Сибирский журнал вычислительной математики

Том 15, 2012

Номер 1, c. 1-117
Номер 2, c. 119-233
Номер 3, с. 235-344
Номер 4, c. 345-447


Номер 1, c. 1-117

УДК 519.626.1

Построение аппроксимирующей конструкции для вычисления и реализации оптимального управления в реальном времени с. 1-19

Александров Владимир Михайлович

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, просп. Акад. В.А. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090
vladalex@math.nsc.ru  

 

Аннотация  

Для линейных систем с ограниченным управлением предложен новый подход к реализации оптимального по быстродействию управления в реальном времени. Он основан на разделении вычислительных затрат на предварительные вычисления и вычисления в процессе управления. Предварительные вычисления не зависят от конкретного начального условия и основаны на аппроксимации множеств достижимости за различные времена совокупностью гиперплоскостей. Даны методы их построения и выделения опорной гиперплоскости. Предложены методы приближенного нахождения и последующего уточнения нормированного вектора начальных условий сопряженной системы, времени перевода и моментов переключений оптимального по быстродействию управления. Приведены результаты моделирования и численных расчетов.

Ключевые слова: оптимальное управление, множество достижимости, гиперплоскость, реальное время, сопряженная система, граничная точка, начальное приближение, аппроксимирующая конструкция.

Литература

1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1976.

2. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. — М.: Наука, 1969.

3. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. — М.: Наука, 1978.

4. Любушин А.А. О применении модификаций метода последовательных приближений для решения задач оптимального управления // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1982. — Т. 22, № 1. — С. 30-35.

5. Грачев Н.И., Евтушенко Ю.Г. Библиотека программ для решения задач оптимального управления // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1979. — Т. 19, № 2. — С. 367-387.

6. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Построение последовательных приближений для некоторых задач оптимального управления // Автоматика и телемеханика. — 1966. — Т. 27, № 2. — C. 5-17.

7. Пшеничный Б.Н., Соболенко Л.А. Ускоренный метод решения задачи линейного быстродействия // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1968. — Т. 8, № 6. — C. 1343-1351.

8. Белолипецкий А.А. Численный метод решения линейной задачи оптимального управления сведением ее к задаче Коши // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1977. — Т. 17, № 6. — C. 1380-1386.

9. Киселев Ю.Н., Орлов М.В. Численные алгоритмы линейных быстродействий // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1991. — Т. 31, № 12. — C. 1763-1771.

10. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. — М.: Физматлит, 2000.

11. Александров В.М. Численный метод решения задачи линейного быстродействия // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1998.

 — Т. 38, № 6. — С. 918-931.

12. Черноусько Ф.Л. Эллипсоидальные оценки области достижимости управляемой системы // Прикладная математика и механика. — 1981. — Т. 45, вып. 1. — С. 11-19.

13. Александров В.М. Оптимальное по быстродействию позиционно-программное управление линейными динамическими системами // Сибирские электронные математические известия. — 2009. — Т. 6. — С. 385-439.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966.

=====================================================================

УДК 519.115

Решения перечислительных задач серийных последовательностей с постоянной разностью высот соседних серий с. 21-29

Амелькин Валерий Алексеевич

Учреждение Российской академии наук Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

amel-kin@yandex.ru

 

Аннотация

В работе рассматриваются множества n-значных серийных последовательностей, структура которых определяется ограничениями на число серий, на длины серий, на высоты серий. Для множеств возрастающих, убывающих и однопереходных последовательностей, в которых разность высот соседних серий постоянна, получены решения задач пересчета, нумерации и генерирования.

Ключевые слова:

длина серии, высота серии, ограничения, нумерационное кодирование.

Литература

1. Cover T.M. Enumerative Source Encoding // IEEE Trans. Inform. Theory. — 1973. — Vol. 19, № 1. — P. 73-77.

2. Амелькин В.А. Перечислительные задачи серийных последовательностей. — Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2008. 

=====================================================================

УДК 519.676

Численный анализ стохастических осцилляторов на суперкомпьютерах с. 31-43

Артемьев Сергей Семенович1, Иванов Александр Александрович2, Корнеев Владимир Дмитриевич3

1Учреждение Российской академии наук Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

Новосибирский госуниверситет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

ssa@osmf.sscc.ru

2Новосибирский госуниверситет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

3Учреждение Российской академии наук Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

Новосибирский госуниверситет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

korneev@ssd.sscc.ru

 

Аннотация

В работе исследуется проблема точности численного анализа стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) с осциллирующими решениями. Показана зависимость математического ожидания и дисперсии численного решения СДУ от размера шага интегрирования обобщённого метода Эйлера. Приведены результаты численных экспериментов с моделированием линейных и нелинейных стохастических осцилляторов на суперкомпьютере Сибирского суперкомпьютерного центра.

Ключевые слова:

стохастические дифференциальные уравнения, статистические алгоритмы, распараллеливание, суперкомпьютер, кластер, уравнение Ван-дер-Поля, фазовая траектория, стохастический осциллятор.

Литература

1. Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. — М.: Наука, 1980.

2. Бабицкий В.И. Теория виброударных систем. — М.: Наука, 1978. 

3. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. — М.: Изд-во Советское радио, 1971. 

4. Коловский М.З. Нелинейная теория виброзащитных систем. — М.: Наука, 1966. 

5. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. — М.: Наука, 1968. 

6. Пальмов В.А. Колебания упруго-пластических тел. — М.: Наука, 1976. 

7. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. — М.: Наука, 1966. 

8. Артемьев С.С., Якунин М.А. Математическое и статистическое моделирование в финансах. — Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2008. 

9. Артемьев С.С. Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. — Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1993. 

10. Мильштейн Г.Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. — Свердловск: Изд-во СГУ, 1988. 

11. Артемьев С.С., Корнеев В.Д. Численное решение стохастических дифференциальных уравнений на суперкомпьютерах // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2011. — Т. 14, № 1. — С. 5-17. 

12. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. — М.: Наука, 1982. 

13. Корнеев В.Д. Параллельное программирование в MPI. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 

14. Параллельное программирование кластеров: (учеб. пособие) / Подгот. В.Д. Корнеев. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2008. 

15. Марченко М.А. Комплекс программ MONC для распределённых вычислений методом Монте-Карло // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2004. — Т. 7, № 1. — С. 43-55. 

16. http://software.intel.com/ru-ru/intel-mkl/ 

17. Snir M., Otto S.W., Huss-Lederman S., Walker D., and Dongarra J. MPI: The Complete Reference. — Boston: MIT Press, 1996.

18. Пантелеев А.В., Рыбаков К.А., Сотскова И.А. Спектральный метод анализа нелинейных стохастических систем управления. — М.: Вузовская книга, 2006.

=====================================================================

УДК 519.63 

Применение слабоотражающих граничных условий M-PML при моделировании волновых процессов в анизотропных средах. Часть II: Устойчивость с. 45-54 

Дмитриев Максим Николаевич1, Лисица Вадим Викторович2 

1Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука СО РАН, просп. Акад. Коптюга, 3,Новосибирск, 630090

mnd@ngs.ru 

2Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука СО РАН, просп. Акад. Коптюга, 3,Новосибирск, 630090

lisitsavv@ipgg.nsc.ru

 

Аннотация  

Работа посвящена исследованию детальных свойств слабоотражающих граничных условий M-PML (от английского Multiaxial Perfectly Matched Layer), возникающих при ограничении расчетной области. Эти условия являются устойчивыми для произвольного типа анизотропии при правильном выборе стабилизирующего параметра. В первой части работы [3] авторами была показана линейная зависимость коэффициента отражения от стабилизирующего параметра. На основе этого исследования сформулирована задача поиска оптимального стабилизирующего параметра, обеспечивающая устойчивость и минимальные отражения. В данной работе получен необходимый признак устойчивости M-PML, позволяющий ограничить нижние значения стабилизирующего параметра. Показано, что этот признак не является достаточным. 

Ключевые слова: 

анизотропия, слабоотражающие граничные условия, идеально согласованный слой, уравнения динамической теории упругости. 

Литература 

1. Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1998. 

2. Гольдин С.В. Сейсмические волны в анизотропных средах. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2008. 

3. Дмитриев М.Н., Лисица В.В. Применение слабоотражающих граничных условий M-PML при моделировании волновых процессов в анизотропных средах. Часть I: Уровень отражений // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2011. — Т. 14, № 4. — С. 333-344. 

4. Bécache E., Fauqueux S., Joly P. Stability of perfectly matched layers, group velocities and anisotropic waves // J. Comput. Phys. — 2003. — Vol. 188, № 2. — P. 399-433. 

5. Berenger J.-P. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves // J. Comput. Phys. — 1994. — Vol. 114. — P. 185-200. 

6. Collino F., Monk P.B. Optimizing the perfectly matched layer // Comput. Methods. Appl. Mech. Eng. — 1998. — Vol. 164. — P. 157-171. 

7. Collino F., Tsogka C. Application of the perfectly matched layer absorbing layer model to the linear elastodynamic problem in anisotropic heterogeneous media // Geophysics. — 2001. — Vol. 66. — P. 294-307. 

8. Lisitsa V., Vishnevskiy D. Lebedev scheme for the numerical simulation of wave propagation in 3D anisotropic elasticity // Geophysical Prospecting. — 2010. — Vol. 58, № 4. — P. 619-635. 

9. Meza-Fajardo Kristel C., Papageorgiou Apostolos S. A Nonconvolutional, Split-Field, Perfectly Matched Layer for Wave Propagation in Isotropic and Anisotropic Elastic Media: Stability Analysis // Bulletin of the Seismological Society of America. — 2008. — № 4. — P. 1811-1836. 

10. Petropoulos P. Reflectionless sponge layers as absorbing boundary conditions for the numerical solution of Maxwell's equations in rectangular, cylindrical and spherical coordinates // SIAM J. Appl. Math. — 2000. — Vol. 60. — P. 1037-1058. 

11. Thomsen L. Weak elastic anisotropy // Geophysics. — 1986. — Vol. 51, № 10. — P. 1954-1966. 

12. Virieux J. P-SV wave propagation in heterogeneous media: Velocity-stress finite-difference method // Geophysics. — 1986. — Vol. 51, № 4. — P. 889-901. 

13. Wang Z. Seismic anisotropy in sedimentary rocks, part 2: Laboratory data // Geophysics. — 2002. — Vol. 67, № 5. — P. 1423-1440. 

14. Winterstein D.F. Velocity anisotropy terminology for geophysicists // Geophysics. — 1990. — Vol. 55, № 8. — P. 1070-1088.

=====================================================================

УДК 621.391.1:004.7

Параллельная реализация асинхронных клеточных автоматов на 32-ядерной вычислительной системе  с. 55-65

Калгин Константин Викторович1 

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

kalginkv@gmail.com

 

Аннотация 

В статье изучается, каким образом и насколько эффективно можно отобразить различные алгоритмы параллельного моделирования асинхронного клеточного автомата на архитектуру современной 32-ядерной вычислительной машины (4×Intel Xeon X7560). В качестве примера используется модель процесса реакции CO+O=CO2 на поверхности нанесённых на носитель частиц палладия. 

Ключевые слова:

параллельная реализация, клеточный автомат, параллельный алгоритм, многоядерные процессоры. 

Литература 

1. http://software.intel.com/en-us/articles/intel-many-core-testing-lab 

2. Lubachevsky D.B. Efficient parallel simulation of asynchronous cellular arrays // Complex Systems. — 1987. — Vol. 1, № 6. — P. 1099-1123. 

3. Калгин К.В. Параллельная реализация асинхронных клеточно-автоматных алгоритмов // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. — 2008. — № 54. — P. 108-113. 

4. Nedea S.V., Lukkien J.J., Hilbers P.A.J., and Jansen A.P.J. Methods for Parallel Simulations of Surface Reactions. — arXiv:physics/0209017v1, 4 Sep., 2002. 

5. Bandman O. Parallel simulation of asynchronous cellular automata evolution // ACRI. — 2006. — LNCS 4173. — P. 41-47. 

6. Clar S., Drossel B., and Schwabl F. Forest fires ans other examples of self-organized criticality // J. of Physics: Condensed Matter. — 1994. — № 8. — P. 6803-6824. 

7. Benno J. Overeinder, Peter M.A. Sloot. Extensions to time warp parallel simulation for spatial decomposed applications // Proc. of the Fourth United Kingdom Simulation Society Conference (UKSim 99). — 1999. — P. 67-73. 

8. Kalgin K.V. Comparative study of parallel algorithms for asynchronous cellular automata simulation on different computer architectures // ACRI. — 2010. — LNCS-6350. — P. 399-408. 

9. Elokhin V.I., Latkin, E.I., Matveev A.V., and Gorodetskii V.V. Application of statistical lattice models to the analysis of oscillatory and autowave processes on the reaction of carbon monoxide oxidation over platinum and palladium surfaces // Kinetics and Catalysis. — 2003. — № 44. — P. 692-700. 

10. Metropolis N., Rosenbluth A.V., Rosenbluth M.N., Teller A.H., and Teller E. Equation of state calculations by fast computing machines // J. Chem. Phys. — 1953. — Vol. 21, № 6. — P. 1087-1092. 

11. Ачасова С.М., Бандман О.Л. Корректность параллельных вычислительных процессов. — Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1990.  

===================================================================== 

УДК 517.926.7 

Восстановление продольной и поперечной скоростей и границ тонких слоёв в тонкослоистой пачке  с. 67-82 

Карчевский Андрей Леонидович1 

1Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, просп. Акад. В.А. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090

karchevs@math.nsc.ru

 

Аннотация 

В работе представлен результат восстановления скоростей упругих волн и координат точек разрыва среды в тонкослоистой пачке. Восстановление велось методом минимизации функционала невязки. Доказано дифференцирование функционала невязки по координате точки разрыва среды и получена соответствующая производная. 

Ключевые слова:  

обратная задача, продольная скорость, поперечная скорость, точка разрыва среды, горизонтально-слоистая среда, тонкослоистая пачка, функционал невязки, градиент функционала невязки, метод послойного пересчета. 

Литература 

1. Поперечные и обменные волны в сейсморазведке / Под ред. Н.Н. Пузырева. — М.: Недра, 1967. 

2. Пузырев Н.Н., Тригубов А.В., Бродов Л.Ю., Ведерников Г.В., Лебедев К.А., Оболенцева И.Р., Нефедкина Т.В., Худобина Л.Н., Сибиряков Б.П., Куличихина Т.Н., Лебедева Г.Н., Коржева Л.В. Сейсмическая разведка методом поперечных и обменных волн. — М.: Недра, 1985. 

3. Многоволновые сейсмические исследования / Под ред. Н.Н. Пузырева. — М.: Недра, 1987. 

4. Пузырев Н.Н. Методы и объекты сейсмических исследований. — Новосибирск: НИЦ ОИГГМ СО РАН, 1997. 

5. Пузырев Н.Н. Некоторые замечания о путях развития сейсмических методов // Геофизика. — 1999. — № 6. — С. 3-5. 

6. Пузырев Н.Н. Зарождение и развитие многоволновой сейсморазведки в России. Возбуждение и регистрация волн // Геология и Геофизика. — 2003. — Т. 44, № 4. — С. 277-285. 

7. Пузырев Н.Н. Зарождение и развитие многоволновой сейсморазведки в России. Интерпретация данных и результаты // Геология и Геофизика. — 2003. — Т. 44, № 5. — С. 465-473. 

8. Алексеев А.С. Некоторые обратные задачи теории распространения волн // Известия АН. Серия Геофизическая. — 1962. — С. 1514-1531. 

9. Алексеев А.С. Обратные динамические задачи сейсмики // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. — М.: Наука, 1967. — С. 9-84. 

10. Алексеев А.С., Добринский В.И. Некоторые вопросы практического использования обратных динамических задач сейсмики // Математические проблемы геофизики. — Новосибирск: ВЦ СО АН, 1975. — Вып. 6, ч. 2. — С. 7-53. 

11. Алексеев А.С., Добринский В.И., Непрочнов Ю.П., Семенов Г.А. К вопросу о практическом использовании теории обратных динамических задач сейсмики // Доклады АН СССР. — 1976. — Т. 228, № 5. — С. 1053-1056. 

12. Алексеев А.С., Авдеев А.В., Фатьянов А.Г., Чеверда В.А. Замкнутый цикл математического моделирования волновых процессов в вертикально-неоднородных средах (прямые и обратные задачи) // Математическое моделирование. — 1991. — Т. 3, № 10. — С. 80-94. 

13. Алексеев А.С., Авдеев А.В., Фатьянов А.Г., Чеверда В.А. Волновые процессы в вертикально-неоднородных средах: прямые и обратные задачи. — Новосибирск, 1991. — (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; № 924). 

14. Гурвич И.И. Сейсмическая разведка. 2 изд. — М.: Недра, 1970. 

15. Гурвич И.И. Сейсмическая разведка // БСЭ. Т. 23, изд. 3. — М.: Советская энциклопедия, 1976. — C. 174-175. 

16. Karchevsky A.L. Several remarks on numerical solution of the one-dimensional coefficient inverse problem // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. — 2002. — Vol. 10, № 4. — P. 361-384. 

17. Kurpinar E., Karchevsky A.L. Numerical solution of the inverse problem for the elasticity system for horizontally stratified media // Inverse Problems. — 2004. — Vol. 20, № 3. — P. 953-976. 

