Сибирский журнал вычислительной математики

Том 16, 2013

Номер 1, c. 1-95
Номер 2, c. 97-199
Номер 3, с. 201-301
Номер 4, c. 303-404


Номер 1, c. 1-95

УДК 519.633

Теорема обучения для алгоритма конкуренции c. 1-9

Антюфеев Виктор Степанович

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

ant@osmf.sscc.ru

 

Аннотация

Настоящая работа является продолжением [1], где был предложен новый решающий алгоритм. Его функционирование напоминает действия искусственных нейронных сетей. Однако функционирование этого алгоритма основано на других принципах, в определении алгоритма не используются понятия сети, нейрона. Здесь доказана теорема обучения для нового алгоритма.

Ключевые слова: теорема обучения, сходимость по вероятности, искусственная нейронная сеть.

Литература

1. Антюфеев В.С. Решения задач распознавания методом Монте-Карло // RJNAMM. — 2012. — Т. 27, № 2. — P. 113-130.

2. Барский А.Б. Нейронные сети: распознавание, управление, принятие решений. — М.: Финансы и статистика, 2004.

3. Осовский С. Нейронные сети для обработки информации. — М.: Финансы и статистика, 2004.

4. Sejnowski T.J., Rosenberg C.R. Parallel networks that learn to pronounce English text // Complex Systems. — 1987. — № 3. — P. 145-168.

5. Burr D.J. Experiments with a connectionist text reader // Proc. of the First International on Neural Networks / Caudill M., Butler C. — San Diego, CA: SOS. — 1987. — Vol. 4. — P. 717-724.

6. Cottrell G.W., Munro P., and Zipser D. Learning internal representation from gray-scale images: An example of extensional programming // Proc. of the 9-th Annual cognitive sci.soc.conf., Seatle (USA), July16-18. — Norwood, NJ: Ablex, 1987. — Vol. 3. — P. 461-473.

7. Уоссермен Ф. Нейрокомпьютерная техника: Теория и практика. — М.: Мир, 1992.

8. Розенблатт Ф. Принципы нейродинамики. — М.: Мир, 1965.

9. Минский М.Л., Пейперт С. Персептроны. — М: Мир, 1971.

10. Grossberg S. Studies of Mind and Brain. — Boston: Reidel, 1982.

11. McCulloch V.S., Pitts W.H. A logical calculus of ideas immanent in nervous activity // Bull. Math. Biophysics. — 1943. — Vol. 2. — P. 548-558.

12. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. — М.: Радио и связь, 1982.

13. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. — М.: Наука, 1981.

14. Аверкин А.Н. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / Д.А. Поспелова. — М.: Наука, 1986.

15. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы. — М.: Горячая линия-Телеком, 2004.

16. Куратовский А. Топология. Т. I. — М.: Мир, 1966.

17. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1969.

18. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. — М.: Наука, 1982.

19. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. — М.: Мир, 1984.

УДК 519.62

Решение нелинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка на основе схемы Самарского с. 11-25

Задорин Александр Иванович1, Тиховская Светлана Валерьевна1

1Омский филиал Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, ул. Певцова, 13, Омск, 644099

zadorin@ofim.oscsbras.ru (Задорин А.И.), s.tihovskaya@yandex.ru (Тиховская С.В.)

 

Аннотация

Рассматривается краевая задача для нелинейного сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Предложен способ решения этой задачи на основе линеаризаций Ньютона и Пикара с применением известной в линейном случае модифицированной схемы А.А. Самарского на сетке Г.И. Шишкина. Доказана равномерная сходимость построенных разностных схем со вторым порядком точности. Для уменьшения количества арифметических действий предложено использовать двухсеточный метод. Приводятся результаты численных экспериментов.

Ключевые слова: нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, сингулярное возмущение, метод Ньютона, метод Пикара, схема Самарского, сетка Шишкина, равномерная сходимость, двухсеточный метод.

