear and linear-quadratic bilevel programming problems // SIAM J. on Scientific Computing. — 1993. — Vol. 14, № 4. — P. 770-782.

25. Calamai P., Vicente L. Generating quadratic bilevel programming test problems // ACM Transactions on Mathematical Software. — 1994. — Vol. 20. — P. 103-119.

=====================================================================

УДК 519.929

Гладкие решения начальной задачи для некоторых дифференциально-разностных уравнений с. 213-226

Черепенников Валерий Борисович1, Ермолаева Полина Геннадьевна2

1Институт динамики систем и теории управления СО РАН, ул. Лермонтова, 134, Иркутск, 664033

vbcher@icc.ru

2Байкальский государственный университет экономики и права, ул. Ленина, 11, Иркутск, 664001

 polka_1@mail.ru

 

Аннотация

Предметом исследования данной статьи является начальная задача с начальной функцией для линейного дифференциально-разностного уравнения нейтрального типа. Ставится задача нахождения начальной функции такой, что порождаемое ею решение начальной задачи обладает в точках, кратных запаздыванию, необходимой гладкостью. Для решения этой задачи привлекается метод полиномиальных квазирешений, в основе которого лежит представление неизвестной функции в виде полинома некоторой степени. При подстановке его в исходную задачу появляется некорректность в смысле размерности полиномов, которая компенсируется путем введения в уравнение невязки, для которой получена точная аналитическая формула, характеризующая меру возмущения исходной начальной задачи.

 

Показано, что если для исследуемой начальной задачи выбрать в качестве начальной функции полиномиальное квазирешение степени N, то порождаемое решение будет иметь в точках стыковки гладкость не ниже степени N.

Ключевые слова: линейные дифференциально-разностные уравнения, начальная задача, гладкие решения, метод полиномиальных квазирешений.

Литература

1. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. — М.-Л.: Гостехиздат, 1951.

2. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. — М.: ИЛ, 1961.

3. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. — М.: ИЛ, 1961.

4. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1991.

5. Cherepennikov V.B. Analytic solutions of some functional differential equations linear systems // Nonlinear Analysis, Theory, Methods \& Applications. — 1997. — Vol. 30, № 5. — P. 2641-2651.

6. Cherepennikov V.B., Ermolaeva P.G. Polynomial quasisolutions of linear differential difference equations // Opuscula Mathematica, AGH Univ. of Sci. and Techn. Press. — 2006. — 26/3. — P. 47-57.

7. Cherepennikov V.B., Ermolaeva P.G. Polynomial quasisolutions of linear differential difference equations with different delays // Functional Differential Equations. — 2007. — Vol. 14, № 1. — P. 47-66.

8. Черепенников В.Б., Ермолаева П.Г. Полиномиальные квазирешения дифференциально-разностных уравнений второго порядка // Укр. матем. журн. — 2008. — Т. 60, № 1. — С. 140-152.

9. Черепенников В.Б., Ермолаева П.Г. Численный эксперимент в исследовании полиномиальных квазирешений линейных дифференциально-разностных уравнений // Изв. вузов. Математика. — 2008. — № 7. — С. 49-58.

====================================================================

УДК 519.233.2/246.8+216.3

Построение и оптимизация прогнозов на основе рекуррентных сплайнов первой степени с. 227-241

Шумилов Борис Михайлович1, Эшаров Элзарбек Асанович2, Аркабаев Нуркасым Кылычбекович3

1Томский государственный архитектурно-строительный университет, пл. Соляная, 2, г. Томск, 634003

sbm@tsuab.ru

2Томский государственный университет, просп. Ленина, 36, г. Томск, 634050

elzare78@rambler.ru

3Ошский государственный университет, ул. Ленина, 133, г. Ош, Кыргызстан, 723520

nurkasym2002@rambler.ru

 

Аннотация

Исследуется задача точечного и интервального прогнозирования временных рядов на основе рекуррентных сплайнов первой степени глубины 1. Найдены условия оптимальности коэффициентов расчетной схемы. Представлены результаты численных экспериментов для аналитически заданных функций с погрешностями. Дано сравнение с классическими методами прогнозирования временных рядов.

Ключевые слова: сплайн, рекуррентный алгоритм, оптимизация, прогнозирование, временной ряд.

Литература

1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. — М.: Мир, 1976.

2. Лившиц К.И. Сглаживание экспериментальных данных сплайнами. — Томск: Изд-во ТГУ, 1991.

3. Кочегурова Е.А. Текущая аппроксимация нестационарных случайных процессов в системах управления на основе рекуррентного сглаживающего сплайна. Дис. … канд. техн. наук. — Томск, 1990.

4. Шумилов Б.М. Рекуррентная аппроксимация сплайнами // Известия высших учебных заведений. Математика. — 1996. — № 1. — С. 85-87.

5. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. — М.: Наука, 1967.

6. Шумилов Б.М., Шумилова Е.Б. Анализ временных рядов и прогнозирование. Методические указания, часть II. — Томск: Изд-во ТГУ, 2005.

7. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, 13-е изд-ние, исправл. — М.: Наука, ГФМЛ, 1986.

8. Статистический ежегодник по Томской области: http://tmsk.gks.ru/default.aspx

9. Бокс Д., Дженикис Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып. I. — М.: Мир, 1974.

10. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. — М.: Статистика, 1979.


Номер 3, с. 243-359

 

УДК 519.65

Обратные циклических ленточных матриц и сходимость процессов интерполяции для производных периодических интерполяционных сплайнов  с. 243-253

Волков Юрий Степанович1

1Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, просп. Акад. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090,

volkov@math.nsc.ru

Новосибирский госуниверситет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

 

Аннотация

Приведены оценки элементов матриц, обратных к циклическим ленточным, и норм этих матриц. Полученные оценки использованы для установления связи условий сходимости процессов интерполяции периодическими сплайнами нечётной степени для различных производных. В частности, приведено положительное решение проблемы К. де Бора о сходимости одной из двух средних производных без каких-либо ограничений на сетку в периодическом случае.

Ключевые слова: ленточная матрица, циклическая ленточная матрица, обратная матрица, норма матрицы, сплайн, интерполяция, сходимость.

Литература

1. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. — М.: Наука, 1980.

2. Волков Ю.С. Об оценке элементов матрицы, обратной к циклической ленточной матрице // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2003. — Т. 6, № 3. — C. 263-267.

3. Demko S. Inverses of band matrices and local convergence of spline projections // SIAM J. Numer. Anal. — 1977. — Vol. 14, № 4. — P. 616-619.

4. de Boor C. Odd-degree spline interpolation at a biinfinite knot sequence // Approxim. Theory. Proc. Intern. conf., Bonn, 1976 / R. Schaback, K. Scherer. — Heidelberg: Springer, 1976. — P. 30-53. — (Lecture Notes Math.; 556.)

5. Волков Ю.С. Безусловная сходимость ещё одной средней производной для интерполяционных сплайнов нечётной степени // ДАН. — 2005. — Т. 401, № 5. — С. 592-594.