18. Karchevsky A.L. Numerical reconstruction of medium parameters of member of thin anisotropic layers // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. — 2004. — Vol. 12, № 5. — P. 519-634. 

19. Карчевский А.Л. Анализ решения обратной динамической задачи сейсмики для горизонтально-слоистой анизотропной среды // Геология и Геофизика. — 2006. —

Т. 47, № 11. — С. 1170-1184. — Перевод: Karchevsky A.L. Analysis of solving of the inverse dynamical problem of seismic for horisontally stratified anisotropic media // Russian Geology and Geophysics. — 2006. — Vol. 47, № 11. — P. 1150-1164. 

20. Дмитриев В.И. Общий метод расчета электромагнитного поля в слоистой среде // Вычислительные методы и программирование. — М.: МГУ, 1968. — Вып. 10. — С. 55-65. 

21. Дмитриев В.И., Федорова Э.А. Численные исследования электромагнитных полей в слоистых средах // Вычислительные методы и программирование. — М.: МГУ, 1980. — Вып. 32. — С. 150-183. 

22. Аккуратов Г.В., Дмитриев В.И. Метод расчета поля установившихся упругих колебаний в слоистой среде // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1984. — Т. 24, № 2. — С. 272-286. 

23. Фатьянов А.Г., Михайленко Б.Г. Метод расчета нестационарных волновых полей в неупругих слоисто-неоднородных средах // Докл. РАН. — 1988. — Т. 301, № 4. — С. 834-839. 

24. Фатьянов А.Г. Нестационарные сейсмические волновые поля в неоднородных анизотропных средах с поглощением энергии. — Новосибирск, 1989. — (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; № 857). 

25. Фатьянов А.Г. Полуаналитический метод решения прямых динамических задач в слоистых средах // Докл. РАН. — 1990. — Т. 310, № 2. — С. 323-327. 

26. Карчевский А.Л. Метод численного решения системы упругости для горизонтально слоистой анизотропной среды // Геология и Геофизика. — 2005. — Т. 46, № 3. — С. 339-351. — Перевод: Karchevsky A.L. A numerical solution to a system of elasticity equations for layered anisotropic media // Russian Geology and Geophysics. — 2005. — Vol. 46, № 3. — P. 339-351. 

27. Карчевский А.Л. Прямая динамическая задача сейсмики для горизонтально-слоистых сред // Сибирские Электронные Математические Известия. — 2005. — Т. 2. — С. 23-61. — (http://semr.math.nsc.ru/v2/p23-61.pdf). 

28. Каpчевcкий А.Л. Аналитическое решение уравнений Максвелла в частотной области для горизонтально-слоистых анизотропных сред // Геология и Геофизика. — 2007. — Т. 48, № 8. — С. 889-898. — Перевод: Karchevsky A.L. A frequency-domain analytical solution of Maxwell's equations for layered anisotropic media // Russian Geology and Geophysics. — 2007. — Vol. 48, № 8. — P. 689-695. 

29. Karchevsky A.L. Reconstruction of pressure velocities and boundaries of thin layers in thinly-stratified layers // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. — 2010. — Vol. 18. — P. 371-388. 

30. Karchevsky A.L. The analytical formulas for the gradient of the residual functional for the coefficient inverse problem for the elasticity system // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. — 2003. — Vol. 11, № 6. — P. 619-629. 

31. Курпинар Э., Карчевский А.Л. Вычисление градиента при оптимизационном методе решения обратной динамической задачи сейсмики для горизонтально слоистой среды // Геология и Геофизика. — 2005. — Т. 46, № 4. — С. 439-447. — Перевод: Kurpinar E., Karchevsky A.L. Optimization inversion of seismic data from layered media: an algorithm for gradient // Russian Geology and Geophysics. — 2005. — Vol. 46, № 4. — P. 439-447. 

32. Карчевский А.Л. Численное решение одномерной обратной задачи для системы упругости // Докл. АН. — 2000. — Т. 375, № 2. — С. 235-238. — Перевод: Karchevsky A.L. Numerical solution to the one-dimensional inverse problem for an elastic system // Transactions (Doklady) of the Russian Academy of Sciences/Earth Science Section. — 2000, October-November. — Vol. 375, № 8. — P. 1325-1328. 

33. Карчевский А.Л., Фатьянов А.Г. Численное решение обратной задачи для системы упругости с последействием для вертикально неоднородной среды // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2001. — Т. 4, № 3. — С. 259-269. 

34. Карчевский А.Л. Алгоритм восстановления упругих постоянных анизотропного слоя, находящегося в изотропной горизонтально-слоистой среде // Сибирские Электронные Математические Известия. — 2007. — Т. 4. — С. 20-51. — (http://semr.math.nsc.ru/v4/p20-51.pdf). 

35. Kurpinar E., Karchevsky A.L. Finding of the elastic parameters of a horizontal (thinly stratified) anisotropic layer // Applicable Analysis. — 2008. — Vol. 87, iss. 10 \& 11. — P. 1179-1212.

====================================================================  

УДК 517.977 

Апостериорные оценки точности решения некорректно поставленных обратных задач и экстраоптимальные регуляризующие алгоритмы их решения с. 83-100 

Леонов Александр Сергеевич1 

1Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ, кафедра Высшая математика, Каширское шоссе, 31, Москва, 115409

ilposed@sumail.ru

 

Аннотация 

Предлагается новая схема апостериорной оценки точности приближенных решений некорректно поставленных обратных задач и алгоритм вычисления этой оценки. Вводится новое понятие экстраоптимального регуляризующего алгоритма как метода решения некорректных обратных задач, имеющего оптимальную по порядку апостериорную оценку точности. Даются достаточные условия экстраоптимальности и приводится пример экстраоптимального регуляризующего алгоритма. Разработанная теория иллюстрируется численными экспериментами. 

Ключевые слова:  

некорректно поставленные задачи, регуляризующие алгоритмы, апостериорная оценка точности, экстраоптимальный алгоритм.

Литература 

1. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. — M.: Наука, 1995. 

2. Тихонов А.Н, Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1979. 

3. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — М.: Наука, 1978. 

4. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. — М.: Наука, 1987. 

5. Леонов А.С. Решение некорректно поставленных обратных задач. Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в МАТЛАБ. — М.: УРСС, 2009. 

6. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. — М.: Наука, 1981. 

7. Танана В.П., Рекант М.А., Янченко С.И. Оптимизация методов решения операторных уравнений. — Свердловск: Изд-во Уральского университета, 1987. 

8. Вайникко Г.М. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. — Тарту: Изд-во ТГУ, 1982. 

9. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1989. 

10. Engl H.W., Hanke M., and Neubauer A. Regularization of Inverse Problems. — Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 1996. 

11. Домбровская И.Н., Иванов В.К. К теории линейных уравнений в абстрактных пространствах // Сиб. мат. журнал. — 1965. — Т. 6, № 3. — С. 499-508. 

12. Гапоненко Ю.Л., Винокуров В.А. Апостериорные оценки решения некорректных обратных задач // ДАН СССР. — 1982. — Т. 263, № 2. — С. 277-280. 

13. Ягола А.Г., Николаева Н.Н., Титаренко В.Н. Оценка погрешности решения уравнения Абеля на множествах монотонных и выпуклых функций // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — 2003. — Т. 6, № 2. — С. 171-180. 

14. Titarenko V.N., Yagola A.G. The problems of linear and quadratic programming for ill-posed problems on some compact sets // J. Inverse and Ill-posed Problems. — 2003. — Vol. 11, № 3. — P. 311-328. 

15. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. — М.: Наука, 1974. 

16. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. — М.: Факториал Пресс, 2002. 

17. Леонов А.С. \newblock Об апостериорных оценках точности решения линейных некорректно поставленных задач и экстраоптимальных регуляризующих алгоритмах // Вычисл. методы и программирование. — 2010. — Т. 11, № 1. — С. 14-24. 

18. Leonov A.S. Numerical piecewise-uniform regularization for two-dimensional ill-posed problems // Inverse Problems. — 1999. — Vol. 15. — P. 1165-1176. 

19. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1990. 

20. Леонов А.С. Об устранении насыщения точности регуляризующих алгоритмов // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 167-186. 

21. Chavent G. Non Linear Least Squares For Inverse Problems. Scientific Computation. — Springer, 2009.

=====================================================================

УДК 519.632.6+519.624.2+519.642

Итерационный алгоритм определения устойчивости уравнения колебаний при наличии демпфирования  с. 101-117

Тараканов Виктор Иванович1, Лысенкова Светлана Александровна2

1Сургутский государственный университет, просп. Ленина, 1, Тюменская обл., ХМАО-Югра, г. Сургут, 628412

sprtdv@mail.ru

2Сургутский государственный университет, просп. Ленина, 1, Тюменская обл., ХМАО-Югра, г. Сургут, 628412

lsa1108@mail.ru

 

Аннотация  

Задача исследования параметрических колебаний при наличии демпфирования приведена к спектральной задаче для линейного пучка операторов в гильбертовом пространстве. Спектральная задача имеет эффективный алгоритм решения. Рассчитаны границы первой зоны области устойчивости при разных значениях коэффициента демпфирования и специальном виде периодической функции, входящей в уравнение. 

Ключевые слова: 

оператор, спектр, итерационный алгоритм, параметрические колебания, устойчивость. 

Литература 

1. Стретт Дж.В. (лорд Релей) Теория звука. — М.-Л.: Гостехиздат, 1940 / Пер. с 3-го англ. издания 1926 г., 1-го издания в 1878 г. 

2. Стретт Дж.В. Функции Ламе, Матье и родственные им в физике и технике. — Харьков: ОНТИ, 1935. 

3. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. — М.: Гостехиздат, 1950. 

4. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. — М.: Наука, 1987. 

5. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. — М.: Высшая школа, 1980. 

6. Справочник. Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3 / И.А. Биргера, Я.Г. Пановко. — М.: Машиностроение, 1968. 

7. Floquet G. Sur les equatios differentielles lineares a coefficients periodiques // Ann. de l'Ecole Normale, 2-E series. — 1883. — Т. 12, № 47. 

8. Ляпунов А.М. Собр. соч., т. 2. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956. 

9. Гильберт Д. Избранные труды. Анализ. Физика. Проблемы. Т. II. — М.: Факториал, 1998. 

10. Тараканов В.И. Уравнения с компактными операторами в гильбертовом пространстве и итерационные алгоритмы их решения. — Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2007. 

11. Никифоров И.В., Тараканов В.И. Метод селективного численного анализа спектра оператора, компактного в гильбертовом пространстве // Вычислительные технологии. — 2004. — Т. 9, № 3. — С. 58-71. 

12. Тараканов В.И., Нестеренко М.В. Итерационный алгоритм исследования и численного решения спектральных задач для линейного пучка компактных, частично симметричных операторов // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2010. — Т. 13, № 3. — С. 343-359. 

13. Tarakanov V.I., Nesterenko M.V. Iterative algorithm of investigating and numerical solving spectral problems for a linear bunch of compact, partially symmetric operators // Numerical Analysis and Application. — 2010. — Vol. 3, № 3. — P. 279-293. 

14. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. — М.: Наука, 1972. 

15. Бейлин Е.А., Джанелидзе Г.Ю. Обзор работ по динамической устойчивости упругих систем // ПММ. — 1952. — Т. 16, вып. 5. 

16. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. — Киев: Наукова Думка, 1977.

17. Левитан Б.Н., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. — М.: Наука, 1988. 

18. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1964.


Номер 2, c. 119-233  

 

AMS subject classification 65C20, 68U20

Иерархический подход к сейсмической инверсии полных волновых форм с. 119-130

Аснаашари А.1, Бросье Р.1, Кастелланос С.2, Дюпюи Б.1, Этьен В.2, Голами Й.2, Ху Г.1,2, Метивье Л.1,2, Оперто С.2, Пажо Д.2, Прё В.2, Рибодетти А.2, Рок А.1, Вирьё Ж.1

1ISTerre, Université de Grenoble I — CNRS, Universite Joseph Fourier — Grenoble I, Member of Institut Universitaire de France, IUF, Laboratory in Earth Sciences: ISTerre, BP53, Grenoble Cedex 9, 38041, France

Amir.Asnaashari@obs.ujf-grenoble.fr (Аснаашари А.), Romain.Brossier@obs.ujf-grenoble.fr  (Бросье Р.) , Bastien.Dupuy@obs.ujf-grenoble.fr  (Дюпюи Б.) , guanghi.hu@obs.ujf-grenoble.fr  (Ху Г.), Ludovic.Metivier@obs.ujf-grenoble.fr  (Метивье Л.) Aurelien.Roques@obs.ujf-grenoble.fr  (Рок А.), Jean.Virieux@obs.ujf-grenoble.fr  (Вирьё Ж.)

2Géoazur — Université Nice Sophia-Antipolis — CNRS

castellanos@geoazur.unice.fr  (Кастелланос С.), etienne@geoazur.unice.fr  (Этьен В.), gholami@geoazur.unice.fr  (Голами Й.), guanghi.hu@obs.ujf-grenoble.fr  (Ху Г.), Ludovic.Metivier@obs.ujf-grenoble.fr  (Метивье Л.), operto@geoazur.obs-vlfr.fr  (Оперто С.), pageot@geoazur.unice.fr  (Пажо Д.), rieux@geoazur.unice.fr  (Прё В.), ribodeti@geoazur.obs-vlfr.fr  (Рибодетти А.)

 

Аннотация  

Инверсия полных волновых форм (ИПВФ) сейсмических трасс, записанных на свободной поверхности, позволяет восстановить структуру физических параметров подстилающей среды. Для такого восстановления определяется задача оптимизации, в которой синтетические трассы, полученные численными процедурами, такими как конечно-разностные методы или методы конечных элементов в данной модели подпочвы, должны соответствовать наблюдаемым трассам. Число выборок данных обычно составляет около 1 миллиарда для двумерных задач и 1 триллион для трехмерных задач, тогда как число параметров — от 1 до 10 миллионов степеней свободы. Кроме того, если определить несоответствие как стандартную норму наименьших квадратов между выборкой значений по времени/частоте и пространству, то функция несоответствия будет иметь значительное число вторичных минимумов, связанных с некорректностью и нелинейностью задачи инверсии, приводящих к так называемому зацикливанию.

Учитывая размер задачи, рассмотрим локальный линеаризованный метод, в котором градиент вычисляется с использованием сопряженной формулировки задачи распространения сейсмической волны. Взяв первоначальную модель, рассмотрим квази-ньютоновский метод, позволяющий нам сформулировать задачу восстановления различных параметров, таких как скорости P и S волн, плотность или коэффициенты затухания. Иерархическая стратегия основана на постепенном увеличении сложности данных — от низкочастотных до высокочастотных данных, от первоначальных вейвлетов до последующих фаз в пространстве данных, от узких до широких азимутов, и от простых до более сложных наблюдений. Различные синтетические примеры реалистичных структур показывают эффективность этой стратегии на основе обращения с данными.

Этой стратегии в пространстве данных необходимы более общие рамки, в которых мы могли бы значительно улучшить вероятность сходимости к глобальному минимуму. При рассмотрении модельного пространства мы можем использовать построение первоначальной модели или добавить ограничения, такие как гладкость исследуемой модели и/или предварительную информацию, собранную другим способом. Альтернативная стратегия связана с построением целевой функции, необходимо рассмотреть различные возможности, которые могут увеличить линейность процедуры инверсии.

Ключевые слова:  

сейсмические трассы, задача оптимизации, зацикливание, квази-ньютоновский метод. 

Литература 

1. Asnaashari A., Brossier R., Garambois S., Audebert F., Thore P., and Virieux J. Sensitivity analysis of time-lapse images obtained by differential waveform inversion with respect to reference model // In Expanded Abstracts, Soc. Expl. Geophys. — 2011. — P. 2482-2486. 

2. Beydoun W.B., Tarantola A. First Born and Rytov approximation: Modeling and inversion conditions in a canonical example // J. of the Acoustical Society of America. — 1988. — Vol. 83 — P. 1045-1055. 

3. Billette F., Lambaré G. Velocity macro-model estimation from seismic reection data by stereotomography // Geophysical J. International. — 1998. — Vol. 135, № 2. — P. 671-680. 

4. Brenders A.J., Pratt R.G. Efficient waveform tomography for lithospheric imaging: implications for realistic 2D acquisition geometries and low frequency data // Geophysical J. International. — 2007. — Vol. 168, № 1. — P. 152-170. 

5. Brossier R., Operto S., and Virieux J. Seismic imaging of complex onshore structures by 2D упругой frequency-domain full-waveform inversion // Geophysics. — 2009. — Vol. 74, № 6. — P. WCC63-WCC76. 

6. Brossier R., Operto S., and Virieux J. Two-dimensional seismic imaging of the Valhall model from synthetic OBC data by frequency-domain elastic full-waveform inversion // SEG Technical Program Expanded Abstracts. — Houston, 2009. — Vol. 28, № 1. — P. 2293-2297. 

7. Brossier R., Roux P. Seismic imaging by frequency-domain double-beamforming full-waveform inversion // In Expanded Abstracts, 73th Annual EAGE Conference \& Exhibition. — Vienna, 2011. 

8. Bunks C., Salek F.M., Zaleski S., and Chavent G. Multiscale seismic waveform inversion // Geophysics. — 1995. — Vol. 60, № 5. — P. 1457-1473. 

