Сибирский журнал вычислительной математики

Том 14, 2011

Номер 1, c. 1-118
Номер 2, c. 119-230
Номер 3, с. 231-332
Номер 4, c. 333-456


Номер 1, c. 1-118

К юбилею Анатолия Николаевича Коновалова с. 1-4

Редколлегия, редакция журнала

===================================================================== 

УДК 519.676 

Численное решение стохастических дифференциальных уравнений на суперкомпьютерах с. 5-17

Артемьев Сергей Семенович1, Корнеев Владимир Дмитриевич2

 

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090,

Новосибирский госуниверситет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

ssa@osmf.sscc.ru 

2Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090,

Новосибирский госуниверситет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

korneev@ssd.sscc.ru  

 

Аннотация  

Исследуются вопросы зависимости точности алгоритмов численных решений СДУ от размера ансамбля моделируемых траекторий. Проблемы точности связаны с необходимостью оценки функционалов от решений СДУ с растущей дисперсией, сильной асимметрией распределений решений, неопределенностью времени выхода траекторий решений на границы заданных областей. Описываются способы распараллеливания статистических алгоритмов на многопроцессорном кластере. Приводятся результаты численных экспериментов, полученных на суперкомпьютере Сибирского суперкомпьютерного центра. 

Ключевые слова:   стохастические дифференциальные уравнения, статистические алгоритмы, распараллеливание, суперкомпьютер, кластер. 

Литература

1. Артемьев С.С. Численное решение задачи Коши для систем обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. — Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1993. 

2. Аверина Т.А., Артемьев С.С. Численное решение стохастических дифференциальныхуравнений с растущей дисперсией // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2005. — Т. 8, № 1. — С. 1-10. 

3. Аверина Т.А., Артемьев С.С. Анализ точности методов Монте-Карло при решениикраевых задач посредством вероятностного представления // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2008. — Т. 11, № 3. — С. 239-250. 

4. Ермаков С.М., Некруткин В.В., Сипин А.С. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. — М.: Наука, 1984. 

5. Корнеев В.Д. Параллельное программирование в MPI. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 

6. Корнеев В.Д. Параллельное программирование кластеров. Учебн. пособие. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2008. 

7. Snir M., Otto S. W., Huss-Lederman S., Walker D., and Dongarra J. MPI: The Complete Reference. — Boston: MIT Press, 1996. 

8. http://software.intel.com/ru-ru/intel-mkl/

  =====================================================================

УДК 532.546+536.24 

Влияние неизотермических эффектов на добычу газа в северных регионах  с. 19-28

Бондарев Эдуард Антонович1, Рожин Игорь Иванович2, Аргунова Кира Константиновна3

 

1 Институт проблем нефти и газа СО РАН, ул. Октябрьская, 1, г. Якутск, 677890

bondarev@ipng.ysn.ru  

2Институт проблем нефти и газа СО РАН, ул. Октябрьская, 1, г. Якутск, 677890

i_rozhin@mail.ru  

3Институт проблем нефти и газа СО РАН, ул. Октябрьская, 1, г. Якутск, 677890

akk@ipng.ysn.ru  

 

Аннотация  

В вычислительном эксперименте исследовано влияние параметров математической модели на динамику полей давления и температуры при неизотермической фильтрации газа. Для описания процесса использовалась нелинейная система дифференциальных уравнений в частных производных, полученная из законов сохранения массы и энергии и закона Дарси, а в качестве замыкающих соотношений — физическое и калорическое уравнения состояния. Граничные условия соответствуют отбору газа при заданном давлении на забое скважины. В вычислительном эксперименте показано, что влияние неизотермичности процесса на такие интегральные характеристики, как суммарная добыча, наиболее существенно при умеренных темпах отбора. На конкретном примере определен размер возможной зоны образования гидратов в газоносном пласте. 

Ключевые слова: математическое моделирование, неизотермическая фильтрация, несовершенный газ, газовый гидрат, конечно-разностные методы. 

Литература 

1. Бондарев Э.А., Габышева Л.Н., Каниболотский М.А. Моделирование образования гидратов при движении газа в трубах // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1982. — № 5. — С. 105-112. 

2. Бондарев Э.А., Аргунова К.К. Математические модели образования гидратов в газовых скважинах // Информационные и математические технологии в науке и управлении / Тр. XIV Байкальской Всероссийской конф. Информационные и математические технологии в науке и управлении. Часть III. — Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2009. — С. 41-51. 

3. Термогидродинамика систем добычи и транспорта газа / Бондарев Э.А., Васильев В.И., Воеводин А.Ф. и др. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. 

4. Хайруллин М.Х., Шамсиев М.Н., Морозов П.Е., Тулупов Л.А. Моделирование гидратообразования в стволе вертикальной газовой скважины // Вычислительные технологии. — 2008. — Т. 13, № 5. — С. 88-94. 

5. Бондарев Э.А., Аргунова К.К., Рожин И.И. Плоскопараллельная неизотермическая фильтрация газа: роль теплопереноса // Инженерно-физический журнал. — 2009. — Т. 82, № 6. — С. 1059-1065. 

6. Турчак Л.И. Основы численных методов. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 

7. Kay W.B. Density of hydrocarbon gases and vapors at high temperature and pressures // Industrial & Engineering Chemistry Research. — 1936. — Vol. 28. — P. 1014-1019. 

8. Sloan E.D. Clathrate Hydrates of Natural Gases. Third Edition. — New York: Marcel Dekker, 1998.

 =====================================================================

УДК 517.98:519.677 

Восстановление векторного поля и его сингулярностей по лучевым преобразованиям  с.  29-46 

Деревцов Евгений Юрьевич1, Пикалов Валерий Владимирович2 

1Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, просп. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Новосибирский госуниверситет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

dert@math.nsc.ru  

2Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, ул. Институтская, 4/1, Новосибирск, 630090

pickalov@itam.nsc.ru  

 

Аннотация  

В работе предлагаются численные методы восстановления сингулярного носителя векторного поля по его известным продольному и (или) поперечному лучевым преобразованиям. Наряду с модификацией известного оператора Вайнберга для решения поставленной задачи используются интегральные операторы углового момента и обратной проекции, а также дифференциальные операторы тензорного анализа. Приводятся результаты численных экспериментов, поставленных с целью восстановления разрывных и с разрывами в производных векторных полей, а также визуализации их сингулярного носителя. 

Ключевые слова:  векторная томография, тензорное поле, преобразование Радона, лучевое преобразование, угловой момент, обратная проекция, формулы обращения, сингулярный носитель, визуализация. 

Литература 

1. Горелик А.Г., Стерлядкин В.В. Доплеровская томография в радиолокационной метеорологии // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. — 1990. — Т. 26, № 1. — С. 47-54. 

2. Poluektov N.P., Efremov N.P. New tomographic approach for deconvolution of ion velocity and temperature profiles in a plasma centrifuge // Appl. Phys. (D). — 1998. — Vol. 31, № 8. — P. 988-995. 

3. Balandin A.L., Ono Y. Tomographic determination of plasma velocity with the use of ion Doppler spectroscopy // Eur. Phys. J. (D). — 2001. — Vol. 17, № 3. — P. 337-344. 

4. Koslover R., McWilliams R. Measurement of multidimensional ion velocity distributions by optical tomography // Rev. Sci. Instrum. — 1986. — Vol. 57, № 10. — P. 2441-2448. 

5.Kinsey J.L. Fourier transform Doppler spectroscopy: A new means of obtaining velocity — angle distributions in scattering experiments // J. Chem. Phys. — 1977. — Vol. 66, № 6. — P. 2560-2565.  

6. Basser P.J. Relationships between diffusion tensor and q-space MRI // Magn. Reson. Med. — 2002. — Vol. 47, № 2. — P. 392-397. 

7. Efremov N.P., Poluektov N.P., and Kharchenko V.N. Tomography of ion and atom velocities in plasmas // JQSRT. — 1995. — Vol. 53, № 6. — P. 723-728. 

8. Juhlin S.P. Doppler tomography // Proc. 15th Annual Intern. Conf. of the IEEE, EMBS. — 1993. — P. 212-213.  

9. Defrise M., Gullberg G.T. 3D-reconstruction of tensors and vectors. — Berkeley: LBNL, 2005. — (Technical Report; № LBNL-54936). 

10. Деревцов Е.Ю., Кашина И.Г. Численное решение задачи векторной томографии с помощью полиномиальных базисов // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2002. — Т. 5, № 3. — С. 233-254. 

11. Деревцов Е.Ю., Кашина И.Г. Приближенное решение задачи реконструкции тензорного поля второй валентности с помощью полиномиальных базисов // Сиб. журн. индустриальной математики. — 2002. — Т. 5, № 1(9). — С. 39-62. 

12. Derevtsov E.Yu. An approach to direct reconstruction of a solenoidal part in vector and tensor tomography problems // J. Inverse Ill-Posed Problems. — 2005. — Vol. 13, № 3. — P. 213-246. 

13. Пикалов В.В., Лихачев А.В. Применение метода Гершберга-Папулиса в трехмерной доплеровской томографии // Вычисл. методы и программирование. — 2004. — Т. 5, № 2. — С. 146-153. 

14. Пикалов В.В., Мельникова Т.С. Томография плазмы. — Новосибирск: Наука, 1995. 

15. Бойко В.М., Оришич А.М., Павлов А.А., Пикалов В.В. Методы оптической диагностики в аэрофизическом эксперименте. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 2009. 

16. Гельфанд И.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я. Обобщенные функции. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. Вып. 5. — М.: ГИФМЛ, 1962. 

17. Гельфанд И.М., Гончаров А.Б., Восстановление финитной функции, исходя из ее интегралов по прямым, пересекающим данное множество точек в пространстве // ДАН СССР. — 1986. — Т. 290, № 5. — С. 1037-1040. 

18. Паламодов В.П. Некоторые сингулярные задачи томографии. Математические проблемы томографии / И.М. Гельфанд и С.Г. Гиндикин // Вопросы кибернетики. — М., 1990. — С. 132-140. 

19. Деревцов Е.Ю. Некоторые подходы к задаче визуализации сингулярного носителя скалярных, векторных и тензорных полей по томографическим данным // Сибирские электронные математические известия. — 2008. — Т. 5. — С. 632-646. 

20. Vainberg E.I., Kazak I.A., and Faingoiz M.L. X-ray computerized back projection tomography with filtration by double differentiation. Procedure and information features // Soviet J. Nondest. Test. — 1985. — № 21. — P. 106-113. 

21. Faridani A., Keinert F., Natterer F., Ritman E.L., and Smith K.T. Local and global tomography // Signal Process. IMA Vol. Math. Appl. — New York: Springer-Verlag, 1990. — Vol. 23. — P. 241-255. 

22. Faridani A., Ritman E.L., and Smith K.T. Local tomography // SIAM J. Appl. Math. — 1992. — Vol. 52, № 2. — P. 459-484. 

23. Faridani A., Finch D.V., Ritman E.L., and Smith K.T. Local tomography II // SIAM J. Appl. Math. — 1997. — Vol. 57, № 4. — P. 1095-1127. 

24. Louis A.K., Maass P. Contour reconstruction in 3-D X-ray CT // IEEE Trans. Med. Imag. — 1993. — Vol. 12, № 4. — P. 764-769. 

25. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. — М.: ГИФМЛ, 1962. 

26. Аниконов Д.С. Использование особенностей решения уравнения переноса в рентгеновской томографии // Докл. РАН. — 1994. — Т. 335, № 6. — С. 702-704. 

27. Аниконов Д.С., Ковтанюк А.Е., Прохоров И.В. Использование уравнения переноса в томографии. — М.: Логос, 2000. 

28. Аниконов Д.С. Специальная задача интегральной геометрии // Докл. РАН. — 2007. — Т. 415, № 1. — С. 7-9. 

29. Шарафутдинов В.А. Интегральная геометрия тензорных полей. — Новосибирск: Наука, 1993. 

30. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — Ленинград-Москва: ОНТИ. Гос. технико-теоретическое изд-во, 1934. 

31. Weyl H. The method of orthogonal projection in potential theory // Duke Math. J. — 1940. — № 7. — Р. 411-444. 

32. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1954. — Т. 18, № 1. — С. 3-50.

 =====================================================================

УДК 519.62 

Анализ разностной схемы для сингулярно возмущенной задачи Коши на сгущающейся сетке  с. 47-57 

Задорин Александр Иванович1, Тиховская Светлана Валерьевна2 

1Омский филиал Института математики СО РАН, ул. Певцова, 13, Омск, 644099

zadorin@ofim.oscsbras.ru 

2Омский филиал Института математики СО РАН, ул. Певцова, 13, Омск, 644099

s.tihovskaya@yandex.ru

 

Аннотация  

Рассматривается задача Коши для сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Обосновывается равномерная сходимость схемы направленных разностей на сетке, предложенной Г.И. Шишкиным. Использование данной сетки хорошо известно лишь в случае краевой задачи. Приводятся результаты численных экспериментов. 

Ключевые слова: дифференциальное уравнение второго порядка, сингулярное возмущение, задача Коши, разностная схема, принцип максимума, сетка Шишкина, равномерная сходимость. 

Литература 

1. Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1969. — Т. 9, № 4. — С. 841-890. 

2. Ильин А.М. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Математические заметки. — 1969. — Т. 6, № 2. — C. 237-248. 

3. Шишкин Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. — Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1992. 

4. Kellog R.B., Tsan A. Analysis of some difference approximations for a singular perturbation problem without turning points // Mathematics of computation. — 1978. — Vol. 32, № 144. — P. 1025-1039. 

5. Miller J.J.H., O'Riordan E., and Shishkin G.I. Fitted Numerical Methods for Singular Perturbation Problems. Error Estimates in the Maximum Norm for Linear Problems in One and Two Dimensions. — Singapore: World Scientific, 1996. 

6. Дулан Э., Миллер Д., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. — М.: Мир, 1983. 

7. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1983.

=====================================================================

УДК 621.391.1:004.7 

Реализация алгоритмов с мелкозернистым параллелизмом на графических ускорителях  с. 59-70 

Калгин Константин Викторович1 

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

kalginkv@gmail.com

Аннотация 

Исследуется эффективность реализаций алгоритмов с мелкозернистым параллелизмом на графических ускорителях, поддерживающих архитектуру Compute Unified Device Architecture (CUDA). Для тестирования используются клеточные автоматы и разностные схемы. Предлагаются различные варианты реализации и анализируется их производительность. Приводится пример применения графических ускорителей для моделирования процесса окисления углекислого газа на поверхности катализатора. 

Ключевые слова:  графический ускоритель, видеокарта, CUDA, клеточный автомат, мелкозернистые алгоритмы, параллельная реализация. 

Литература 

1. NVIDIA CUDA Programming Guide. — http://www.nvidia.com/object/cuda_get.html 

2. Марченко М.А. Комплекс программ MONC для распределенных вычислений методом Монте-Карло // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2004. — Т. 7, № 1. — С. 43-55. 

3. Matsumoto M., Nishimura T. Mersenne Twister: a 623-dimensionally equidistributed uniform pseudorandom number generator // ACM Trans. on Modeling and Computer Simulation. — 1998. — Vol. 8, № 1. — P. 3-30. 

4. Mersenne Twister for Graphic Processors (MTGP): a new variant of Mersenne Twister. — http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/ m-mat/MT/MTGP/index.html 

5. Saito M., Matsumoto M. SIMD-oriented Fast Mersenne Twister: a 128-bit pseudorandom number generator // Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods 2006. — Springer, 2008. — P. 607-622. 

6. Elokhin V.I., Latkin E.I., Matveev, A.V., and Gorodetskii V.V. Application of statistical lattice models to the analysis of oscillatory and autowave processes on the reaction of carbon monoxide oxidation over platinum and palladium surfaces // Kinetics and Catalysis. — 2003. — № 44. — P. 692-700. 

7. Малинецкий Г.Г., Степанцов М.Е. Моделирование диффузионных процессов с помощью клеточных автоматов с окрестностью Марголуса // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1998. — Т. 38, № 6. — С. 1017-1020. 

8. Schlogl F. Chemical reaction models for non-equilibrium phase transitions // Zh. Physik. — 1972. — Vol. 253. — P. 147-161. 

9. Overeinder B.J., Sloot P.M.A. Application of time warp to parallel simulations with asynchronous cellular automata // European Simulation Symposium. — The Netherlands: Delft, 1993. — P. 397-402. 

10. Калгин К.В. Параллельная реализация асинхронных клеточно-автоматных алгоритмов // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. — 2008. — № 54. — Р. 108-113. 

11. Bandman O. Parallel simulation of asynchronous cellular automata evolution // ACRI-2006 / S. Yacoubi, B. Chopard, S. Bandini. — Berlin: Springer, 2006. — LNCS 4173. — P. 41-47. 