6. de Boor C. On bounding spline interpolation // J. Approxim. Theory. — 1975. — Vol. 14, № 3. — P. 191-203.

7. Higham N. J. Estimating the matrix p-norm // Numer. Math. — 1992. — Vol. 62, № 4. — P. 539-555.

8. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения. — М.: Мир, 1972.

9. Schumaker L.L. Spline Functions: Basic Theory. — New York: Wiley, 1981.

10. Волков Ю.С. О построении интерполяционных полиномиальных сплайнов // Вычислительные системы. Сплайн-функции и их приложения. — Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1997. — Вып. 159. — С. 3-18.

11. Волков Ю.С. Равномерная сходимость производных интерполяционных сплайнов нечётной степени. — Новосибирск, 1984. — (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. ИМ; 62).

12. Зматраков Н.Л. Сходимость интерполяционного процесса для параболических и кубических сплайнов // Тр. матем. института им. В.А. Стеклова. АН СССР. Приближение функций и операторов. — 1975. — Т. 138. — С. 71-93.

13. Зматраков Н.Л. Равномерная сходимость третьих производных интерполяционных кубических сплайнов // Вычислительные системы. Методы сплайн-функций. — Новосибирск: Изд-во ИМ СО АН СССР, 1977. — Вып. 72. — С. 10-29.

14. Shadrin A.Yu. The L-norm of the L2-spline projector is bounded independently of the knot sequence: A proof of de Boor's conjecture // Acta Math. — 2001. — Vol. 187, № 1. — P. 59-137.

15. Волков Ю.С. Расходимость интерполяционных сплайнов нечетной степени // Вычислительные системы. Приближение сплайнами. — Новосибирск: Изд-во ИМ СО АН СССР, 1984. — Вып. 106. — С. 41-56.

 =====================================================================

УДК 551.465

Изучение роли температурно-соленостных аномалий в формировании режимов меридиональной циркуляции Мирового океана  с. 255-267

Голубева Елена Николаевна1

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

elen@ommfao.sscc.ru

 

Аннотация

Крупномасштабная модель циркуляции Мирового океана предназначена для использования в совместной модели океан-лед-атмосфера. Предварительные эксперименты, проведенные на численной сетке с грубым пространственным разрешением на тысячелетнем периоде, восстанавливают динамику океана под действием климатических вынуждающих сил на поверхности океана. На основе внесения аномалий

в поверхностные источники исследуется чувствительность глобальной циркуляции океана к изменению термохалинных условий в северных областях Атлантического и Тихого океанов.

Ключевые слова: численная модель, крупномасштабная динамика океана, глобальная термохалинная циркуляция.

Литература

1. Дымников В.П., Лыкосов В.Н., Володин Е.М. Проблемы моделирования климата и его изменений // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. — 2006. — T. 42, № 5. — C. 618-636.

2. England M.H. Representing the global-scale water masses in ocean general circulation models // J. Phys. Oceanogr. — 1993. — № 23. — P. 1523-1552.

3. Large W.G., Danabasoglu G., Doney S., and McWilliams J.C. Sensitivity to surface forcing and boundary layer mixing in a global ocean model: Annual — mean climatology // J. Phys. Oceanogr. — 1997. — Vol. 27. — P. 2418-2447.

4. Залесный В.Б. Численное моделирование термохалинной циркуляции Мирового океана // Метеорология и гидрология. — 1998. — № 2. — С. 54-64.

5. Щербаков А.В., Малахова В.В. Численное моделирование глобального климата океана. — Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2008.

6. Rahmstorf S. Thermohaline ocean circulation // Encyclopedia of Quaternary Sciences / S.A. Elias. — Amsterdam: Elsevier, 2006. — P. 1-10.

7. Broecker W. The great ocean conveyor // Oceanography. — 1991. — № 1. — P. 79-89.

8. Clark P.U., Pisias N.G., Stocker T.F., and Weaver A.J. The role of the thermohaline circulation in abrupt climate change // Nature. — 2002. — № 415. — P. 863-869

9. Rahmstorf S. Ocean circulation and climate during the past 120000 years // Nature. — 2002. — № 419. — P. 207-214.

10. Dickson R.R., Meincke J., Malmberg S.A., and Lee A.J. The “Great Salinity Anomaly” in the Northern North Atlantic 1968-1982 // Progr. in Oceanogr. — 1988. — Vol. 20. — P. 103-151.

11. Seidov D., Haupt B.J. How to run a minimalist's global ocean conveyor // Geophys. Res. Lett. — 2005. — Vol. 32, № 7. — P. L07610-1-L07610-4.

12. Кузин В.И. Метод конечных элементов в моделировании океанических процессов. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985.

13. Голубева Е.Н., Иванов Ю.А., Кузин В.И., Платов Г.А. Численное моделирование циркуляции Мирового океана с учетом верхнего квазиоднородного слоя // Океанология — 1992. — Т. 32, вып. 3. — С. 395-405.

14. Goloubeva E.N. On the numerical modeling of the World Ocean circulation in the sigma coordinate system // NCC Bulletin/Series Num. Model. Atmosph. Ocean and Environment Stud. — Novosibirsk: NCC Publisher. — 2001. — Vol. 7. — P. 1-7.

15. Golubeva E.N., Platov G.A. On improving the simulation of Atlantic Water circulation in the Arctic Ocean // J. Geophys. Res. — 2007. — Vol. 112. — C04S05.

16. Голубева Е.Н. Численное моделирование динамики Атлантических вод в Арктическом бассейне с использованием схемы QUICKEST // Вычислительные технологии. — 2008. — Т. 13, № 5. — С. 11-24.

17. Hellerman S., Rosenstein M. Normal monthly wind stress over the world ocean with error estimates // J. Phys. Oceanogr. — 1983. — № 13. — P. 1093-1104.

18. Haney R.L. Surface thermal boundary condition for ocean circulation models // J. Phys. Oceanogr. — 1971. — № 1. — P. 241-248.

19. Levitus S. Annual cycle of temperature and heat storage in the World Ocean // J. Phys. Oceanogr. — 1984. — № 14. — P. 727-746.

20. Levitus S. Annual cycle of salinity and salt storage in the World Ocean // J. Phys. Oceanogr. — 1986. — № 16. — P. 322-343.

21. Murray R.J. Explicit generation of orthogonal grids for ocean models // J. Comput. Phys. — 1996. — Vol. 126. — P. 251-273.

22. Gerdes R., Köberle C. On the influence of DSOW in a numerical model of the North Atlantic General Circulation // J. Phys. Oceanogr. — 1995. — № 25. — P. 2624-2642.

23. Kawase M. Establishment of deep ocean circulation driven by deep-water production // J. Phys. Oceanogr. — 1987. — № 17. — P. 2294-2317.

24. Johnson H.L., Marshall D.P. A theory for the surface Atlantic response to thermohaline

variability // J. Phys. Oceanogr. — 2002. — № 32. — P. 1121-1132.