Литература

1. Ильин А.М. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Матем. заметки. — 1969. — Т. 6, № 2. — С. 237-248.

2. Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // Журн. вычисл. матемaтики и мат. физики. — 1969. — Т. 9, № 4. — С. 841-859.

3. Шишкин Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. — Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1992.

4. Farrell P.A., Hegarty A.F., Miller J.J.H., O'Riordan E., and Shishkin G.I. Robust Computational Techniques for Boundary Layers. — Boca Raton, FL: Chapman and Hall, CRC Press, 2000.

5. Багаев Б.М., Карепова Е.Д., Шайдуров В.В. Сеточные методы решения задач с пограничным слоем. Ч. 2. — Новосибирск: Наука, 2001.

6. Шишкин Г.И. Метод повышенной точности для квазилинейного сингулярно возмущенного эллиптического уравнения конвекции-диффузии // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2006. — Т. 9, № 1. — С. 81-108.

7. Roos H.-G., Stynes M., and Tobiska L. Numerical Methods for Singularly Perturbed Differential Equations. Convection-Diffusion and Flow Problems. Springer Series in Computational Mathematics, 24. — Berlin: Springer-Verlag, 1996.

8. Андреев В.Б., Савин И.А. О равномерной по малому параметру сходимости монотонной схемы А.А. Самарского и ее модификации // Журн. вычисл. матемaтики и мат. физики. — 1995. — Т. 35, № 5. — С. 739-752.

9. Vulanovic R. A uniform numerical method for quasilinear singular perturbation problems without turning points // Computing. — 1989. — Vol. 41. — P. 97-106.

10. Vulkov L.G., Zadorin A.I. Two-grid algorithms for an ordinary second order equation with exponential boundary layer in the solution // Int. J. of Numerical Analysis and Modeling. — 2010. — Vol. 7, № 3. — P. 580-592.

11. Задорин А.И. Метод интерполяции на сгущающейся сетке для функции с погранслойной составляющей // Журн. вычисл. матемaтики и мат. физики. — 2008. — Т. 48, № 9. — С. 1673-1684. 

УДК 519.85

Обоснование алгоритмов внутренних точек для задач оптимизации с нелинейными ограничениями с. 27-38 

Зоркальцев Валерий Иванович1, Пержабинский Сергей Михайлович1

1Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева Сибирского отделения Российской академии наук, ул. Лермонтова, 130, Иркутск, 664033

zork@isem.sei.irk.ru (Зоркальцев В.И.), smper@isem.sei.irk.ru (Пержабинский С.М.)

 

Аннотация

Рассматривается семейство алгоритмов внутренних точек. Алгоритмы предназначены для решения задач математического программирования с нелинейными ограничениями-неравенствами. При поиске направления улучшения решения используются изменяющиеся по итерациям взвешенные евклидовы нормы. Представлены результаты теоретического обоснования алгоритмов при некоторых предположениях (в том числе о невырожденности задачи).

Ключевые слова: метод внутренних точек, взвешенная евклидова норма, линеаризация.

Литература

1. Дикин И.И. Итеративное решение задач линейного и квадратичного программирования // Докл. АН СССР. — 1967. — Т. 174. — С. 747-748.

2. Дикин И.И., Зоркальцев В.И. Итеративное решение задач математического программирования (алгоритмы метода внутренних точек). — Новосибирск: Наука, 1980.

3. Евтушенко Ю.Г., Жадан В.Г. Численные методы решения некоторых задач исследования операций // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1973. — Т. 13, № 3. — С. 583-597.

4. Евтушенко Ю.Г., Жадан В.Г. Барьерно-проективные методы решения задач нелинейного программирования // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1994. — Т. 34, № 5. — С. 669-684.

5. Зоркальцев В.И. Относительно внутренняя точка оптимальных решений. — Сыктывкар: Изд-во Коми филиала АН СССР, 1984.