=====================================================================

УДК 551.251:519.771.3 

О влиянии выбора реологического закона на результаты компьютерного моделирования субдукции плит  с. 71-90 

Коробейников Сергей Николаевич1, Ревердатто Владимир Викторович2, Полянский Олег Петрович3, Свердлова Вера Грегоровна4, Бабичев Алексей Владимирович5 

1Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, просп. Акад. Лаврентьева, 15, г. Новосибирск, 630090

S.N.Korobeynikov@mail.ru

2Институт геологии и минералогии СО РАН, ул. Коптюга, 3, г. Новосибирск, 630090

rever@uiggm.nsc.ru

3Институт геологии и минералогии СО РАН, ул. Коптюга, 3, г. Новосибирск, 630090

pol@uiggm.nsc.ru

4 Государственный технический университет, просп. Ленина, 27, г. Комсомольск-на-Амуре, 631013

cvmi@knastu.ru

5Институт геологии и минералогии СО РАН, ул. Коптюга, 3, г. Новосибирск, 630090

Babichev@uiggm.nsc.ru  

 

Аннотация 

Исследуется влияние выбора вида поверхности текучести упругопластического материала и констант материалов плит и мантии на сценарий математического моделирования коллизии плит. Компьютерное моделирование проводится численным решением нелинейных уравнений механики деформируемого твердого тела методом конечных элементов с использованием пакета MSC.Marc 2005. Результаты компьютерного моделирования существенно зависят от выбора констант материалов плиты и мантии, а также от вида поверхности текучести упругопластического материала субдукционной плиты. Проведенные численные эксперименты показывают, что пусковым механизмом субдукции является геометрическая неоднородность субдукционной плиты в районе коллизии плит при одновременном учете уплотнения материала плиты при ее погружении в мантию. 

Ключевые слова:  тектонические процессы, субдукция, компьютерное моделирование, упругопластический материал.

Литература

1. Shemenda A.I. Subduction: Insights from Physical Modeling. — Dordrecht et al.: Kluwer Academic Publ., 1994.

2. Коробейников С.Н., Полянский О.П., Лиханов И.И., Свердлова В.Г., Ревердатто В.В. Математическое моделирование надвига как причины формирования андалузит-кианитовой метаморфической зональности в Енисейском кряже // Докл. РАН. — 2006. — Т. 408, № 4. — С. 512-516. — Английский вариант: Korobeinikov S.N., Polyansky O.P., Likhanov I.I., Sverdlova V.G., and Reverdatto V.V. Mathematical modeling of overthrusting fault as a cause of andalusite-kyanite metamorphic zoning in the Yenisei ridge // Doklady Earht Sciences. — 2006. — Т. 408, № 1. — P. 652-656.

3. Коробейников С.Н., Ревердатто В.В., Полянский О.П., Свердлова В.Г., Бабичев А.В. Оценка эффекта геометрической нелинейности при математическом моделировании тектонических процессов // Вычислительные методы и программирование. — 2006. — Т. 7, № 2. — С. 130-145.

4. Коробейников С.Н., Полянский О.П., Свердлова В.Г., Бабичев А.В., Ревердатто В.В. Компьютерное моделирование поддвига и субдукции в условиях перехода габбро-эклогит в мантии // Докл. РАН. — 2008. — Т. 420, № 5. — С. 654-658. — Английский вариант: Korobeinikov S.N., Polyansky O.P., Sverdlova V.G., Babichev A.V., and Reverdatto V.V. Computer modeling of underthrusting and subduction under conditions of gabbro-eclogite transition in the mantle // Doklady Earth Sciences. — 2008. — Vol. 421, № 1. — P. 724-728.

5. Коробейников С.Н., Ревердатто В.В., Полянский О.П., Свердлова В.Г., Бабичев А.В. Компьютерное моделирование поддвига и субдукции при столкновении плит // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2009. — Т. 12, № 1. — С. 71-90. — Английский вариант: Korobeynikov S.N., Reverdatto V.V., Polyanskii O.P., Sverdlova V.G., and Babichev A.V. Computer simulation of underthrusting and subduction due to collision of slabs // Numerical Analysis and Applications. — 2009. — Vol. 2, № 1. — P. 58-73.

6. Полянский О.П., Коробейников С.Н., Свердлова В.Г., Бабичев А.В., Ревердатто В.В. Влияние реологии коры на характер субдукции плит по результатам математического моделирования // Докл. РАН. — 2010. — Т. 430, № 4. — С. 518-522. — Английский вариант: Polyansky O.P., Korobeynikov S.N., Sverdlova V.G., Babichev A.V., and Reverdatto V.V. The influence of crustal rheology on plate subduction based on numerical modeling results // Doklady Earth Sciences. — 2010. — Vol. 430, № 2. — P. 158-162.

7. Capitano F.A., Morra G., and Goes S. Dynamic models of downgoing plate-buoyancy driven subduction: Subduction motions and energy dissipation // Earth and Planetary Science Letters. — 2007. — Vol. 262. — P. 284-297.

8. Capitano F.A., Goes S., Morra G., and Giardini D. Retracted: Signatures of downgoing plate-buoyancy driven subduction in motions and seismic coupling at major subduction zones // Earth and Planetary Science Letters. — 2007. — Vol. 262. — P. 298-306.

9. Zlotnik S., Díez P., Fernández M., and Vergés J. Numerical modelling of tectonic plates subduction using X-FEM // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. — 2007. — Vol. 196. — P. 4283-4293.

10. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1988.

11. MARC Users Guide. Vol. A: Theory and Users Information. — Santa Ana (CA): MSC. Software Corporation, 2005.

12. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.

13. Bathe K.-J. Finite Element Procedures. — New Jersey, Upper Saddle River: Prentice Hall, 1996.

14. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method, 5th ed. — Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000.

15. Голованов А.И., Бережной Д.В. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел. — Казань: ДАС, 2001.

16. Curnier A. Computational Methods in Solid Mechanics. — Dordretch: Kluwer Academic Publ., 1994.

17. Bonnet J., Wood R.D. Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1997.

18. Kleiber M. Incremental Finite Element Modelling in Non-linear Solid Mechanics. — Chichester: Ellis Horwood, 1989.

19. Jarrard R.D. Relations Among Subduction Parameters // Rev. Geophys. — 1986. — Vol. 24, № 2. — P. 217-284.

20. Abers G.A. Plate structure and the origin of double seismic zones in Subduction Top to Bottom // Geophysical Monograph 96 / G.E. Bebout, D. Scholl, S. Kirby. — Washington: AGU, 1996. — P. 223-228.

21. Rondenay S., Abers G.A., and van Keken P.E. Seismic imaging of subduction zone metamorphism // Geology. — 2008. — Vol. 36, № 4. — P. 275-278.

22. Селиверстов Н.И. Геодинамика зоны сочленения Курило-Камчатской и Алеутской островных дуг. — Петропавловск-Камчатский: Изд-во КамГУ, 2009.

23. Гордеев Е.И., Павлов В.М. Субдукция тихоокеанской плиты под Камчатку: “сейсмическая” скорость поддвига // Физика Земли. — 2009. — № 4. — С. 56-66.

24. Dragert H., Hyndman R.D., Rogers G.C., and Wang K. Current deformation and the width of the seismogenic zone of the northern Cascadia subduction thrust // J. Geophys. Res. — 1994. — Vol. 99, № B1. — P. 653-668.

25. Nadai A. Theory of Flow and Fracture of Solids. Vol. 1, 2nd ed. — New York, Toronto and London: McGraw Hill, 1950. — Перевод с английского: Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 1. — М.: ИЛ, 1954.

26. Boresi A.P., Schmidt R.J., and Sidebottom O.M. Advanced Mechanics of Materials, 5th ed. — New York: Wiley, 1993.

27. Duxbury P., Li X. Development of elasto-plastic material models in a natural coordinate system // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. — 1996. — Vol. 135. — P. 283-306.

28. Kojić M., Bathe K.J. Inelastic Analysis of Solids and Structures. — Berlin et al.: Springer, 2005.

29. Макаров П.В., Смолин И.Ю., Стефанов Ю.П. и др. Нелинейная механика геоматериалов и геосред. — Новосибирск: Изд-во “ГЕО”, 2007.

30. Hiermaier S.J. Structures Under Crash and Impact: Continuum Mechanics, Discretization and Experimental Characterization. — New York et al.: Springer, 2008.

31. Irgens F. Continuum Mechanics. — Berlin et al.: Springer, 2008.

32. Hill R. A general theory of uniqueness and stability in elastic-plastic solids // J. Mech. Phys. Solids. — 1958. — Vol. 6, № 3. — P. 236-249. — Русский вариант: Хилл Р. Общая теория единственности и устойчивости для упругопластических тел // Механика. — 1958. — № 6. — С. 81-95. — (Сб. переводов.)

33. McMeeking R.M., Rice J.R. Finite element formulations for problems of large elastic-plastic deformation // Int. J. Solids Structures. — 1975. — Vol. 11. — P. 601-616.

34. Brown C.D., Phillips R.J. Crust-mantle decoupling by flexure of continental litosphere // J. Geophys. Res. — 2000. — Vol. 105, № B6. — P. 13221-13237.

35. Regenauer-Lieb K., Yuen D.A. Quartz rheology and short-time-scale crustal instabilities // Pure Appl. Geophys. — 2006. — Vol. 163. — P. 1915-1932.

36. Burov E., Yamato P. Continental plate collision, P-T-t-z conditions and unstable vs. stable dynamics: Insights from termo-mechanical modeling // Lithos. — 2008. — Vol. 103. — P. 178-204.

====================================================================

AMS 28A80, 62M10, 65C05 

Оценка фрактальной размерности случайных полей на основе анализа дисперсии приращений  с. 91-102 

Пригарин Сергей Михайлович1, Хан Клаус2, Винклер Герхард3 

1Институт вычислительных технологий СО РАН, просп. Акад. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090,

Новосибирский госуниверситет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

sergeim.prigarin@gmail.com  

2Institute of Biomathematics and Biometry Helmholtz Zentrum Muenchen, Ingolstädter Landstraβe 1, 85764, Neuherberg, Germany

hahn@helmholtz-muenchen.de  

3Institute of Biomathematics and Biometry Helmholtz Zentrum Muenchen, Ingolstädter Landstraβe 1, 85764, Neuherberg, Germany

gwinkler@helmholtz-muenchen.de 

 

Аннотация 

Работа посвящена оцениванию фрактальной размерности реализаций случайных полей. Численные методы основаны на анализе дисперсии приращений. Для исследования фрактальных свойств предлагается использовать специальную характеристику случайных полей, называемую дисперсионной размерностью. Для гауссовских полей с однородными приращениями дисперсионная размерность сходится к размерности Хаусдорфа. Приводится ряд примеров, иллюстрирующих, как понятие дисперсионной размерности может быть использовано для создания эффективных вычислительных методов. 

Ключевые слова:  вычисление размерности, случайные поля, размерность Хаусдорфа, фрактальный анализ, дисперсионная размерность. 

Литература 

1. Hausdorff F. Dimension und äuβeres Maβ // Math. Annalen. — 1919. — Vol. 79. — P. 157-179. 

2. Stoyan D., Stoyan H. Fractals, Random Shapes and Point Fields. Methods of Geometrical Statistics. — Chichester: John Wiley & Sons, 1994. 

3. Prigarin S.M., Hahn K., and Winkler G. Comparative analysis of two numerical methods to measure the Hausdorff dimension of the fractional Brownian motion // Numerical Analysis and Applications. — 2008. — Vol. 1, № 2. — P. 163-178. 

4. Prigarin S.M., Hahn K., and Winkler G. Variational dimension of random sequences with stationary increments and its application // Numerical Analysis and Applications — 2009. — Vol. 2, № 4. — P. 352-363. 

5. Adler R.J. The Geometry of Random Fields. — New York: Wiley, 1981. 

6. Kolmogorov A.N. Wienersche Spiralen und einige andere interessante Kurven im Hilbertschen Raum // Report Acad. Sci. USSR. — 1940. — Vol. 26. — P. 115-118. 

7. Mandelbrot B.B., Ness J.W.V. Fractional Brownian motions, fractional noises and applications // SIAM Rev. — 1968. — Vol. 10. — P. 422-437. 

8. Samorodnitsky G., Taqqu M.S. Stable non-Gaussian Random Processes: Stochastic Models with Infinite Variance. — New York: Chapman & Hall, 1994. 

9. Ayache A. Hausdorff dimension of the graph of the fractional Brownian sheet // Rev. Mat. Iberoamericana. — 2004. — Vol. 20, iss. 2. — P. 395-412. 

10. Пригарин С.М. Методы численного моделирования случайных процессов и полей. — Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2005. 

=====================================================================

УДК 519.676+535.361:535.51 

Обоснование сходимости для алгоритмов метода Монте-Карло восстановления индикатрисы рассеяния с учетом поляризации   с. 103-116 

Ухинов Сергей Анатольевич1, Чимаева Анна Сергеевна2 

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090,

Новосибирский госуниверситет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

sau@sscc.ru  

2Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

chimaevaa@gmail.com

 

Аннотация  

Рассматривается задача восстановления индикатрисы рассеяния атмосферы по наземным наблюдениям яркости неба в альмукантарате Солнца. Для решения этой задачи был разработан новый итерационный метод, представляющий собой комбинацию аддитивного и мультипликативного способа выделения однократно рассеянного излучения с учетом поляризации излучения, также были предложены модификации существующих методов.

В данной работе рассматривается численное обоснование этих методов, для чего был построен алгоритм вычисления матрицы Якоби операторов перехода методов и проведены расчеты для различных параметров среды.

Ключевые слова: методы Монте-Карло, восстановление индикатрисы рассеяния, поляризация излучения, обоснование сходимости. 

Литература 

1. Антюфеев В.С., Михайлов Г.А., Лифшиц Г.Ш., Иванов А.И. Определение аэрозольных индикатрис рассеяния безоблачной атмосферы в спектральных областях 0.55÷2.4 мкм // Изв. АН СССР. Сер. ФАО. — 1980. — Т. 16, № 2. — С. 146-155. 

2. Антюфеев В.С., Назаралиев М.А. Обратные задачи атмосферной оптики. — Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1988. 

3. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. — М.: Наука, 1969. 

4. Марчук Г.И., Михайлов Г.А., Назаралиев М.А. и др. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике. — Новосибирск: Наука, 1976. 

5. Михайлов Г.А. Некоторые задачи теории и приложений методов Монте-Карло. — Новосибирск, 1978. — (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние ВЦ). 

6. Михайлов Г.А., Ухинов С.А., Чимаева А.С. Дисперсия стандартной векторной оценки метода Монте-Карло в теории переноса поляризованного излучения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 2006. — Т. 46, № 11. — С. 2199-2212. 

7. Михайлов Г.А., Ухинов С.А., Чимаева А.С. Алгоритмы метода Монте-Карло для восстановления индикатрисы рассеяния с учетом поляризации // Докл. РАН. — 2008. — Т. 423, № 2. — С. 161-164. 

8. Ухинов С.А., Юрков Д.И. Оценки методов Монте-Карло для параметрических производных поляризованного излучения // Сиб. журн. вычисл. матем. / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2002. — Т. 5, № 1. — С. 40-56. 

9. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. — М.: Наука, 1953. 

10. Чимаева А.С. Исследование дисперсии оценок поляризации методом Монте-Карло // Тр. конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН. — Новосибирск, 2004. — С. 242-248. 

11. Chimaeva A.S., Mikhailov G.A. Study of polarization estimates variance by the Monte Carlo method // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. — 2006. — Vol. 20, № 3. — P. 305-317. 

12. Chimaeva A.S., Mikhailov G.A., and Ukhiniov S.A. Monte Carlo algorithms for reconstructing a scattering phase function with polarization taken into account // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. — 2009. — Vol. 24, № 5. — P. 455-465. 

13. Ukhiniov S.A., Yurkov D.I. Monte Carlo method of calculating the derivatives of polarized radiation // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. — 1998. — Vol. 13, № 5. — P. 425-444. 

14. Ukhinov S.A., Yurkov D.I. Computation of the parametric derivatives of polarized radiation and the solution of inverse atmosphere optic problems // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. — 2002. — Vol. 17, № 3. — P. 283-303. 


Номер 2, c. 119-230

УДК 519.115 

Решения перечислительных задач однопереходных серийных последовательностей с ограниченным сверху приращением высот соседних серий  с. 119-130 

Амелькин Валерий Алексеевич1

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

amel-kin@yandex.ru

 

Аннотация

Изучаются множества n-значных конечных серийных последовательностей, составленных из двух серийных подпоследовательностей, которые начинаются с возрастающей подпоследовательности и оканчиваются убывающей (или наоборот). Структура этих последовательностей определяется ограничениями на число серий, на длины серий, на высоты серий.

Для множеств последовательностей, разность высот соседних серий которых не больше некоторой заданной величины 1 ≤ |hj+1 - hj| ≤ δ, получены алгоритмы, приписывающие меньшие номера лексикографически младшим последовательностям и приписывающие меньшие номера лексикографически старшим последовательностям.

Ключевые слова: серия, длина серии, высота серии, ограничения.

Литература

1. Амелькин В.А. Перечислительные задачи серийных последовательностей. — Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2008.

2. Амелькин В.А. Нумерация неубывающих и невозрастающих серийных последовательностей // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2009. — Т. 12, № 4. — С. 389-401.