25. Döscher R., Böning C.W., Herrmann P. Response ofcirculation and heat transport in the North Atlantic to changes in thermohaline forcing in northern latitudes: A model study // J. Phys. Oceanogr. — 1994. — № 24. — P. 2306-2320.

26. Shaw P.T., Csanady G.T. Self-advection of density perturbations on a sloping continental shelf // J. Phys. Oceanogr. — 1983. — Vol. 13, № 5. — P. 769-782.

27. Саркисян А.С., Иванов В.Ф. Совместный эффект бароклинности и рельефа дна как важный фактор в динамике морских течений // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. — 1971. — Т. 7, № 2. — С. 173-188.

28. Goodman P.J. Thermohaline adjustment and advection in an OGCM // J. Phys. Oceanogr. — 2001. — № 31. — P. 1477-1497.

29. Köhl A., Stammer D., and Cornuelle B. Interannual to decadal changes synthesis // J. Phys. Oceanogr. — 2007. — № 37. — P. 313-337.

30. Paul A., Schafer-Neth C. Modeling the water masses of the Atlantic Ocean at the Last Glacial Maximum // Paleoceanography. — 2003. — Vol. 18, № 3. — P. 1058.

 =====================================================================

УДК 517.988.8+519.633.8

Оценки погрешности проекционно-разностного метода для одной гиперболо-параболической системы абстрактных дифференциальных уравнений  с. 269-284

 Железовский Сергей Евгеньевич1

1Саратовский государственный социально-экономический университет, кафедра прикладной математики и информатики, ул. Радищева, 89, Саратов, 410003

jelezovsky@ssea.runnet.ru

 

Аннотация

Рассматривается задача Коши для гиперболо-параболической системы абстрактных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, обобщающая ряд линейных связанных задач термоупругости. Для этой задачи устанавливаются энергетические оценки погрешности проекционно-разностного метода при отсутствии каких-либо специальных условий на проекционные подпространства.

Ключевые слова: проекционно-разностный метод, оценки погрешности, абстрактные дифференциальные уравнения, гиперболо-параболическая система, связанные задачи термоупругости.

Литература

 

1. Железовский С.Е. О сходимости метода Галеркина для связанных задач термоупругости // Журн. вычисл. математики и матем. физики. — 2006. — Т. 46, № 8. — С. 1462-1474.

2. Железовский С.Е. Оценки скорости сходимости проекционно-разностного метода для гиперболических уравнений // Изв. вузов. Математика. — 2002. — № 1. — С. 21-30.

3. Железовский С.Е. Оценки погрешности схем проекционно-разностного метода для абстрактного квазилинейного гиперболического уравнения // Матем. заметки. — 2006. — Т. 80, № 1. — С. 38-49.

4. Смагин В.В. Коэрцитивные оценки погрешностей проекционного и проекционно-разностного методов для параболических уравнений // Матем. сб. — 1994. — Т. 185, № 11. — С. 79-94.

5. Смагин В.В. Энергетические оценки погрешности проекционно-разностного метода со схемой Кранка-Николсон для параболических уравнений // Сиб. матем. журн. — 2001. — Т. 42, № 3. — С. 670-682.

6. Железовский С.Е., Кириченко В.Ф., Крысько В.А. О скорости сходимости метода Ротэ-Галеркина для одной неклассической системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. — 1989. — Т. 25, № 7. — С. 1208-1219.

7. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М.: Мир, 1972.

8. Самарский А.А. Теория разностных схем. 3-е изд. — М.: Наука, 1989.

9. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. — М.: Наука, 1973.

10. Новацкий В. Теория упругости. — М.: Мир, 1975.

11. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973.

12. Боценюк А.Н., Панков А.А. Некоторые сцепленные системы абстрактных дифференциальных уравнений типа уравнений термоупругости // Докл. АН УССР. Сер. А. — 1982. — № 10. — С. 6-8.

13. Боценюк А.Н. Регулярность решений связанных систем абстрактных дифференциальных уравнений типа уравнений термоупругости // Материалы 10 конференции молодых ученых Института прикладных проблем механики и математики АН УССР. — Львов, 1984. — Ч. 2. — С. 35-39. — Деп. в ВИНИТИ 10.11.84, № 7197-84Деп.

14. Железовский С.Е., Кириченко В.Ф., Крысько В.А.  Вопросы существования и единственности решения одной неклассической системы дифференциальных уравнений / Саратовский политехн. институт. — Саратов, 1983. — Деп. в ВИНИТИ 28.11.83, № 6302-83Деп.

15. Железовский С.Е., Кириченко В.Ф., Крысько В.А. О существовании, единственности решения и скорости сходимости метода Бубнова-Галеркина для одной неклассической системы дифференциальных уравнений / Саратовский политехн. институт. — Саратов,

1985. — Деп. в ВИНИТИ 26.11.85, № 8162-В85.

16. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. — М.: Мир, 1980.

17. Железовский С.Е. Оценка погрешности метода Галеркина для абстрактного эволюционного уравнения второго порядка с негладким свободным членом // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 7. — С. 944-952.

 =====================================================================

УДК 519.83+621.311:51.001.57

Модель оценки дефицита мощности электроэнергетической системы с учетом квадратичных потерь мощности в линиях электропередач с. 285-295

Зоркальцев Валерий Иванович1, Лебедева Людмила Михайловна2, Пержабинский Сергей Михайлович3

1Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, ул. Лермонтова, 130, г. Иркутск, 664033

zork@isem.sei.irk.ru

2Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, ул. Лермонтова, 130, г. Иркутск, 664033

lebedeva@isem.sei.irk.ru

3Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, ул. Лермонтова, 130, г. Иркутск, 664033

sergey@isem.sei.irk.ru

 

Аннотация

Исследуется модель оценки дефицита мощности электроэнергетических систем с квадратичными потерями в линиях электропередач. Модель предназначена для исследования проблем надежности электроэнергетических систем. Указан способ представления данной модели в виде задачи выпуклого программирования. Для реализации модели предложен алгоритм внутренних точек, использующий квадратичные аппроксимации ограничений. Представлены результаты экспериментального исследования алгоритма.

Ключевые слова: модель оценки дефицита мощности, метод внутренних точек, квадратичные аппроксимации.

Литература

1. Руденко Ю.Н., Чельцов М.Б. Надежность и резервирование в электроэнергетических системах. — Новосибирск: Наука, 1974.

2. Зоркальцев В.И., Ковалев Г.Ф., Лебедева Л.М. Модели оценки дефицита  мощности электроэнергетических систем. — Иркутск, 2001. — (Препринт /  РАН. Сиб. отд-ние. ИСЭМ; № 9).

3. Дикин И.И., Зоркальцев В.И. Итеративное решение задач математического программирования: алгоритмы метода внутренних точек. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1980.

4. Чукреев Ю.Я. Модели обеспечения надежности электроэнергетических систем. — Сыктывкар: Коми НЦ УрО РАН, 1995.

5. Пшеничный Б.Н. Метод линеаризации. — Москва: Наука, 1983.