9. Crase E., Pica A., Noble M., McDonald J., and Tarantola A. Robust elastic non-linear waveform inversion: application to real data // Geophysics. — 1990. — Vol. 55. — P. 527-538. 

10. Djikpéssé H.A., Tarantola A. Multiparameter l1 norm waveform fitting: Interpretation of gulf of mexico reflection seismograms // Geophysics. — 1999. — Vol. 64, № 4. — P. 1023-1035. 

11. Gelis C., Virieux J., and Grandjean G. 2D elastic waveform inversion using Born and Rytov approximations in the frequency domain // Geophysical J. International. — 2007. — Vol. 168. — P. 605-633. 

12. Improta L., Zollo A., Herrero A., Frattini R., Virieux J., and DellÁversana P. Seismic imaging of complex structures by non-linear traveltimes inversion of dense wide-angle data: application to a thrust belt // Geophysical J. International. — 2002. — Vol. 151. — P. 264-278. 

13. Kolb P., Collino F., and Lailly P. Prestack inversion of 1-D medium // In Extended Abstracts. — 1986. — Vol. 74. — P. 498-508. 

14. Kommedal J.H., Barkved O.I., and Howe D.J. Initial experience operating a permanent 4C seabed array for reservoir monitoring at Valhall // SEG Technical Program Expanded Abstracts. — 2004. — Vol. 23, № 1. — P. 2239-2242. 

15. Munns J.W. The Valhall field: a geological overview // Marine and Petroleum Geology. — 1985. — Vol. 2. — P. 23-43.

16. Nocedal J. Updating Quasi-Newton matrices with limited storage // Mathematics of Computation. — 1980. — Vol. 35, № 151. — P. 773-782. 

17. Plessix R.-E. A review of the adjoint-state method for computing the gradient of a functional with geophysical applications // Geophysical J. International. — 2006. — Vol. 167, № 2. — P. 495-503. 

18. Pratt R.G. Seismic waveform inversion in the frequency domain, part I: theory and verification in a physic scale model // Geophysics. — 1999. — Vol. 64. — P. 888-901. 

19. Pratt R.G., Shin C., and Hicks G.J. Gauss-Newton and full Newton methods in frequency-space seismic waveform inversion // Geophysical J. International. — 1998. — Vol. 133. — P. 341-362. 

20. Prieux V., Operto S., Lambaré G., and Virieux J. Building starting model for full waveform inversion from wide-aperture data by stereotomography // SEG Technical Program Expanded Abstracts. — 2010. — Vol. 29, № 1. — P. 988-992. 

21. Rost S., Thomas C. Array seismology: methods and applications // Reviews of Geophysics. — 2002. — Vol. 40, № 3. — P. 1008. 

22. Sears T., Singh S., and Barton P. Elastic full waveform inversion of multi-component OBC seismic data // Geophysical Prospecting. — 2008. — Vol. 56, № 6. — P. 843-862. 

23. Shin C., Min D.-J. Waveform inversion using a logarithmic wavefield // Geophysics. —2006. — Vol. 71, № 3. — P. R31-R42. 

24. Sirgue L., Pratt R.G. Efficient waveform inversion and imaging: a strategy for selecting temporal frequencies // Geophysics. — 2004. — Vol. 69, № 1. — P. 231-248. 

25. Tarantola A. Inversion of seismic reflection data in the acoustic approximation // Geophysics. — 1984. — Vol. 49, № 8. — P. 1259-1266. 

26. Tarantola A. Inverse Problem Theory: Methods for Data Fitting and Model Parameter Estimation. — New York: Elsevier, 1987. 

27. Tarantola A. Inverse Problem Theory and Methods for Model Parameter Estimation. — Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2005. 

28. Thurber C., Ritsema J. Inverse Methods and Seismic Tomography. — Elsevier, 2007. 

29. Tikhonov A.N. Resolution of ill-posed problems and the regularization method (in Russian, French translation, Mir, Moscow, 1976). — Dokl. Akad. Nauk SSSR. — 1963. — Vol. 151. — P. 501-504. 

30. Vigh D., Starr E.W. 3D prestack plane-wave, full-waveform inversion // Geophysics. — 2008. — Vol. 73, № 5. — P. VE135-VE144.

=====================================================================

AMS subject classification 35J05, 35J25, 78A40, 78A45

Неотражающее граничное условие на эллипсоидальной границе   с. 131-139

Баруск Х.1,2, Дюпуа Сен-Гирон А.-Г.1,2,3, Тордо С.1,2

1Projet Magique 3D, INRIA Bordeaux Sud-Ouest

helene.barucq@inria.fr (Баруск Х.), anne-gaelle.saint-guirons@univ-pau.fr  (Дюпуа Сен-Гирон А.-Г.), sebastien.tordeux@univ-pau.fr (Тордо С.)

2LMA, UMR CNRS 5142, Université de Pau et des Pays de l'Adour

3Basque Center for Applied Mathematics (BCAM) Bizkaia Technology Park, Building 500, 48160 Derio, Basque Country, Spain

 

Аннотация  

Моделирование задач распространения волн с использованием методов конечных элементов обычно требует усечения области вычислений вокруг представляющего интерес рассеивателя. Обычно рассматриваются поглощающие граничные условия, чтобы избежать паразитных отражений. В данной статье мы исследуем некоторые свойства отображения Дирихле-Неймана, сформулированного на сфероидальной границе в контексте уравнения Гельмгольца. 

Ключевые слова: 

уравнение Гельмгольца, краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка, распространение волн, задачи рассеяния.  

Литература 

1. Abramowitz M., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1964. — (ninth dover printing, tenth GPO printing edition.) 

2. Barucq H., Djellouli R., and Saint-Guirons A.-G. Construction and performance assessment of new local DtN conditions for elongated obstacles // Applied Numerical Mathematics. — 2009. — Vol. 59, № 7. — P. 1467-1498. 

3. Claeys X. Analyse asymptotique et numérique de la diffraction d'ondes par des films minces: PhD thesis. — Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines, December 2008. 

4. Engquist B., Majda A. Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves // Math. Comp. — 1977. — № 31. — P. 629-651. 

5. Engquist B., Majda A. Radiation boundary conditions for acoustic and elastic wave calculations // Comm. Pure Appl. Math. — 1979. — Vol. 32, № 3. — P. 314-358. 

6. Keller J.B., Givoli D. Exact non-reflecting boundary conditions // J. of Computational Physics. — 1989. — № 82. — P. 172-192. 

7. Kirby P. Calculation of spheroidal wave function // Computer Physics Communications. — 2006. — № 175. — P. 465-472. 

8. Kirby P. Calculation of radial prolate spheroidal wave functions of the second kind // Computer Physic Communications. — 2010. — № 181. — P. 514-519. 

9. Lebedev N.N., Silverman R.A. Special Functions and their Applications. — New York: Dover, 1972. 

10. Lenoir M., Tounsi A. The localized finite element method and its application to the two-dimensional seakeeping problem // SIAM J. Numer. Anal. — 1988. — № 25. — P. 729-752. 

11. Protter M.H. Unique continuation for elliptic equations // Trans AMS. — 1960. — № 95. — P. 81-91. 

12. Saint-Guirons A.-G. Construction et analyse de conditions absorbantes de type Dirichlet-to-Neumann pour des frontières ellipsoidales: PhD thesis. — Université de Pau et des Pays de l'Adour, November 2008. 

13. Wilcox C.H. Scattering Theory for Diffraction Gratings. — New York: Springer-Verlag, 1984.

=====================================================================

AMS subject classification 35J05, 34E05, 33E15, 35B25, 74Q15

Рассеяние скалярной гармонической во времени волны N малыми сферами методом сращиваемых асимптотических разложений   с. 141-149

Бендали А.1,2, Коке П.-Х.1,3, Тордо С.2,4

1University of Toulouse, IMT, UMR CNRS 5219, INSA-Toulouse, France abendali@insa-toulouse.fr (Бендали А.), Pierre-Henri.Cocquet@onera.fr (Коке П.-Х.),

 2Centre Europeen de Recherche et de Formation Avancee en Calcul Scientifique (CERFACS), ave. Gaspard Coriolis, 42, F-31057 Toulouse Cedex 1, France sebastien.tordeux@univ-pau.fr (Тордо С.)

3ONERA, Toulouse, France

4Project-Team Magique 3D, INRIA and LMA, UMR CNRS 5142, University of Pau, France

 

Аннотация  

В данной статье проводится построение асимптотического разложения гармонической во времени волны, рассеянной N малыми сферами. Это построение основано на методе сращиваемых асимптотических разложений. Оценки ошибки дают теоретическую основу данного подхода. 

Ключевые слова: 

уравнения Гельмгольца, сращиваемые асимптотические разложения, гомогенизация. 

Литература 

1. Antoine X., Pincon B., Ramdani K., and Thierry B. Far-field modelling of electromagnetic time-reversal and application to selective focusing on small scatterers // SIAM J. of Applied Math. — 2008. — Vol. 69, № 3. — P. 830-844. 

2. Bendali A., Lemrabet K. The effect of a thin coating on the scattering of a time-harmonic wave for the Helmholtz equation // SIAM J. of Applied Math. — 1996. — Vol. 6, № 5. — P. 1664-1693. 

3. Bendali A., Lemrabet K. Asymptotic analysis of the scattering of a time-harmonic wave by a perfectly conducting metal coated with a thin dielectric shell // Asymptotic Analysis. — 2008. — Vol. 57. — P. 199-227. 

4. Bendali A., Makhlouf A., and Tordeux S. Justification of the cavity model in the numerical simulation of patch antennas by the method of matched asymptotic expansions // SIAM Multiscale Modeling and Simulation. — 2010. — № 8. — P. 1902-1922. 

5. Claeys X., Haddar H., and Joly P. Etude d'un problème modèle pour la diffraction par des fils minces par développements asymptotiques raccordés cas 2d // Research Report RR-5839, INRIA Rocquencourt, 2006. 

6. Colton D., Kress R. Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory // Series in Applied Mathematics. — New-York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag , 1992. — № 93. 

7. Cousteix J., Mauss J. Asymptotic Analysis and Boundary Layers. — New-York: Springer-Verlag, 2007. 

8. Dyke M.V. Perturbation Methods in Fluid Mechanics. — Stanford, California: The Parabolic Press, 1975. 

9. Eckhaus W. Matched asymptotic expansions and singular perturbations // North-Holland Mathematics Studies. — Amsterdam and London: North-Holland Publishing Company, 1973. — № 6. 

10. Gumerov N.A., Duraiswamy R. Fast Multipole Method for the Helmholtz Equation in Three Dimensions. — Amsterdam: Elsevier, 2004. 

11. Il'in A.M. Matching of Asymptotic Expansions of Solutions of Boundary-Value Problems. — Providence: American Mathematical Society, 1992. 

12. Joly P., Tordeux S. Matching of asymptotic expansions for wave propagation in media with thin slots I: The asymptotic expansion // SIAM Multiscale Modeling and Simulation. — 2006. — Vol. 5, № 1. — P. 304-336. 

13. Maz'ya V.G., Poborchi S.V. Extension of functions in sobolev spaces on parameter dependent domains // Mathematische Nachrichten. — 1996. — № 178. — P. 5-41. 

14. Wilcox C.H. Scattering Theory for the d'Alembert Equation in Exterior Domains. — Berlin: Springer-Verlag, 1975. — № 442.

=====================================================================

УДК 539.3; 519.6

Численное решение задач динамики упругопластического деформирования твердых тел   с. 151-156

Богульский Игорь Олегович1, Волчков Юрий Матвеевич2,3 

1Институт вычислительного моделирования СО РАН, Академгородок, Красноярск, 660036

bogul@icm.krasn.ru

2Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 15, Новосибирск, 630090

3Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова 2, Новосибирск, 630090

volk@hydro.nsc.ru

 

Аннотация 

Излагаются принципы построения разностных схем для решения двумерных динамических задач теории упругости с использованием нескольких локальных аппроксимаций для каждой из искомых функций. Схемы содержат свободные парамет (константы диссипации). Запись выражения для искусственной диссипации решения в явном виде дает возможность управлять ее величиной и строить эффективные как явные, так и неявные схемы. В сообщении принцип построения численных схем излагается на примере плоской динамической задачи теории упругости. Описан класс задач, для решения которых построены численные алгоритмы с использованием нескольких локальных аппроксимаций для каждой из искомых функций. Приведены примеры решения прикладных задач. 

Ключевые слова: динамические задачи теории упругости, локальные аппроксимации искомых функций, явные и неявные конечно-разностные схемы. 

Литература 

1. Иванов Г.В. Численное решение динамических задач упругопластического деформирования твердых тел / Ю.М. Волчков, И.О. Богульский, С.А. Анисимов, В.Д. Кургузов. — Новосибирск: Сибирское университетское изд-во, 2002. 

2. Bogulskii I.O. A monotonicity schemes of second-order accuracy for solving of problems of deformable solids dynamics // Modelling Conrtol. — 1994. — Vol. 53, № 2. — P. 19-28. 

3. Богульский И.О. Об одном численном алгоритме решения задач распространения сейсмических волн в вертикально-неоднородной среде // Геология и геофизика. — 1997. — Т. 38, вып. 9. — C. 1549-1560. 

4. Bogulskii I.O., Volchkov Yu.M. Determination of physical and geometrical characteristics of layered inhomogeneous elastic medium // J. Inv. Ill-Posed Probl. — 2011. — Vol. 18. — P. 895-915. 

5. Богульский И.О., Волчков Ю.М. Об одной численной схеме решения трехмерной задачи динамики упругих тел // Математика в приложениях / Тез. докл. Всерос. конф., приуроч. к 80-летию акад. С.К. Годунова, Новосибирск, 20-24 июля 2009. — Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН, 2009. — С. 52-53. 

6. Волчков Ю.М. Квазиодномерная модель взаимодействия ударника и преграды // ПМТФ. — 2000. — Т. 41, № 5. — С. 205-210. 

=====================================================================

AMS subject classification 74S05, 35J25, 65N99 

Искусственные граничные условия для вычисления корректоров в линейной теории упругости с. 157-164 

Боннэй-Ноэль В. 1,2,3,4, Браншери Д.4,5, Дамбрин М.4,6, Виаль Г.4,7,8 

1Institut de recherche mathematique de Rennes, ave. du General Leclerc, 263, CS 74205, 35042 Rennes Cedex, France

virginie.bonnaillie@bretagne.ens-cachan.fr  (Боннэй-Ноэль В.)

2ENS Cachan Bretagne, ave. Robert Schuman, 35170 Bruz, France

3Universite de Rennes 1, rue du Thabor, 2, CS 46510, 35065 Rennes Cedex, France

4Centre national de la recherche scientifique, rue Michel-Ange, 3, 75794 Paris Cedex 16, France

delphine.brancherie@utc.fr  (Браншери Д.), marc.dambrine@univ-pau.fr  (Дамбрин М.), Gregory.Vial@ec-lyon.fr  (Виаль Г.)

5Roberval, Universite de Technologie de Compiegne, F-60200 Compiegne, France

6LMA, Universite de Pau et des Pays de l'Adour, ave. de l'Universite, BP 576, 64012 Pau Cedex, France

7Institut Camile Jordan, Boulevard du 11 Novembre 1918, 43, 69622 Villeurbanne, France

8Ecole Centrale de Lyon ave. Guy de Collongue, 36, 69134 Ecully Cedex, France  

 

Аннотация  

В статье представлен вывод пропускающего граничного условия второго порядка для решения уравнений линейной теории упругости в полуплоскости. Решение краевой задачи приводит к некоэрцитивной вариационной формулировке. Приведены некоторые численные примеры. 

Ключевые слова:  

уравнения линейной теории упругости, прозрачные граничные условия. 

Литература 

1. Bonnaillie-Noël V., Brancherie D., Dambrine M., Hérau F., Tordeux S., and Vial G. Multiscale expansion and numerical approximation for surface defects // ESAIM Proc. — 2011. — № 33. — P. 22-35. 

2. Bonnaillie-Noël V., Dambrine M., Hérau F., and Vial G. On generalized Ventcel's type boundary conditions for Laplace operator in a bounded domain // SIAM J. Numer. Anal. — 2010. — Vol. 42, № 2. — P. 931-945. 

3. Givoli D. Non-reflecting boundary conditions // J. Comput. Phys. — 1991. — Vol. 94, № 1. — P. 1-29. 

4. Grisvard P. Problèmes aux limites dans les polygônes. Mode d'emploi // EDF Bull. Direction études Rech. Sér. C Math. Inform. — 1986. — Vol. 1, № 3. — P. 21-59. 

5. Maz’ya V., Nazarov S., and Plamenevskij B. Asymptotic Theory of Elliptic Boundary Value Problems in Singularly Perturbed Domains. Vol. 1-2. Operator Theory: Advances and Applications. Vol. 111, XXIII+435 and Vol. 112, XXIII+323. — Birkhäuser Verlag, 2000. 

6. http//perso.univ-rennes1.fr/daniel.martin/melina — 2008. 

=====================================================================

AMS subject classification 35L05, 35L20,65N30

Решение однородных изотропных линейных уравнений теории упругости с использованием потенциалов и конечных элементов. Случай жесткого граничного условия   с. 165-174

Бурель А.1,2, Империаль С.1, Жоли П.1

1POEMS, UMR 7231, CNRS-ENSTA-INRIA, INRIA, Domaine de Voluceau,78153 Le Chesnay Cedex, France
Alienor.Burel@inria.fr  (Бурель А.), Sebastien.Imperiale@inria.fr  (Империаль С.), Patrick.Joly@inria.fr  (Жоли П.)