=====================================================================

УДК 519.676

Аналитическое описание применения одномерной схемы Т. Кохонена для построения адаптивных сеток  с. 131-140

Войтишек Антон Вацлавович1, Хмель Дарья Сергеевна2

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090,

Новосибирский госуниверситет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

vav@osmf.sscc.ru

2Новосибирский госуниверситет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

daria.khmel@gmail.com

 

Аннотация

В данной работе проведен анализ аналитических подходов к исследованию асимптотики положений узлов специального итерационного дискретно-стохастического алгоритма построения адаптивных сеток, основанного на применении самоорганизующихся карт Кохонена. Для упрощенного одномерного случая разработан «рекуррентный» подход для получения усредненных наиболее вероятных положений узлов сетки при небольшом числе итераций. Такой подход позволяет проводить содержательные аналитические исследования и численное тестирование рассматриваемого алгоритма.

Ключевые слова: самоорганизующиеся карты Кохонена, адаптивные сетки, дискретно-стохастический алгоритм, упрощенный одномерный случай, рекуррентные формулы для усредненных наиболее вероятных положений узлов сетки.

Литература

1. Годунов С.К., Прокопов Г.П. О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1967. — Т. 7. — С. 1031-1059.

2. Gordon W.J., Thiel L.C. Transfinite mappins and their applications to grid generations // Numerical Grid Generation. Applied Mathematics and Computation. — 1982. — Vol. 2/3. — P. 171-192.

3. Thompson J.F., Warsi Z.U.A., and Mastin C.W. Numerical Grid Generation: Foundations and Applications. — Amsterdam (Netherlands): North-Holland, 1985.

4. Хакимзянов Г.С., Шокин Ю.И., Барахнин В.Б., Шокина Н.Ю. Численное моделирование течений жидкости с поверхностными волнами. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001.

5. Лисейкин В.Д., Лебедев А.С., Китаева И.А. Универсальный аналитический метод построения разностных сеток. — Новосибирск: Изд-во Новосибирского госуниверситета, 2004.

6. Нечаева О.И. Нейросетевые модели, алгоритмы и комплекс программ для построения адаптивных сеток: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. — Новосибирск, 2007.

7. Kohonen T. Self-Organizing Maps. — New York: Springer-Verlag, 2001.

8. Ефремов А.И. Дискретно-стохастические численные методы построения адаптивных сеток: Магистерская диссертация / НГУ. — Новосибирск, 2009.

=====================================================================

УДК 519.676

Минимизация дисперсии оценки математического ожидания функционала диффузионного процесса на основе параметрического преобразования параболической краевой задачи с. 141-153

Гусев Сергей Анатольевич1

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

sag@osmf.sscc.ru

 

Аннотация

Работа связана с нахождением способов уменьшения дисперсии оценки математического ожидания функционала диффузионного процесса, движущегося в заданной области с поглощающей границей. Оценка математического ожидания этого функционала получается с использованием численного решения стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) методом Эйлера. Получена формула предельного значения дисперсии при убывании шага интегрирования в методе Эйлера. Предложен метод уменьшения дисперсии оценки на основе преобразования параболической краевой задачи, соответствующей диффузионному процессу. Приведены результаты численных экспериментов.

Ключевые слова: диффузионный процесс, стохастические дифференциальные уравнения, поглощающая граница, коэффициент вариации, метод Эйлера.

Литература

1. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука, 1967.

2. Урясьев С.П. Адаптивные алгоритмы стохастической оптимизации и теории игр. — М.: Наука, 1990.

3. Гусев С.А. Оценка производных по параметрам функционалов диффузионного процесса, движущегося в области с поглощающей границей // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2008. — Т. 11, № 4. — С. 385-404.

4. Gobet E., Menozzi S. Stopped diffusion process: boundary corrections and overshoot // Stochastic Process. Appl. — 2010. — Vol. 120. — P. 130-162.

5. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. — Киев: Наукова думка, 1968.

=====================================================================

УДК 519.63, 51-72, 517.962.1, 517.962.8

Об особенностях схемы Лебедева при моделировании упругих волн в анизотропных средах  с. 155-167

Лисица Вадим Викторович1, Вишневский Дмитрий Михайлович2

1Институт геофизики СО РАН, просп. Акад. Коптюга, 3, Новосибирск, 630090

lisitsavv@ipgg.nsc.ru

2Институт геофизики СО РАН, просп. Акад. Коптюга, 3, Новосибирск, 630090

vishnevskydm@ipgg.nsc.ru

 

Аннотация

В работе представлена схема Лебедева на разнесённых сетках в применении к задачам моделирования волновых процессов в анизотропных упругих средах. Основное внимание в работе уделено вопросу аппроксимации системы уравнений динамической теории упругости схемой Лебедева. На основе метода дифференциального приближения показано, что схема Лебедева аппроксимирует систему уравнений, отличную от исходной. Установлено, что аппроксимируемая система обладает набором из 24 характеристик, при этом 6 из них совпадают с характеристиками системы уравнений динамической теории упругости, а остальные являются «артефактными». Требование равенства нулю артефактных и аппроксимации истинных решений приводит к классическому определению аппроксимации исходной системы на гладком решении. Полученные результаты, знание полного набора характеристик аппроксимируемой системы являются принципиальными при разработке слабоотражающих граничных условий при аппроксимации точечных источников и прочее.

Ключевые слова: конечно-разностные схемы, дифференциальные приближения, уравнения динамической теории упругости, анизотропия.

Литература

1. Вавакин А.С., Салганик Р.Л. Эффективные упругие характеристики тел с изолированными трещинами, полостями и жесткими неоднородностями // Известия АН СССР. Механика твердого тела. — 1978. — Т. 2. — С. 95-107.

2. Гольдин С.В. Сейсмические волны в анизотропных средах. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2008.

3. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений, основных дифференциальных операторов для некоторых краевых задач математической физики. I // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1964. — Т. 4, № 3. — С. 449-465.

4. Лисица В.В. Оптимальные сетки для решения волнового уравнения с переменными коэффициентами // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2005. — Т. 8, № 3. — С. 219-229.

5. Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. — Новосибирск: Наука, 1985.

6. Asvadurov S., Druskin V., and Moskow S. Optimal grids for anisotropic problems // Electron. Trans. Numer. Anal. — 2007. — Vol. 26. — P. 55-81.

7. Backus G.E. Long-wave elastic anisotropy produced by horizontal layering // J. of Geophysical Research. — 1962. — Vol. 67, iss. 11. — P. 4427-4440.

8. Bansal R., Sen M.K. Finite-difference modelling of S-wave splitting in anisotropic media // Geophysical Prospecting. — 2008. — Vol. 56, iss. 3. — P. 293-312.

9. Bernth H., Chapman C. A comparisson of finite-difference grids for anisotropic elastic modelling // Expanded Abstracts of 72nd EAGE Conference and Exposition. — Spain, Barcelona, 2010. — P. G008.

10. Davydycheva S., Druskin V., and Habashy T. An efficient finite-difference scheme for electromagnetic logging in 3D anisotropic inhomogeneous media // Geophysics. — 2003. — Vol. 68, iss. 5. — P. 1525-1535.

11. Engquist B., Majda A. Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves // Math. Comp. — 1977. — Vol. 31, № 139. — P. 629-651.

12. Igel H., Mora P., and Riollet B. Anisotropic wave propagation through finite-difference grids // Geophysics. — 1995. — Vol. 60, iss. 4. — P. 1203-1216.

13. Kachanov M. Effective elastic properties of cracked solids: Critical review of some basic concepts // Applied Mechanical Review. — 1992. — Vol. 45, iss. 8. — P. 304-335.

14. Levander A.R. Fourth-order finite-difference P-SV seismograms // Geophysics. — 1988. — Vol. 53, iss. 11. — P. 1425-1436.

15. Lisitsa V., Lys E. Reflectionless truncation of target area for axially symmetric anisotropic elasticity // J. of Computational and Applied Mathematics. — 2010. — Vol. 234, iss. 6. — P. 1803-1809.

16. Lisitsa V., Vishnevskiy D. Lebedev scheme for the numerical simulation of wave ropagation in 3D anisotropic elasticity // Geophysical Prospecting. — 2010. — Vol. 58, iss. 4. — P. 619-635.

17. Pissarenko D., Reshetova G.V., and Tcheverda V.A. 3D finite-difference synthetic acoustic logging in cylindrical coordinates // Geophysical Prospecting. — 2009. — Vol. 57, iss. 3. — P. 367-377.

18. Saenger E.H., Bohlen T. Finite-difference modeling of viscoelastic and anisotropic wave propagation using the rotated staggered grid // Geophysics . — 2004. — Vol. 69, iss. 2. — P. 583-591.

19. Saenger E.H., Gold N., and Shapiro S.A. Modeling the propagation of the elastic waves using a modified finite-difference grid // Wave Motion. — 2000. — Vol. 31, iss. 1. — P. 77-92.

20. Schoenberg M., Muir F. A calculus for finely layered anisotropic media // Geophysics. — 1989. — Vol. 54, iss. 5. — P. 581-589.

21. Sengupta M., Bachrach R., and Bakulin A. Relationship between velocity and anisotropy perturbations and anomalous stress field around salt bodies // The Leading Edge. — 2009. — Vol. 28, iss. 5. — P. 598-605.

22. Thomsen L. Weak elastic anisotropy // Geophysics. — 1986. — Vol. 51, iss. 10. — P. 1954-1966.

23. Virieux J. P-SV wave propagation in heterogeneous media: velocity-stress finite-difference method // Geophysics. — 1986. — Vol. 51, iss. 4. — P. 889-901.

=====================================================================

УДК 517.958

Формулы, задающие положение фронта волны, распространяющейся в среде со степенной зависимостью скорости от координаты  с. 169-178

Москаленский Ефим Давыдович1

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

 

Аннотация

Рассматривается уравнение эйконала fx2 + fy2 = (ky). Если f — его решение, то соотношение f(x,y) = C задаёт положение фронта волны. Однако получение решений связано с большими трудностями. В статье развивается предложенный ранее автором способ, позволяющий находить в параметрической форме кривую, задающую волновой фронт, не решая уравнения.

Ключевые слова: распространение волн, уравнение эйконала.

Литература

1. Боровских А.В. Двумерное уравнение эйконала // Сиб. мат. журнал. — 2006. — Т. 47, № 5. — С. 993-1018.

2. Москаленский Е.Д. О нахождении фронта волны, описываемой двумерным уравнением эйконала, для случая, когда скорость в среде зависит от одной пространственной координаты // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2010. — Т. 13, № 1. — С. 67-73.

3. Mарчук Ан.Г., Чубаров Л.Б., Шокин Ю.И. Численное моделирование волн цунами. — Новосибирск: Наука, 1983.

4. Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. — М: Либроком, 2010.

=====================================================================

УДК 532.517.4:536.25

О моделировании сложных режимов конвекции Рэлея–Бенара с. 179-204

Палымский Игорь Борисович1

1Современная гуманитарная академия, Новосибирский филиал, ул. Ватутина, 71,г. Новосибирск, 630064

 palymsky@hnet.ru

 

Аннотация

В двумерной и трехмерной постановках рассмотрена задача о турбулентной конвекции несжимаемой жидкости в прямоугольном параллелепипеде при подогреве снизу. При трехмерном моделировании горизонтальные границы предполагаются свободными от касательных напряжений, а в двумерном — свободными либо жесткими. Показано, что несмотря на наблюдаемые количественные расхождения между результатами трехмерного моделирования и экспериментом по пульсациям скорости и числу Нуссельта, трехмерное моделирование дает правильные степенные законы изменения пульсаций температуры и вертикальной скорости при надкритичности больше 150. При двумерном моделировании аналогичное соответствие наблюдается при сравнительно невысокой надкритичности (примерно до 250). А при высокой надкритичности в двумерной конвекции доминирующим фактором является наличие крупномасштабной структуры, определяющей характеристики течения.

Ключевые слова: моделирование, гидродинамика, конвекция, теплоперенос, турбулентность.

Литература

1. Malevsky A.V. Spline-characteristic method for simulation of convective turbulence // J. Comput. Phys. — 1996. — Vol. 123, № 2. — P. 466-475.

2. Cortese T., Balachandar S. Vortical nature of thermal plumes in turbulent convection // Phys. Fluids. A. — 1993. — Vol. 5, № 12. — P. 3226-3232.

3. Travis B., Olson P., and Schubert G. The transition from two-dimensional to three-dimensional planforms in infinite-Prandtl-number thermal convection // J. Fluid Mech. — 1990. — Vol. 216. — P. 71-91.

4. Arter W. Nonlinear Rayleigh-Benard convection with square planform // J. Fluid Mech. — 1985. — Vol. 152. — P. 391-418.

5. Curry J.H., Herring J.R., Loncaric J., and Orszag S.A. Order and disorder in two-and three-dimensional Benard convection // J. Fluid Mech. — 1984. — Vol. 147. — P. 1-38.

6. Thual O. Zero-Prandtl-number convection // J. Fluid Mech. — 1992. — Vol. 240. — P. 229-258.

7. Kerr R.M. Rayleigh number scaling in numerical convection // J. Fluid Mech. — 1996. — Vol. 310. — P. 139-179.

8. Hartlep T., Tilgner A., and Busse F.H. Large scale structures in Rayleigh-Benard convection at high Rayleigh numbers // Phys. Rev. Lett. — 2003. — Vol. 91, № 6. — P. 064501-064504.

9. Verzicco R., Camussi R. Numerical experiments on strongly turbulent thermal convection in a slender cylindrical cell // J. Fluid Mech. — 2003. — Vol. 477. — P. 19-49.

10. Amati G., Koal K., Massaioli F., Sreenivasan K.R., and Verzicco R. Turbulent thermal convection at Rayleigh numbers for a Boussinesq fluid of constant Prandtl number // Phys. Fluids. — 2005. — Vol. 17. — P. 121701-121704.

11. Shishkina O., Wagner C. Analysis of thermal dissipation rates in turbulent Rayleigh-Benard convection // J. Fluid Mech. — 2006. — Vol. 546. — P. 51-60.

12. Van Reeuwijk M., Jonker H.J.J., and Hanjalic K. Identification of the wind in Rayleigh-Benard convection // Phys. Fluids. — 2005. — Vol. 17, № 4. — P. 051704-051707.

13. Malevsky A.V., Yuen D.A. Characteristics-based methods applied to infinite Prandtl number thermal convection in the hard turbulent regime // Phys. Fluids. A. — 1991. — Vol. 3, № 9. — P. 2105-2115.

14. Veronis G. Large-amplitude Benard convection // J. Fluid Mech. — 1966. — Vol. 26, part 1. — P. 49-68.

15. DeLuca E.E., Werne J., Rosner R., and Cattaneo F. Numerical simulation of soft and hard turbulence: preliminary results for two-dimensional convection // Phys. Rev. Lett. — 1990. — Vol. 64, № 20. — P. 2370-2373.

16. Werne J. Structure of hard-turbulent convection in two dimensions: Numerical evidence // Phys. Rev. E. — 1993. — Vol. 48, № 2. — P. 1020-1035.

17. Goldhirsch I., Pelz R.B., and Orszag S.A. Numerical simulation of thermal convection in a two-dimensional finite box // J. Fluid Mech. — 1989. — Vol. 199. — P. 1-28.

18. Goldstein R.J., Graham D.J. Stability of a horizontal fluid with zero shear boundaries // Phys. Fluids. — 1969. — Vol. 12, № 6. — P. 1133-1137.

19. Krishnamurti R., Howard L.N. Large-scale flow generation in turbulent convection // Proc. Natl. Acad. Sci. USA (Applied physical and mathematical sciences). — 1981. — Vol. 78, № 4. — P. 1981-1985.

20. Farhadieh R., Tankin R.S. Interferometric study of two-dimensional Benard convection cells // J. Fluid Mech. — 1974. — Vol. 66, part 4. — P. 739-752.

21. Chu T.Y., Goldstein R.J. Turbulent convection in a horizontal layer of water // J. Fluid Mech. — 1973. — Vol. 60, part 1. — P. 141-159.

22. Deardorff J.W., Willis G.E. Investigation of turbulent thermal convection between horizontal plates // J. Fluid Mech. — 1967. — Vol. 28, part 4. — P. 675-704.

23. Thomas D.B., Townsend A.A. Turbulent convection over a heated horizontal surface // J. Fluid Mech. — 1957. — Vol. 2. — P. 473-492.

24. Fitzjarrald D.E. An experimental study of turbulent convection in air // J. Fluid Mech. — 1976. — Vol. 73, part 4. — P. 693-719.

25. Denton R.A., Wood I.R. Turbulent convection between two horizontal plates // Int. J. Heat and Mass Transfer. — 1979. — Vol. 22, № 10. — P. 1339-1346.

26. Garon A.M., Goldstein R.J. Velocity and heat transfer measurements in thermal convection // Phys. Fluids. — 1973. — Vol. 16, № 11. — P. 1818-1825.