6. Пержабинский С.М. Алгоритм внутренних точек, использующий квадратичные аппроксимации // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование / Иркутский государственный университет путей сообщения. — Иркутск, 2008. — № 3. — С. 97-101.

7. Ковалев Г.Ф., Лебедева Л.М. Комплекс моделей оптимизации режимов  расчетных состояний при оценке надежности электроэнергетических систем. — Иркутск, 2000. — (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. ИСЭМ; № 7).

=====================================================================

УДК 519.6

Алгоритм рекурсивного вращения построения разделителей графа для метода вложенных сечений  с. 297-321

Масловская Лариса Викторовна1, Масловская Оксана Михайловна2

1Филатова 25, кв. 16, Одесса, Украина, 65074

nasko1@yandex.ru

2Филатова 25, кв. 16, Одесса, Украина, 65074

nasko1@yandex.ru

 

Аннотация

Построен и исследован алгоритм рекурсивного вращения, который является вариантом алгоритма вложенных сечений. Алгоритм Лю строит разделитель графа матрицы при помощи вращения дерева исключения, которое уменьшает его высоту. При этом узлы графа матрицы предварительно упорядочиваются при помощи одного из известных алгоритмов Катхилла-Макки, обратного Катхилла-Макки, Кинга. Далее эта процедура повторяется рекурсивно. Произведено сравнение алгоритма рекурсивного вращения с многоуровневым и спектральным методами деления графа для двумерных конечноэлементых сеток.

Ключевые слова: вращение дерева исключения, разделители, алгоритм рекурсивного вращения, конечноэлементные сетки.

Литература

1. George А. Solution of sparse systems of equations on multiprocessor architectures // Proc. of the SERC Numerical Analysis Summer School. University of Lancaster. England / P. Turner. — Springer-Verlag. — 1989. — P. 31-94. — (Lect. Notes in Math.; 1394).

2. Liu J.W.H. Reordering sparse matrices for parallel elimination // Parallel computing. — North-Holland. — 1989. — P. 73-91.

3. Liu J.W.H. Equivalent sparse matrix reordering by elimination tree rotations // SIAM J. Sci. Stat. Comput. — 1988. — Vol. 9, № 3. — P. 424-444.

4. Масловская Л.В., Масловская О.М., Кравченко И.А. Алгоритм рекурсивного вращения построения разделителей графа для метода вложенных сечений // Тезисы Украинского математического конгресса. — Львов, 29 августа - 4 сентября 2009 г. — http://www.imath.kiev.ua/congress2009/Abstracts/KravchenkoMaslovski.pdf.

6. Liu J.W.H. A compact storage scheme for Cholesky factors using elimination trees // ACM Trans. Math. Software. — 1986. — Vol. 12. — P. 127-148.

7. Tarjan R.E. Data structures and network algorithms // CBMS - NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics. SIAM. — Philadelphia, 1983.

8. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем. — М.: Мир, 1984.

9. Lipton R.J., Rose D.J., and Tarjan R.E. Generalized nested dissection // SIAM J. Numer. Anal. — 1979. — Vol. 16. — P. 346-358.

10. Gilbert J.R., Tarjan R.E. The analysis of a nested dissection algorithm // Numer. Math. — Springer-Verlag. — 1987. — Vol. 50. — P. 377-404.

 =====================================================================

УДК 550.834

Обратная задача для уравнений акустики. Многоуровневый адаптивный метод с. 323-341

Мастрюков Александр Федорович1

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

maf@omzg.sscc.ru

 

Аннотация

В работе представлено численное решение обратной задачи для уравнений акустики оптимизационным методом для слоистой среды. По распределению поля акустической волны на поверхности среды определяются одномерные распределения плотности среды, скорость и коэффициент поглощения акустической волны. Поглощение рассматривается в модели тела Фойгта. Для минимизации используются метод сопряженных градиентов и метод Ньютона.

 

Для повышения эффективности численного алгоритма предлагается многоуровневый адаптивный алгоритм. Алгоритм основан на разбиении всего алгоритма решения обратной задачи на ряд последовательных уровней. Каждый уровень характеризуется числом параметров, определяемых на этом уровне. При переходе с одного уровня на другой число параметров меняется адаптивно в зависимости от величины функционала и скорости сходимости.

 

Подбор параметров минимизации иллюстрируется результатами решения обратной задачи в спектральной области, когда искомые величины представляются в виде ряда по полиномам Чебышева и минимизация проводится не по значению самой величины в точке, а по коэффициентам разложения этой величины в ряд.

 

Сравнивается эффективность предлагаемого метода с неадаптивным методом решения. Приводится подбор наиболее оптимальных параметров многоуровневого метода.

 

Показано, что многоуровневый алгоритм обладает рядом достоинств в сравнении с алгоритмом, не использующим разбиение на уровни. В первую очередь он позволяет получить более точное решение обратной задачи.

Ключевые слова: обращение, обратная задача, акустика, скорость, поглощение, плотность, адаптивный, многоуровневый, оптимизационный, эффективность, точность.

Литература

1. Аки К., Ричардс П. Количественная сейсмология. Т. 2. — М.: Мир, 1983.

2. Уайт Дж. Возбуждение и распространение сейсмических волн. — М.: Недра, 1986.

3. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. — М.: Наука, 1978.

4. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1980.

5. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — М.: Наука, 1963.

6. Mora P.R. Nonlinear two-dimensional elastic inversion of multioffset seismic data // Geophysics. — 1987. — Vol. 52. — P. 1211-1228.

7. Turter G., Siggins A.F. Constant Q attenuation of subsurface radar pulses // Geophysics. — 1994. — Vol. 59. — P. 1192-1200.

8. Sena A.G., Takosoz M.N. Simultaneous reconstruction permittivity and conductivity for crosshole geometries // Geophysics. — 1990. — Vol. 55. — P. 1302-1311.

9. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. — М.: Мир, 1984.

10. Мастрюков А.Ф. Одновременное обращение скорости и коэффициента поглощения акустической волны // Геология и геофизика. — 1998. — № 5. — C. 640-648.

11. Мастрюков А.Ф. Решение обратной задачи для уравнений акустики многоуровневым оптимизационным методом // Геология и геофизика. — 1999. — № 5. — С. 764-773.

12. Ursin B. Review of elastic and electromagnetic wave propagation in horizontally layered media // Geophysics. — 1983. — Vol. 48. — P. 1063-1081.

13. Zhao H., Ursin B., and Amundsen L. Frequency-wavenumber elastic inversions of marine data // Geophysics. — 1994. — Vol. 59. — P. 1868-1877.

14. Мастрюков А.Ф. Восстановление 2-х мерной проводимости среды оптимизационным методом // Геология и геофизика. — 1997. — № 3. — С. 686-692.

15. Федоренко Р.П. Релаксационный метод для решения эллиптических уравнений // ЖВМиМФ. — 1961. — № 1. — С. 992-927.

16. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. — М.: Мир, 2001.