2Université Paris-Sud XI, Laboratoire d'Analyse Numérique, 91405 Orsay cedex, France

 

Аннотация 

В статье рассматривается распространение упругих волн в однородной изотропной упругой среде с жесткой границей. Предложен метод, основанный на расцеплении волн давления и сдвига посредством использования скалярных потенциалов. Этот метод адаптирован к конечноэлементной дискретизации, которая в статье обсуждается. Представлена устойчивая сохраняющая энергию численная схема, а также 2D численные результаты. 

Ключевые слова:  

распространение упругих волн, векторные потенциалы, конечные элементы, условие защемленной границы. 

Литература 

1. Achenbach J.D. Wave Propagation in Elastic Solids. — Amsterdam, New York: American Elsevier, 1975. 

2. Cohen G. Higher-order Numerical Methods for Transient Wave Equations. — Berlin: Springer-Verlag, 2001. 

3. Diaz J., Joly P. Robust high order non-conforming finite element formulation for time domain fluid-structure interaction // J. of Computational Acoustics. An IMACS Journal. — 2005. — Vol. 13. № 3. — P. 403-431. 

4. Joly P. Variational methods for time dependant wave propagation problems / M. Ainsworth, P. Davies, D. Duncan, P. Martin, B. Rynne // Topics in computational wave propagation: Direct and Inverse Problems. Computational Methods in Wave Propagation. — Berlin: Springer Verlag, 2003. — P. 201-264. 

5. Joly P. Finite Element Methods with Continuous Displacement. — Boca Raton, FL: Chapman \& Hall/CRC. — 2008. — P. 267-329. 

6. Monk P. Finite Element Methods for Maxwell's Equations. — Oxford: Oxford science publications, 2003.

====================================================================

УДК 519.63, 51-72, 517.962.1, 517.962.8.

Комбинирование конечно-разностных схем для моделирования волновых процессов в упругих средах, содержащих анизотропные слои   с. 175-181

Вишневский Дмитрий Михайлович, Лисица Вадим Викторович, Чеверда Владимир Альбертович

Институт нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН, просп. Акад. В.А. Коптюга, 3, Новосибирск, 630090

 vishnevskydm@ipgg.nsc.ru  (Вишневский Д.М.), lisitsavv@ipgg.nsc.ru  (Лисица В.В.), cheverdava@ipgg.nsc.ru  (Чеверда В.А.)

 

Аннотация  

В работе представлена оригинальная комбинированная схема для моделирования волновых процессов в средах с анизотропными включениями. Для учёта анизотропии используется достаточно универсальная, но ресурсоёмкая схема Лебедева, которая применяется в относительно небольшой подобласти, содержащей анизотропные формации. В основной части модели применяется экономичная стандартная схема на сдвинутых сетках. Условия согласования на границе между схемами строятся из условия сходимости коэффициентов отражения/прохождения при падении волн на эту границу. Полученный алгоритм сочетает в себе универсальность схемы Лебедева и эффективность стандартной схемы на сдвинутых сетках. 

Ключевые слова: 

конечно-разностные схемы, дифференциальные приближения, уравнения динамической теории упругости, анизотропия. 

Литература 

1. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений основных дифференциальных операторов для некоторых краевых задач математической физики. I. // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1964. — Т. 4, № 3. — С. 449-465. 

2. Лисица В.В., Вишневский Д.М. Об особенностях схемы Лебедева при моделировании упругих волн в анизотропных средах // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2011. — Т. 14, № 2. — С. 155-167. 

3.  Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. — Новосибирск: Наука, 1985. 

4. Asvadurov S., Druskin V., and Moskow S. Optimal grids for anisotropic problems // Electron. Trans. Numer. Anal. — 2007. — Vol. 26. — P. 55-81. 

5. Davydycheva S., Druskin V., and Habashy T. An efficient finite-difference scheme for electromagnetic logging in 3d anisotropic inhomogeneous media // Geophysics. — 2003. — Vol. 68, № 5. — P. 1525-1535. 

6. Igel H., Mora P., and Riollet B. Anisotropic wave propagation through finite-difference grids // Geophysics. — 1995. — № 60. — P. 1203-1216. 

7. Levander A.R. Fourth-order finite-difference p-sv seismograms // Geophysics. — 1988. — Vol. 53, № 11. — P. 1425-1436. 

8. Lisitsa V., Lys E. Reflectionless truncation of target area for axially symmetric anisotropic elasticity // J. of Computational and Applied Mathematics. — 2010. — Vol. 234, № 6. — P. 1803-1809. 

9. Lisitsa V., Vishnevskiy D. Lebedev scheme for the numerical simulation of wave propagation in 3d anisotropic elasticity // Geophysical Prospecting. — 2010. — Vol. 58, № 4. — P. 619-635. 

10. Pissarenko D., Reshetova G.V., and Tcheverda V.A. 3d finite-difference synthetic acoustic logging in cylindrical coordinates // Geophysical Prospecting. — 2009. — № 57. — P. 367-377. 

11. Saenger E.H., Gold N., and Shapiro S.A. Modeling the propagation of the elastic waves using a modified finite-difference grid // Wave Motion. — 2000. — № 31. — P. 77-92. 

12. Virieux J. P-sv wave propagation in heterogeneous media: Velocity-stress finite-difference method // Geophysics. — 1986. — Vol. 51, № 4. — P. 889-901. 

=====================================================================

УДК 519.63

О схемах расщепления в смешанном методе конечных элементов   с. 183-189

Воронин Кирилл Владиславович 2, Лаевский Юрий Миронович 1,2

1Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

laev@labchem.sscc.ru  (Лаевский Ю.М.)

2Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

 ol_mer@mail.ru  (Воронин К.В.)

 

Аннотация  

В рамках исследований некоторых геотермальных режимов 3D процесс теплопереноса был описан системой дифференциальных уравнений первого порядка (в терминах «температура - тепловой поток»). Эта система решалась по явной схеме для пространственной аппроксимации по смешанному методу конечных элементов с элементами Равьяра-Тома. В данной работе предложено несколько алгоритмов расщепления для векторного уравнения теплового потока. Приведены сравнительные результаты по точности представленных алгоритмов. 

Ключевые слова: 

теплоперенос, смешанная формулировка, метод конечных элементов, схема расщепления. 

Литература 

1. Vernikovsky V.A., Vernikovskaya A.E., Polyansky O.P., Yu.M. Laevsky, Matushkin N.Yu., and Voronin K.V. A tectonothermal model for the formation of an orogen at the post-collisional stage (by the example of the Yenisei Ridge, Eastern Siberia) // Russian Geology and Geophysics. — 2011. — Vol. 52. — P. 24-39. 

2. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. — New-York: Springer-Verlag, 1991. 

3. Raviart P.A., Thomas J.M. A Mixed Finite Element Method for 2-nd Order Elliptic Problems // Lecture Notes in Mathematics. — New York: Springer-Verlag, 1977. — № 606. — P. 292-315. 

4. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978. 

5. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984. 

6. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. — Москва: Наука, 1973.

 =====================================================================

УДК 519.633.6/517.44

Метод решения эволюционных задач, использующий пошаговое преобразование Лагерра  с. 191-196

Демидов Георгий Владимирович, Мартынов Валерий Николаевич, Михайленко Борис Григорьевич

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

 vnm@nmsf.sscc.ru  (Мартынов В.Н.), mikh@sssc.ru  (Михайленко Б.Г.)

 

Аннотация  

В предыдущих публикациях Б.Г. Михайленко был предложен метод решения динамических задач теории упругости, основанный на преобразовании Лагерра по времени. В данной работе мы предлагаем модификацию этого подхода, которая состоит в том, что преобразование Лагерра применяется на последовательности временных интервалов. Полученное решение в конце одного временного отрезка используется в качестве начальных данных для решения задачи на следующем временном отрезке. При реализации данного подхода возникает необходимость выбора четырех параметров: количества проекций преобразования Лагерра, масштабного множителя, необходимого для аппроксимации решения функциями Лагерра, экспоненциального коэффициента весовой функции, использующейся для нахождения решения на конечном временном интервале и длительности этого интервала. Предложен способ выбора данных параметров для устойчивости расчета. Исследовано влияние выбранных параметров на точность вычислений при использовании разностных схем второго и четвертого порядков аппроксимации. Показано, что использование такого подхода позволяет получить решение с высокой точностью на больших интервалах по времени. 

Ключевые слова: 

динамические задачи, преобразование Лагерра, пошаговый метод, разностная аппроксимация, точность, устойчивость. 

Литература 

1. Mikhaylenko B.G. Spectral Laguerre method for the approximate solution time dependent problems // Appl. Math. Lett. — 1999. — № 12. — P. 105-110. 

2. Решетова Г.В. Численное моделирование сейсмических и сейсмоакустических волновых полей в разномасштабных и резкоконтрастных средах: Автореф. дис. \ldots \ докт. физ.-мат. наук: 05.13.18. — Новосибирск, 2010. 

3. Демидов Г.В., Мартынов В.Н. Пошаговый метод решения эволюционных задач с использованием функций Лагерра // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2010. — Т. 13, № 4. — С. 413-422. 

4. Паасонен В.И. Компактные разностные схемы. Часть 1. — Новосибирск: Изд-во Новосибирского государственного университета, 2006.

=====================================================================

AMS subject classification 76S05, 35Q35

Моделирование потока в пористых средах с трещинами; дискретные модели трещин с обменом между матрицей и трещиной  с. 197-204

Жаффре Жером, Робер Жан Е.

Inria Paris-Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex, France, jerome.jaffre@inria.fr  (Жаффре Ж.), Jean.Roberts@inria.fr  (Робер Ж.Е.)

 

Аннотация  

В данной статье рассматривается численная модель потока в пористой среде, содержащей трещины. Трещины моделируются как (d-1)-мерные поверхности в d-мерной матричной области, используется смешанный метод конечных элементов, содержащий как d-, так и (d-1)-мерные элементы. Этот метод делает возможным для жидкости обмен между трещинами и матрицей. Данный метод определяется для однофазного потока Дарси всюду в области и потока Форхгеймера в трещинах. Также рассматривается случай двухфазного потока в области, где трещины и матрица являются породами различного типа. 

Ключевые слова: 

поток в пористых средах, трещины, многомасштабное моделирование. 

Литература 

1. Alboin Clarisse, Jaffré Jérome, Roberts Jean E., and Serres Christophe. Modeling fractures as interfaces for flow and transport in porous media // In Fluid flow and transport in porous media: mathematical and numerical treatment. — MA: South Hadley, 2001; // Contemp. Math. — 2002. — Vol. 295. — P. 13-24. — RI, Providence: Amer. Math. Soc., 2002. 

2. Amir Laila, Kern Michel, Martin Vincent, and Roberts Jean E. Décoposition de domaine pour un milieu poreux fracturé: un mod\`ele en 3d avec fractures qui s'intersectent // ARIMA. — 2006. — Vol. 5. — P. 11-25.

 3. Amirat Youcef. Ecoulements en milieu poreux n'obeissant pas a la loi de Darcy // RAIRO Model. Math. Anal. Numer. — 1991. — Vol. 25, № 3. — P. 273-306. 

4. Angot Philippe, Boyer Franck, and Hubert Florence. Asymptotic and numerical modelling of flows in fractured porous media // Mathematical Modelling and Numerical Analysis. — 2009. — Vol. 43, № 2. — P. 239-275. 

5. Chavent G., Jaffré J. Mathematical Models and Finite Elements for Reservoir Simulation. — Amsterdam: North Holland, 1986. 

6. D'Angelo Carlo, Scotti Anna. A mixed finite element method for Darcy flow in fractured porous media with non-matching grids. — (Accepted, 2011 in // ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis. — 2012. — Vol. 46, № 2. — P. 465-489.) 

7. Frih Najla, Martin Vincent, Roberts Jean E., and Saada Ali. Modeling fractures as interfaces with nonmatching grids. — (Submitted.) 

8. Frih Najla, Roberts Jean E., and Saada Ali. Modeling fractures as interfaces: a model for Forchheimer fractures // Comput. Geosci. — 2008. — № 12. — P. 91-104. 

9. Knabner P., Roberts J. E. Forchheimer flow in porous media with fractures. — (Submitted.) 

10. Knabner P., Summ G. Solvability of the mixed formulation for Darcy-Forchheimer flow in porous media. — (Submitted.) — http://www1.am.uni-erlangen.de/members/knabner/Forschung/publikationen.html 

11. Lesinigo Matteo, D'Angelo Carlo, and Quarteroni Alfio.  A multiscale Darcy-Brinkman model for fluid flow in fractured porous media // Numerische Mathematik. — 2011. — Vol. 117, № 4. — P. 717-752. 

12. Martin Vincent, Jaffré Jérôme, and Roberts Jean E. Modeling fractures and barriers as interfaces for flow in porous media // SIAM J. Sci. Comput. — 2005. — Vol. 26, № 5. — P. 1667-1691. 

13. Morales Fernando, Showalter Ralph E. The narrow fracture approximation by channeled flow // J. Math. Anal. Appl. — 2010. — Vol. 365, № 1. — P. 320-331. 

=====================================================================

УДК 519.6

Сингулярное разложение в задаче об источнике  с. 205-211

Кабанихин Сергей Игоревич 1,2, Криворотько Ольга Игоревна 2

1Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

kabanikhin@sscc.ru  

2Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090 krivorotko.olya@mail.ru  

 

Аннотация  

Рассматривается обратная задача определения источника в волновом уравнении по дополнительной информации, измеренной на различных частях границы области. Исследуется степень некорректности обратной задачи. Построен и исследован алгоритм регуляризации, основанный на сингулярном разложении дискретного аналога обратной задачи. 

Ключевые слова: 

обратная задача об источнике, сингулярное разложение, степень некорректности. 

Литература 

1. Кабанихин С.И., Криворотько О.И. Исследование обратной задачи термоакустики методом сингулярного разложения // Сибирские электронные математические известия. — 2011. — (В печати). 

2. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. — Новосибирск: Сибирское научное изд-во, 2008. 

3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. Издание: четвертое. — М.: Наука, 1981. 

4. Годунов С.К., Гордиенко В.М. Сингулярные числа краевой задачи на полупрямой для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Сибирский математический журнал. — 1989. — № 4. — С. 5-12. 

5. Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.И., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. — Новосибирск: Наука, 1992. 

=====================================================================

AMS subject classification 5F10, 65N22, 15A06 

Двухуровневые предобусловленные методы подпространств Крылова для решения трехмерных неоднородных задач Гельмгольца в сейсмике  с. 213-221 

 Каландра А.1, Граттон Серж1,2, Лаго Рафаэль1,3, Пинель Ксавье1,3, Вассор Ксавье1,4 

1Centre Scientifique et Technique Jean Féger, ave. de Larribau, F-64000 Pau, France henri.calandra@total.com  (Каландра А.), Serge.Gratton@cerfacs.fr  (Граттон С.), rafael.lago@cerfacs.fr  (Лаго Р.), xavier.pinel@cerfacs.fr  (Пинель К.), Xavier.Vasseur@cefacs.fr  (Вассор К.)

2INPT-IRIT, University of Toulouse and ENSEEIHT, rue Camichel, 2, BP 7122, F-31071 Toulouse Cedex 7, France

3Centre Europeen de Recherche et de Formation Avancee en Calcul Scientifique (CERFACS), ave. Gaspard Coriolis, 42, F-31057 Toulouse Cedex 1, France

4CERFACS and HiePACS project joint INRIA-CERFACS Laboratory, ave. Gaspard Coriolis, 42, F-31057 Toulouse Cedex 1, France  

 

Аннотация 

В данной статье рассматривается решение трехмерных неоднородных задач Гельмгольца, дискретизированных компактными конечно-разностными методами четвертого порядка в применении к акустической инверсии волновых форм в геофизике. В такой постановке для численного моделирования явлений распространения волн необходимо приближенное решение, возможно, очень больших линейных систем уравнений. Мы предлагаем итерационный двухсеточный метод, в котором задача на грубой сетке решается неточно. Единичный цикл этого метода используется в качестве переменного предобуславливателя для гибкого метода подпространств Крылова. Численные результаты показывают, что алгоритм может использоваться в реальном трехмерном приложении. Предлагаемый численный метод позволяет решать задачи распространения волн с одним или несколькими источниками даже при высоких частотах на кластере с распределенной памятью при наличии достаточного числа ядер. 

Ключевые слова:  

гибкие методы подпространств Крылова, уравнение Гельмгольца, неточное предобуславливание, неоднородные среды. 

Литература 

1. Aminzadeh F., Brac J., and Kunz T. 3-D Salt and Overthrust Models: Society of Exploration Geophysicists 3-D Modeling Series, № 1. — 1997. 

2. Berenger J.-P. A perfectly matched layer for absorption of electromagnetic waves // J. Comp. Phys. — 1994. — Vol. 114. — P. 185-200. 

3. Berenger J.-P. Three-dimensional perfectly matched layer for absorption of electromagnetic waves // J. Comp. Phys. — 1996. — Vol. 127. — P. 363-379. 

4. Bollhöfer M., Grote M. J., and Schenk O. Algebraic multilevel preconditioner for the solution of the Helmholtz equation in heterogeneous media // SIAM J. Scientific Computing. — 2009. — Vol. 31. — P. 3781-3805. 