27. Malkus W.V.R. Discrete transitions in turbulent convection // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. — 1954. — Vol. 225, № 1161. — P. 185-195.

28. Niemela J.J., Sreenivasan K.R. Turbulent convection at high Rayleigh numbers and aspect ratio 4 // J. Fluid Mech. — 2006. — Vol. 557. — P. 411-422.

29. Fleischer A.S., Goldstein R.J. High-Rayleigh-number convection of pressurized gases in a horizontal enclosure // J. Fluid Mech. — 2002. — Vol. 469. — P. 1-12.

30. Wu X-Zh., Libchaber A. Scaling relations in thermal turbulence: the aspect-ratio dependence // Phys. Rev. A. — 1992. — Vol. 45, № 2. — P. 842-845.

31. Палымский И.Б. О качественном различии решений двумерной и трехмерной конвекции // Нелинейная динамика. — 2009. — Т. 5, № 2. — С. 183-203.

32. Гетлинг А.В. Конвекция Рэлея-Бенара. Структуры и динамика. — М.: Эдиториал УРСС, 1999.

33. Палымский И.Б. Численное моделирование двумерной конвекции, роль граничных условий // Известия РАН. МЖГ. — 2007. — № 4. — С. 61-71.

34. Палымский И.Б. Численное моделирование двумерной конвекции при высокой надкритичности // Успехи механики. — 2006. — № 4. — С. 3-28.

35. Рождественский Б.Л., Стойнов М.И. Алгоритмы интегрирования уравнений Навье-Стокса, имеющие аналоги законам сохранения массы, импульса и энергии. — М., 1987. — (Препринт / АН СССР. ИПМ им. М.В. Келдыша; 119).

36. Палымский И.Б. Численное исследование спектров турбулентной конвекции Рэлея-Бенара // Нелинейная динамика. — 2008. — Т. 4, № 2. — С. 145-156.

37. Палымский И.Б. Численное исследование спектров трехмерной конвекции Рэлея-Бенара // Известия РАН. ФАО. — 2009. — Т. 45, № 5. — С. 691-699.

38. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. — М.: Наука, 1984.

39. Фабер Т.Е. Гидроаэродинамика. — М.: Постмаркет, 2001.

40. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. — М.: Наука, 1972.

41. Палымский И.Б. Метод численного моделирования конвективных течений // Вычисл. технол. — 2000. — Т. 5, № 6. — С. 53-61.

42. Палымский И.Б. Линейный и нелинейный анализ численного метода расчета конвективных течений // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2004. — Т. 7, № 2. — С. 143-163.

43. Палымский И.Б., Герценштейн С.Я., Сибгатуллин И.Н. Об интенсивной турбулентной конвекции в горизонтальном плоском слое жидкости // Известия РАН. ФАО. — 2008. — Т. 44, № 1. — С. 75-85.

44. Schubert G., Anderson C.A. Finite element calculations of very high Rayleigh number thermal convection // Geophys. J. R. Astr. Soc. — 1985. — Vol. 80. — P. 576-601.

45. Gertsenstein S., Sibgatullin I. Bifurcations, Transition to turbulence and development of chaotic regimes for double-diffusive convection // Wseas transactions on applied and theoretical mechanics. — 2006. — Vol. 1, iss. 1. — P. 110-114.

46. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. — М.: Наука, 1988.

47. Moore D.R., Weiss N.O. Two-dimensional Rayleigh-Benard convection // J. Fluid Mech. — 1973. — Vol. 58, part 2. — P. 289-312.

48. Threlfall D.C. Free convection in low-temperature gaseous helium // J. Fluid Mech. — 1975. — Vol. 67, part 1. — P. 17-28.

=====================================================================

УДК 519.632

Переобусловливание при численном решении задачи Дирихле для бигармонического уравнения  с. 205-213

Сорокин Сергей Борисович1

1Институт вычислительных технологий СО РАН, просп. Акад. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090,

Новосибирский госуниверситет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

Sorokin@sscc.ru

 

Аннотация

Для численного решения бигармонического уравнения с краевыми условиями первого рода (защемленная пластина) исследуется алгоритм, позволяющий получать решение задачи с помощью итерационного процесса, на каждом шаге которого решается две дискретные задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Получены константы энергетической эквивалентности, необходимые для оптимизации итерационного метода.

Ключевые слова: бигармоническое уравнение, краевые условия, итерационный процесс, уравнение Пуассона, защемленная пластина, свободный край.

Литература 

1. Пальцев Б.В. О разложении решений задачи Дирихле и смешанной задачи для бигармонического уравнения в ряд по решениям распадающихся задач // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1966. — Т. 6, № 1. — С. 43-51.

2. Бугров А.Н. Метод фиктивных областей для уравнений с частными производными эллиптического типа // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Часть II. — Новосибирск: Изд-во ИТПМ СО РАН СССР, 1978. — С. 24-35. — (Материалы V Всесоюзной конференции).

3. Гловинский Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. — М.: Мир, 1979.

4. Вабищевич П.Н. Численное решение краевых задач дляэллиптических уравнений четвертого порядка // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1984. — Т. 24, № 8. — С. 1196-1206.

5. Коновалов А.Н. Численное решение задачи теории упругости. — Новосибирск: Наука, 1968.

 6. Коновалов А.Н. О численном решении смешанной задачи упругости // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1969. — Т. 9, № 2. — С. 469-474.

7. Алмуханбетов Н.А. Численная реализация краевых условий в задачах упругости // Численные методы механики сплошной среды. — Новосибирск, 1972. — Т 3, № 5. — С. 3-17.

8. Гуров Б.Г., Ерошенко Е.П., Кутняшенко В.М. Об одном методе реализации граничных условий в задачах теории упругости // Численные методы механики сплошной среды. — Новосибирск, 1973. — Т. 4, № 5. — С. 8-16.

9. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. — М.: Наука, 1979.

10. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978.

11. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1980.

=====================================================================

УДК 551.465+519.63

Влияние величины шага по времени на результаты численного моделирования глобального океанского климата  с. 215-230

Щербаков Александр Валентинович1, Малахова Валентина Владимировна2

1Югорский НИИ информационных технологий, ул. Мира, 151, г. Ханты-Мансийск, 628011

scherbak@uriit.ru

2Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, пр. Лаврентьева, 6, г. Новосибирск, 630090

malax@sscc.ru

 

Аннотация

В настоящей работе на основе численной квазигеострофической модели глобального климата океана исследуется влияние модельного шага по времени на моделируемые крупномасштабные поля температуры и солености при использовании неявных численных схем. Показано, что для более адекватного описания процессов глубокой вертикальной конвекции и моделирования более реалистичных термохалинных полей океана следует использовать шаги по времени не более 10 суток. При таких шагах по времени влияние схемной вязкости (диффузии) невелико.

Ключевые слова: глобальная термохалинная циркуляция океана, схемная вязкость, неявная численная модель, равновесное состояние, параметризация конвекции.

Литература

1. Bryan K. Climate and the ocean circulation. III. The ocean model // Monthly Weather Review. — 1969. — Vol. 97. — P. 806-827.

2. Cox M.D. A Primitive Equation. 3-Dimensional Model of the Ocean. GFDL Ocean Group Technical Report. № 1. — Princeton: NJ, 1984.

3. Pacanowski R.C., Griffies S.M. The MOM 3 Manual. Geophysical Fluid Dynamics Laboratory. — Princeton, USA: NOAA, 1999.

4. Залесный В.Б. Моделирование крупномасштабных движений в Мировом океане. — М.: Отдел вычислит. мат. АН СССР, 1984.

5. Залесный В.Б. Численное моделирование термохалинной циркуляции Мирового океана // Метеорология и гидрология. — 1998. — № 2. — С. 54-64.

6. Залесный В.Б., Мошонкин С.Н. Равновесный термохалинный режим глобальной циркуляции океана // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. — 1999. — Т. 35, № 3. — С. 371-398.

7. Голубева Е.Н., Иванов Ю.А., Кузин В.И., Платов Г.А. Численное моделирование циркуляции Мирового океана с учетом верхнего квазиоднородного слоя. // Океанология. — 1992. — Т. 32, вып. 3. — С. 395-405.

8. Кузин В.И., Голубева Е.Н., Платов Г.А. Моделирование гидрофизических характеристик системы Северный Ледовитый океан-Северная Атлантика. Коллективная монография «Фундаментальные исследования океанов и морей». Т. 1. — М.: Наука, 2006.

9. Seidov D. An intermediate model for large-scale ocean circulation studies // Dynamics of atmospheres and ocean. — 1996. — Vol. 25. — P. 25-55.

10. Edwards N.R., Willmott A.J., and Killworth P.D. On the role of topography and wind stress on the stability of the thermohaline circulation // J. Phys. Oceanogr. — 1998. — Vol. 28. — P. 756-778.

11. Maier-Reimer E., Mikolajewicz U. The Hamburg Large-Scale Geostrophic Ocean Circulation Modell. Tech. Rep. — Deutch.: KlimaRechenZentrum, 1990.

12. Maier-Reimer E., Mikolajewicz U., and Hasselmann K. Mean circulation of the Hamburg LSG OGCM and its sensitivity to the thermohalince surface forcing // J. Phys. Oceanogr. —1993. — № 23. — P. 731-757.

13. Горчаков В.А., Рябченко В.А. Моделирование сезонной изменчивости Индийского океана: Эффекты верхнего квазиоднородного слоя // Океанология. — 1992. — Т. 32, № 2. — С. 203-210.

14. Фокин С.А., Катцов В.М. Модель общей циркуляции океана как компонент объединенной глобальной климатической модели ГГО // Метеорология и гидрология. — 2001. — № 3. — С. 5-18.

15. Щербаков А.В., Малахова В.В. Численное моделирование глобального климата океана. — Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2008.

16. Саркисян А.С. Численный анализ и прогноз морских течений. — Л.: Гидрометеоиздат, 1977.

17. Марчук Г.И., Саркисян А.С. Математическое моделирование циркуляции океана. — М.: Наука, 1988.

18. Levitus S. Climatological Atlas of the World Ocean, NOAA/ERL GFDL Professional Paper 13. — N.J.: Princeton, 1982.

19. Cai W. Circulation driven by observed surface thermohaline fields in a course resolution ocean general circulation model // J. Geoph. Res. — 1994. — Vol. 99, № C5. — P. 10163-10181.

20. Щербаков А.В., Синяговская В.В. Экстраполяция Ричардсона на неравномерной сетке в задаче адвективно-диффузионного переноса // Тр. ВЦ СО РАН. Сер. Численное моделирование в задачах атмосферы, океана и окружающей среды. — 1993. — № 1. — С. 47-59.

21. Манабе С., Брайен К. Климат и циркуляция океана. — Л.: Гидрометиздат, 1972.

22. Щербаков А.В., Моисеев В.М. Разностная схема для адвективно-диффузионного уравнения. — Новосибирск, 1985. — (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; 631).

23. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. — М.: Мир, 1980.

24. Scherbakov A.V. Block iterative process for a difference advective-diffusive equation on sphere // Proc. of the Inter. Conf. on Comput. Mathemat. — Novosibirsk: ICM&MG Publisher, 2002. — Part I. — P. 124-129.

25. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1977.


Номер 3, с. 231-332

 

УДК 519.174.7, 004.75 

О раскраске графов в классе параллельных локальных алгоритмов с. 231-243

Евстигнеев Владимир Анатольевич1, Турсунбай кызы Ырысгуль2

1Институт систем информатики им. А.П. Ершова СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

eva@iis.nsk.su

2Институт систем информатики им. А.П. Ершова СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

rtursun@yandex.ru

Аннотация

Одним из способов улучшения выполнения распределенного алгоритма является представление стратегии раскраски в алгоритм, который, как известно, является эффективным в нераспределенных алгоритмах. В статье показано, что применение некоторых эвристик последовательного алгоритма раскраски, таких как наибольшие-первые (НП), наименьшие-последние (ПН) и наибольшие-первые насыщенности (НПН), для некоторых классов графов и для частных случаев вершинной раскраски в распределенных алгоритмах дают нам оптимальную или близкую к оптимальной раскраску.

Ключевые слова: раскраска графов, локальный алгоритм, распределенный алгоритм, жадный алгоритм, w-совершенные графы, T-раскраска, суммирующая раскраска.

Литература

1. Журавлев Ю.И. Локальные алгоритмы вычисления информации // Кибернетика. — 1965. — № 1. — С. 12-19.

2. Журавлев Ю.И. Алгоритмы построения минимальных дизъюнктивных нормальных форм для функций алгебры логики // Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. Т. 1. — М.: Наука, 1974. — С. 67-98.

3. Averbuch B. A new distributed depth-first-search algorithm // Inf. Process. Lett. — 1985. — Vol. 20, № 3. — P. 147-150.

4. Chandy K.M., Mistra J. Distributed computation on graphs: shortest path algorithms // Com. ACM. — 1982. — Vol. 25, № 11. — P. 833-837.

5. Chang E.J.H. Echo-algorithms: depth parallel operations on general graphs // IEEE Trans. On Software Eng. — 1982. — Vol. SE-8, № 4. — P. 391-401.

6. Herman T., Chandy K.M. On distributed search // Inf. Process. Lett. — 1985. — Vol. 21, № 8. — P. 666-677.

7. Евстигнеев В.А. О некоторых свойствах локальных алгоритмов на графах //

Комбинаторно-алгебраические методы в прикладной математике. — Горький: Изд-во ГГУ, 1983. — С. 72-105.

8. Евстигнеев В.А. Локальный алгоритм отыскания бикомпонент в ориентированном графе // ЖВМ. — 1978. — Т. 18, № 5. — С. 1345-1349.

9. Евстигнеев В.А. Локальные вычислительные алгоритмы и нахождение вершин с наибольшей степенью в неориентированном графе // Комбинаторно-алгебраические методы в прикладной математике. — Горький: Изд-во ГГУ, 1981. — С. 60-66.

10. Dijastra E.W., Scholton C.S. Termination detection for diffusing computations // Inf. Process. Lett. — 1980. — Vol. 11, № 1. — P. 1-4.

11. Евстигнеев В.А. Локальные алгоритмы на графах и проблема децентрализованной обработки информации // Тез. докл. II Всесоюз. конф. по прикладной логике. — Новосибирск, 1988. — С. 75-77.

12. Евстигнеев В.А. Локальные алгоритмы и распределенные вычисления // Тез. докл. VIII Всесоюз. конф. “Проблемы теоретической кибернетики”. — Горький, 1988. — С. 113-114.

13. Battiti R., Bertossi A.A., and Bonuccelli M.A. Assigning codes in wireless networks // Wireless Networks. — 1999. — № 5. — P. 195-209.

14. Евстигнеев В.А. Применение теории графов в программировании. — М.: Наука, 1985.

15. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. — М.: Наука, 1990.

16. Bellare M., Goldreich O., and Sudan M. Free bits, PCPs and non-approximability — towards tight results // SIAM J. Comp. — 1998. — Vol. 27. — P. 804-915.

17. Johansson Ö. Simple distributed ∆+1-coloring of graphs // Inf. Process. Lett. — 1999. — Vol. 70. — P. 229-232.

18. Grable D.A., Panconesi A. Fast distributed algorithms for Brooks-Vizing colorings // J. Algorithms. — 2000. — Vol. 37. — P. 85-120.

19. Cole R., Vishkin U. Deterministic coin tossing with applications to optimal parallel list ranking // Inf. Control. — 1986. — Vol. 70, № 1. — P. 32-53.

20. Goldberg A.V., Plotkin S.A. Parallel ∆+1 -coloring of constant-degree graphs // Information Processing Lett. — 1987. — № 25. — P. 241-245.

21. Panconesi A., Rizzi R. Some simple distributed algorithms for sparse networks // Distributed Computing. — 2001. — Vol. 14, № 2. — P. 97-100.

22. Goldberg A., Plotkin S., and Shannon G. Parallel symmetry-breaking in sparse graphs // Proc. of the 19th Annual ACM Conf. on Theory of Computing (STOC). — 1987. — P. 315-324.

23. Grable D.A., Panconesi A. Fast distributed algorithms for Brooks-Vizing colorings // Proc. of the 9th Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Al-gorithms (SODA). — 1998. — P. 473-480.

24. Hansen J., Kubale M., Kuszner L., and Nadolski A. Distributed largest-first algorithm for graph coloring // Proc. Of Euro-Par. — Springer-Verlag. — 2004. — P. 527-539. — (Lect. Notes Comp. Sci. 3149).

25. Panconesi A., Silvestri R. Experimental analysis of simple, distributed vertex coloring algorithms // Proc. of the 13th ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA). — 2002. — P. 606-615.

26. Szekeres G., Wilf H.S. An inequality for the chromatic number of a graph // J. Combin. Theory. — 1964. — Vol. 4. — P. 1-3.

27. Волошин В.И. Свойство триангулированных графов // Исслед. операций и программирования мат. наук. — Кишинев, 1982. — C. 24-32.

28. Маркосян С.Е., Гаспарян Г.С. w -совершенные графы // Ученые записки. — Ереван: Ереванский госуниверсит. — 1987. — № 3. — C. 9-15.