6. Зоркальцев В.И. Метод относительно внутренних точек. — Сыктывкар: Изд-во Коми филиала АН СССР, 1986.

7. Зангвилл У.И. Нелинейное программирование. — М.: Советское радио, 1973.

8. Пержабинский С.М. Алгоритм внутренних точек, использующий квадратичные аппроксимации // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. — Иркутск: Изд-во ИрГУПС, 2008. — Т. 18, № 3. — С. 97-101.

УДК 519.6., 519.711.3

О численном решении обратной задачи термоакустики с. 39-44

Кабанихин Сергей Игоревич1,2, Криворотько Ольга Игоревна2, Шишленин Максим Александрович3

1Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

2Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова 2, Новосибирск, 630090

3Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Коптюга 4, Новосибирск, 630090

kabanikhin@sscc.nsc.ru (Кабанихин С.И.), krivorotko.olya@mail.ru (Криворотько О.И.), mshishlenin@ngs.ru (Шишленин М.А.)

 

Аннотация

Рассмотрена обратная задача определения начального условия в начально-краевой задаче для волнового уравнения по дополнительной информации о решении прямой начально-краевой задачи, измеренной на границе исследуемой области. Основная цель работы - построение численного алгоритма решения обратной задачи на основе метода простой итерации (МПИ) и исследование разрешающей способности обратной задачи в зависимости от количества и местоположения точек измерения дополнительной информации. Рассмотрены три двумерных постановки. Приведены результаты численных расчетов. Показано, что МПИ на каждом шаге итерации уменьшает значение целевого функционала, однако в силу некорректности обратной задачи разность между точным и приближенным решением обратной задачи сначала убывает, а затем начинает монотонно возрастать. Это обстоятельство отражает регуляризирующие свойства МПИ, в котором роль параметра регуляризации играет номер итерации.

Ключевые слова: задача термоакустики, обратные и некорректные задачи, волновое уравнение, метод простой итерации.

Литература

1. Kruger R.A., Kiser Jr., Reienecke D.R., and Kruger G.A. Application of thermoacoustic computed tomography to breast imaging. — Indianapolis, 2001. — (Preprint / Indiana University Medical Center). — http://optosonic.com.

2. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. — Новосибирск: Сибирское научное изд-во, 2009.

3. Кабанихин С.И., Шишленин М.А., Криворотько О.И. Оптимизационный метод решения обратной задачи термоакустики // Сибирские электронные математические известия. — 2011. — Т. 8. — С. 263-292.

4. Владимиров В.С. Уравнения математической физики, издание 4. — М.: Наука, 1981.

5. Романов В.Г. О локальной разрешимости некоторых многомерных обратных задач для уравнений гиперболического типа // Дифф. уравнения. — 1989. — Т. 25, № 2. — С. 275-283.

УДК 550.341

Локальное пространственно-временное измельчение сеток для конечно-разностного моделирования упругих волн в трёхмерно-неоднородных разномасштабных средах с. 45-55

Костин Виктор Иванович1, Лисица Вадим Викторович2, Решетова Галина Витальевна3, Чеверда Владимир Альбертович2

1ЗАО «Intel A/O», просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6/1, Новосибирск, 630090

2Институт нефтегазовой геологии и геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. В.А. Коптюга, 3, Новосибирск, 630090

3Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

victor.i.kostin@intel.com (Костин В.И.), lisitsavv@ipgg.sbras.ru (Лисица В.В.), kgv@nmsf.sscc.ru (Решетова Г.В.), cheverdava@ipgg.sbras.ru (Чеверда В.А.)