====================================================================

УДК 519.624.3+519.632.6+519.642

Итерационный алгоритм исследования и численного решения спектральных задач для линейного пучка компактных, частично симметричных операторов с. 343-359

Тараканов Виктор Иванович 1, Нестеренко Мария Владимировна 2

1Сургутский государственный университет, просп. Ленина, 1, г. Сургут, Тюменская обл., ХМАО-Югра, 628412

sprtdv@mail.ru  

2Сургутский государственный университет, просп. Ленина, 1, г. Сургут, Тюменская обл., ХМАО-Югра, 628412

chernaya@gmail.com

 

Аннотация

На примере спектральной задачи о собственных частотах колебаний балки переменного сечения, нагруженной моментом кручения, проводится исследование характера спектра и вычисление собственных частот с использованием нового итерационного алгоритма.

Ключевые слова: оператор, спектр, итерационный алгоритм.

Литература

1. Гильберт Д. Избранные труды. Анализ. Физика. Проблемы. Т. II. — М.: Факториал, 1998.

2. Тараканов В.И. Уравнения с компактными операторами в гильбертовом пространстве и итерационные алгоритмы их решения. — Томск: Изд-во Томского политехн. университета, 2007.

3. Никифоров И.В., Тараканов В.И. Методы селективного численного анализа спектра оператора, компактного в гильбертовом пространстве // Вычислительные технологии. — 2004. — Т. 9, № 3. — С. 58-71.

4. Grinhill A.G. On the strength of shafting when exposed both to torsion and to end trust // Proc. of the Inst. of Mechan. Engineers. — 1883.

5. Николаи Е.Л. Труды по механике. — М.: Гостехиздат, 1955.

6. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. — М.: Наука, 1967.

7. Тараканов В.И. Устойчивость конструкций в нефтегазопромысловой технологии. — Сургут: Изд-во СурГУ, 2001.

8. Крейн С.Г. Функциональный анализ. Справочник. — М.: Наука, 1972.

9. Садовничий В.А. Теория операторов. — М.: Изд-во МГУ, 1986.


Номер 4, c. 361-475

 

УДК 519.115

Алгоритмы нумерации однопереходных серийных последовательностей с. 361-373

Амелькин Валерий Алексеевич1

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

amail-kin@yandex.ru

Аннотация

Рассматриваются множества n-значных однопереходных серийных последовательностей (составлены из двух серийных подпоследовательностей — возрастающей и убывающей), структура которых определяется ограничениями на число серий, на длины серий, на высоты серий. Решаются перечислительные задачи для множеств конечных последовательностей, разность высот соседних серий в которых не меньше некоторой заданной величины. Получены алгоритмы, приписывающие меньшие номера лексикографически младшим последовательностям и приписывающие меньшие номера лексикографически старшим последовательностям.

 Ключевые слова:

серия, длина серии, высота серии, ограничения.

Литература

1. Амелькин В.А. Перечислительные задачи серийных последовательностей. — Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2008.

2. Амелькин В.А. Нумерация неубывающих и невозрастающих серийных последовательностей // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2009. — Т. 12, № 4. — С. 389-401.

3. Егорычев Г.П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм. — Новосибирск: Наука, 1977.

=====================================================================

УДК 517.988.68

Новые методы локализации разрывов зашумленной функции с. 375-386

Антонова Татьяна Владимировна1

1Институт математики и механики УрО РАН ул. С. Ковалевской, 16, Екатеринбург, 620990

tvantonova@imm.uran.ru

Аннотация

Для задачи локализации особенностей (разрывов первого рода) зашумленной в Lp (1≤ p<∞) функции предложены новые классы регуляризующих методов, позволяющих определять количество разрывов и аппроксимировать их положение с оценками точности полученного приближения. Также получена оценка сверху важной характеристики методов локализации — порога разделимости. Показана оптимальность по порядку предложенных методов на классах функций с разрывами как по точности, так и по разделимости.

Ключевые слова:

некорректная задача, локализация особенностей, разрыв первого рода, регуляризующий алгоритм, порог разделимости.

Литература

1. Гончарский А.В., Черепащук А.М., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. — М.: Наука, 1978.

2. Сизиков В.С. Математические методы обработки результатов измерений. — СПб: Политехника, 2001.

3. Теребиж В.Ю. Введение в статистическую теорию обратных задач. — М.: Физматлит, 2005.

4. Агеев А.Л., Антонова Т.В. О новом классе некорректно поставленных задач // Изв. Уральского госуниверситета. Математика. Механика. Информатика. Вып. 11. — 2008. — № 58. — С. 27-45.

5. Антонова Т.В. Восстановление функции с конечным числом разрывов 1 рода по зашумленным данным // Изв. вузов. Математика. — 2001. — № 7. — С. 65-68.

6. Antonova T.V. Approximation of function with finite number of discontinuities by noised data // J. Inverse and Ill-Posed Problems. — 2002. — Vol. 10, № 2. — P. 113-123.

7. Антонова Т.В. О решении нелинейных по параметру уравнений 1 рода на классах обобщенных функций // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2000. — Т. 40, № 6. — С. 819-831.

8. Антонова Т.В. Решение уравнений первого рода на классах функций с особенностями // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — Екатеринбург, 2002. — Т. 8, № 1. — С. 147-188.

9. Ageev A.L., Antonova T.V. Localization algorithms for singularities of solution to convolution equation of the first kind // J. Inverse and Ill-Posed Problems. — 2008. — Vol. 16, iss. 7. — P. 639-650.

10. Козлов В.П. О разрешающей способности спектральных приборов. I. Постановка задачи и критерий разрешения // Оптика и спектроскопия. — 1964. — Т. 16, № 3. — С. 501-506.

11. Агеев А.Л., Антонова Т.В. Регуляризирующие алгоритмы выделения разрывов в некорректных задачах // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2008. — Т. 48, № 8. — С. 1362-1370.

12. Кравченко В.Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторые их приложения. — М.: Радиотехника, 2003.

13. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — М.: Мир, 1965.

14. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. Т. 2. 8-е изд. — М.: Физматлит, 2003.

15. Антонова Т.В. Регуляризирующие алгоритмы локализации изломов зашумленной функции // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — Екатеринбург, 2009. — Т. 15, № 1. — С. 44-58.

16. Агеев А.Л., Антонова Т.В. О задаче разделения особенностей // Изв. вузов. Математика. — 2007. — № 11. — С. 1-7.

17. Агеев А.Л., Антонова Т.В. Оценки снизу в задачах локализации особенностей функции // Проблемы теоретической и прикладной математики: Тр. 39-й Всеросс. молодеж. конф. — Екатеринбург, 2008. — С. 56-60.

18. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — М.: Наука, 1978.