5. Calandra H., Gratton S., Langou J., Pinel X., and Vasseur X. Flexible Variants of Block Restarted GMRES Methods with Application to Geophysics. — Toulouse: CERFACS, 2011. — (Technical Report TR/PA/11/14). 

6. Cohen G. Higher-Order Numerical Methods for Transient Wave Equations. — Springer, 2002. 

7. Elman H., Ernst O., O'Leary D., and Stewart M. Efficient iterative algorithms for the stochastic finite element method with application to acoustic scattering // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. — 2005. — Vol. 194, № 1. — P. 1037-1055. 

8. Elman H. C., Ernst G., and O'Leary D. P. A multigrid method enhanced by Krylov subspace iteration for discrete Helmholtz equations // SIAM J. Scientific Computing. — 2001. — Vol. 23. — P. 1291-1315. 

9. Engquist B., Ying L. Sweeping preconditioner for the Helmholtz equation: Moving perfectly matched layers // Multiscale Modeling and Simulation. — 2011. — (To appear.) 

10. Harari I., Turkel E. Accurate finite difference methods for time-harmonic wave propagation // J. Comp. Phys. — 1995. — Vol. 119. — P. 252-270. 

11. Notay Y. Convergence analysis of perturbed two-grid and multigrid methods // SIAM J. Numerical Analysis. — 2007. — Vol. 45. — P. 1035-1044. 

12. Pinel X. A perturbed two-level preconditioner for the solution of three-dimensional heterogeneous Helmholtz problems with applications to geophysics: PhD thesis. — Toulouse: CERFACS and INP, 2010. 

13. Riyanti C.D., Kononov A., Erlangga Y.A., Plessix R.-E., Mulder W.A., Vuik C., and Oosterlee C. A parallel multigrid-based preconditioner for the 3D heterogeneous high-frequency Helmholtz equation // J. Comp. Phys. — 2007. — Vol. 224. — P. 431-448. 

14. Saad Y. A flexible inner-outer preconditioned GMRES algorithm // SIAM J. Scientific and Statistical Computing. — 1993. — Vol. 14. — P. 461-469. 

15. Saad Y., Schultz M.H. GMRES: A generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems // SIAM J. Scientific and Statistical Computing. — 1986. — Vol. 7. — P. 856-869. 

16. Simoncini V., Szyld D.B. Recent computational developments in Krylov subspace methods for linear systems // Numerical Linear Algebra with Applications. — 2007. — Vol. 14. — P. 1-59. 

17. Stüben K., Trottenberg U. Multigrid methods: fundamental algorithms, model problem analysis and applications / W. Hackbusch and U. Trottenberg, editors (Multigrid methods. — Koeln-Porz, 1981). — Springer-Verlag. — 1982. — Vol. 960. — P. 1-179. — (Lecture Notes in Mathematics.) 

18. Trottenberg U., Oosterlee C.W., and Schüller A. Multigrid. — London, San Diego: Academic Press Inc., 2001. 

19. Umetani N., MacLachlan S.P., and Oosterlee C.W. A multigrid-based shifted Laplacian preconditioner for fourth-order Helmholtz discretization // Numerical Linear Algebra with Applications. — 2009. — Vol. 16. — P. 603-626. 

20. Virieux J., Operto S. An overview of full waveform inversion in exploration geophysics // Geophysics. — 2009. — Vol. 74, № 6. — P. WCC127-WCC152. 

21. Virieux J., Operto S., Ben Hadj Ali H., Brossier R., Etienne V., Sourbier F., Giraud L., and Haidar A. Seismic wave modeling for seismic imaging // The Leading Edge. — 2009. — Vol. 25, № 8. — P. 538-544.

=====================================================================

УДК 519.63

Итерационный решатель систем уравнений с разреженной матрицей для машин с распределенной памятью с. 223-228

Калинкин Александр Александрович1,2, Лаевский Юрий Миронович1,2

1Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

alexander.a.kalinkin@gmail.com  (Калинкин А.А.), laev@labchem.sscc.ru  (Лаевский Ю.М.)

2Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

 

Аннотация  

Данная работа посвящена разработке пакета программ для решения систем уравнений с разреженной матрицей для компьютеров с распределенной памятью. Пакет основан на итерационном алгоритме решения изначальной системы уравнений с предобуславливателем, построенным с помощью алгебраической декомпозиции области. Такой подход позволяет реализовывать умножение на предобуславливатель и матрицу жесткости одновременно на нескольких вычислительных процессах. Так же для повышения эффективности вычислений на каждом процессе используется функциональность PARDISO и SparseBlas из библиотеки Intel®MKL. Кроме распределения вычислений между вычислительными процессами, в данном пакете так же используется распараллеливание вычислений собственно на вычислительном процессе с помощью как директив OpenMP, так и внутреннего распараллеливания функциональности IntelRMKL. 

Ключевые слова: 

решатель для разреженных матриц, декомпозиция области, параллелизация, MPI и OpenMP. 

Литература 

1. Dongarra Jack J., Sameh Ahmed H.  On some parallel banded system solvers // Parallel Computing. — 1984. — Vol. 1, iss. 3. — P. 223-235. 

2. Polizzi E., Sameh Ahmed H.  A parallel hybrid banded system solver: the spike algorithm // Parallel Comput. — 2006. — Vol. 32, iss. 2. — P. 177-194. 

3. Polizzi E., Sameh Ahmed H. Spike: A parallel environment for solving banded linear systems // Computers \& Fluids. — 2007. — Vol. 36, iss. 1. — P. 113-141. 

4. Li Z., Saad Y., and Sosonkina M. PARMs: a parallel version of the algebraic recursive multilevel solver. — Minneapolis: MN, 2001. — (Report umsi-2001-100, Minnesota Supercomputer Institute, University of Minnesota.) 

5.  Saad Y., Sosonkina M. PARMs: A package for the parallel iterative solution of general large sparse linear systems user's guide. — Minneapolis: MN, 2004. — (Report UMSI2004-8, Minnesota Supercomputer Institute, University of Minnesota.) 

6.  Dryja M., Widlund O. An additive variant of the Schwarz alternating method for the case of many subregions. — 1987. — (Technical report 339, also Ultracomputer Note 131, Department of Computer Science, Courant Institute.) 

7.  Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems, Second Edition. — SIAM, 2003. 

=====================================================================

УДК 550.834, 550.344

Волновой метод подавления кратных волн для сред любого сложного строения с. 229-233

Фатьянов Алексей Геннадьевич

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090 fat@nmsf.sscc.ru

 

Аннотация  

Разработан волновой метод подавления кратных волн, не требующий знания глубинно-скоростной модели среды. Метод конструируется так, чтобы многократные волны были полностью подавлены в случае слоя на полупространстве. Теоретически и численно показана его эффективность для произвольных 3D плоскослоистых сред. Приведены примеры работы метода для реальных сред, показывающие существенное уменьшение амплитуд кратных волн без искажения динамики полезных отражений. 

Ключевые слова: 

математическое моделирование, аналитическое решение, подавление кратных волн, среды любого сложного строения. 

Литература 

1. Ампилов Ю.П. От сейсмической интерпретации к моделированию и оценке месторождений нефти и газа. — М.: Спектр, 2008. 

2. Денисов М.С. О подавлении кратных волн при обработке результатов морской площадной сейсморазведки. Части 1—2 // Технологии сейсморазведки. — 2009. — № 1. — С. 18-35. 

3. Козлов Е.А. Распознавание и подавление многократных волн в сейсморазведке. — М.: Недра, 1982. 

4. Орлов Ю.А. Оператор удаления кратных волн // Доклады РАН. — 2008. — Т. 418, № 4. — С. 536-538. 

5. Фатьянов А.Г. Полуаналитический метод решения прямых динамических задач в слоистых средах // Доклады РАН. — 1990. — Т. 310, № 2. — С. 323-327. 

6. Фатьянов А.Г. Математическое моделирование волновых полей в средах с криволинейными границами // Доклады РАН. — 2005. — Т. 401, № 4. — С. 529-532. 

7. Фатьянов А.Г., Мирошников В.В. Энергетический метод расчета функции Грина в многомерно-неоднородных средах // Доклады РАН. — 1996. — Т. 351, № 2. — С. 264-266. 

8. Фатьянов А.Г. Аналитическое моделирование сейсмических волновых полей и волновой метод подавления кратных волн // Технологии сейсморазведки. — 2010. — № 2. — С. 16-22. 


Номер 3, с. 235-344 

 

AMS subject classification MSC 2010: 65N30, 65N25 

Нижние границы для собственных значений и постобработка неконформным методом конечных элементов (МКЭ) интегрального типа с. 235-249

Андреев Андрей Б.1, Рачева Милена Р.2 

1Department of Informatics Technical University of Gabrovo, 4 Hadji Dimitar Str., 5300 Gabrovo, Bulgaria

andreev@tugab.bg

2Department of Mathematics Technical University of Gabrovo, 4 Hadji Dimitar Str., 5300 Gabrovo, Bulgaria

milena@tugab.bg

 

Аннотация  

В данной статье мы анализируем некоторые аппроксимационные свойства неконформного кусочно-линейного конечного элемента с интегральными степенями свободы. Неконформный метод конечных элементов (МКЭ) применяется к задачам собственных значений (ЗСЗ) второго порядка. Мы доказываем, что собственные значения, вычисленные посредством данного элемента, меньше точных значений, если размер сетки достаточно мал. Рассматривается случай, когда ЗСЗ определяется на невыпуклой области.

Для эллиптической задачи второго порядка устанавливается скорость сверхсходимости путем введения нестандартных интерполированных элементов на основе линейного элемента интегрального типа. Также предлагается и анализируется простой метод постобработки в применении к ЗСЗ второго порядка.

И, наконец, обсуждаются некоторые вычислительные аспекты и приводятся численные примеры. 

Ключевые слова:  

собственные значения, нижние границы, элемент Крузея-Равьяра, постобработка, сверхсходимость. 

Литература 

1. Acosta R., Duran P.G. The maximum angle condition for mixed and non conforming elements: Application to the Stokes equations // SIAM J. Numer. Anal. — 2000. — № 37. — P. 18-36. 

2. Andreev A.B. Supercloseness between the elliptic projection and the approximate eigenfunction and its application to a postprocessing of finite element eigenvalues problems // NAA. — 2004. — LNCS. — Springer-Verlag, 2005. — № 3401. — P. 100-107. 

3. Andreev A.B., Lazarov R.D., and Racheva M.R. Postprocessing and higher order convergence of the mixed finite element approximations of bi-harmonic eigenvalue problems // J. Comput. Appl. Math. — 2005. — № 182. — P. 333-349. 

4. Andreev A.B., Racheva M.R. On the postprocessing technique for eigenvalue problems / I.T. Dimov, et al. // NMA. — 2002. — LNCS. — Heidelberg: Springer, 2003. — № 2542. — P. 363-371. 

5. Andreev A.B., Racheva M.R. Superconvergence of the interpolated quadratic finite elements on triangular meshes // Mathematica Balkanica. New Series. — 2005. — Vol. 19. — Fasc. 3-4. — P. 385-404. 

6. Andreev A., Racheva M. A Zienkiewicz-type finite element applied to fourth-order problems // J. Comput. Appl. Math. — 2010. — Vol. 235, № 2. — P. 348-357. 

7. Armentano M.G., Duran R.G. Asymptotic lower bounds for eigenvalues by nonconforming finite element methods // Electron. Trans. Numer. Anal. — 2004. — № 17. — P. 92-101. 

8. Babuska I., Osborn J. Eigenvalue problems // Handbook of Numerical Analysis. Vol. II. / P.G. Ciarlet, J.L. Lions. — North-Holland, Amsterdam, 1991. — P. 641-787. 

9. Brenner S., Scott L.R. The Mathematical Theory for Finite Element Methods. — New York: Springer-Verlag, 1992. 

10. Carstensen C., Bartels S., and Jansche S. A posteriori error estimates for nonconforming finite element methods // Numer. Math. — 2002. — Vol. 92, № 2. — P. 233-256. 

11. Ciarlet P.G. Basic error estimates for elliptic problems // Finite Element Methods. Part 1. / P.G. Ciarlet, J.L. Lions. — North-Holland, Amsterdam, 1991. — P. 17-351. 

12. Duran P.G., Gastaldi L., and Padra C. A posteriori error estimators for mixed approximations of eigenvalue problems // Math. Mod. Methods Appl. Sci. — 1999. — № 9. — P. 1165-1178. 

13. Grisvard P. Elliptic Problems in Nonsmooth Domain. — Boston: Pitman, 1985. 

14. Li B., Zhang Z. Analysis of a class of superconvergence patch-recovery techniques for linear and bilinear finite elements // Numer. Methods for PDEs. — 1999. — № 15. — P. 151-167. 

15. Lin Q., Yan N., and Zhou A. A rectangle test for interpolated finite elements // Proc. of Systems Science & Systems Engineering. — Culture Publish Co, 1991. — P. 217-229. 

16. Racheva M.R., Andreev A.B. Superconvergence postprocessing for eigenvalues // Comp. Methods in Appl. Math. — 2002. — Vol. 2, № 2. — P. 171-185. 

17. Zienkiewicz O.C., Zhu J.Z. The superconvergence patch-recovery and a-posteriori error estimates. Part 1: The recovery technique // Int. J. Numer. Methods Eng. — 1992. — № 33. — P. 1331-1364.

 =====================================================================

УДК 519.632.4 

Метод сопряженных операторов для решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка  с. 251-260

Воеводин Анатолий Федорович
Институт гидродинамики им. Акад. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 15, Новосибирск, 630090

voevodin@hydro.nsc.ru

 

Аннотация  

В настоящей работе для линейной краевой задачи предложен метод построения разностных схем, которые являются точным дискретным (разностным) аналогом исходной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Разностная задача конструируется с помощью решений сопряженных уравнений. Решения сопряженных уравнений находятся методом факторизации. 

Ключевые слова: 

краевая задача, сопряженное уравнение, разностная схема, число обусловленности.  

Литература 

1. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. — М.: Мир, 1982. 

2. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1971. 

3. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. — М.: Мир, 1969. 

4. Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. — М.: Наука, 1970. 

5. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Методы решения одномерных эволюционных систем. — Новосибирск: Наука, 1993. 

6. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984. 

7. Бахвалов Н.С. Численные методы. Т. I. — М.: Наука, 1973. 

8. Pearson C.E. On a differential equation of boundary layer type // J. Math. Phys. — 1968. — Vol. 47. — P. 134-154. 

9. Багаев Б.М., Карепова Е.Д,, Шайдуров В.В. Сеточные методы решения задач с пограничным слоем. — Новосибирск: Наука, 2001. 

10. Воеводин А.Ф. Метод факторизации для линейных и квазилинейных сингулярно возмущенных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2009. — Т. 12, № 1. — С. 1-15.

=====================================================================  

УДК 519.635.6 

Моделирование волновых процессов в парожидкостной среде  с. 261-270

Гасенко Владимир Георгиевич1, Демидов Георгий Владимирович2, Ильин Валерий Павлович2, Шмаков Илья Александрович2 

1Институт теплофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 1, Новосибирск, 630090

gasenko@itp.nsc.ru (Гасенко В.Г.)

2Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

ilin@sscc.ru (Ильин В.П.), i_shmakov@ngs.ru (Шмаков И.А.)

 

Аннотация  

Рассматриваются численные методы моделирования нелинейных волновых процессов в парожидкостной среде для модельной сферически симметричной ячейки, на внешней границе которой прилагается скачок давления, при пренебрежении вязкости и сжимаемости жидкости, а также радиальной зависимости давления в паре. Задача сводится к решению уравнений теплопроводности в паре и жидкости совместно с системой обыкновенных дифференциальных уравнений для скорости, давления и радиуса на границе пузырька. Пространственная дискретизация уравнений осуществляется с помощью неявных конечно-объемных схем на динамической адаптивной сетке с шагами, геометрически сгущающимися к границе пузырька. Аппроксимация полной производной по времени проводится методом обратных характеристик. На каждом временном шаге выполняются «нелинейные» итерации до обеспечения требуемой высокой точности. Приводятся и обсуждаются результаты численных экспериментов при критических термодинамических характеристиках воды для различных начальных значениях радиусов пузырьков пара и прилагаемого скачка давления. 

Ключевые слова: 

нелинейные волновые процессы, парожидкостная ячейка, неявная схема, метод обратных характеристик, динамическая адаптивная сетка. 

Литература 

1. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. Часть 1. — М.: Наука, 1987. 

2. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. Волновая динамика газо- и парожидкостных сред. — М.: Энергоатомиздат, 1990. 

3. Накоряков В.Е., Горин А.В. Тепломассоперенос в двухфазных системах. — Новосибирск: Изд-во ИТ СО РАН, 1994. 

4. Кедринский В.К., Шокин Ю.И., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Лазарева Г.Г. Генерация ударных волн в жидкости сферическими пузырьковыми кластерами // Докл. РАН. — 2001. — Т. 381, № 6. — С. 773-776. 

5. Гималтдинов И.К., Нигматулин Р.И., Шагапов В.Ш. Эволюция волн давления в жидкости, содержащей зону жидкости с пузырьками // Изв. РАН. Мех. жидкости и газа. — 2001. — № 3. — С. 133-142. 