 

Аннотация

Для численного моделирования процессов распространения сейсмических волн в трёхмерно-неоднородных средах с разномасштабными неоднородностями разработан конечно-разностный метод, использующий сетки с локальным пространственно-временным измельчением. Для описания вмещающей среды используется сравнительно грубая сетка (20÷30 точек на длину волны), в то время как мелкомасштабные неоднородности описываются на гораздо более детальной сетке (от 200 точек на длину волны). Все вычисления производятся с использованием компьютеров с параллельной архитектурой и основаны на трёхмерной декомпозиции расчётной области, когда каждый элементарный объём приписывается своему процессорному элементу. Используемые процессорные элементы формируют две группы - для вмещающей среды (крупная сетка) и скоплений мелкомасштабных неоднородностей (мелкая сетка). Взаимодействие групп организовано специальным образом, опирается на использование специальным образом выделенных мастер-процессоров и предусматривает согласование сеток.

Приводятся результаты численных расчётов для реалистичных моделей карбонатных резервуаров, содержащих коридоры трещиноватости. Показано проявление ориентации этих коридоров в рассеянных волновых полях.

Ключевые слова: сейсмические волны, конечно-разностные методы, декомпозиция области, интерполяция, группы процессорных элементов.

Литература

1. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Часть II (стохастические поля). — М.: Наука, 1978.

2. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1977.

3. Castro C.E., Kaser M., and Toro E.F. Space-time numerical methods for geophysical applications // Philosophical Transactions of the Royal Society: series A. — 2009. — № 367. — P. 4613-4631.

4. Collino F., Fouquet T., and Joly P. A conservative space-time mesh refinement method for 1-D wave equation. Part I: Construction // Numerische Mathematik. — 2003. — Vol. 95, № 2. — P. 197-221.

5. Collino F., Fouquet T., and Joly P. A conservative space-time mesh refinement method for 1-D wave equation. Part II: Analysis // Numerische Mathematik. — 2003. — Vol. 95, № 2. — P. 223-251.

6. Diaz J., Grote M.J. Energy conserving explicit local time stepping for second-order wave equations // SIAM J. Scientific Comput. — 2009. — Vol. 31, iss. 3. — P. 1985-2014.

7. Grechka V. Multiple cracks in VTI rocks: Effective properties and fracture characterization // Geophysics. — 2007. — Vol. 72, № 5. — P. D81-D91.

8. Lisitsa V., Reshetova G., and Tcheverda V. Finite-difference algorithm with local time-space grid refinement for simulation of waves // Computational geosciences. — 2011. — (В печати.)

9. Reshef M., Landa E. Post-stack velocity analysis in the dip-angle domain using diffractions // Geophysical Prospecting. — 2009. — Vol. 57, iss. 5. — P. 811-821.

10. Reshetova G., Lisitsa V., Tcheverda V., and Thore P. Simulation of seismic waves propagation in Multiscale media on the base of locally refined grids // 71st EAGE Conference and Exhibition, 8-11 June. — Amsterdam, The Netherlands. — P. 312.

11. Reshetova G.V., Lisitsa V.V., Tcheverda V.A., and Pozdnyakov V.A. Impact of cavernous/fractured reservoirs to scattered seismic waves in 3D heterogeneous media: Accurate numerical simulation and field study // SEG Expanded Abstracts, Annual Meeting. — SEG San Antonio, 2011. — Vol. 30. — P. 2875-2878.

12. Saenger E.H., Kruger O.K., and Shapiro S.A. Effective elastic properties of randomly fractured soils: 3D numerical experiments // Geophysical prospecting. — 2004. — Vol. 52, iss. 3. — P. 183-195.

13. Sneider Roel. The theory of coda wave interferometry // Pure and Applied Geophysics. — 2006. — № 163. — P. 455-473.

14. Tsingas C., El Marhfoul B., and Dajani A. Fracture detection by diffraction imaging // 72nd EAGE Conference and Exhibition incorporating SPE EUROPEC, 14-17 June, 2010. — Barcelona, Spain, 2010. — P. G044.

15. Virieux J. P-SV wave propagation in heterogeneous media: Velocity-stress finite difference method // Geophysics. — 1986. — Vol. 51, № 4. — P. 889-901.