=====================================================================

УДК 519.63

Асимптотические оценки погрешности линеаризованного проекционно-разностного метода для дифференциального уравнения с монотонным оператором с. 387-401

Виногpадова Полина Витальевна1, Зарубин Анатолий Георгиевич2

1Дальневосточный государственный университет путей сообщения, ул. Серышева, 47, г. Хабаровск, 680021

vpolina17@hotmail.com

2Тихоокеанский государственный университет, ул. Тихоокеанская, 136, г. Хабаровск, 680035

zarubin@mail.khstu.ru

Аннотация

Исследуется проекционно-разностный метод решения задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения с главным самосопряженным оператором A(t) и подчиненным ему нелинейным монотонным оператором K(.) в гильбертовом пространстве. Данный метод на каждом шаге по временной переменной приводит к решению системы линейных алгебраических уравнений. Получены оценки погрешности приближенных решений и оценки погрешности для дробных степеней главного оператора A(t). Дано приложение разработанного метода к решению модельной параболической задачи.

Ключевые слова:

дифференциально-операторное уравнение, монотонный оператор, разностная схема, скорость сходимости, метод Фаэдо-Галёркина.

Литература

1. Вабищевич П.Н. Векторные аддитивные разностные схемы для эволюционных уравнений первого порядка // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1996. — Т. 36, № 3. — С. 44-51.

2. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Коэффициентная устойчивость дифференциально-операторных уравнений и операторно-разностных схем // Математическое моделирование. — 1998. — Т. 10, № 8. — С. 103-113.

3. Матус П.П., Панайотова Й.Н. Сильная устойчивость дифференциально-операторных уравнений и операторно-разностных схем // Дифференциальные уравнения.. — 1999. — Т. 35, № 2. — С. 256-265.

4. Йованович Б.С., Матус П.П. Сильная устойчивость дифференциально-операторных уравнений и операторно-разностных схем в интегральных по времени нормах //  Дифференциальные уравнения. — 2001. — Т. 37, № 7. — С. 950-958.

5. Jovanovic B.S. Global and asymptotic stability of operator-difference schemes // Computational Methods in Applied Mathematics. — 2004. — Vol. 4, № 2. — С. 192-205.

6. Зарубин А.Г., Тиунчик М.Ф. О методе Ротэ-Галёркина для одного класса линейных нестационарных уравнений // Дифференциальные уравнения. — 1983. — Т. 19, № 12. — С. 2141-2147.

7. Смагин В.В. Энергетические оценки погрешности проекционно-разностного метода со схемой Кранка—Николсона для параболического уравнения // Сиб. матем. журн. — 2001. — Т. 42, № 3. — С. 670-682.

8. Виноградова П.В. Оценки погрешности проекционно-разностного метода для линейного дифференциально-операторного уравнения // Дифференциальные уравнения. — 2008. — Т. 44, № 7. — С. 942-951.

9. Vinogradova P. Convergence estimates of a projection-difference method for an operator-differential equation // J. of Computational and Applied Mathematics. — 2009. — № 231. — C. 1-10.

10. Emmrich E. Two-step BDF time discretization of nonlinear evolution problems covered by monotone operators with strongly continuous perturbations // Computational Methods in Applied Mathematics. — 2009. — Vol. 9, № 1. — C. 37-62.

11. Зарубин А.Г. О скорости сходимости метода Ротэ—Галёркина для операторных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. — 1986. — Т. 22, № 11. — C. 2135-2144.

12. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. — М.: Наука, 1967.

13. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977.

14. Соболевский П.Е. Об уравнениях с операторами, образующими острый угол // Докл. АН СССР. — 1957. — Т. 116, № 5. — C. 754-757.

15. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1972.

16. Оя П.Э. О сходимости и устойчивости метода Галёркина для параболических уравнений с дифференцируемыми операторами // Уч. зап. Тартуского университета. — Тарту, ТГУ, 1975. — В. 374. — C. 194-210.

17. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — М.: Мир, 1965.

18. Демидович В.Б. Об асимптотическом поведении решений конечно-разностных уравнений. I. Общие положения // Дифференциальные уравнения. — 1974. — Т. 10, № 12. — C. 2267-2278.

19. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.

20. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1964.

=====================================================================

УДК 514.745.82

О существовании и устойчивости циклов в пятимерных моделях генных сетей с. 403-411

Голубятников Владимир Петрович1, Голубятников Иван Владимирович2, Лихошвай Виталий Александрович3

1Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, просп. Акад. В.А. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090

glbtn@math.nsc.ru

Новосибирский госуниверситет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

2Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, просп. Акад. В.А. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090

ivan.golubyatnikov@gmail.com

3Институт цитологии и генетики СО РАН, просп. Акад. В.А. Коптюга 2, Новосибирск, 630090

likho@bionet.nsc.ru

Новосибирский госуниверситет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

Аннотация

Получены достаточные условия существования и устойчивости замкнутых траекторий у пятимерных нелинейных динамических систем, моделирующих генные сети c отрицательными обратными связями.

Ключевые слова:

генные сети, нелинейные динамические системы, стационарные точки, периодические траектории.

Литература

1. Лихошвай В.А., Голубятников В.П., Демиденко Г.В., Евдокимов А.А., Фадеев С.И. Теория генных сетей // Системная компьютерная биология. Интеграционные проекты / Н.А. Колчанов и С.С. Гончаров. — Новосибирск, СО РАН, 2008. — Вып. 14. — C. 395-480.

2. Golubyatnikov V.P., Likhoshvai V.A., Volokitin E.P., Gaidov Yu.A., Osipov A.F. Periodic trajectories and Andronov-Hopf bifurcations in models of gene networks // Bioinformatics of Genome Regulation and Structure II. — Springer Science+Business Media Inc., 2006. — P. 405-414.

3. Голубятников В.П., Клещев А.Г., Клещева К.А., Кудрявцева А.В. Исследование фазовых портретов трехмерных моделей генных сетей // Сибирский журн. индустриальной математики. — 2006. — Т. 9, № 1. — C. 75- 84.

4. Гайдов Ю.А., Голубятников В.П. О некоторых нелинейных динамических системах, моделирующих несимметричные генные сети // Вестник НГУ. Серия математическая. — 2007. — Т. 7, № 2. — C. 8-17.

5. Волокитин Е.П., Тресков С.А. Бифуркация Андронова-Хопфа в модели гипотетических генных сетей // Сибирский журн. индустриальной математики. — 2005. — Т. 8, № 1. — С. 30-40.

6. Гайдов Ю.А. Об устойчивости периодических траекторий в некоторых моделях генных сетей // Сибирский журн. индустриальной математики. — 2008. — Т. 11, № 1. — С. 57-62.

7. Hastings S., Tyson J., and Webster D. Existence of periodic solutions for negative feedback cellular control systems // J. of Diff. Equations. — 1977. — Vol. 25. — P. 39-64.

8. Лихошвай В.А., Матушкин Ю.Г., Фадеев С.И. Задачи теории функционирования генных сетей // Сибирский журн. индустриальной математики. — 2003. — Т. 6, № 2. — P. 64-80.

9. Golubyatnikov V.P., Gaidov Yu.A., Kleshchev A.G., and Volokitin E.P. Modeling of asymmetric gene networks functioning with different types of regulation // Biophysics. — 2006. — Vol. 51, suppl. 1. — P. 61-65.