6. Тешуков В.М. Кинетическая модель пузырькового течения // ПМТФ. — 2000. — Т. 41, № 5. — С. 129-139. 

7. Аганин А.А., Халитова Т.Ф., Хисматуллина Н.А. Расчет сильного сжатия сферического парогазового пузырька в жидкости // Вычислительные технологии. — 2008. — Т. 13, № 6. — С. 17-27. 

8. Александров А.А., Григорьев Б.А. Таблицы теплофизических свойств воды и водяного пара. — М.: Изд-во МЭИ, 1999. 

9. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. — Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2001. 

10. Ильин В.П. Численный анализ. Часть 1. — Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2004.

===================================================================== 

УДК 519.63 

Об аппроксимации разрывных решений уравнения Баклея-Леверетта  с. 271-280

Лаевский Юрий Миронович, Кандрюкова Татьяна Александровна 

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

laev@labchem.sscc.ru (Лаевский Ю.М.), kandryukova@labchem.sscc.ru (Кандрюкова Т.А.)

 

Аннотация 

В статье численно изучаются схемы Лакса-Вендроффа и «кабаре» в применении к уравнению Баклея-Леверетта. Показано, что эти схемы воспроизводят неустойчивые решения. Выбор неустойчивого решения зависит только от числа Куранта. Приведена конечноэлементная интерпретация схемы «кабаре». 

Ключевые слова:  

уравнение Баклея-Леверетта, схема Лакса-Вендроффа, схема «кабаре», неустойчивые решения. 

Литература 

1. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. — М.: ГНТИНГТЛ, 1963. 

2. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. — М: Наука, 1968. 

3. Osher S. Riemann solvers, the entropy condition, and difference approximations // SIAM J. Numer. Anal. — 1984. — Vol. 21, № 2. — P. 217-235. 

4. Bell P., Colella P., and Tragenstein J. Higher order Godunov methods for general systems of hyperbolic conservation laws // J. Comput. Phys. — 1985. — Vol. 59. — P. 264-289. 

5. Suurel R., Larini M., and Loraud J.C. Exact and approximate Riemann solvers for real gases// J. Comput. Phys. — 1994. — Vol. 112. — P. 126-137. 

6. Королев А.В., Шалимов Б.В., Швидлер М.И. О некоторых разностных схемах решения задачи Баклея-Леверетта // Численные методы решения задач фильтрации несжимаемой жидкости. — Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1975. — С. 137-154. 

7. Леви Б.И., Зайдель Я.М., Шахмаева А.Г., Сурков Ю.В. О некоторых разностных схемах для решения задач двухфазной фильтрации несмешивающихся жидкостей // Численные методы решения задач фильтрации несжимаемой жидкости. — Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1975. — С. 170-183. 

8. Lax P., Wendroff B. Systems of conservation laws // Comm. Pure and Appl. Math. — 1960. — Vol. 13. — P. 217-237.

9. Harten A., Hyman J.M., Lax P.D., and Keyfitz B. On finite-difference approximations and entropy conditions for shocks // Comm. Pure and Appl. Math. — 1976. — Vol. 29. — P. 297-322. 

10. Остапенко В.В. О сходимости на ударной волне разностных схем сквозного счета инвариантных относительно преобразования подобия // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1986. — Т. 26, № 11. — С. 1661-1678. 

11. Головизнин В.М., Самарский А.А. Разностная аппроксимация конвективного переноса с пространственным расщеплением временной производной // Математическое моделирование. — 1998. — Т. 10, № 1. — С. 86-100. 

12. Головизнин В.М., Самарский А.А. Некоторые свойства разностной схемы «кабаре» // Математическое моделирование. — 1998. — Т. 10, № 1. — С. 101-116. 

13. Головизнин В.М., Карабасов С.А. Нелинейная коррекция схемы Кабаре // Математическое моделирование. — 1998. — Т. 10, № 12. — С. 107-123. 

14. Остапенко В.В. О монотонности балансно-характеристической схемы // Математическое моделирование. — 2009. — Т. 21, № 7. — С. 29-42. 

15. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. — Новосибирск: Наука, 1988.

=====================================================================

AMS subject classification 65L05, 65L06 

Построение A(α)-устойчивых гибридных линейных многошаговых методов высокого порядка для жестких НЗ в ОДУ с. 281-292

Окуонгае Р.И., Ихиле М.Н.О. 

Department of Mathematics, University of Benin, P.M.B 1154, Benin City, Edo state. Nigeria

okunoghae01@yahoo.co.uk (Окуонгае Р.И.), mnoikhilo@yahoo.com (Ихиле М.Н.О.)

 

Аннотация  

В данной статье представлен класс A(α)-устойчивых гибридных линейных многошаговых методов для численного решения жестких начальных задач (НЗ) в обыкновенных дифференциальных уравнениях (ОДУ). В рассматриваемом методе используется вторая производная, как и в линейных многошаговых методах Энрайта со второй производной для жестких НЗ в ОДУ. 

Ключевые слова:  

гибридные методы, непрерывные методы, коллокация, интерполяция, граничное место точек, A(α)-устойчивость. 

Литература 

1. Butcher J.C. The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equation: Runge-Kutta and General Linear Methods. — Chichester: Wiley, 1987. 

2. Butcher J.C. High order A-stable numerical methods for stiff problems // J. of Scientific Computing. — 2005. — Vol. 25, № 1. — P. 51-66. 

3. Butcher J.C., Hojjati G. Second derivative methods with RK stability // Numer. Algorithms. — 2005. — Vol. 40, № 4. — P. 415-429. 

4. Butcher J.C. Forty-five years of A-stability // Proc. Inter. Conf. on Numer. Anal. and Appl. Math. Ser. AIP. — 2008. — Vol. 1048. 

5. Butcher J.C. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. Second Edition. — Chichester: Wiley, 2008. 

6. Butcher J.C. General linear methods for ordinary differential equations // Math. and Comput. in Simulation. — 2009. — Vol. 79. — P. 1834-1845. 

7. Butcher J.C. Trees and numerical methods for ordinary differential equations // Numer. Algorithms. — 2010. — Vol. 53. — P. 153-170. 

8. Burrage K., Tian T. Stiffly accurate Runge-Kutta methods for stiff stochastic differential equations // Comput. Phys. Commun. — 2001. — Vol. 142. — P. 186-190. 

9. Butcher J.C., Chan D.J.L. On the implementation of ESIRK methods for stiff IVPs // Numer. Algorithms. — 2001. — Vol. 26. — P. 210-218. 

10. Dahlquist G. A special stability problem for linear multistep methods // BIT. — 1963. — Vol. 3. — P. 27-43. 

11. Enright W.H. Second derivative multistep methods for stiff ODEs // SIAM. J. Numer. Anal. — 1974. — Vol. 11. — P. 321-331. 

12. Enright W.H. Continuous numerical methods for ODEs with defect control // J. Comput. Appl. — 2000. — Vol. 125. — P. 159-170. 

13. Enright W.H., Hull T.E, and Lindberg B. Comparing numerical methods for stiff systems of ODEs // BIT. — 1975. — Vol. 15. — P. 1-48. 

14. Fatunla S.O. Numerical Methods for Initial Value Problems in ODEs. — New York: Academic Press, 1978. 

15. Filippov S.S., Tygliyan A.V. A class of linearly implicit numerical methods for solving stiff ordinary differential equations // The Open Numer. Methods J. — 2010. — Vol. 2. — P. 1-5. 

16. Gear C.W. The automatic integration of stiff ODEs / A.J.H. Morrell — Nort-Holland, Amsterdam, 1968. — P. 187-193. — (Information processing 68: Proc. IFIP Congress, Edinurgh, 1968.) 

17. Gear C.W. The automatic integration of ODEs // Comm. of the ACM. — 1871. — Vol. 14. — P. 176-179. 

18. Hairer E., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems. — Berlin: Springer-Verlag, 1996. 

19. Higham J.D., Higham J.N. Matlab Guide. — Philadelphia: SIAM, 2000. 

20. Ikhile M.N.O., Okuonghae R.I. Stiffly stable continuous extension of second derivative LMM with an off-step point for IVPs in ODEs // J. Nig. Assoc. Math. Phys. — 2007. — Vol. 11. — P. 175-190. 

21. Ikhile M.N.O. Coefficients for studing one-step rational schemes for IVPs in ODEs: III. Extrapolation methods // Comp. and Math. with Appl. — 2004. — Vol. 47. — P. 1463-1475. 

22. Kaps P. Rosenbrock-type methods // Numerical Methods for Solving Stiff Initial Value Problems / Dahlquist G., Jeltsch R. — Aachen, Germany: Inst. für Geometrie und praktische Math. (IGPM) der RWTH Aachen, 1981. — Bericht № 9. 

23. Lambert J.D. Numerical Methods for Ordinary Differential Systems. The Initial Value Problems. — Chichester: Wiley, 1991. 

24. Lambert J.D. Computational Methods for Ordinary Differential Systems. The Initial Value Problems. — Chichester: Wiley, 1973. 

25. Wolfram Mathematica, vs 6.0. — Wolfram Research Inc. 

26. Okuonghae R.I. Stiffly Stable Second Derivative Continuous LMM for IVPs in ODEs: Ph.D Thesis. — Nigeria, Benin City: Dept. of Math. University of Benin, 2008. 

27. Robertson H.H. The solution of a set of reaction rate equations // Numer. Anal.: an Introduction / J. Walsh. — London: Academ. Press, 1966. — P. 178-182. 

28. Selva M., Arevalo C., and Fuherer C. A collocation formulation of multistep methods for variable step-size extensions // Appl. Numer. Math. — 2002. — Vol. 42. — P. 5-16. 

29. Shampine L.F., Watts H.A. Block implicit one-step methods // Math. of Comp. — 1969. — Vol. 23. — P. 731-740. 

30. Sirisena U., Onumanyi P., and Chollon J.P. Continuous hybrid methods through multistep collocation // ABACUS. — 2002. — Vol. 28. — P. 58-66. 

31. Tischer P.E., Gupta G.K. Some new Cyclic Linear Multistep Formulas for Stiff System. — Australia, Clayton Victoria: Dept. of Comp. Science, Monash University, 1983. — (Tech. Report № 40, Nov.) 

32. Voss D.A. Fourth-order parallel Rosebrock methods for stiff systems // Math. and Comp. Modelling J. — 2004. — Vol. 40. — P. 1193-1198. 

33. Widlund O. A note on unconditionally stable linear multistep methods // BIT. — 1967. — Vol. 7. — P. 65-70. 

34. Zarina B.I., Khairil I.O., and Mohammed S. Variable step block backward differentiation formula for solving first order stiff ODEs // Proc. WCE. — London: WCE, 2007. — Vol. 2166. — P. 785-789.

===================================================================== 

УДК 519.63 

Комбинирование конечно-разностных схем для моделирования волновых процессов в упругих средах, содержащих анизотропные слои  с. 293-306

ОстапенкоВладимир Викторович 1,2 

1Институт гидродинамики им. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 15, Новосибирск, 630090

2Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

ostapenko_vv@ngs.ru

 

Аннотация  

Для дивергентных дифференциальных уравнений предлагается метод построения компактных разностных схем, имеющих произвольно заданный порядок аппроксимации на шаблонах общего вида. Показано, что в основе построения таких схем для уравнений в частных производных лежат специальные компактные схемы, аппроксимирующие обыкновенные дифференциальные уравнения, зависящие от нескольких независимых функций. Получены необходимые и достаточные условия на коэффициенты этих схем, при которых они имеют заданный порядок аппроксимации. Приведены примеры восстановления по этим схемам компактных разностных схем, аппроксимирующих дивергентные уравнения в частных производных. Показано, что построенные таким образом компактные разностные схемы имеют одинаковые порядки как классической аппроксимации на гладких решениях, так и слабой аппроксимации на разрывных решениях. 

Ключевые слова: 

дивергентные дифференциальные уравнения, компактные разностные схемы, повышенный порядок аппроксимации. 

Литература 

1. Валиуллин А.Н. Схемы повышенной точности для задач математической физики. — Новосибирск: Изд-во Новосибирского государственного университета, 1973. 

2. Hirsh R. Higher-order accurate difference solutions of a fluid mechanics problems by a compact differencing technique // J. Comp. Phys. — 1975. — Vol. 12, № 1. — P. 90-109. 

3. Паасонен В.И. Обобщение методов повышенной точности для уравнений 2-го порядка в ортогональных системах координат // Числен. методы механики сплошной среды. — 1977. — Т. 8, № 2. — С. 94-99. 

4. Толстых А.И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. — М.: Наука, 1990. 

5. Tang M.L., Fornberg B.A. A compact forth order finite difference scheme for the steady incompressible Navier-Stokes equations // Int. J. Numer. Methods Fluides. — 1995. — Vol. 20. — P. 1137-1151. 

6. Meitz H.L., Fasel H.F. A compact difference scheme for the Navier-Stokes equations in vorticity-velocity formulation // J. Comp. Phys. — 2000. — Vol. 157, № 1. — P. 371-403. 

7. Wang X., Yang Z.F., and Huang G.H. High order compact difference scheme for convective-diffusion problems on nonuniform grids // J. Engin. Mech. — 2005. — Vol. 131, № 12. — P. 1221-1228. 

8. Остапенко В.В. О построении разностных схем повышенной точности для сквозного расчета нестационарных ударных волн // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2000. — Т. 40, № 12. — С. 1857-1874. 

9. Остапенко В.В. Об аппроксимации законов сохранения разностными схемами сквозного счета // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1990. — Т. 30, № 9. — С. 1405-1417. 

10. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. — М.: Наука, 1978. 

11. Lax P.D. Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves. — Philadelphia: Soc. Industr. and Appl. Math., 1972. 

12. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. — М.: Наука, 1978. 

13. Остапенко В.В. О конечно-разностной аппроксимации условий Гюгонио на фронте ударной волны, распространяющейся с переменной скоростью // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1998. — Т. 38, № 8. — С. 1355-1367. 

14. Остапенко В.В. О повышении порядка слабой аппроксимации на разрывных решениях // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1996. — Т. 36, № 10. — C. 146-157. 

115. Остапенко В.В. Симметричные компактные схемы с искусственными вязкостями повышенного порядка дивергентности // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2002. — Т. 42, № 7. — С. 1018-1037.

 ===================================================================== 

УДК 629.075 

Циклическая и неустойчивая хаотическая динамика в моделях двух популяций осетровых рыб  с. 307-320

Переварюха Андрей Юрьевич  

Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН (СПИИРАН), 14 линия В.О., д. 39, Санкт/Петербург, 199178

temp_elf@mail.ru

 

Аннотация

      В статье рассматриваются возникающие в биологических моделях нелинейные эффекты. Описываются две разработанные динамические системы, моделирующие особенности динамики популяций русского осетра и севрюги, основанные на формализации зависимости нерестового запаса и пополнения в соответствии с результатами анализа данных наблюдений. При численном исследовании дифференциальных уравнений со структурно изменяющейся правой частью использован метод представления гибридных моделей на основе карты состояний с условными переходами. Для динамических систем показано наличие качественно различных режимов поведения траекторий: устойчивых периодических колебаний (модель осетра), неустойчивых хаотических (модель севрюги), реализующихся на ограниченном временном интервале вследствие наличия в фазовом пространстве хаотического подмножества, не являющегося аттрактором. 

Ключевые слова: 

моделирование динамики популяций, гибридные автоматы, хаотические режимы.

 Литература 

1. Гераскин П.П., Металлов Г.Ф., Переварюха Ю.Н. Физиологические и популяционно-генетические исследования каспийских рыб // Рыбное хозяйство. — 2007. — № 3. — С. 66-68. 

2. Ricker W. Stock and recruitment // J. Fisheries research board of Canada. — 1954. — Vol. 11, № 5. — P. 559-623. 

3. Суханов В.В. Исследование модели популяции нерки Oncorhynchus nerka в условиях изменчивой кормовой базы // Вопросы ихтиологии. — 1973. — Т. 13, вып. 4. — С. 627-632. 

4. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Нелинейная динамика и хаос. — М.: Изд-во КомКнига, 2006. 

5. Singer D. Stable orbits and bifurcations of the maps on the interval // SIAM J. of Appl. Math. — 1978. — Vol. 35. — P. 260-268. 

6. Feigenbaum M.J. Universal behavior in nonlinear systems // Physica D. — 1983. — Vol. 7, № 1-3. — P. 16-39. 

7. Touhey P. Yet another definition of chaos // The American Mathematical Monthly. — 1997. — Vol. 104, № 5. — P. 411-414. 

8. Banks J., Brooks J., Cairns G., Davis G., and Stacey P. On Devaney's definition of chaos // The American Mathematical Monthly. — 1994. — Vol. 99, № 4. — P. 332-334. 

9. Vellekoop М., Berglund R. On intervals, transitivity = chaos // The American Mathematical Monthly. — 1994. — Vol. 101, № 4. — P. 353-355. 

10. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов у непрерывного преобразования прямой в себя // Украинский математический журнал. — 1964. — Т. 26, № 1. — С. 61-71. 

11. Переварюха А.Ю. Хаотические режимы в моделях теории формирования пополнения популяций // Нелинейный мир. — 2009. — № 12. — С. 925-932. 

12. Переварюха А.Ю. Нелинейные модели и особенности оптимизации в задаче системного анализа динамики популяций // Информационные технологии. — 2009. — № 1. — С. 77-82. 