29. Евстигнеев В.А. Хордальные графы и их свойства // Проблемы систем информатики и программирования. — Новосибирск, 1999. — С. 33-64.

30. Matula D.W., Bleck L.L. Smallest-last ordering and dustering and graph coloring algorithms // J. Assoc. Comput. Math. — 1983. — Vol. 30, № 3. — P. 417-427.

31. Hale W.K. Frequency assignment: theory and applications // Proc. of the IEEE. — 1980. — Vol. 68, iss. 12. — P. 1497-1514.

32. Cozzens M.B., Roberts F.S. T -colorings of graphs and the channel assignment problem // Congressus Numerantium. — 1982. — Vol. 35. — P. 191-208.

33. Simon H.U. Approximation algorithms for channel assignment in cellular radio networks // Fundamentals of Computation Theory. — Springer-Verlag, 1989. — Vol. 380. — P. 405-415. — (Lect. Notes Comp. Sci.).

34. Roberts F.S. T -colorings of graphs: Recent results and open problems // Discrete Mathematics. — 1991. — Vol. 93, № 2-3. — P. 229-245.

35. Tesman B.A. Set T-colorings // Congressus Numerantium. — 1990. — № 77. — P. 229-242.

36. Brelaz D. New methods to color the vertices of a graph // Communications of the ACM. — 1979. — Vol. 22, № 4. — P. 251-256.

37. Costa D. On the use of some known methods for T-colorings of graphs // Annals of Operations Research. — 1993. — Vol. 41, № 4. — P. 343-358.

38. Kosowski A., Kuszner L. On greedy graph coloring in the distributed model // Proc. of Euro-Par. — Drezden: Springer-Verlag. — 2006. — P. 592-601. — (Lect. Notes Comp. Sci.; 4128).

39. Kubika E. The chromatic sum of a graph: Ph.D. dissertation. — Michigan: Western Michigan University, 1989.

40. Supowit K.J. Finding a maximum planar subset of nets in a channel // IEEE Trans. on Computer Aided Design (CAD). — 1987. — Vol. 6, № 1. — P. 93-94.

41. Nicolosco S., Sarrafzadeh M., and Song X. On the sum coloring problem on interval graphs // Algorithmica. — 1999. — Vol. 23. — P. 109-126.

=====================================================================

УДК 519.622

О контроле глобальной ошибки в неявных гнездовых методах Рунге-Кутты гауссовского типа с. 245-259

Куликов Геннадий Юрьевич1, Кузнецов Евгений Борисович2, Хрусталева Екатерина Юрьевна3

1CEMAT, Instituto Superior Técnico, TU Lisbon, Av. Rovisco Pais, 1049-001, Lisboa, Portugal

gkulikov@math.ist.utl.pt ; kulgyu@yahoo.com

2 Московский авиационный институт (государственный технический университет), Волоколамское шоссе, 4, Москва, А-80, ГСП-3, 125993

kuznetsov@mai.ru

3Ульяновский государственный университет, факультет математики и нформационных технологий, ул. Л. Толстого, 42, Ульяновск, 432970

khrustalevak@mail.ru

Аннотация

Исследуется автоматический контроль глобальной ошибки в классе неявных гнездовых методов Рунге-Кутты, построенный на основе комбинированного управления размером шага и порядком, разработанного Куликовым и Хрусталевой для неявных экстраполяционных схем в 2008 г. Особое внимание уделено вопросам эффективности вычислений, так как неявная экстраполяция, базирующаяся на неявных многостадийных схемах Рунге-Кутты высокого порядка, может быть затратной. Отдельное место отводится методике вычисления и контроля глобальной ошибки численного решения с целью достижения заданной пользователем точности вычислений (без учета ошибок округления) в автоматическом режиме. Все теоретические результаты статьи подкреплены вычислительными экспериментами на тестовых задачах.

Ключевые слова: неявные формулы Рунге-Кутты, эффективная реализация, неявные гнездовые схемы гауссовского типа, вычисление и контроль глобальной ошибки.

Литература

1. Kulikov G.Yu., Shindin S.K. On a family of cheap symmetric one-step methods of order four / V.N. Alexandrov et al. // Computational Science — ICCS 2006. 6th International Conference, Reading, UK, May 28-31, 2006. Proc. Part I. — 2006. — Vol. 3991. — P. 781-785. — (Lecture Notes in Comp. Sci.).

2. Kulikov G.Yu., Merkulov A.I., and Shindin S.K. Asymptotic error estimate for general Newton-type methods and its application to differential equations // Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling. — 2007. — Vol. 22, № 6. — P. 567-590.

3. Kulikov G.Yu., Shindin S.K. Numerical tests with Gauss-type nested implicit Runge-Kutta formulas / Y Shi et al. // Computational Science — ICCS 2007. 7th International Conference, Beijing, China, May 27-30, 2007. Proc. Part I. 2007. — Vol. 4487. — P. 136-143. — (Lecture Notes in Comp. Sci.).

4. Kulikov G.Yu., Shindin S.K. Adaptive nested implicit Runge-Kutta formulas of Gauss type // Appl. Numer. Math. — 2009. — Vol. 59. — P. 707-722.

5. Kulikov G.Yu. Automatic error control in the Gauss-type nested implicit Runge-Kutta formula of order 6 // Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling. — 2009. — Vol. 24, № 2. — P. 123-144.

6. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1988.

7. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. — М.: Мир, 1990.

8. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. — М.: Мир, 1999.

9. Butcher J.C. Numerical methods for ordinary differential equations. — Chichester: John Wiley and Son, 2003.

10. Куликов Г.Ю., Хрусталева Е.Ю. Об автоматическом управлении размером шага и порядком в неявных одношаговых экстраполяционных методах // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2008. — Т. 48, № 9. — C. 1580-1606.

11. Kulikov G.Yu., Weiner R. Variable-stepsize interpolating explicit parallel peer methods with inherent global error control // SIAM J. Sci. Comp. — 2010. — Vol. 32, № 4. — P. 1695-1723.

12. Dahlquist G. Stability and error bounds in the numerical integration of ordinary differential equations // Trans. Royal Inst. of Technology. — 1959. — № 130. — P. 1-87.

13. Dahlquist G. A special stability problem for linear multistep methods // BIT. — 1963. — Vol. 3. — P. 27-43.

14. Butcher J.C. On the implementation of implicit Runge—Kutta methods // BIT. — 1976. — Vol. 16. — P. 237-240.

15. Bickart T.A. An efficient solution process for implicit Runge-Kutta methods // SIAM J. Numer. Anal. — 1977. — Vol. 14. — P. 1022-1027.

16. Alexander R. Diagonally implicit Runge-Kutta methods for stiff ODEs // SIAM J. Numer. Anal. — 1977. — Vol. 14. — P. 1006-1024.

17. Alt R. Methodes A-stables pour l'integration de systemes differentiels mal conditionnes: Ph. D. thesis / Universite Paris. — Paris, 1971.

18. Crouzeix M. Sur l'approximation des equations differentielles operationnelles lineaires par de methodes de Runge-Kutta: Ph. D. thesis / Universite Paris. — Paris, 1975.

19. Kurdi M. Stable high order methods for time discretization of stiff differential quations: Ph. D. thesis / University of California. — California, 1974.

20. Kværnø A. Singly diagonally implicit Runge-Kutta methods with an explicit first stage // BIT. — 2004. — Vol. 44. — P. 489-502.

21. Nørsett S.P. Semi-explicit Runge-Kutta methods // Report. — Trondheim: Dept. of Math., University of Trondheim, 1974. — № 6/74.

22. Prothero A., Robinson A. On the stability and accuracy of one-step methods for solving stiff systems of ordinary differential equations // Math. Comp. — 1974. — Vol. 24. — P. 145-162.

23. Burrage K. A special family of Runge-Kutta methods for solving stiff differential equations // BIT. — 1978. — Vol. 18. — P. 22-41.

24. Burrage K., Butcher J.C., and Chipman F.H. An implementation of singly implicit Runge-Kutta methods // BIT. — 1980. — Vol. 20. — P. 326-340.

25. Nørsett S.P. Runge-Kutta methods with multiple real eigenvalue only // BIT. — 1976. — Vol. 16. — P. 388-393.

26. Butcher J.C., Cash J.R. Towards efficient Runge-Kutta methods for stiff systems // SIAM J. Numer. Anal. — 1990. — Vol. 27. — P. 753-761.

27. Butcher J.C., Chen D.J.L. A new type of singly implicit Runge-Kutta methods // Appl. Numer. Math. — 2000. — Vol. 34. — P. 179-188.

28. Nørsett S.P., Wolfbrandt A. Attainable order of rational approximations to the exponential function with only real poles // BIT. — 1977. — Vol. 17. — P. 200-208.

29. Cash J.R. On a class of implicit Runge-Kutta procedures // J. Inst. Math. Appl. — 1977. — Vol. 19. — P. 455-470.

30. Cash J.R. On a note of the computational aspects of a class of implicit Runge-Kutta procedures // J. Inst. Math. Appl. — 1977. — Vol. 20. — P. 425-441.

31. van Bokhoven W.M.G. Efficient higher order implicit one-step methods for integration of stiff differential equations // BIT. — 1980. — Vol. 20. — P. 34-43.

32. Cash J.R., Singhal A. Mono-implicit Runge-Kutta formulae for the numerical integration of stiff differential systems // IMA J. Numer. Anal. — 1982. — Vol. 2. — P. 211-227.

=====================================================================

УДК 517.93+519.713:007.52

Апостериорные оценки ошибки методов конечных элементов для нелинейной квадратичной задачи оптимального граничного управления с. 261-276

Лу Зулянг1

1College of Mathematics and Computer Sciences, Chongqing Three Gorges University, Chongqing, China, 404100

College of Civil Engineering and Mechanics, Xiangtan University, Xiangtan, China, 411105

zulianglux@126.com

 

Аннотация

Цель данной работы — изучение конечноэлементной дискретизации для класса квадратичных задач оптимального граничного управления, определяемых нелинейными эллиптическими уравнениями. Мы получаем апостериорные оценки ошибки для совместной аппроксимации состояния и управления. Такие оценки могут использоваться для построения надежной адаптивной конечноэлементной аппроксимации для задачи оптимального граничного управления. Наконец, представлен численный пример, подтверждающий наши теоретические результаты.

Ключевые слова: нелинейная задача оптимального граничного управления, методы конечных элементов, апостериорные оценки ошибки.

Литература

1. Arada N., Casas E., and Tröltzsch F. Error estimates for the numerical approximation of a semilinear elliptic control problem // Comp. Optim. Appl. — 2002. — Vol. 23. — P. 201-229.

2. Arada N., Casas E., and Tröltzsch F. Error estimates for the numerical approximation of a boundary semilinear elliptic control problem // Comp. Optim. Appl. — 2005. — Vol. 31. — P. 193-219.

3. Alt W., Mackenroth U. Convergence of finite element approximations to state constrained convex parabolic boundary control problems // SIAM J. Control Oprim. — 1989. — Vol. 27. — P. 718-736.

4. Bergounioux M., Haddou M., Hintermuller M., and Kunisch K. A comparison of a Moreau-Yosida based active set strategy and interior point methods for constrained optimal control problems // SIAM J. Optim. -2000. — Vol. 11. — P. 495-521.

5. Brunner H., Yan N.N. Finite element methods for optimal control problems governed by integral equations and integro-differential equations // Appl. Numer. Math. — 2003. — Vol. 47. — P. 173-187.

6. Chen Y., Lu Z. Error estimates of fully discrete mixed finite element methods for semilinear quadratic parabolic optimal control problems // Comp. Methods Appl. Mech. Engrg. — 2010. — Vol. 199. — P. 1415-1423.

7. Chen Y., Lu Z. Error estimates for parabolic optimal control problem by fully discrete mixed finite element methods // Finite Elem. Anal. Des. — 2010. — Vol. 46. — P. 957-965.

8. Chen Y., Liu W.B. A posteriori error estimates for mixed finite element solutions of convex optimal control problems // J. Comp. Appl. Math. — 2008. — Vol. 211. — P. 76-89.

9. Ciarlet P.G. The Finite Element Method for Elliptic Problems. — North-Holland, Amsterdam, 1978.

10. Falk F.S. Approximation of a class of optimal control problems with order of convergence estimates // J. Math. Anal. Appl. — 1973. — Vol. 44. — P. 28-47.

11. French D.A., King J.T. Approximation of an elliptic control problem by the finite element method // Numer. Funct. Anal. Optim. — 1991. — Vol. 12. — P. 299-315.

12. Geveci T. On the approximation of the solution of an optimal control problem governed by an elliptic equation // RAIRO: Numer. Anal. — 1979. — Vol. 13. — P. 313-328.

13. Gong W., Yan N.N. A posteriori error estimates for boundary control problems governed by the parabolic partial differential equations // J. Comp. Math. — 2009. — Vol. 27. — P. 68-88.

14. Gunzburger M.D., Hou S.L. Finite dimensional approximation of a class of constrained nonlinear control problems // SIAM J. Control Optim. — 1996. — Vol. 34. — P. 1001-1043.

15. Hintermuller M., Ito K., and Kunisch K. The Primal-Dual Active Set Strategy as Semi-Smooth Newton Method. — Report 214, Technische Universität, 2001. — Hintermuller M., Ito K., and Kunisch K. The primal-dual active set strategy as a semismooth Newton method // SIAM J. Optim. — 2002. — Vol. 13, iss. 3. — P. 865-888.

16. Kufner A., Kunisch K. Function Spaces. — Nordhoff: Leiden, 1977.

17. Ladyzhenskaya O.A., Uraltseva N. Linear and Quasilinear Elliptic Equations. — New York: Academic Press, 1968.

18. Lasiecka I. Ritz-Galerkin approximation of the time optimal boundary control problem for parabolic systems with Dirichlet boundary conditions // SIAM J. Control Optim. — 1984. — Vol. 22. — P. 477-500.

19. Liu H.P., Yan N.N. Superconvergence and a posteriori error estimates for boundary control by Stokes equations // J. Comp. Math. — 2006. — Vol. 24. — P. 343-356.

20. Liu W.B., Yan N.N. A posteriori error estimates for some model boundary control problems // J. Comp. Appl. Math. — 2000. — Vol. 120. — P. 159-173.

21. Liu W.B., Yan N.N. A posteriori error estimates for convex boundary control problems // SIAM J. Numer. Anal. — 2001. — Vol. 39. — P. 73-99.

22. Liu W.B., Yan N.N. A posteriori error estimates for distributed convex optimal control problems // Numer. Math. — 2005. — Vol. 101. — P. 1-27.

23. Liu W.B., Yan N.N. A posteriori error estimates for control problems governed by onlinear  elliptic equation // Adv. Comp. Math. — 2001. — Vol. 15. — P. 285-309.

24. Lu Z., Chen Y. A posteriori error estimates of triangular mixed finite element methods for semilinear optimal control problems // Adv. Appl. Math. Mech. — 2009. — Vol. 1. — P. 242-256.

25. Lu Z., Chen Y. L-error estimates of triangular mixed finite element methods for optimal control problem govern by semilinear elliptic equation // Numer. Anal. and Appl. — 2009. — Vol. 2, № 1. — P. 74-86.

26. Mossino J. An application of duality to distributed optimal control problems with constraints on the control and the state // J. Math. Anal. Appl. — 1975. — Vol. 50. — P. 223-242.

27. Miliner F.A. Mixed finite element methods for quasilinear second-order elliptic problems // Math. Comp. — 1985. — Vol. 44. — P. 303-320.

28. Neittaanmaki P., Tiba D. Optimal Control of Nonlinear Parabolic Systems: Theory, Algorithms and Applications. — New York: M. Dekker, 1994.

29. Scott L.R. Finite element interpolation of nonsmooth functions satisfying boundary conditions // Math. Comput. — 1990. — Vol. 54. — P. 483-493.

30. Ulbrich M. Nonsmooth Newton-Like Methods for Variational Inequalities and Constrained Optimization Problems in Function Spaces. Habilitation thesis. — München: Technische Universität München, 2002.

31. Verfurth R. A posteriori error estimates for nonlinear problems // Math. Comput. — 1994. — Vol. 62. — P. 445-475.

=====================================================================

УДК 519.622.2, 519.688

Метод Паркера-Сохатского для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием графических процессоров с. 277-289

Нурминский Евгений Алексеевич1, Бурый Алексей Анатольевич2

1Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, ул. Радио, 5, Владивосток, 690041

nurmi@dvo.ru

2Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, ул. Радио, 5, Владивосток, 690041

buryalex@dvo.ru

 

Аннотация

В работе описан метод Паркера-Сохатского, который применяется для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, и реализация этого метода на архитектуре графических процессоров. В качестве теста рассматривается решение классической задачи N тел. Алгоритм позволяет эффективно использовать массовый параллелизм графических процессоров и обеспечивает приемлимую точность при многократном сокращении времени счета по сравнению с процессорами традиционной архитектуры.

Ключевые слова: численное интегрирование систем ОДУ, параллельные вычисления.