16. Willis M., Burns D., Rao R., Minsley B., Toksoz N., and Vetri L. Spatial orientation and distribution of reservoir fractures from scattered seismic energy // Geophysics. — 2006. — Vol. 71, № 5. — P. O43-O51.

УДК 519.644.7

Кубатурные формулы на сфере, инвариантные относительно группы вращений диэдра с инверсией D6h с. 57-62

Попов Анатолий Степанович

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

popov@labchem.sscc.ru

 

Аннотация

Разработан алгоритм поиска наилучших (в некотором смысле) кубатурных формул на сфере, инвариантных относительно группы вращений диэдра с инверсией D6h. Проведены расчёты по этому алгоритму с целью определить параметры всех наилучших кубатурных формул данной группы симметрии до 23-го порядка точности n. При этом для n ≤ 11 найдены точные значения параметров соответствующих кубатурных формул, а для остальных n — приближённые, полученные путём численного решения систем нелинейных алгебраических уравнений методом ньютоновского типа. В данной работе впервые систематически исследованы способы получения наилучших кубатур для сферы в случае группы, не являющейся подгруппой групп симметрии правильных многогранников.

Ключевые слова:численное интегрирование, инвариантные кубатурные формулы, инвариантные многочлены, группа вращений диэдра.

Литература

1. Соболев С.Л. О формулах механических кубатур на поверхности сферы // Сиб. мат. журнал. — 1962. — Т. 3, № 5. — C. 769-796.

2. McLaren A.D. Optimal numerical integration on a sphere // Math. Comput. — 1963. — Vol. 17, № 83. — P. 361-383.

3. Лебедев В.И. Значения узлов и весов квадратурных формул типа Гаусса-Маркова для сферы от 9-го до 17-го порядка точности, инвариантных относительно группы октаэдра с инверсией // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1975. — Т. 15, № 1. — С. 48-54.

4. Лебедев В.И. О квадратурах на сфере // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1976. — Т. 16, № 2. — С. 293-306.

5. Лебедев В.И. Квадратурные формулы для сферы 25-29-го порядка точности // Сиб. мат. журнал. — 1977. — Т. 18, № 1. — C. 132-142.

6. Лебедев В.И., Лайков Д.Н. Квадратурная формула для сферы 131-го алгебраического порядка точности // Докл. РАH. — 1999. — Т. 366, № 6. — C. 741-745.

7. Коняев С.И. Квадратуры типа Гаусса для сферы, инвариантные относительно группы икосаэдра с инверсией // Мат. заметки. — 1979. — Т. 25, № 4. — C. 629-634.

8. Коняев С.И. Формулы численного интегрирования на сфере // Теоремы вложения и их приложения / Тр. семинара акад. С.Л. Соболева. — Новосибирск, 1982. — № 1. — C. 75-82.

9. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. — М.: Наука, 1981.

10. Попов А.С. Кубатурные формулы для сферы, инвариантные относительно группы тетраэдра // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1995. — Т. 35, № 3. — C. 459-466.

11. Попов А.С. Кубатурные формулы высоких порядков точности для сферы, инвариантные относительно группы тетраэдра // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1996. — Т. 36, № 4. — C. 5-9.

12. Попов А.С. Кубатурные формулы на сфере, инвариантные относительно группы вращений октаэдра // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1998. — Т. 38, № 1. — C. 34-41.

13. Попов А.С. Поиск наилучших кубатурных формул для сферы, инвариантных относительно группы вращений октаэдра // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2002. — Т. 5, № 4. — C. 367-372.

14. Попов А.С. Поиск наилучших кубатурных формул для сферы, инвариантных относительно группы вращений октаэдра с инверсией // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2005. — Т. 8, № 2. — C. 143-148.

15. Попов А.С. Кубатурные формулы на сфере, инвариантные относительно группы вращений икосаэдра // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2008. — Т. 11, № 4. — C. 433-440.