13. Власенко А.Д. Оценка пополнения запасов волжского осетра за счет естественного воспроизводства // Осетровое хозяйство внутренних водоемов СССР. — Астрахань, 1979. — С. 38-40. — (Тезисы и рефераты II Всесоюзного совещания, 26 февраля-2 марта 1979 г., Астрахань.) 

14. Вещев П.В., Гутенева Г.И. Современное состояние эффективности естественного воспроизводства осетровых рыб в различных нерестовых зонах Нижней Волги // Материалы междунар. научно-практической конф. «Проблемы изучения, сохранения и восстановления биологических ресурсов в XXI веке» (16-18 октября 2007 г., Астрахань). — Астрахань: Изд-во КаспНИРХ, 2007. — С. 25-28. 

15. Ricker W.E. Computation and Interpretation of Biological Statistics of Fish Population. — Ottawa: Supply and Services Canada, 1975. 

16. Peterman R.M. A simple mechanism that causes collapsing stability regions in exploited salmonid population // J. Fisheries research board of Canada. — 1977. — Vol. 34. — P. 1130-1142. 

17. Еремеева Е.Ф., Смирнов А.И. Теория этапности развития и ее значение в рыбоводстве // Теоретические основы рыбоводства. — М.: Наука, 1965. 

18. Сениченков Ю.Б. Численное моделирование гибридных систем. — СПб.: Изд-во Политехнического университета, 2004. 

19. Volterra V. Theory of Functionals and of Integral and Integro-differential Equation. — New York: Dover Publication, 1959. 

20. Grebogi C., Ott E., and Yorke J. Metamorphoses of basin boundaries in nonlinear dynamical system // Physical Review Letters. — 1986. — Vol. 56, № 10. — P. 1011-1016. 

21. MacDonald S., Grebogi C., Ott E., and Yorke J. Fractal basin boundaries // Physica D. — 1985. — Vol. 17, № 2. — P. 125-153. 

22. Grebogi C., Ott E., and Yorke J. Chaos, strange attractors and fractal basin boundaries in nonlinear dynamics // Science. — 1987. — Vol. 238, № 4827. — P. 632-638. 

23. Grebogi C., Ott E., and Yorke J. A. Crises, sudden changes in chaotic attractors and transient chaos // Physica D. — 1983. — Vol. 7. — P. 181-200. 

24. Christie W. J. Changes in the fish species composition of the Great Lakes // J. Fisheries research board of Canada. — 1954. — № 5. — P. 827-853. 

25. Pikitch E., Doukakis P., Lauck L., and Chakrabarty P. Status, trends and management of sturgeon and paddlefish fisheries // Fish and Fisheries. — 2005. — Vol. 6, № 3. — P. 233-265.  

===================================================================== 

УДК 519.63 

Вычисление зарядов на поверхности проводящего осесимметричного тела, экранирующих внешнее соосное электрическое поле  с. 321-327

Савченко Александр Оливеровичong>1, Савченко Оливер Яковлевич2 

1Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

savch@ommfao1.sscc.ru

2Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

oliv@kinetics.nsc.ru

 

Аннотация  

Предложен экономичный метод нахождения зарядов на поверхности проводящего

осесимметричного тела, когда его ось симметрии и ось симметрии внешнего электрического поля совпадают, который сводится к решению одномерного интегрального уравнения. Для проводника, имеющего форму эллипсоида вращения, помещенного в электрическое поле, потенциал которого меняется как полином на оси симметрии, приводится аналитическое решение. Для нахождения плотности заряда на поверхности произвольного осесимметричного тела, помещенного в произвольное электрическое поле, предложен численный метод решения интегрального уравнения, являющийся комбинацией метода итеративной регуляризации и проекционного метода с проектором в виде В-сплайнов. Приводятся результаты численного восстановления искомых функций для некоторых частных случаев предложенным методом. 

Ключевые слова: 

заряд, электрическое поле, потенциал, проводник, осесимметричное тело, экранировка, уравнения Фредгольма I-го рода, В-сплайны. 

Литература 

1. Савченко А.О., Савченко О.Я. Поверхностные токи сверхпроводящего осесимметричного тела, экранирующие внешнее соосное магнитное поле // Ж. технической физики. — С-Пб: Наука, 2007. — Т. 77, вып. 7. — С. 130-133. 

2. Савченко А.О., Савченко О.Я. Вычисление токов на поверхности сверхпроводящего осесимметричного тела, экранирующих внешнее соосное магнитное поле // Сиб. журн. иычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2007. — Т. 10, № 3. С. 317-324. 

3. Erdelyi A. Singularities of generalized axially symmetric potentials // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1956. — Vol. IX. — P. 403-414. 

4. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. — Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. 

5. Бернштейн С.Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной. — Л.-М.: ГРОТЛ, 1937. 

6. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972. 

7. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, решения, алгоритмы. — Киев: Наукова думка, 1986. 

8. Шикин Е.В., Плис А.И. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей. — М.: Диалог-МИФИ, 1996.  

===================================================================== 

УДК 514.8, 517.983, 519.6 

Восстановление соленоидальной части трехмерного векторного поля по лучевым преобразованиям, вычисленным вдоль прямых, параллельных координатным плоскостям с. 329-344

Светов Иван Евгеньевич1,2 

1Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090

2Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

svetovie@math.nsc.ru

 

Аннотация  

Предлагается численное решение задачи по восстановлению соленоидальной части векторного поля, заданного в единичном шаре. Именно по известным лучевым преобразованиям, вычисленным вдоль прямых, параллельных одной из координатных плоскостей, строится аппроксимация соленоидальной части искомого поля. Тестовые расчеты показали хорошие результаты реконструкции соленоидальных векторных полей предлагаемым способом. 

Ключевые слова: 

векторная томография, соленоидальное векторное поле, аппроксимация, формула обращения, лучевое преобразование, быстрое преобразование Фурье. 

Литература 

1. Smith K.T., Solmon D.C., and Wagner S.L. Practical and mathematical aspects of reconstructing objects from radiographs // Bull. Amer. Soc. — 1977. — Vol. 83, № 1. — P. 1227-1270. 

2. Louis A.K. Nonuniqueness in inverse Radon problems: the frequency distribution of the ghost // Math. Z. — 1984. — № 185. — P. 429-440. 

3. Derevtsov E.Yu. Ghost distributions in the cone-beam tomography // J. of Inverse and Ill-posed Problems. — 1997. — Vol. 5, № 5. — P. 411-426. 

4. Davison M.E. The ill-conditioned nature of the limited angle tomography problem // SIAM J. on Applied Mathematics. — 1983. — Vol. 43. — P. 428-448. 

5. Quinto E.T. Singular value decompositions and inversion methods for the exterior Radon transform and a spherical transform // SIAM J. Math. Anal. Appl. — 1985. — Vol. 95. — P. 437-448. 

6. Firbas P. Tomography from seismic profiles // Seismic Tomography / G.D. Nolet. — Dordrecht: Reidel, 1987. — P. 189-202. 

7. Alekseev A.S., Lavrent'ev M.M., Romanov M.E., and Romanov V.G. Theoretical and computational aspects of seismic tomography // Surveys in Geophysics. — 1990. — № 11. — P. 395-409. 

8. Palamodov V.P. Reconstruction from limited data of arc means // J. Fourier Anal. Appl. — 2000. — Vol. 6, № 1. — P. 25-42. 

9. Шарафутдинов В.А. Интегральная геометрия тензорных полей. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1993. 

10. Schuster T. The 3D Doppler transform: elementary properties and computation of reconstruction kernels // Inverse Problems. — 2000. — № 16. — P. 701-722. 

11. Vertgeim L. Integral geometry problems for symmetric tensor fields with incomplete data // J. Inverse Ill-posed Problems. — 2000. — № 8. — P. 353-362. 

12. Denisjuk A. Inversion of the X-ray transform for 3D symmetric tensor fields with sources on a curve // Inverse Problems. — 2000. — № 22. — P. 399-411. 

13. Sharafutdinov V. Slice-by-slice reconstruction algorithm for vector tomography with incomplete data // Inverse Problems. — 2007. — № 23. — P. 2603-2627. 

14. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — М.: Наука, 1965.


Номер 4, с. 345-447  

 

УДК 517.988.68
Метод локализации линии разрыва приближенно заданной функции двух переменных с. 345-357
Антонова Татьяна Владимировна

Институт математики и механики Уральского отделения Российской академии наук, ул. С.Ковалевской, 16, Екатеринбург, 620990

tvantonova@imm.uran.ru

 

Аннотация

В работе строятся и исследуются методы локализации (определения положения) линий, на которых измеряемая функция двух переменных имеет разрыв первого рода. Предполагается, что вне линий разрыва функция гладкая и имеет ограниченную частную производную. Вместо точной функции известны ее приближение в L2 и уровень возмущения. Рассматриваемая задача относится к классу нелинейных некорректно поставленных проблем и для ее решения необходимо строить регуляризующие алгоритмы. Предлагается упрощенный теоретический подход к задаче локализации линии разрыва приближенно заданной функции, когда условия на точную функцию накладываются «в малом». Построены методы усреднения и для них получены оценки точности локализации линии (в малом).

Ключевые слова:

некорректная задача, локализация особенностей, линия разрыва, регуляризация.

Литература

1. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. — М.: Мир, 2005.

2. Фурман Я.А., Кревецкий А.В., Передреев А.К. и др. Введение в контурный анализ и его приложения к обработке изображений и сигналов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

3. Деревцов Е.Ю., Пикалов В.В. Восстановление векторного поля и его сингулярностей по лучевым преобразованиям // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2011. — Т. 14, № 1. — С. 29-46.

4. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1974.

5. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — М.: Наука, 1978.

6. Vasin V.V., Ageev A.L. Ill-Posed Problems with A Priori Information. — Utrecht, the Netherlands: VSP, 1995.

7. Агеев А.Л., Антонова Т.В. О задаче разделения особенностей // Изв. вузов. Математика. — 2007. — № 11. — С. 1-7.

8. Антонова Т.В. Восстановление функции с конечным числом разрывов 1 рода по зашумленным данным // Изв. вузов. Математика. — 2001. — № 7. — С. 65-68.

9. Antonova T.V. Recovery of function with finite number of discontinuities by noised data // J. Inverse and Ill-Posed Problems. — 2002. — Vol. 10, № 2. — P. 113-123.

10. Антонова Т.В. Новые методы локализации разрывов зашумленной функции // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2010. — Т. 13, № 4. — С. 375-386.

11. Агеев А.Л., Антонова Т.В. Регуляризирующие алгоритмы выделения разрывов в некорректных задачах // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2008. — Т. 48, № 8. — С. 1362-1370.

12. Агеев А.Л., Антонова Т.В. О новом классе некорректно поставленных задач // Изв. Уральского госуниверситета. Математика. Механика. Информатика. — 2008. — Вып. 11, № 58. — С. 27-45.

13. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974.

===================================================================== 

УДК 519.63:517.958

Явно-неявные схемы для задач конвекции-диффузии-реакции с. 359-369

Вабищевич Петр Николаевич1, Васильева Мария Васильевна2

1Институт проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук, ул. Б. Тульская, 52, Москва, 115191

vabishchevich@gmail.com

2Северо-восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова, ул. Белинского, 58, Якутск, 677000 

vasilyeva_mv@mail.ru

 

Аннотация

Базовыми моделями проблем механики сплошной среды являются краевые задачи для нестационарных уравнений конвекции-диффузии-реакции. Для их исследования привлекаются различные численные методы. После конечно-разностной, конечно-элементной или конечно-объемной аппроксимации по пространству мы приходим к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, основные особенности которой связаны с несимметричностью оператора задачи и его незнакоопределенностью. Явно-неявные аппроксимации по времени традиционно используются при построении схем расщепления по физическим процессам, когда отделяются конвективный и диффузионный переносы, процессы реакции. В работе построены безусловно устойчивые схемы для нестационарных уравнений конвекции-диффузии-реакции, когда явно-неявные аппроксимации используются при расщеплении оператора реакции. Рассмотрение проведено на примере модельной двумерной задачи в прямоугольнике.

Ключевые слова:

задачи конвекции-диффузии-реакции, явно-неявные схемы, устойчивость разностных схем.

Литература

1. Hirsch Charles. Numerical Computation of Internal and External Flows: Fundamentals of Computational Fluid Dynamics. — Butterworth-Heinemann: Elsevier, 2007.

2. Research in Numerical Fluid Mechanics. — Braunschweig: Vieweg, 1987.

3. Tannehill John C., Anderson Dale A., and Pletcher Richard H. Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer. — Taylor \& Francis, 1997.

4. Morton K.W., Kellogg R.B. Numerical Solution of Convection-Diffusion Problems. — London: Chapman \& Hall, 1996.

5. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. — М.: УРСС, 1999.

6. Hundsdorfer W.H., Verwer J.G. Numerical Solution of Time-Dependent Advection-Diffusion-Reaction Equations. — Springer Verlag, 2003.

7. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1989.

8. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. — М.: Наука, 1973.

9. Samarskii A. A., Matus P. P., and Vabishchevich P. N. Difference Schemes with Operator Factors. — Kluwer Academic Pub, 2002.

10. Лаевский Ю.М., Гололобов С.В. Явно-неявные методы декомпозиции области решения параболических уравнений // Сиб. мат. журнал. — 1995. — Т. 36, № 3. — С. 590-601.

11. Ascher U.M., Ruuth S.J., and Wetton B.T.R. Implicit-explicit methods for time-dependent partial differential equations // SIAM J. on Numer. Anal. — 1995. — Vol. 32, № 3. — P. 797-823.

12. Ruuth S.J. Implicit-explicit methods for reaction-diffusion problems in pattern formation // J. of Mathematical Biology. — 1995. — Vol. 34, № 2. — P. 148-176.

13. Vabishchevich P., Vasil'eva M. Iterative Methods for Solving the Pressure Problem at Multiphase Filtration. — Ithaca, 2011. — (Preprint / Cornell University Library; arXiv: 1107. 5479).

14. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978.

===================================================================== 

УДК 517.925.54:517.962.27/.8

О встречных процессах ортогонализации с. 371-385

Егоршин Алексей Олегович

Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. В.А. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090

egorshin@math.nsc.ru

 

Аннотация

Дан вывод уравнений встречной ортогонализации однородных (порождаемых изометрическим оператором) систем векторов в гильбертовом пространстве. Приложения этой теории касаются, в частности, решения теплицевых алгебраических и интегральных уравнений, некоторых задач оценивания сигналов, обратных задач математического моделирования и идентификации.

Ключевые слова:

однородная система векторов, ортогональное проектирование, ортогональные проекторы, ортогонализация Грама-Шмидта, встречная ортогонализация.

Литература

1. Егоршин А.О. Симметрия порядка: некоторые следствия в анализе и приложениях для разностных и дифференциальных уравнений // Тр. III Междунар. конф. «Симметрия и дифференциальные уравнения» / В.К. Андреев (Красноярск, 25-29 авг. 2002). — Красноярск: Изд-во ИВМ СО РАН, 2002. — С. 84-90.

2. Yegorshin A.O. Orthogonalization, factorization, and identification as to the theory of recursive equation in linear algebra // Siberian Electronic Mathematical Reports. — 2007. — Vol. 4. — P. 482-503. — (http://semr.math.nsc.ru/v4/p482-503.pdf).

3. Егоршин А.О. Об одном способе оценки коэффициентов моделирующих уравнений для последовательностей // Сиб. журн. индустр. матем. — 2000. — Т. 3, № 2. — С. 78-96.

4. Егоршин А.О. Идентификация стационарных моделей в унитарном пространстве // Автоматика и телемеханика. — 2004. — Т. 65, № 12. — С. 29-48.

5. Крейн М.Г. Об интегральных уравнениях, порождающих дифференциальные уравнения 2-го порядка // ДАН. — 1954. — Т. 97. — С. 21-24.

6. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. — М: Наука, 1967.

7. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов. — М.: ГИФМЛ, 1961.

8. Levinson N. The wiener RMS (root-mean-square) error criterion in filter design and prediction // J. Math. Phys. — 1947. — Vol. 25. — P. 261-278.

9. Амбацумиан В.А. К вопросу о диффузном отражении света мутной средой // ДАН. — 1943. — Т. 38, № 8. — С. 257-261.

10. Chandrasekhar S. Radiative Transfer. — New York: Oxford Univ. Press, 1950.

11. Robinson E.A. Spectral approach to geophysical inversion by Lorentz, Fourier, and Radon transforms // Proc. IEEE. — 1976. — Vol. 70, № 9. — P. 1039-1054.

12. Егоршин А.О. Об одной вычислительной технологии математического моделирования // Вычислительные технологии. — 2003. — Т. 8, № 4. — С. 218-227.

13. Егоршин А.О. Вариационная дискретизация и идентификация линейных стационарных дифференциальных уравнений // Тр. III Междунар. конф. «Идентификация систем и задачи управления». (SICPRO'04, Москва, 28-30 января 2004). — М.: Изд-во Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2004. — С. 1824-1883.

14. Yegorshin A.O. Orthogonalization, factorization, and identification // Тр. Междунар. конф. по вычислительной математике (МКВМ-2004). Ч. I. — Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2004. — С. 76-83.

15. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. — М.: Наука, 1969.