10. Smith R.A. Orbital stability for ordinary differential equations // J. of Diff. Equations. — 1987. — Vol. 69. — P. 265-287.

11. Леонов Г.А. Об устойчивости фазовых систем // Сибирский матем. журн. — 1974. — Т. 15, № 1. — С. 49-60.

12. Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996.

=====================================================================

УДК 519.633.6/517.44

Пошаговый метод решения эволюционных задач с использованием функций Лаггера с. 413-422

Демидов Георгий Владимирович1, Мартынов Валерий Николаевич2

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

2Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

vnm@nmsf.sscc.ru

Аннотация

В работе предлагается пошаговая модификация известного подхода, предложенного в работах Б.Г. Михайленко и Г.В. Конюх, для решения динамических задач, основанного на использовании преобразования Лагерра по времени. Суть этой модификации состоит в том, что преобразование Лагерра используется на последовательности конечных интервалов по времени. Полученное решение в конце одного временнóго отрезка используется в качестве начальных данных для решения задачи на следующем временнóм отрезке. Основные идеи подхода иллюстрируются на примерах задачи для гармонического осциллятора и одномерного волнового уравнения. Анализируется точность и устойчивость предлагаемого метода. Использование такого подхода позволяет получить решение с высокой точностью на больших интервалах по времени.

Ключевые слова:

динамические задачи, преобразование Лагерра, пошаговый метод, точность, устойчивость.

Литература

1. Конюх Г.В., Михайленко Б.Г. Применение интегрального преобразования Лагерра при решении динамических задач сейсмики // Тр. ИВМиМГ. Математическое моделирование в геофизике. — 1998. — № 5. — С. 106-123.

2. Mikhaylenko B.G. Spectral Laguerre method for the approximate solution of nime dependent problems // App. Math. — 1999. — № 12. — P. 105-110. — (Letter.)

3. Конюх Г.В., Михайлов А.А., Михайленко Б.Г. Численное моделирование сейсмических полей в вязкоупругих средах на основе спектрального метода Лагерра // Математическое моделирование. — Москва, 2001. — Т. 13, № 2. — С. 61-70.

4. Konyukh G.V., Mikhailov А.А., and Mikhaylenko B.G. Application of the integral Laguerre transforms for forward seismic modeling // J. of Computational Acoustics. — 2001. — Vol. 9, № 3. — P. 1-19.

5. Mikhailov А.А., Mikhaylenko B.G., and Reshetova G.V. Numerical viscoelastic modeling by the spectral Laguerre method // J. of Geophysical Prospecting. — 2003. — Vol. 51. — P. 37-48.

6. Mikhailov А.А., Mikhaylenko B.G., and Reshetova G.V. Numerical modeling of transient seismic fields in viscoelastic media based on the Laguerre spectral method // Pure and Applied Geophysics. — 2003. — № 160. — P. 1207-1224.

7. Михайленко Б.Г., Решетова Г.В. Численно-аналитический метод решения задачи о распространении сейсмических и акусто-гравитационных волн для неоднородной модели Земля-Атмосфера // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2006. — Т. 9, № 1. — C. 37-46.

8. Михайленко Б.Г., Решетова Г.В. Математическое моделирование распространения сейсмических и акусто-гравитационных волн для неоднородной модели Земля-Атмосфера // Геология и геофизика. — 2006. — Т. 47, № 5. — С. 547-556.

9. Справочник по специальным функциям / М. Абрамовиц, И. Стиган. — М.: Наука, 1979.

=====================================================================

УДК 519.245

Векторные оценки метода Монте-Карло: двойственные представления и оптимизация с. 423-438

Михайлов Геннадий Алексеевич1, Медведев Илья Николаевич2

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

gam@sscc.ru,

2Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

min@osmf.sscc.ru

Аннотация

В работе детализируется и уточняется теория векторных алгоритмов метода Монте-Карло для решения систем интегральных уравнений. Построено двойственное представление дисперсии и на этой основе осуществляется мажорантная среднеквадратическая оптимизация глобальной оценки решения типа гистограммы. Впервые детально сформулированы скалярные алгоритмы и дано некоторое сравнение векторных и скалярных оценок решения.

Ключевые слова:

векторная оценка метода Монте-Карло, решение системы интегральных уравнений, двойственное представление оценок, оптимизация, скалярные алгоритмы метода Монте-Карло.

Литература

1. Kattawar G.W., Plass G.N. Radiation and polarization of multiple scattered light from hase and clouds // Applied Optics. — 1968. — Vol. 7, № 8. — P. 1519-1527.

2. Марчук Г.И., Михайлов Г.А., Назаралиев М.А. и др. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике. — Новосибирск: Наука, 1976. — (Eng. translation: Springer-Verlag, 1980.)

3. Соболь И.М. Метод Монте-Карло для расчета критичности в многогрупповом приближении // Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучений. — М.: Атомиздат, 1967. — С. 232-254.

4. Михайлов Г.А. О сочетании метода конечных сумм с методом Монте-Карло для решения интегральных уравнений 2-го рода // Мат. заметки. — 1971. — Т. 9, № 4. — С. 425-433.

5. Михайлов Г.А., Сабельфельд К.К., Ченцов Н.Н. Векторно-стохастические модели некоторых задач математической физики // Актуальные проблемы прикладной математики и математического моделирования. — Новосибирск: Наука, 1982. — С. 69-82.

6. Михайлов Г.А. Векторные методы Монте-Карло для вычисления возмущений и производных по параметрам // ЖВМиМФ. — 1987. — Т. 27, № 9. — С. 1311-1319.

7. Михайлов Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. — М.: Наука, 1987. — (Eng. translation: Springer-Verlag, 1992.)

8. Михайлов Г.А, Войтишек А.В. Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло. — М.: Издательский центр «Академия», 2006.

9. Михайлов Г.А., Медведев И.Н. Использование сопряженных уравнений в методе Монте-Карло. — Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2009.

10. Пригарин С.М. О сходимости и оптимизации функциональных оценок метода Монте-Карло в пространствах Соболева // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 1999. — Т. 2, № 1. — С. 57-67.

=====================================================================

УДК 519.644

Аналог квадратуры Гаусса, реализованный на специфическом тригонометрическом базисе с. 439-450

Смелов Владислав Владимирович1, Попов Анатолий Степанович2

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

vl.smelov@gmail.com

2Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

popov@labchem.sscc.ru

Аннотация

Построена новая квадратурная формула на основе нестандартного базиса из тригонометрических функций. Эта квадратура сопоставима по точности с квадратурной формулой Гаусса, ориентирована на общий с ней класс функций, но не имеет ничего общего с квадратурой для периодических функций, основанной тоже на тригонометрии.

Ключевые слова:

квадратурная формула, весовая функция, узлы и коэффициенты квадратуры, аппроксимация.

Литература

1. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. — М.: Наука, 1967.

2. Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию. — М.: Наука, 1966.

3. Smelov V.V. Gauss type quadratures based on trigonometric bases // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. — 2008. — Vol. 23, № 3. — P. 265-281.