16. Popov A.S. Cubature formulae for a sphere invariant under cyclic rotation groups // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. — 1994. — Vol. 9, № 6. — P. 535-546.

17. Казаков А.Н., Лебедев В.И. Квадратурные формулы типа Гаусса для сферы, инвариантные относительно группы диэдра // Тр. МИРАН. — М.: Наука, 1994. — Т. 203. — С. 100-112.

18. Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. — М.: Едиториал УРСС, 2004. 

 

УДК 519.622.2

О построении обобщенно-периодических решений сложной структуры неавтономной системы дифференциальных уравнений с. 63-70

Пчелинцев Александр Николаевич

Тамбовский государственный технический университет, ул. Советская, 106, Тамбов, 392000

pchelintsev.an@yandex.ru

 

Аннотация

В работе рассмотрена численная схема построения приближенных обобщенно-периодических решений сложной структуры неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодической правой частью на поверхности тора. Показано существование таких решений, а также сходимость метода последовательных приближений. Приведены результаты вычислительного эксперимента.

Ключевые слова: обобщенно-периодическое решение, система обыкновенных дифференциальных уравнений, ряд Фурье, почти периодическое решение, иррациональная обмотка тора.

Литература

1. Афанасьев А.П., Дзюба С.М. Устойчивость по Пуассону в динамических и непрерывных периодических системах. — М.: ЛКИ, 2007.

2. Пчелинцев А.Н. Численные методы и обобщенно-периодические решения динамических систем. — Saarbrücken: Lambert Academic Publishing, 2010.

3. Козлов В.В. К теории интегрирования уравнений неголономной механики // Неголономные динамические системы. Интегрируемость, хаос, странные аттракторы / Борисов А.В., Мамаев И.С. — Москва, Ижевск: Изд-во Института компьютерных исследований, 2002. — С. 149-173.

4. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. — Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2000.

5. Титчмарш Е. Теория функций. — М.: Наука, 1980.

6. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. — М.: Физматлит, 1961.

7. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М.: Едиториал УРСС, 2004.

8. Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.

9. Бор Г. Почти периодические функции. — М.: Едиториал УРСС, 2005.

10. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — СПб.: Лань, 2006.

AMS 65F10, 15A06

Сравнительный анализ для усовершенствования предобусловленного итерационного метода типа SOR с. 71-80

Сабери Наджафи Х.1, Эдалатпанах С.А.2

1Department of Mathematics, Faculty of Sciences, University of Guilan, Rasht, Iran, P.O.box 41335-1914

2Department of Mathematics, Lahijan Branch, Islamic Azad University, Lahijan, Iran

hnajafi@guilan.ac.ir (Сабери Наджафи Х.), saedalatpanah@gmail.com (Эдалатпанах С.А.)

 

Аннотация

В данной статье исследуются некоторые предобуславливатели типа (I+S), основанные на методе SOR (successive overrelaxation, последовательной верхней релаксации), с использованием неотрицательных матриц. Кроме того, мы доказываем монотонность спектральных радиусов итерационных матриц по отношению к параметрам в [12]. Дается сравнение некоторых расщеплений и предобуславливателей, которые получаются путем сравнения. Для иллюстрации наших результатов приводится численный пример.

Ключевые слова: предобуславливание, теоремы сравнения, спектральный радиус, SOR, L-, M-матрица.

Литература

1. Hageman L.A., Young D.M. Applied Iterative Methods. — New York: Academic Press, 1981.

2. Varga R.S. Matrix Iterative Analysis, second ed. — Berlin: Springer, 2000.

3. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear System. — PWS Publishing Company, a Division of International Thomson Publishing Inc., VSA, 1996.

4. Saberi Najafi H., Ghazvini H. Weighted restarting method in the weighted Arnoldi algorithm for computing the eigenvalues of a nonsymmetric matrix // Applied Mathematics and Computation. — 2006. — № 175. — P. 1279-1287.