16. Demidenko V.G. Stability estimates in problem on renewal of coefficients of linear differential equations // Proc. of the IASTED Intern. Conf. on Automation, Control, and Information Technology (ACIT'2010) (In co-operation with the Russian Academy of Sciences Conference: Control, Diagnostics, and Automation, June 15-18, 2010, Novosibirsk, Russia). — Novosibirsk: Acta Press, 2010. — P. 280-286.

17. Демиденко В.Г. Оценки устойчивости в задаче идентификации коэффициентов линейных разностных уравнений // Неклассические уравнения математической физики / А.И. Кожанов. — Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2010. — С. 62-81.

18. Демиденко В.Г. Восстановление параметров однородной линейной системы // Вестник НГУ. Математика. Механика. Информатика. — 2008. — Т. 8, № 3. — С. 51-59.

19. Демиденко В.Г. Восстановление коэффициентов системы линейных разностных уравнений // Вестник НГУ. Математика. Механика. Информатика. — 2010. — Т. 10, № 2. — С. 45-54.

===================================================================== 

УДК 517.958

Об изменении фронта плоской волны, проходящей через область, содержащую неоднородности с. 387-392

Москаленский Ефим Давыдович

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

 

Аннотация

Рассматривается двумерное уравнение эйконала, в котором правая часть является функцией, стремящейся к единице при больших удалениях от начала координат. Получены формулы, описывающие фронт волны, распространяющейся в такой среде.

Ключевые слова:

распространение волн, уравнение эйконала.

Литература

1. Москаленский Е.Д. О нахождении точных решений двумерного уравнения эйконала // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2009. — Т. 12, № 2. — С. 201-209.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М: Наука, 1969.

===================================================================== 

УДК 519.633

Дискретно-аналитические схемы для решения обратной коэффициентной задачи теплопроводности слоистых сред градиентными методами с. 393-408

Пененко Алексей Владимирович

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

aleks@ommgp.sscc.ru

 

Аннотация

В работе представлен метод построения численных схем для решения обратной коэффициентной задачи теплопроводности с данными на границе области и кусочно-постоянными коэффициентами температуропроводности. Предложен набор схем, необходимый для реализации градиентного метода решения обратной задачи. Технология их построения совмещает в себе применение локально-сопряженных задач и методов аппроксимации в гильбертовых пространствах.

Ключевые слова:

обратная задача, градиентный алгоритм, численные схемы, локально-сопряженные задачи.

Литература

1. Пененко В.В. Методы численного моделирования атмосферных процессов. — Ленинград: Гидрометиздат, 1981.

2. Карчевский А.Л. Корректная схема действий при численном решении обратной задачи оптимизационным методом // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2008. — Т. 11, № 2. — С. 139-150.

3. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. —М.: ЛКИ, 2007.

4. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы: введение в теорию. — М.: Наука, 1977.

5. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Лань, 2009.

6. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. — M.: Наука, 1971.

7. Стренг Г., Фикс Д. Теория метода конечных элементов. — М.: Мир, 1984.

8. Infield L., Hull T. The factorization method // Reviews of Modern Physics. — 1951. — Vol. 23, № 1. — P. 21-68.

9. El-Mistikawy T.M., Werle M.J. Numerical method for boundary layers with blowing. The exponential box scheme // AIAA J. — 1978. — Vol. 16. — P. 749-751.

10. Berger A.E., Solomon J.M., and Ciment M. An analysis of a uniformly accurate difference method for a singular perturbation problem // Mathematics of computation. — 1981. — Vol. 37, № 155. — P. 79-94.

11. Корнеев В.Г. О точных сеточных схемах // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1982. — Т. 22, № 3. — С. 647-654.

12. Зверев В.Г., Гольдин В.Д. Разностная схема для решения ковективно-диффузионных задач тепломассопереноса // Вычислительные технологии. — 2002. — Т. 7, № 6. — С. 24 — 37.

13. Воеводин А.Ф. Метод факторизации для линейных и квазилинейных сингулярно возмущенных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2009. — Т. 12, № 1. — С. 1-15.

14. Penenko V.V., Tsvetova E.A. Discrete-analytical methods for the implementation of variational principles in environmental applications // J. of Computational and Applied Mathematics. — 2009. — Vol. 226. — P. 319-330.

15. Hasanov A., DuChateau P., and Pektas B. An adjoint problem approach and coarse-fine mesh method for identification of the diffusion coefficient in a linear parabolic equation // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. — 2006. — Vol. 14, № 4. — P. 1-29.

16. Пененко В.В. Некоторые проблемы вычислительной и прикладной математики / М.М. Лаврентьев. — Новосибирск: Наука, 1975. — С. 61-77.

17. Полак Э. Численные методы оптимизации. — M.: Мир, 1974.

=====================================================================

УДК 517.95

О решениях задачи Гольдштика с. 409-415

Потапов Дмитрий Константинович

Санкт-Петербургский государственный университет, факультет прикладной математики — процессов управления, Университетский просп., 35, Санкт-Петербург, 198504

potapov@apmath.spbu.ru

 

Аннотация

Рассматривается модель отрывных течений несжимаемой жидкости М.А. Гольдштика. Методом конечных элементов найдено решение данной двумерной задачи математической физики для конечной области. Приведены оценки дифференциального оператора, вариационным методом получен результат о числе решений задачи Гольдштика.

Ключевые слова:

задача Гольдштика, нелинейное дифференциальное уравнение, разрывная нелинейность, метод конечных элементов, вариационный метод, оценки дифференциального оператора, число решений.

Литература

1. Гольдштик М.А. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР. — 1962. — Т. 147, № 6. — C. 1310-1313.

2. Kuiper H.J. On positive solutions of nonlinear elliptic eigenvalue problems // Rend. Circ. Mat. Palermo. Ser. 2. — 1971. — Vol. 20, № 2-3. — P. 113-138.

3. Fraenkel L.E., Berger M.S. A global theory of steady vortex rings in an ideal fluid // Acta Math. — 1974. — Vol. 132, № 1. — P. 13-51.

4. Chang K.C. Free boundary problems and the set-valued mappings // J. Differential Eq. — 1983. — Vol. 49, № 1. — P. 1-28.

5. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — М.: Наука, 1973.

6. Вайнштейн И.И., Юровский В.К. Об одной задаче сопряжения вихревых течений идеальной жидкости // Журн. прикл. мех. и техн. физики. — 1976. — № 5. — C. 98-100.

7. Титов О.В. Вариационный подход к плоским задачам о склейке потенциального и вихревого течения // Прикл. матем. и механики. — 1977. — Т. 41, вып. 2. — C. 370-372.

8. Потапов Д.К. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости // Известия РАЕН. Сер. МММИУ. — 2004. — Т. 8, № 3-4. — С. 163-170.

9. Вайнштейн И.И., Литвинов П.С. Модель М.А. Лаврентьева о склейке вихревых и потенциальных течений идеальной жидкости // Вестн. СибГАУ. — 2009. — № 3 (24). — С. 7-9.

10. Потапов Д.К. Непрерывные аппроксимации задачи Гольдштика // Матем. заметки. — 2010. — Т. 87, вып. 2. — С. 262-266.

11. Вайнштейн И.И. Дуальная задача к задаче М.А. Гольдштика с произвольной завихренностью // Журн. СФУ. Сер. матем. и физики. — 2010. — Т. 3, вып. 4. — С. 500-506.

12. Потапов Д.К. Управление спектральными задачами для уравнений с разрывными операторами // Тр. ИММ УрО РАН. — 2011. — Т. 17, № 1. — С. 190-200.

13. Потапов Д.К. Бифуркационные задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Матем. заметки. — 2011. — Т. 90, вып. 2. — С. 280-284.

14. Потапов Д.К. Непрерывная аппроксимация одномерного аналога модели Гольдштика отрывных течений несжимаемой жидкости // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2011. — Т. 14, № 3. — С. 291-296.

15. Вайнштейн И.И. Решение двух дуальных задач о склейке вихревых и потенциальных течений вариационным методом М.А. Гольдштика // Журн. СФУ. Сер. матем. и физики. — 2011. — Т. 4, вып. 3. — С. 320-331.

16. Потапов Д.К. Об одном классе эллиптических вариационных неравенств со спектральным параметром и разрывной нелинейностью // Сиб. мат. журнал. — 2012. — Т. 53, № 1. — С. 205-212.

17. Потапов Д.К. Задачи управления для уравнений со спектральным параметром и разрывным оператором при наличии возмущений // Журн. СФУ. Сер. матем. и физики. — 2012. — Т. 5, вып. 2. — С. 239-245.

18. Павленко В.Н., Потапов Д.К. О существовании луча собственных значений для уравнений разрывными операторами // Сиб. мат. журнал. — 2001. — Т. 42, № 4. — С. 911-919.

19. Красносельский М.А., Покровский А.В. Правильные решения уравнений с разрывными нелинейностями // Докл. АН СССР. — 1976. — Т. 226, № 3. — C. 506-509.

20. Потапов Д.К. Об одной оценке сверху величины бифуркационного параметра в задачах на собственные значения для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Дифф. уравнения. — 2008. — Т. 44, № 5. — С. 715-716.

21. Потапов Д.К. Оценки дифференциального оператора в задачах со спектральным параметром для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Вестн. Самарского государственного технического университета. Сер. физ.-мат. науки. — 2010. — № 5 (21). — С. 268-271.

22. Chang K.C. Variational methods for non-differentiable functionals and their applications to partial differential equations // J. Math. Anal. And Appl. — 1981. — Vol. 80, № 1. — P. 102-129.

=====================================================================

УДК 519.6, 519.2

Стохастическая модель переноса разряда при вычислениях с. 417-423

Савельев Лев Яковлевич, Балакин Сергей Владимирович

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

savelev@math.nsc.ru  (Савельев Л.Я.), balakin@ngs.ru  (Балакин С.В.)

 

Аннотация

В статье описывается стохастическая модель переноса разряда. Основными характеристиками процесса переноса служат общее число переносов, число групп последовательных переносов и максимальное число последовательных переносов. Получающиеся с учетом переносов разряда тройки двоичных чисел составляют случайную последовательность, обладающую марковским свойством. В полученной модели основные характеристики процесса переноса описываются функционалами на траекториях рассматриваемой марковской последовательности: общее число данных значений, число серий из них и максимума длин таких серий. Эти характеристики могут эффективно использоваться при оценке скорости вычислений.

Ключевые слова:

сумматор, суммирование, разряд, перенос, стохастическая модель, случайная последовательность, марковская цепь, серия, функционал, среднее, дисперсия.

Литература

1. Рабаи Ж.М., Чандракасан А., Николич Б. Проектирование арифметических блоков: Сумматор // Цифровые интегральные схемы. Методология проектирования. 2-е изд. Пер. с англ. — М.: Вильямс, 2007.

2. Preet Pa Singh R., Kumar P., and Singh B. Performance analysis of 32-bit array multiplier with a carry save adder and with a carry-look-ahead adder // International J. of Recent Trends in Engineering. — 2009. — Vol. 2, № 6. — P. 83-86.

3. Ercegovac M.D., Lang T. Digital Arithmetic. — San Francisco: Morgan Daufmann, 2004.

4. Угрюмов Е.П. Цифровая схемотехника. — СПб.: БХВ-Петербург, 2001.

5. Хмельник С.И. Кодирование комплексных чисел и векторов. Теория, аппаратура, моделирование / Mathematics in Computers. Israel. — USA: Lulu Inc., 2006. — (ID 560836).

6. Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова. — М.: Наука, 1978.

7. Bremaud P. Markov Chains. Gibbs Filds. Monte Carlo Simulations, and Queues. — Springer, 1998.

8. Савельев Л.Я., Балакин С.В. Совместное распределение числа единиц и числа 1-серий в двоичной марковской последовательности // Дискретная математика. — 2004. — Т. 16, № 3. — С. 43-62.

9. Балакин С.В. Распределение максимума длин серий в марковской цепи // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2010. — Т. 17, № 4. — С. 531-532.

10. Савельев Л.Я., Балакин С.В. Комбинаторное вычисление моментов характеристик серий в троичных марковских последовательностях // Дискретная математика. — 2011. — Т. 23, № 2. — С. 72-88.

111. Савельев Л.Я. Длинные серии в марковских последовательностях // Предельные теоремы теории вероятностей. — 1985. — Т. 5. — С. 137-144.

=====================================================================

AmSclassification 49J20, 65N30

Оценки ошибки и сверхсходимость полудискретных смешанных методов для задач оптимального управления, описываемых гиперболическими уравнениями с. 425-440

Хоу Т.

Hunan Key Laboratory for Computation and Simulation in Science and Engineering, Department of Mathematics, Xiangtan University, Xiangtan, 411105, Hunan, P.R. China

htlchb@163.com

 

Аннотация

В данной статье мы исследуем оценки L(L2) -ошибки и сверхсходимость полудискретных смешанных методов конечных элементов для квадратичных задач оптимального управления, описываемых линейными гиперболическими уравнениями. Состояние и сопряженное состояние дискретизируются при помощи смешанных конечноэлементных пространств Равьяра-Тома порядка k, а управление аппроксимируется кусочными многочленами порядка k (k≥0). Получены оценки ошибки для аппроксимации как состояния, так и управления. Кроме того, мы представляем анализ сверхсходимости для смешанной конечноэлементной аппроксимации задач оптимального управления.

Ключевые слова:

априорные оценки ошибки, сверхсходимость, задачи оптимального управления, гиперболические уравнения, полудискретные смешанные методы конечных элементов.

Литература

1. Alt W., Machenroth U. Convergence of finite element approximations to state constrained convex parabolic boundary control problems // SIAM J. Control Optim. — 1989. — № 27. — P. 718-736.

2. Arada N., Casas E., and Tröltzsch F. Error estimates for the numerical approximation of a semilinear elliptic control problem // Comp. Optim. Appl. — 2002. — № 23. — P. 201-229.

3. Babuska I., Strouboulis T. The Finite Element Method and its Reliability. — Oxford: University press, 2001.

4. Becker R., Kapp H., and Rancher R. Adaptive finite element methods for optimal control of partial differential equations: Basic concept // SIAM J. Control Optim. — 2000. — № 39. — P. 113-132.

5. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. — New York: Springer-Verlag, 1991.

6. Brunner H., Yan N. Finite element methods for optimal control problems governed by integral equations and integro-differential equations // Numer. Math. — 2005. — № 101. — P. 1-27.

7. Chen Y. Superconvergence of quadratic optimal control problems by triangular mixed finite elements // Inter. J. Numer. Methods Eng. — 2008. — № 75. — P. 881-898.

8. Chen Y., Huang Y., Liu W.B., and Yan N.N. Error estimates and superconvergence of mixed finite element methods for convex optimal control problems // J. Sci. Comput. — 2009. — № 42. — P. 382-403.

9. Chen Y., Liu W.B. A posteriori error estimates for mixed finite element solutions of convex optimal control problems // J. Comp. Appl. Math. — 2008. — № 211. — P. 76-89.

10. Douglas J., Roberts J.E. Global estimates for mixed finite element methods for second order elliptic equations // Math. Comp. — 1985. — № 44. — P. 39-52.

11. Ewing R.E., Liu M.M., and Wang J. Superconvergence of mixed finite element approximations over quadrilaterals // SIAM J. Numer. Anal. — 1999. — № 36. — P. 772-787.

12. Garcia S.M.F. Improved error estimates for mixed finite element approximations for nonlinear parabolic equations: the continuous-time case // Numer. Methods Partial Differential Eq. — 1994. — № 10. — P. 129-147.

13. Gong W., Yan N. A posteriori error estimate for boundary control problems governed by the parabolic partial differential equations // J. Comput. Math. — 2009. — № 27. — P. 68-88.

14. Hou L., Turner J.C. Analysis and finite element approximation of an optimal control problem in electrochemistry with current density controls // Numer. Math. — 1995. — № 71. — P. 289-315.

15. Haslinger J., Neittaanmaki P. Finite Element Approximation for Optimal Shape Design. — Chichester, UK: John Wiley and Sons, 1989.

16. Knowles G. Finite element approximation of parabolic time optimal control problems // SIAM J. Control Optim. — 1982. — № 20. — P. 414-427.

17. Lions J. Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations. — Berlin: Springer, 1971.

18. Lions J., Magenes E. Non Homogeneous Boundary Value Problems and Applications. — Springer-Verlag, 1972.

19. Liu W., Ma H., Tang T., and Yan N. A posteriori error estimates for discontinuous Galerkin time-stepping method for optimal control problems governed by parabolic equations // SIAM J. Numer. Anal. — 2004. — № 42. — P. 1032-1061.

20. Liu W., Yan N. A posteriori error estimates for convex boundary control problems // SIAM J. Numer. Anal. — 2001. — № 39. — P. 73-99.

21. Liu W., Yan N. A posteriori error estimates for optimal control problems governed by Stokes equations // SIAM J. Numer. Anal. — 2003. — № 40. — P. 1850-1869.

22. Li R., Liu W., Ma H., and Tang T.  Adaptive finite element approximation of elliptic control problems // SIAM J. Control Optim. — 2002. — № 41. — P. 1321-1349.

23. Mcknight R., Bosarge W.Jr. The Ritz-Galerkin procedure for parabolic control problems // SIAM J. Control Optim. — 1973. — № 11. — P. 510-524.

24. Neittaanmaki P., Tiba D. Optimal Control of Nonlinear Parabolic Systems. Theory, Algorithms and Applications. — New York: M. Dekker, 1994.