4. Смелов В.В. Задачи Штурма-Лиувилля и разложения функций в быстросходящиеся ряды. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.

5. Смелов В.В. О представлении кусочно-гладких функций быстросходящимися тригонометрическими рядами // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 1999. — Т. 2, № 4. — C. 385-394.

6. Smelov V.V. Effective approximation of piecewise smooth functions by their expansion into fast convergent series in terms of functions formed by eigenfunctions of Sturm-Liouville problems // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. — 2004. — Vol. 19, № 5. — P. 449-465.

7. Смелов В.В. О приближенном решении смешанной задачи для параболического уравнения с использованием специфического базиса функций // Сиб. журн. индустриальной математики / Изд-во Института математики СО РАН. — Новосибирск, 2005. — Т. 8, № 1(21). — C. 117-128.

8. Смелов В.В. Об обобщенном решении двумерной эллиптической задачи с кусочно-постоянными коэффициентами на основе расщепления дифференциального оператора и использования специфических базисных функций // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2003. — Т. 6, № 1. — C. 59-72.

9. Владимиров В.С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц // Тр. Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР. LXI. — М.: Изд-во АН СССР, 1961. — Т. 61. — C. 3-158.

10. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1976.

====================================================================

УДК 517.948

Об оценке погрешности метода решения одной обратной задачи для параболического уравнения с. 451-465

Танана Виталий Павлович1

1Южно-Уральский государственный университет, кафедра математического анализа, проспект Ленина, 76, Челябинск, 454080

tvpa@susu.ac.ru

Аннотация

Найдены оценки погрешности приближенного решения обратной граничной задачи для уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом.

Ключевые слова:

операторные уравнения, регуляризация, оптимальный метод, оценка погрешности, некорректная задача.

Литература

1. Исаков Г.Н., Кузин А.Я., Савельев В.Н., Ермолаев Ф.В. Определение характеристик тонкослойных теплозащитных покрытий из решения обратных задач тепло- и массопереноса // Физика горения и взрыва. — 2003. — Т. 39, № 5. — C. 86-96.

2. Танана В.П., Данилин А.Р. Об оптимальности регуляризующих алгоритмов при решении некорректных задач // Дифференциальные уравнения. — 1976. — Т. 12, № 7. — C. 1323-1326.

3. Мартыненко Н.А., Пустыльников Л.М. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределенными параметрами — М.: Наука, 1986.

4. Танана В.П., Булатова М.Г. Оценка погрешности приближенного решения обратной задачи тепловой диагностики // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2010. — Т. 13, № 1. — C. 89-100.

5. Танана В.П., Сидикова А.И. Об оптимальности по порядку одного метода вычисления значений неограниченного оператора и его приложения // Сиб. журн. индустриальной математики. — 2009. — Т. 12, № 3(39). — C. 125-135.

=====================================================================

УДК 004.032.26(06)

Построение гамильтоновых циклов в графах распределенных вычислительных систем рекуррентными нейронными сетями с. 467-475

Тарков Михаил Сергеевич1

1Институт физики полупроводников СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 13, Новосибирск, 630090

tarkov@isp.nsc.ru

Аннотация

Исследовано применение алгоритма, основанного на использовании рекуррентной нейронной сети Вана и принципа WTA («Winner takes all») к построению гамильтоновых циклов: 1) в регулярных графах (двух- и трехмерных торах и гиперкубах) распределенных вычислительных систем (ВС); 2) в двумерных тороидальных графах, регулярность которых нарушена исключением произвольного ребра (дефект ребра). Определены значения параметров нейронной сети, обеспечивающих построение гамильтоновых циклов и субоптимальных циклов, близких по длине к гамильтоновым. Экспериментально установлено, что выбор итерационного метода (Якоби, Гаусса—Зейделя или SOR) решения системы дифференциальных уравнений, описывающих нейронную сеть, влияет на процесс построения циклов и зависит от числа вершин тороидального графа.

Ключевые слова:

рекуррентные нейронные сети, распределенные вычислительные системы, параллельные алгоритмы, гамильтонов цикл, графы, тор, гиперкуб, методы Якоби, Гаусса-Зейделя, SOR.

Литература

1. Тарков М.С. Вложение структур параллельных программ в структуры живучих распределенных вычислительных систем // Автометрия. — 2003. — Т. 39, № 3. — С. 84-96.

2. Тарков М.С. Децентрализованное управление ресурсами и заданиями в живучих распределенных вычислительных системах // Автометрия. — 2005. — Т. 41, № 5. — С. 81-91.

3. Palmer J.F. The NCUBE family of parallel supercomputers // Proc. IEEE Int. Conf. on Computer Design, ICCD-86. — 1986. — P. 107.

4. Peterson C., Sutton J., and Wiley P. iWarp: A 100-MOPS VLIW Microprocessor for Multicomputers // IEEE MICRO. — 1991. — Vol. 11, № 3. — P. 26-87.

5. Cray T3E. — http://www.cray.com/products/systems/crayt3e/1200e.html/.

6.Yu H., Chung I-Hsin, and Moreira J. Topology mapping for Blue Gene/L supercomputer // Proc. of the 2006 ACM / IEEE SC'06 Conf. (SC'06), SC2006. — 2006 (November). — Tampa, Florida.

7. Абрамов С.М., Заднепровский В.Ф., Шмелев А.Б., Московский А.А. СуперЭВМ ряда 4 семейства ``СКИФ'': Штурм вершины суперкомпьютерных технологий // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2009. — № 5. — С. 200-210.

8. Осовский С. Нейронные сети для обработки информации. — М.: Финансы и статистика, 2002.

9. Хайкин С. Нейронные сети: полный курс. — М.: Вильямс, 2006.

10. Тарков М.С. Нейрокомпьютерные системы. — М.: Изд-во Интернет-университета информационных технологий; Бином. Лаборатория знаний, 2006.

11. Hopfield J.J., Tank D.W. «Neural» computation of decisions in optimization problems // Biological Cybernetics. — 1985. — Vol. 52, № 3. — P. 141-152.

12. Меламед И.И. Нейронные сети и комбинаторная оптимизация // Автоматика и телемеханика. — 1994. — № 4. — С. 3-40.

13. Smith K.A. Neural networks for combinatorial optimization: a review of more than a decade of research // INFORMS J. On Computing. — 1999 (Winter). — Vol. 11, № 1. — P. 15-34.

14. Hung D.L., Wang J. Digital hardware realization of a recurrent neural network for solving the assignment problem // Neurocomputing. — 2003. — № 51. — P. 447-461.

15. Siqueira P.H., Steiner M.T.A., and Scheer S. A new approach to solve the traveling salesman problem // Neurocomputing. — 2007. — № 70. — P. 1013-1021.

16. Feng G., Douligeris C. The convergence and parameter relationship for discrete-time continuous-state Hopfield networks // Proc. of Int. Joint Conf. on Neural Networks. — 2001. — P. 376-381.

17. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. — М.: Мир, 1991.