5. Saberi Najafi H., Refahi A. A new restarting method in Lanczos algorithm for generalized eigenvalue problem // Applied Mathematics and Computation. — 2007. — № 184. — P. 421-428.

6. Saberi Najafi H., Zareamoghaddam H. A new computational GMRES method // Applied Mathematics and Computation. — 2008. — № 199. — P. 527-534.

7. Evans D.J. Preconditioned Iterative Methods. — Gordon and Breach, 1994.

8. Bruaset A.M. A survey of preconditioned iterative methods // Pitman Research Notes in Mathematics Series. — Harlow: Longman Scientific and Technical, 1995. — № 328.

9. Benzi M. Preconditioning techniques for large linear systems: a survey // J. of Computational Physics. — 2002. — № 182. — P. 418-477.

10. Saberi Najafi H., Edalatpanah S.A. Some improvements in PMAOR method for solving linear systems // J. Info. Comp. Sci. — 2011. — № 6. — P. 15-22.

11. Milaszewic J.P. Improving Jacobi and Gauss Seidel iterations // Linear Algebra and its Applications. — 1987. — № 93. — P. 161-170.

12. Dehghan M., Hajarian M. Improving preconditioned SOR-type iterative methods for L-matrices // International J. for Numerical Methods in Biomedical Engineering. — 2011. — № 27. — P. 774-784.

13. Gunawardena A.D., Jain S.K., and Snyder L. Modified iterative methods for consistent linear systems // Linear Algebra and its Application. — 1981. — № 41. — P. 99-110.

14. Kohno T., Kotakemori H., Niki H., and Usui M. Improving the Gauss-Seidel method for Z-matrices // Linear Algebra and its Application. — 1997. — № 267. — P. 113-123.

15. Usui M., Niki H., and Kohno T. Adaptive Gauss-Seidel method for linear systems // International J. of Computer Mathematics. — 1994. — № 51. — P. 119-125.

16. Karasozen B., Ozban A.Y. Modified iterative methods for linear systems of equations // International J. of Computer Mathematics. — 1996. — № 770. — P. 179-196.

17. Hadjidimos A., Noutsos D., and Tzoumas M. More on modifications and improvements of classical iterative schemes for M-matrices // Linear Algebra and its Application. — 2003. — № 364. — P. 253-279.

18. Li W., Sun W. Modified Gauss-Seidel type methods and Jacobi type methods for Z-matrices // Linear Algebra and its Applications. — 2000. — № 317. — P. 227-240.

19. Li W. Preconditioned AOR iterative methods for linear systems // International J. of Computer Mathematics. — 2002. — № 79. — P. 89-101.

20. Li Y., Wang Z. A modified AOR iterative method for preconditioned linear systems // Southeast Asian Bulletin of Mathematics. — 2004. — № 28. — P. 305-320.

21. Wang L., Song Y. Preconditioned AOR iterative methods for M-matrices // J. of Computational and Applied Mathematics. — 2009. — № 226. — P. 114-124.

22. Berman A., Plemmons R.J. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences. — New York: Academic, 1994.

23. Ortega J.M., Rheinboldt W.C. Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. — New York, London: Academic Press, 1970.

24. Climent J.J., Perea C. Some comparison theorems for weak nonnegative splittings of bounded operators // Linear Algebra and its Application. — 1998. — № 275-276. — P. 77-106.

25. Li W. On regular splittings M-matrices // Linear Algebra and its Applications. — 1989. — № 113. — P. 159-172. 

 

УДК 517.977

Применение метода наименьших квадратов для решения линейных дифференциально-алгебраических уравнений с. 81-95

Чистяков Виктор Филимонович1, Чистякова Елена Викторовна1

1Институт динамики систем и теории управления СО РАН, ул. Лермонтова, 134, Иркутск, 664048

chist@icc.ru (Чистяков В.Ф.), elena.chistyakova@icc.ru (Чистякова Е.В.)