Литература

1. Pruett C.D., Rudmin J.W., and Lacy J.M. An adaptive N-body algorithm of optimal order. — URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/B6WHY-484SHBH-2/2/ 00e4db5cd90f5a49c9347cfa8b60308a.

2. Stewart R., Bair W. Spiking neural network simulation: numerical integration with the Parker-Sochacki method // J. of Computational Neuroscience. — 2009. — Vol. 27, № 1. — P. 115-133. — URL: http://dx.doi.org/10.1007/s10827-008-0131-5.

3. Parker G.E., Sochacki J.S. Implementing the Picard iteration // Neural, Parallel & Scientific Computations. — 1996 (March). — Vol. 4, № 1. — P. 97-112.

4. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000.

5. Pruett C.D., Rudmin J. W., and Lacy J.M. An adaptive N-body algorithm of optimal order // J. Comput. Phys. — 2003. — Vol. 187, № 1. — P. 298-317.

6. Belleman R.G., Bedorf J., and Zwart S.P. High performance direct cravitational N-body simulations on graphics processing units; II: an implementation in CUDA // New Astronomy. — 2007 (July). — Vol. 13, № 2. — P. 103-112. — URL: http://dx.doi.org/10.1016/j.newast.2007.07.004.

7. Nyland L., Harris M., and Prins J. Fast N-body simulation with CUDA // GPU Gems 3 / H. Nguyen. — Massachusetts: Addison Wesley Professional, 2007 (August).

8. Hamada T., Narumi T., Yokota R. et al. 42 TFlops hierarchical N-body simulations on GPUs with applications in both astrophysics and turbulence // SC '09: Proc. of the Conference on High Performance Computing Networking, Storage and Analysis. — New York, NY, USA: ACM, 2009. — P. 1-12.

9. Fujiwara K., Nakasato N. Fast simulations of gravitational many-body problem on RV770 GPU. — 2009. — URL: http://www.citebase.org/abstract?id=oai:arXiv.org:0904.3659.

10. Rudmin J.W. Application of the Parker-Sochacki Method to Celestial Mechanics. — Harrisonburg, 1998. — (Technical report / James Madison University). — URL: http://arxiv.org/abs/1007.1677v1.

11. NVIDIA CUDA C Programming Guide, 3.2 edition, 2010. — URL: http://developer. download.nvidia.com/compute/cuda/3_2/toolkit/docs/ NVIDIA_CUDA_C_ProgrammingGuide_

3.2.pdf.

12. NVIDIA CUDA Reference Manual, 2.3 edition, 2009. — URL: http://developer.download. nvidia.com/compute/cuda/2_3/toolkit/docs/ CUDA_Reference_Manual_2.3.pdf.

=====================================================================

УДК 517.9

Непрерывная аппроксимация одномерного аналога модели Гольдштика отрывных течений несжимаемой жидкости с. 291-296

Потапов Дмитрий Константинович1

1Санкт-Петербургский госуниверситет, факультет прикладной математики процессов управления, Университетский просп., 35, Старый Петергоф, Санкт-Петербург, 198504

potapov@apmath.spbu.ru

 

Аннотация

Рассматривается модификация одномерного аналога математической модели М.А. Гольдштика отрывных течений несжимаемой жидкости. Модель представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение с граничным условием. Нелинейность в уравнении непрерывная и зависит от малого параметра. В пределе, при стремлении параметра к нулю, получается разрывная нелинейность; результаты о решениях согласуются с результатами, полученными для одномерного аналога модели Гольдштика отрывных течений несжимаемой жидкости.

Ключевые слова: математическая модель, отрывные течения, нелинейное дифференциальное уравнение, разрывная нелинейность, непрерывная аппроксимация.

Литература

1. Гольдштик М.А. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР. — 1962. — Т. 147, № 6. — C. 1310-1313.

2. Потапов Д.К. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости // Известия РАЕН. Сер. МММИУ. — 2004. — Т. 8, № 3, 4. — С. 163-170.

3. Потапов Д.К. Непрерывные аппроксимации задачи Гольдштика // Матем. заметки. — 2010. — Т. 87, вып. 2. — С. 262-266.

4. Красносельский М.А., Покровский А.В. Уравнения с разрывными нелинейностями // Докл. АН СССР. — 1979. — Т. 248, № 5. — C. 1056-1059.

5. Потапов Д.К. Устойчивость основных краевых задач эллиптического типа со спектральным параметром и разрывной нелинейностью в коэрцитивном случае // Известия РАЕН. Сер. МММИУ. — 2005. — Т. 9, № 1, 2. — С. 159-165.

6. Павленко В.Н., Потапов Д.К. Аппроксимация краевых задач эллиптического типа со спектральным параметром и разрывной нелинейностью // Известия вузов. Математика. — 2005. — № 4. — С. 49-55.

7. Потапов Д.К. Аппроксимация задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром и разрывной нелинейностью // Дифф. уравнения. — 2007. — Т. 43, № 7. — С. 1002-1003.

8. Павленко В.Н., Потапов Д.К. О существовании луча собственных значений для уравнений с разрывными операторами // Сиб. мат. журн. — 2001. — Т. 42, № 4. — С. 911-919.

9. Потапов Д.К. Об одной оценке сверху величины бифуркационного параметра в задачах на собственные значения для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Дифф. уравнения. — 2008. — Т. 44, № 5. — С. 715-716.

10. Красносельский М.А., Покровский А.В. Правильные решения уравнений с разрывными нелинейностями // Докл. АН СССР. — 1976. — Т. 226, № 3. — C. 506-509.

=====================================================================

AMS 65F20, 65F10, 65F50, 65L50, 65N99

Итерационный метод пятого порядка для решения нелинейных уравнений с. 297-302

Рафиулла Мухаммад1

1Dept. of Mathematics, COMSATS Institute of Information Technology, Lahore, Pakistan

mrafiullah@ciitlahore.edu.pk ; rafiullaharain@hotmail.com

 

Аннотация

Цель данной статьи — построение нового эффективного итерационного метода для решения нелинейных уравнений. Этот метод основан, главным образом, на работе M. Javidi [1] с использованием новой схемы модифицированного метода гомотопического возмущения. Этот новый метод имеет пятый порядок сходимости; он сравнивается с методами второго, третьего, пятого и шестого порядков. Представлены некоторые задачи численных тестов для демонстрации точности и быстрой сходимости предлагаемого метода.

Ключевые слова: метод гомотопического возмущения, нелинейные уравнения, итерационные методы, анализ сходимости, методы нахождения корней.

Литература

1. Golbabai A., Javidi M. A third-order Newton type method for nonlinear equations based on modified homotopy perturbation method // Appl. Math. Comput. — 2007. — № 191. — P. 199-205.

2. He J.H. Homotopy perturbation technique // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. — 1999. — Vol. 178, № 3-4. — P. 257-262.

3. Fang L. et al. An efficient Newton-type method with fifth-order convergence for solving nonlinear equations // Computational & Applied Mathematics. — 2008. — № 27. — P. 269-274.

4. Noor M.A. Some iterative methods for nonlinear equations using homotopy perturbation method // IJCM. — 2010. — № 87. — P. 141-149.

5. Javidi M. Fourth and fifth order iterative methods to solve nonlinear algebric equations // Mathematical and Computer Modelling. — 2009. — № 50. — P. 66-71.

6. Liao S.J. The proposed homotopy analysis technique for the solution of nonlinear problems: Ph. D. thesis / Shanghai Jiao Tong University. — Shanghai, 1992.

7. Wang X. et al. Modified Jarratt method with sixth-order convergence // Appl. Math. Lett. — 2009. — doi:10.10.16/jaml.2009.06.022.

=====================================================================

УДК 517.955.8:551.466

О внутренних волнах Кельвина в модели двухслойной жидкости с. 303-317

 Смирнов Сергей Викторович1

1Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, ул. Радио, 5, Владивосток, 690041

smirnoff@iacp.dvo.ru

 

Аннотация

Рассматриваются решения для субинерциальных внутренних волн Кельвина в модели двухслойной жидкости. Анализ проводится в рамках линеаризованной системы уравнений динамики океана с постоянным параметром Кориолиса для случая бассейна с плоским дном и одной прямой вертикальной стенкой с условием жесткой крышки на поверхности и условием прилипания на стенке. Получены уравнения для захваченных волн, методом асимптотического разложения построены приближенные решения. При отсутствии трения о дно решение состоит из модифицированной эффектами вязкости волны Кельвина и вертикального пограничного слоя трения у стенки. При условии прилипания на дне решение состоит из модифицированной волны Кельвина, двух вертикальных пограничных слоев трения у стенки и компоненты с большим поперечным масштабом. Рассмотренные численные решения получены при таких значениях модельных параметров, когда необходимо одновременно учитывать эффекты бокового трения, трения между слоями и о дно.

Ключевые слова: динамика океана, захваченные волны, волна Кельвина.

Литература

1. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.Б. Математические модели в геофизической гидродинамике и численные методы их реализации. — Л.: Гидрометеоиздат, 1987.

2. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. В 2-х томах. Пер. с англ. — М.: Мир, 1981.

3. Brink K.H. Coastal-trapped waves with finite bottom friction // Dynamics of Atmospheres and Oceans. — 2006. — Vol. 41, № 3-4. — P. 172-190.

4. Davey M.K., Hsieh W.W., and Wajsowics R.S. The free Kelvin wave with lateral and vertical viscosity // J. of Physical Oceanography. — 1983. — Vol. 13, № 12. — P. 2182-2191.

5. Wajsowicz R.C., Gill A.E. Adjustment of the ocean under buoyancy forces, I: the role of Kelvin waves // J. of Physical Oceanography. — 1986. — Vol. 16, № 12. — P. 2097-2114.

6. Allen J.S. A simple model for stratified shelf flow fields with bottom friction // J. of Physical Oceanography. — 1984. — Vol. 14, № 7. — P. 1200-1214.

7. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. В 2-х томах. Пер. с англ. — М.: Мир, 1984.

8. Clarke A.J., Shi C. Critical frequencies at ocean boundaries // J. Geophys. Res. — 1991. — Vol. 96, № C6. — P. 10731-10738.

9. Смирнов С.В. О решениях для внутренних захваченных волн // Вычисл. мех. сплош. среды. — 2008. — Т. 1, № 3. — С. 96-105.

=====================================================================

УДК 519.632

Сходимость дискретной схемы в методе регуляризации квазистационарной системы Максвелла в неоднородной проводящей среде с. 319-332

Урев Михаил Вадимович1

1Учреждение Российской академии наук Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

Новосибирский госуниверситет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

urev@nmsf.sscc.ru

 

Аннотация

В данной работе рассматривается вопрос о сходимости дискретного решения к решению регуляризированной квазистационарной системы уравнений Максвелла, записанной в терминах векторного магнитного потенциала со специальной калибровкой, учитывающей проводимость среды. Дискретизация задачи по пространству проводится векторным методом конечных элементов Неделека, а по времени используется неявная схема Эйлера. Устанавливается оптимальная энергетическая оценка ошибки для приближенного решения в трехмерных Липшецевых многогранных областях.

Ключевые слова: квазистационарные уравнения Максвелла, метод конечных элементов, разрывные коэффициенты, оценка сходимости.

Литература

1. Калинин А.В., Калинкина А.А. Квазистационарные начально-краевые задачи для системы уравнений Максвелла // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. — Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2003. — Вып. 26. — С. 21-39.

2. Гудович И.С., Крейн С.Г., Куликов И.М. Краевые задачи для уравнений Максвелла // Доклады АН СССР. — 1972. — Т. 207, № 2. — С. 321-324.

3. Иванов М.И., Катешов В.А., Кремер И.А., Урев М.В. Решение трехмерных нестационарных задач импульсной электроразведки // Автометрия. — 2007. — Т. 43, № 2. — С. 33-44.

4. Кремер И.А., Урев М.В. Метод регуляризации стационарной системы Максвелла в неоднородной проводящей среде // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2009. — Т. 12, № 2. — С. 161-170.

5. Кремер И.А., Урев М.В. Решение методом конечных элементов регуляризированной задачи для стационарного магнитного поля в неоднородной проводящей среде // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2010. — Т. 13, № 1. — С. 33-49.

6. Кремер И.А., Урев М.В. Метод регуляризации для квазистационарной системы Максвелла в неоднородной проводящей среде // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. — 2011. — Т. 11, вып. 1. — С. 35-44.

7. Nedelec J.C. A new family of mixed finite elements in R3 // Numer. Math. — 1986. — Vol. 50. — P. 57-81.

8. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. — М.: Мир, 1980.

9. Girault V., Raviart P.-A. Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations. — Berlin: Springer-Verlag, 1986.

10. Amrouche C., Bernardi C., Dauge M., and Girault V. Vector potentials in three-dimensional nonsmooth domains // Math. Meth. Appl. Sci.. — 1998. — Vol. 21, iss. 9. — P. 823-864.

11. Costabel M., Dauge M., and Nicaise S. Singularities of Maxwell interface problems // M2AN Math. Model. Numer. Anal. — 1999. — Vol. 33, iss. 3. — P. 627-649.

12. Ciarlet P., Zou J. Fully discrete finite element approaches for time-dependent Maxwell's equations // Numer. Math. — 1999. — Vol. 82. — P. 193-219.

13. Chen Z., Du Q., and Zou J. Finite element methods with matching and non-matching meshes for Maxwell equations with discontinuous coefficients // SIAM J. Numer. Anal. — 2000. — Vol. 37. — P. 1542-1570.

14. Alonso A., Valli A. An optimal domain decomposition preconditioner for low-frequency time-harmonic Maxwell equations // Math. Comp. — 1999. — Vol. 68, № 226. — P. 607-631.

15. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: Мир, 1971.

16. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. — М.: Наука, 1980.


Номер 4, с. 333-456

 

УДК 519.63

Применение слабоотражающих граничных условий M-PML при моделировании волновых процессов в анизотропных средах. Часть I: Уровень отражений с. 333-344

Дмитриев Максим Николаевич1, Лисица Вадим Викторович2

1Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука СО РАН, просп. Акад. Коптюга, 3,Новосибирск, 630090

mnd@ngs.ru

2Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука СО РАН, просп. Акад. Коптюга, 3,Новосибирск, 630090

lisitsavv@ipgg.nsc.ru

 

Аннотация

В данной работе рассмотрена и детально изучена задача построения слабоотражающих граничных условий для ограничения расчетной области при моделировании волновых процессов в анизотропных упругих средах. Рассматриваемый подход — многоосный идеально согласованный слой или M-PML (от английского Multiaxial Perfectly Matched Layer). Данная модификация PML обеспечивает устойчивость решения для любого типа анизотропии при подходящем выборе стабилизирующего параметра. Показано, что M-PML не является идеально согласованным слоем и обладает большей отражательной способностью по сравнению с классическим PML, при этом коэффициент отражения линейно зависит от значения стабилизирующего параметра. На основе этого исследования формулируется задача построения оптимального стабилизирующего параметра — получить минимальное значение, обеспечивающее устойчивость. Решению данной задачи посвящена вторая часть работы.

Ключевые слова: анизотропия, слабоотражающие граничные условия, идеально согласованный слой, уравнения динамической теории упругости.

Литература

1. Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1998. 

2. Гольдин С.В. Сейсмические волны в анизотропных средах. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2008. 

3. Лисица В.В. Нерасщепленный идеально согласованный слой для системы уравнений динамической теории упругости // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2007. — Т. 10, № 3. — С. 285-297. 

4. Alpert B., Greengard L., and Hagstrom T. Rapid evaluation of nonreflecting boundary kernels for 15 time-domain wavepropagation // SAIM J. Numer. Anal. — 2000. — Vol. 37. — P. 1138-1164. 

5. Alpert B., Greengard L., and Hagstrom T. Nonreflecting boundary conditions for the time-dependent wave equation // J. Comput. Phys. — 2002. — Vol. 180. — P. 270-296. 

6. Appelo D., Hagstrom T., and Kreiss G. Perfectly matched layers for hyperbolic systems: general formulation, well-posednessand stability // SIAM J. Appl. Math. — 2006. — Vol. 67. — P. 1-23. 

7. Appelo D., Kreiss G. A new absorbing layer for elastic waves // J. Comput. Phys. — 2005. — Vol. 215. — P. 642-660. 

8. Asvadurov S., Druskin V., Guddati M.N., and Knizhnerman L. On optimal finite-difference approximation of PML // SAIM J. Numer. Anal. — 2003. — Vol. 41, № 1. — P. 287-305. 

9. Bayliss A., Turkel E. Radiation boundary conditions for wave-like equations // Comm. Pure and Appl. Math. — 1980. — Vol. 33. — P. 707-725. 

10. Bécache E., Fauqueux S., and Joly P. Stability of perfectly matched layers, group velocities and anisotropic waves // J. Comput. Phys. — 2003. — Vol. 188, № 2. — P. 399-433. 

11. Bécache E., Givoli D., and Hagstrom T. High-order absorbing boundary conditions for anisotropic and convective wave equations // J. Comput. Phys. — 2010. — Vol. 229, № 4. — P. 1099-1129. 

12. Berenger J.-P. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves // J. Comput. Phys. — 1994. — Vol. 114. — P. 185-200. 

13. Collino F., Monk P.B. Optimizing the perfectly matched layer // Comput. Methods .Appl. Mech. Eng. — 1998. — Vol. 164. — P. 157-171. 

14. Collino F., Tsogka C. Application of the perfectly matched layer absorbing layer model to the linear elastodynamic problem in anisotropic heterogeneous media // Geophysics — 2001. — Vol. 66. — P. 294-307. 

15. Engquist B., Majda A. Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves // Math. Comput. — 1977. — Vol. 31. — P. 629-651. 

16. Hagstrom T., Goodrich J. Accurate radiation boundary conditions for the linearized euler equations in Cartesian domains // SIAM J. Sci. Comput. — 2003. — Vol. 24. — P. 770-795. 

17. Higdon R. Numerical absorbing boundary conditions for the wave equation // Math. Comput. — 1987. — Vol. 49. — P. 65-90. 

18. Hiptmair R., Schadle A. Non-reflecting boundary conditions for Maxwell’s equations // Computing — 2003. — Vol. 71. — P. 265-292. 

19. Komatitsch D., Martin R. An unsplit convolutional perfectly matched layer improved at grazing incidence for the seismic wave equation // Geophysics. — 2007. — Vol. 72, № 5. — P. SM155-SM167. 

20. Lindman E. Free space boundary conditions for the time dependent wave equation // J. Comput. Phys. — 1975. — Vol. 18. — P. 66-78. 

21. Lisitsa V., Lys E. Reflectionless truncation of target area for axially symmetric anisotropic elasticity // J. of Computational and Applied Mathematics. — 2010. — Vol. 234, № 6. — P. 1803-1809. 

22. Lisitsa V., Vishnevskiy D. Lebedev scheme for the numerical simulation of wave propagation in 3D anisotropic elasticity // Geophysical Prospecting. — 2010. — Vol. 58, № 4. — P. 619-635. 

23. Lisitsa V. Optimal discretization of PML for elasticity problems // Electron. Trans. Numer. Anal. — 2008. — Vol. 30. — P. 258-277. 

24. Lubich C., Schadle A. Fast convolution for non-reflecting boundary conditions // SIAM J. Sci. Comput. — 2002. — Vol. 24. — P. 161-182. 

25. Meza-Fajardo Kristel C., Papageorgiou Apostolos S. A nonconvolutional, split-field, perfectly matched layer for wave propagation in isotropic and anisotropic elastic media: stability analysis // Bulletin of the Seismological Society of America. — 2008. — № 4. — P. 1811-1836. 

26. Petropoulos P. Reflectionless sponge layers as absorbing boundary conditions for the numerical solution of Maxwell’s equations in rectangular, cylindrical and spherical coordinates // SIAM J. Appl. Math. — 2000. — Vol. 60. — P. 1037-1058. 

27. Savadatti S., Guddati M.N. Absorbing boundary conditions for scalar waves in anisotropic media. Part 1: Time harmonic modeling // J. Comput. Phys. — 2010. — Vol. 229, № 19. — P. 6696-6714. 

28. Savadatti S., Guddati M.N. Absorbing boundary conditions for scalar waves in anisotropic media. Part 2: Time-dependent modeling // J. Comput. Phys. — 2010. — Vol. 229, № 18. — P. 6644-6662. 

29. Sofronov I.L. Artificial boundary conditions of absolute transparency for two and three-dimensional external time-dependent scattering problems // Euro. J. Appl. Math. — 1998. — Vol. 9, № 6. — P. 561-588. 

30. Tsynkov S.V. Numerical solution of problems on unbounded domain. A review // Applied Numerical Mathematics. — 1998. — Vol. 27, № 4. — P. 465-532. 

31. Virieux J. P-SV wave propagation in heterogeneous media: Velocity-stress finite-difference method // Geophysics. — 1986. — Vol. 51, № 4. — P. 889-901.

=====================================================================

УДК 519.63

Устойчивость трехслойной операторно-разностной схемы для связанных задач термоупругости с. 345-360

Железовский Сергей Евгеньевич1

1Саратовский государственный социально-экономический университет, кафедра прикладной математики и информатики, ул. Радищева, 89, Саратов, 410003

jelezovsky@ssea.runnet.ru

Аннотация  

Исследуется устойчивость трехслойной операторно-разностной схемы с весами, обобщающей класс разностных и проекционно-разностных схем для линейных связанных задач термоупругости. Устанавливаются энергетические оценки решения и его сеточной производной первого порядка. 

Ключевые слова: операторно-разностная схема, устойчивость, связанные задачи термоупругости. 

Литература

1. Новацкий В. Теория упругости. — М.: Мир, 1975. 

2. Железовский С.Е. О гладкости решения абстрактной связанной задачи типа задач термоупругости // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2010. — Т. 50, № 7. — С. 1240-1257. 

3. Железовский С.Е. Оценки погрешности проекционно-разностного метода для одной гиперболо-параболической системы абстрактных дифференциальных уравнений // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2010. — Т. 13, № 3. — С. 269-284. 

4. Самарский А.А. Теория разностных схем. 3-е изд. — М.: Наука, 1989. 

5. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. 2-е изд. — М.: Едиториал УРСС, 2005. 

6. Самарский А.А., Гулин А.В. Критерии устойчивости семейства разностных схем // Докл. РАН. — 1993. — Т. 330, № 6. — С. 694-695. 

7. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Сильная устойчивость дифференциально-операторных и операторно-разностных схем // Докл. РАН. — 1997. — Т. 356, № 4. — С. 455-457.

8. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Макаревич Е.Л., Матус П.П. Устойчивость трехслойных разностных схем на неравномерных по времени сетках // Докл. РАН. — 2001. — Т. 376, № 6. — С. 738-741. 

9. Самарский А.А., Гулин А.В., Вукославчевич В. Критерии устойчивости двухслойных и трехслойных разностных схем // Дифф. уравнения. — 1998. — Т. 34, № 7. — С. 975-979. 

10. Вабищевич П.Н., Матус П.П., Щеглик В.С. Разностные схемы с переменными весами для эволюционных уравнений второго порядка // Докл. АН Беларуси. — 1994. — Т. 38, № 3. — С. 13-15. 

11. Гулин А.В. Симметризуемые разностные схемы. — М.: Изд-во МГУ, 2004. 

12. Wenk H.-U. On coupled thermoelastic vibration of geometrically nonlinear thin plates satisfying generalized mechanical and thermal conditions on the boundary and on the surface // Apl. mat. — 1982. — Vol. 27, № 6. — P. 393-416. 

13. Chrzȩszczyk A. On the regularity, uniqueness and continuous dependence for generalized solutions of some coupled problems in nonlinear theory of thermoelastic shells // Arch. Mech. — 1986. — Vol. 38, № 1-2. — P. 97-102. 

14. Железовский С.Е., Иванов Г.М., Кривоногов Н.П. О скорости сходимости аппроксимаций Галеркина для нелинейной задачи термоупругости тонких пластин // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1998. — Т. 38, № 1. — С. 157-168. 

15. Железовский С.Е. Оценка погрешности метода Галеркина для нелинейной связанной задачи термоупругости оболочек с трехмерным уравнением теплопроводности // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2005. — Т. 45, № 9. — С. 1677-1690.

 =====================================================================

AMS 65M12, 35R10

Неявные разностные методы для эволюционных функционально-дифференциальных уравнений с. 361-379

Камонт Здислав1, Кропельницка Каролина2

1Institute of Mathematics University of Gdaǹsk, Wit Stwosz Street 57, Gdaǹsk, Poland, 80-952

Zdzislaw.Kamont@math.univ.gda.pl

2Institute of Mathematics University of Gdaǹsk, Wit Stwosz Street 57, Gdaǹsk, Poland, 80-952

Karolina.Kropielnicka@mat.ug.edu.pl

 

Аннотация

Мы представляем общую теорию неявных разностных схем для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений с начально-граничными условиями. Дана теорема об оценках ошибки приближенных решений неявных функционально-разностных уравнений типа Вольтерра с неизвестной функцией нескольких переменных. Этот общий результат используется для изучения устойчивости неявных разностных схем, получаемых с помощью дифференциально-функциональных уравнений в частных производных первого порядка и параболических задач. Используется техника сравнения с нелинейными оценками типа Перрона для данных функций относительно функциональной переменной. 

Ключевые слова:  функционально-дифференциальные уравнения, неявные разностные методы, устойчивость и сходимость. 

Литература 

1. Brandi P., Kamont Z., and Salvadori A. Approximate solutions of mixed problems for first order partial differential-functional equations // Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena. — 1991. — Vol. 39, № 1. — P. 277-302. 

2. Brzychczy S. Existence of solutions for nonlinear systems of differential functional equations of parabolic type in an arbitrary domain // Ann. Polon. Math. — 1987. — № 47. — P. 309-317. 

3. Czernous W. Generalized solutions of mixed problems for first order partial functional differential equations // Ukrain. Mat. Zh. — 2006. — № 58. — P. 803-828. 

4. Czernous W., Kamont Z. Implicit difference methods for parabolic functional differential equations // ZAMM Z. Angew. Math. Mech. — 2005. — Vol. 85, № 5. — P. 326-338. 

5. Kamont Z., Czernous W. Implicit difference methods for Hamilton-Jacobi functional differential equations // Numerical Analysis and Applications. — 2009. — Vol. 2, № 1. — P. 57-70. — Русский вариант: Камонт З., Черноус В. Неявные разностные методы для функциональных дифференциальных уравнений Гамильтона-Якоби // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2009. — Т. 12, № 1.   С. 57-70. 

6. Jãger W., Simon L. On a system of quasilinear parabolicfunctional differential equations // Acta Math. Hungar. — 2006. — № 112. — P. 39-55. 

7. Kamont Z., Leszczyǹski H. Stability of difference equations generated by parabolic differential-functional problems // Rend. Mat. Appl (7). — 1996. — Vol. 16, № 2. — P. 265-287. 

8. Kamont Z. Hyperbolic Functional Differential Inequalities and Applications. — Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1999. 

9. Kȩpczyǹska A. Implicit difference methods for first order partial differential functional equations // Func. Diff. Eq. — 2007. — Vol. 14, № 2-4. — P. 279-298. 

10. Kȩpczyǹska A. Implicit difference methods for quasilinear differential functional equations on the Haar pyramid // Z. Anal. Andwend. — 2008. — Vol. 27, № 2. — P. 213-231.

11. Kropielnicka K. Implicit difference methods for nonlinear parabolic functional differential systems // Demonstratio Math. — 2006. — Vol. 39, № 3. — P. 711-728.

12. Malec M. Sur une famille bi-paramétrique des schémas des différences finies pour l'équation parabolique sans dérivées mixtes // Ann. Polon. Math. — 1975. — Vol. 31, № 1. — P. 47-54.

13. Malec M. Sur une famille bi-paramétrique des schémas des différences finies pour un systéme d'équation paraboliques aux dérivées mixtes et avec des conditions aux limites du type de Neumann // Ann. Polon. Math. — 1976. — Vol. 32, № 1. — P. 33-42.

14. Pao C.V. Numerical methods for systems of nonlinear parabolic equations with time delays // J. Math. Anal. Appl. — 1999. — № 240. — P. 249-279.

15. Pao C.V. Finite difference reaction diffusion systems with coupled boundary conditions and time delays // J. Math. Anal. Appl. — 2002. — № 272. — P. 407-434.

16. Redheffer R., Walter W. Stability of the null решение of parabolic functional inequalities // Trans. Amer. Math. Soc. — 1980. — Vol. 262, № 1. — P. 285-302. 

17. Redlinger R. Existence theorems for semilinear parabolic systems with functionals // Nonlinear Anal. Theory. Methods and Applications. — 1984. — Vol. 8, № 6. — P. 667-682. 

18. Sapa L. A finite difference method for quasi-linear and nonlinear differential functional parabolic equations with Dirichlet's condition // Ann. Polon. Math. — 2008. — Vol. 93, № 2. — P. 113-133. 

19. Szarski J. Uniqueness of the решение to a mixed problem for parabolic functional-differential equations in arbitrary domains // Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. — 1976. — Vol. 24, № 10. — P. 841-849. 

20. Voigt W. On finite-difference methods for parabolic functional-differential equations on unbounded domains. — Sofia: Publ. House Bulgar. Acad. Sci., 1989. 

21. Yuan-Ming W., Pao C. Time delayed finite difference reaction-diffusion systems with nonquasimonotone functional // Numer. Math. — 2006. — № 103. — P. 485-513. 

22. Wu J. Theory and Applications of Partial Functional-Differential Equations. — New York: Springer-Verlag, 1996.

=====================================================================

УДК 539.311

Итерационный метод штрафа для нелинейной задачи о равновесии пластины Тимошенко, содержащей трещину с. 381-392

Лазарев Нюргун Петрович1

1НИИ математики при ЯГУ им. М.К. Аммосова, ул. Кулаковского, 48, Якутск, 677000

nyurgun@ngs.ru

Учреждение Российской академии наук Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения РАН, просп. Акад. Лаврентьева, 15, Новосибирск, 630090

 

Аннотация

В настоящей работе рассматривается вариационная задача, описывающая равновесие упругой тонкой пластины, срединная поверхность которой задается областью с разрезом. На берегах разреза задано краевое условие в виде неравенства. Строится уравнение со штрафом и линейное итерационное уравнение в интегральной и дифференциальной формах. Доказаны результаты о сходимости решений. Получена оценка погрешности. 

Ключевые слова:  трещина, пластина Тимошенко, оператор штрафа, функционал энергии, вариационная задача. 

Литература 

1. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения. — М.: Наука, 1974. 

2. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. — М.: Наука, 1974. 

3. Работнов Ю.И. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1988. 

4. Слепян Л.И. Механика трещин. — Л.: Судостроение, 1981. 

5. Левин В.А., Морозов Е.М., Матвиенко Ю.Г. Избранные нелинейные задачи механики разрушения. — М.: Физматлит, 2004. 

6. Khludnev A.M., Sokolowski J. Modelling and Control in Solid Mechanics. — Basel-Boston-Berlin: Birkhauser Verlag, 1997. 

7. Khludnev A.M., Kovtunenko V.A. Analysis of Cracks in Solids. — Southampton-Boston: WIT Press, 2000. 

8. Рудой Е.М. Асимптотика функционала энергии для смешанной краевой задачи четвертого порядка в области с разрезом // Сиб. матем. журн. — 2009. — Т. 50, № 2. — С. 430-445. 

9. Лазарев Н.П. Дифференцирование функционала энергии в задаче о равновесии пластины, содержащей наклонную трещину // Вестник НГУ. — 2003. — Т. 3, вып. 2. — С. 62-73. 

10. Неустроева Н.В. Односторонний контакт упругих пластин с жестким включением // Вестник НГУ. — 2009. — Т. 9, вып. 4. — С. 51-64. 

11. Хлуднев А.М. Об одностороннем контакте двух пластин, расположенных под углом друг к другу // Прикл. механика и техн. физика. — 2008. — Т. 49, № 4. — С. 42-58. 

12. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. — М.: Наука, 1972. 

13. Назаров С.А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Т. 1. Понижение размерности и интегральные оценки. — Новосибирск: Научная книга, 2002. 

14. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. — М.: Наука, 1988. 

15. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М.: Мир, 1972. 

16. Ковтуненко В.А. Итерационный метод штрафа для задачи с ограничениями на внутренней границе // Сиб. матем. журн. — 1996. — Т. 37, № 3. — С. 587-591. 

17. Ковтуненко В.А. Численное решение задачи о контакте упругопластической балки для модели Тимошенко // Известия АН. Механика твердого тела. — 1996. — № 5. — C. 79-84. 

18. Ковтуненко В.А. Метод численного решения упругой задачи о контакте // Прикл. механика и техн. физика. — 1994. — Т. 35, № 5. — С. 142-146. 

=====================================================================

УДК 519.853.2 + 519.632

Итеративная проксимальная регуляризация модифицированного функционала Лагранжа для решения полукоэрцитивной модельной задачи с трением с. 393-408

Максимова (Кушнирук) Надежда Николаевна1, Намм Роберт Викторович2

1Амурский государственный университет, кафедра математического анализа и моделирования, Игнатьевское шоссе, 21, г. Благовещенск,

knnamursu@mail.ru  

2Тихоокеанский государственный университет, кафедра программного обеспечения вычислительной техники и автоматизированных систем, ул. Тихоокеанская, 136, г. Хабаровск,

namm@mail.khstu.ru

 

Аннотация 

Задача безусловной минимизации полукоэрцитивного недифференцируемого функционала, соответствующая модельной задаче с трением, сведена к задаче условной минимизации дифференцируемого функционала. Для решения полученной задачи применяется алгоритм, основанный на итеративной проксимальной регуляризации модифицированного функционала Лагранжа. Исследуется сходимость конечно-элементного решения. Приводятся результаты численных расчетов. 

Ключевые слова:  полукоэрцитивная задача с трением, модифицированный функционал Лагранжа, седловая точка, метод Удзавы, итеративная проксимальная регуляризация, метод конечных элементов. 

Литература 

1. Кушнирук Н.Н. Метод Удзавы с модифицированной функцией Лагранжа для решения задачи о движении жидкости в бесконечной трубе с трением на границе // Информатика и системы управления. — 2009. — № 1(19). — С. 3-14.

2. Кушнирук Н.Н., Намм Р.В. Метод множителей Лагранжа для решения полукоэрцитивной модельной задачи с трением // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2009. — Т. 12, № 4. — С. 409-420. 

3. Кушнирук Н.Н., Намм Р.В. Об одном подходе к решению полукоэрцитивной модельной задачи с трением // Дальневосточный матем. журн. — 2008. — Т. 8, № 2. — С. 171-179. 

4. Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. — М.: Мир, 1979. 

5. Намм Р.В. О единственности гладкого решения в статистической задаче с трением по закону Кулона и двусторонним контактом // Прикладная математика и механика. — 1995. — Т. 59, № 2. — С. 330-335. 

6. Гольштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагранжа. Теория и методы оптимизации. — М.: Наука, 1989. 

7. Bertsekas D.P. Nonlinear Programming. — Belmont, Massachusetts: Athena Scientific, 1999. 

8. Ву Г., Ким С., Намм Р.В., Сачков С.А. Метод итеративной проксимальной регуляризации для поиска седловой точки в полукоэрцитивной задаче Синьорини // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2006. — Т. 46, № 11. — С. 2024-2031. 

9. Антипин А.С. Методы нелинейного программирования, основанные на прямой и двойственной модификации функции Лагранжа. — Москва, 1979. — (Препринт ВНИИ системных исследований).

10. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. — М.: Радио и связь, 1987. 

11. Гроссман К., Каплан А.А. Нелинейное программирование на основе  безусловной оптимизации. — Новосибирск: Наука. Сибирское отд-ние, 1981. 

12. Кушнирук Н.Н. Оптимизационные методы решения вариационных неравенств: Дис. … канд. физ.-мат. наук. — Хабаровск, 2010. 

13. Grisvard P. Boundary Value Problems in Non-Smooth Domains. — Maryland: Univ. Dept. Math. College Park, MD, 1980. 

14. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. — М.: Мир, 1980. 

15. Главачек И., Гаслингер Я., Нечас И., Ловишек Я. Решение вариационных неравенств в механике. — М.: Мир, 1986. 

16. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. — М.: Наука, 1981. 

17. Хлуднев А.М. Задачи теории упругости в негладких областях. — М.: Физматлит, 2010. 

18. Ковтуненко В.А. Вариационная и краевая задачи с трением на внутренней границе // Сибирский матем. журн. — 1998. — Т. 39, № 5. — С. 1060-1073. 

19. Christensen P.W., Klarbring A., Pang J.S., and Stroemberg N. Formulation and comparison of algorithms for frictional contact problems // Int. J. Numer. Meth. Eng. — 1998. — Vol. 42. — P. 145-173. 

20. Kazufumi Ito, Karl Kunisch. Augmented Lagrangian methods for nonsmoth, convex optimization in Hilbert space // Nonlinear Analysis. — 2000. — Vol. 41. — P. 591-616. 

21. Kunusch K., Stadler G. Generalized Newton methods for the 2D-Signorini contact problem with friction in function space // Math. Modeling Numer. Anal. — 2005. — Vol. 39. — P. 827-854.

=====================================================================

УДК 271.41.17.33, 271.47.19.25.19, 271.47.19.25.21.21

Кусочно-выпуклые формулировки бинарных и перестановочных задач с. 409-423

Фортин Доменик1, Цевеендорж Идер2

1INRIA, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, B.P. 105, 78153 Le Chesnay Cedex, France

Dominique.Fortin@inria.fr  

2Laboratoire PRiSM, UMR 8144, Université de Versailles 45, avenue des États-Unis, 78035 Versailles Cedex, France

Ider.Tseveendorj@prism.uvsq.fr

 

Аннотация

Хорошо известно, что максимизацию любой разности выпуклых функций можно трансформировать в выпуклую максимизацию; здесь наша цель — получить вместо этого кусочно-выпуклую максимизацию задачи. Несмотря на то, что это может показаться более трудным, иногда размерность может быть уменьшена на единицу и локальный поиск может быть улучшен путем использования экстремальных точек замыкания выпуклой оболочки лучших точек. Мы показываем, что это всегда имеет место как для бинарных, так и для перестановочных задач, и даем, в качестве примера, кусочно-выпуклые формулировки задачи о максимальной клике и квадратичной задачи о назначениях.

Ключевые слова: кусочно-выпуклый, максимальная клика, QAP, DC. 

Литература

1. Adams W.P., Guignard M., Hahn P.M., and Hightower W.L. A level-2 reformulation-linearization technique bound for the quadratic assignment problem // European J. Oper. Res. — 2007. — Vol. 180, № 3. — P. 983-996. 

2. Bomze I.M., Budinich M., Pardalos P.M., and Pelillo M. The maximum clique problem // Handbook of combinatorial optimization. Supplement Vol. A. — P. 1-74. — Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1999. 

3. de Klerk E., Pasechnik D.V. Approximation of the stability number of a graph via copositive programming // SIAM J. Optim. — 2002. — Vol. 12, № 4. — P. 875-892. 

4. Flores-Bazán F. On minima of the difference of functions // J. Optim. Theory Appl. — 1997. — Vol. 93, № 3. — P. 525-531. 

5. Fortin D., Tsevendorj I. Maximum clique regularizations // Optimization and optimal control (Ulaanbaatar, 2002). // Ser. Comput. Oper. Res. — Vol. 1. — P. 103-119. — NJ, River Edge: World Sci. Publ., 2003. 

6. Fortin D., Tsevendorj I. Piecewise convex maximization approach to multiknapsack // Optimization: A Journal of Mathematical Programming and Operations Research. — 2009. — Vol. 58. — P. 883-895. 

7. Fortin D., Tsevendorj I. A trust branching path heuristic for permutation problems // International Journal of Pure and Applied Mathematics. — 2009. — Vol. 56, № 3. — P. 329-343. 

8. Fortin D., Tsevendorj I. Piecewise-convex maximization problems: algorithm and computational experiments // J. Global Optim. — 2002. — Vol. 24, № 1. — P. 61-77.

9. Gibbons L.E., Hearn D.W., Pardalos P.M., and Ramana M-V. Continuous characterizations of the maximum clique problem // Math. Oper. Res. — 1997. — Vol. 22, № 3. — P. 754-768.

10. Hadley S.W., Rendl F., and Wolkowicz H. A new lower bound via projection for the quadratic assignment problem // Math. Oper. Res. — 1992. — Vol. 17, № 3. — P. 727-739.

11. Hiriart-Urruty J.-B. From convex optimization to nonconvex optimization. Necessary and sufficient conditions for global optimality // Nonsmooth optimization and related topics

(Erice, 1988). // Ettore Majorana Internat. Sci. Ser. Phys. Sci. — Vol. 43. — P. 219-239. — New York: Plenum, 1989.

12. Hiriart-Urruty J.-B. Global optimality conditions in maximizing a convex quadratic function under convex quadratic constraints // J. Global Optim. — 2001. — Vol. 21, № 4. — P. 445-455.

13. Horst R., Thoai N.V. On an optimality condition in DC optimization. Errata to: “DC

programming: overview” // J. Optim. Theory Appl. — 1999. — Vol. 103, № 1. — P. 1-43; mr1715016. // J. Optim. Theory Appl. — 2004. — Vol. 121, № 1. — P. 211.

14. Kuznetsova A., Strekalovsky A.S. On solving the maximum clique problem // J. Global Optim. — 2001. — Vol. 21, № 3. — P. 265-288. — (International Workshop on Global Optimization. Part 3. — Florence, 1999.)

15. Motzkin T.S., Straus E.G. Maxima for graphs and a new proof of a theorem of Turán // Canad. J. Math. — 1965. — Vol. 17. — P. 533-540.

16. Sherali H.D., Adams W.P. A hierarchy of relaxations between the continuous and convex hull representations for zero-one programming problems // SIAM J. Discrete Math. — 1990. — Vol. 3, № 3. — P. 411-430.

17. Strekalovsky A.S. Global optimality conditions for nonconvex optimization // J. Global Optim. — 1998. — Vol. 12, № 4. — P. 415-434.

18. Strekalovsky A.S., Orlov A.V. A new approach to nonconvex optimization // Num. Methods and Prog. — 2007. — Vol. 8. — P. 160-176.

19. Tsevendorj I. Piecewise-convex maximization problems: global optimality conditions // J. Global Optim. — 2001. — Vol. 21, № 1. — P. 1-14.

20. Tuy H. Convex analysis and global optimization // Nonconvex Optimization and its Applications. 22. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1998.

21. Vassiliev I.L. About the experience of the solution of the assignment problem // Оптимизация, управление, интеллект. — 1999. — № 3. — P. 133-151.

22. Xia Y. Second order cone programming relaxation for quadratic assignment problems // Optim. Methods Softw. — 2008. — Vol. 23, № 3. — P. 441-449.

23. Xia Y. Two-dimensional second-order cone programming // Int. J. Oper. Res. — 2009. — Vol. 5, № 4. — P. 468-484.

24. Xia Y., Yuan Y-X. A new linearization method for quadratic assignment problems // Optim. Methods Softw. — 2006. — Vol. 21, № 5. — P. 805-818.

=====================================================================

УДК 556.013

Оценки ошибки для треугольных и тетраэдральных конечных элементов в комбинации с траекторной аппроксимацией первых производных для уравнений адвекции-диффузии с. 425-442

Чен Хонгтао1, Лин Кун 2, Шайдуров Владимир Викторович 3, Жоу Юнминг4

1School of Mathematical Sciences, Xiamen University, Xiamen, 361005, China

chenht@lsec.cc.ac.cn

2LSEC, ICMSEC, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences, Beijing, 100190, China

linq@lsec.cc.ac.cn

3Институт численного моделирования СО РАН, Академгородок, Красноярск, 660036,

shaidurov04@mail.ru

School of Mathematics and Systems Science, Beihang University, Beijing, 100191, China

4School of Sciences, Hebei University of Technology, Tianjin 300160, China,

zhoujunming@hebut.edu.cn

 

Аннотация

В данной статье авторы используют модифицированный метод характеристик и объединяют его с интегральными тождествами треугольных и тетраэдральных линейных элементов для доказательства равномерности оценки ошибки оптимального порядка,

которая зависит только от первоначальных данных и правой части, а не от масштабного коэффициента ɛ, для многомерных, зависящих от времени, уравнений адвекции-диффузии.

Ключевые слова: модифицированный метод характеристик, треугольный линейный элемент, тетраэдральный линейный элемент, интегральные тождества, равномерная оценка ошибки.

Литература

1. Bear J. Dynamics of Fluids in Porous Materials. — New York: American Elsevier, 1972.

2. Peaceman D.W. Fundamentals of Numerical Reservoir Simulation. — Amsterdam: Elsevier, 1977.

3. Roos H.-G., Stynes M., and Tobiska L. Robust Numerical Methods for Singularly Perturbed Differential Equations, second edition. — Berlin: Springer-Verlag, 2008.

4. Ewing R.E. The Mathematics of Reservoir Simulation / R.E. Ewing. — Philadelphia: SIAM, 1983.

5. Johnson C. Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method. — Cambridge: Cambridge University Press, 1987.

6. Arbogast T., Wheeler M.F. A characteristic-mixed finite element method for advection-dominated transport problems // SIAM Numer. Anal. — 1995. — Vol. 32, iss. 2. — P. 404-424.

7. Douglas J.Jr., Huang C.S., and Pereira F. The modified method of characteristics with adjusted advection // Numer. Math. — 1999. — Vol. 83, № 3. — P. 353-369.

8. Douglas J.Jr., Russell T.F. Numerical methods for convection-dominated diffusion problems based on combining the method of characteristics with finite element or finite difference procedures // SIAM Numer. Anal. — 1982. — Vol. 19, iss. 5. — P. 871-885.

9. Thomée V. Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems. — New York: Springer-Verlag, 1984. — (Lecture Notes in Mathematics; 1054).

10. Wang H. An optimal-order error estimate for an ELLAM scheme for two-dimensional linear advection-diffusion equations // SIAM J. Numer. Anal. — 2000. — Vol. 37, iss. 4. — P. 1338-1368.

11. Wang K. A uniformly optimal-order error estimate of an ELLAM scheme for unsteady-state advection-diffusion equations // Intern. J. of Numerical Analysis and Modeling. — 2008. — Vol. 5, № 1. — P. 286-302.

12. Bause M., Knabner P. Uniform error analysis for Lagrange-Galerkin approximations of convection-dominated problems // SIAM J. Numer. Anal. — 2002. — Vol. 39, № 6. — P. 1954-1984.

13. Wang H., Wang K. Uniform estimates for Eulerian-Lagrangian methods for singularly perturbed time-dependent problems // SIAM J. Numer. Anal. — 2007. — Vol. 45, iss. 3. — P. 1305-1329.

14. Evans L.C. Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 19. — Rhode Island: American Mathematical Society, 1998.

15. Ciarlet P.G. The Finite Element Method for Elliptic Problems. Studies in Mathematics and its Applications. Vol. 4. — Amsterdam: North-Holland, 1978.

16. Lin Q., Lin J.F. Finite Element Methods: Accuracy and Improvement. — Beijing: Science Press, 2006.

17. Lin Q., Zhou J.M., and Chen H.T. Superclose and extrapolation of the tetrahedral linear finite elements for elliptic rroblem (in Chinese) // Mathematics in Practice and Theory. — 2009. — Vol. 39, № 15. — P. 200-208.

18. Grossmann C., Roos H.-G., and Stynes M. Numerical Treatment of Partial Differential Equations. — Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2007.

19. Krizek M., Neittaamaki P. On superconvergence techniques // Acta Appl. Math. — 1987. — Vol. 9. — P. 175-198.

20. Shaidurov V.V. Multigrid Methods for Finite Elements. — Dordrecht: Kluwer Academic, 1995.

21. Gilyova L.V., Shaidurov V.V. A cascadic multigrid algorithm in the finite element method for the three-dimensional Dirichlet problem in a curvilinear boundary domain // Siberian J. Num. Math. / Sib. Branch of Russ. Acad. of Sci. — Novosibirsk, 2002. — Vol. 5, № 2. — P. 127-147.

22. Pironneau O. On the transport-diffusion algorithm and its application to the Navier-Stokes equations // Numer. Math. — 1982. — № 38. — P. 309-332.

23. Farrell P.A., Hegarty A.F., Miller J.J.H., Riordan E.O., and Shishkin G.I. Robust Computational Techniques for Boundary Layers. — London: Chapman and Hall, 2000.

====================================================================

УДК 517.977

О сохранении типа устойчивости разностных схем при решении жестких дифференциально-алгебраических уравнений с. 443-456

Чистяков Виктор Филимонович1

1Институт динамики систем и теории управления СО РАН, ул. Лермонтова, 134, Иркутск, 664048

chist@icc.ru

 

Аннотация

Рассмотрены неявные методы, применяемые для численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с тождественно вырожденной матрицей перед производной неизвестной вектор-функции. В работе обсуждаются эффекты потери L-устойчивости классической неявной схемы Эйлера при решении жестких систем указанного вида.

Ключевые слова: дифференциально-алгебраические уравнения, индекс, пространство решений, неявная схема Эйлера.

Литература

1. Brenan K.E., Campbell S.L., and Petzold L.R. Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential-Algebraic Equations. — Philadelphia: SIAM, 1996. — (Classics in applied mathematics; 14).

2. Бояринцев Ю.Е., Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования. — Новосибирск: Hаука, 1998.

3. Чистяков В.Ф. Применение разностных методов для решения линейных систем, не разрешенных относительно производных // Методы оптимизации и их приложения. — Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1982. — С. 56-60.

4. Логинов А.А. Подход к построению пакета прикладных программ численного интегрирования краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Пакеты прикладных программ. Методы и разработки. — Новосибирск: Наука, 1981. — С. 112-119. 

5. Maerz R. Differential algebraic systems anew // Applied Numerical Mathematics. — 2002. — № 42. — P. 327-338. 

6. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. — М.: Мир, 1990. 

7. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. — М.: Наука, 1977. 

8. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Наука, 1987.

9. Бояринцев Ю.Е., Корсуков В.М. Применение разностных методов к решению регулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Вопросы прикладной математики. — Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1975. — С. 140-152.

10. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. 2 изд., испр. и доп. — Долгопрудный: Издательский дом ``Интеллект'', 2008.

11. Чистяков В.Ф. О методах численного решения и исследования сингулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений: Дис. … канд. физ.-мат. наук — Новосибирск, 1985.

12. Чистяков В.Ф. О сингулярных системах обыкновенных дифференциальных уравнений и их интегральных аналогах // Функции Ляпунова и их применение. — Новосибирск: Hаука. Сибирское отд-ние, 1987. — C. 231-239.