 

Аннотация

Рассмотрено применение метода наименьших квадратов для численного решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с тождественно вырожденной или прямоугольной матрицей перед производной искомой вектор-функции. В работе обсуждается поведение градиентных методов для минимизации функционала квадрата невязки в пространствах Соболева и некоторые другие вопросы. Приведены результаты численных экспериментов.

Ключевые слова: дифференциально-алгебраические уравнения, индекс, метод наименьших квадратов, градиентные методы.

Литература

1. Brenan K.E., Campbell S.L., and Petzold L.R. Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential-Algebraic Equations (Classics in Applied Mathematics 14). — Philadelphia: SIAM, 1996.

2. Бояринцев Ю.Е., Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования. — Новосибирск: Наука, 1998.

3. Чистяков В.Ф. К методам решения сингулярных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Вырожденные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. — Новосибирск: Наука, 1982. — C. 37-66.

4. Булатов М.В., Чистяков В.Ф. Решение алгебро-дифференциальных систем методом наименьших квадратов // Тр. XI Междунар. Байкальской школы-семинара, Иркутск, Байкал, 5-12 июля 1998 г. — Т. 4. — С. 72-75.

5. Горбунов В.К. Метод нормальной сплайн-коллокации // ЖВМиМФ. — 1989. — Т. 29, № 2. — С. 212-224.

6. Горбунов В.К., Петрищев В.В. Развитие метода нормальной сплайн-коллокации для линейных дифференциальных уравнений // ЖВМиМФ. — 2003. — Т. 43, № 8. — С. 1161-1170.

7. Gorbunov V.K., Lutoshkin I.V. The parametrization method in optimal control problems and differential algebraic equations // J. Comput. Appl. Mathem. — 2006. — Vol. 185, iss. 2. — P. 377-390.

8. Gorbunov V.K., Sviridov V.Yu. The method of normal splines for linear DAEs on the number semi-axis // Appl. Numer. Math. — 2009. — Vol. 59, iss. 3-4. — P. 656-670.

9. Булатов М.В., Горбунов В.К., Мартыненко Ю.В., Нгуен Дин Конг. Вариационные подходы к численному решению дифференциально-алгебраических уравнений // Вычислительные технологии. — 2010. — Т. 15, № 5. — C. 3-13.

10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 3-е изд. — М.: Наука, 1966.

11. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. — Новосибирск: Наука, 1980.

12. Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром. — Новосибирск: Hаука, 1996.

13. Campbell S.L., Petzold L.R. Canonical forms and solvable singular sys of differential equations // SIAM J. Alg. and Discrete Methods. — 1983. — № 4. — P. 517-521.

14. Kunkel P., Mehrmann V. Differential-Algebraic Equations: Analysis and Numerical Solution. — European Mathematical Society, 2006.

15. Маслов В.П. Операторные методы. — М.: Наука, 1973.

16. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. — М.: Изд-во МГУ, 1974.

17. Поляк Б.Т. Итерационные методы решения некорректных вариационных задач // Вычислительные методы и программирование. — М.: Изд-во МГУ, 1969. — C. 95-108.

18. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчислений. Т. II. — М.: Физматгиз, 1962.

19. Нестеров Ю.Е. Введение в невыпуклую оптимизацию. — М.: МЦММО, 2010.

20. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Наука, 1987.

21. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. 2-е изд., испр. и доп. — Долгопрудный: Издательский дом «Интеллект», 2008.


Номер 2, c. 97-199

 

УДК 519.245

Модифицированный алгоритм статистического моделирования систем со случайной структурой с распределенными переходами с. 97-105

Аверина Татьяна Александровна

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090,

Новосибирский госуниверситет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

ata@osmf.sscc.ru

 

Аннотация

Построен алгоритм статистического моделирования систем со случайной структурой с распределенными переходами. Предложенный алгоритм основан на численных методах решения стохастических дифференциальных уравнений и использует модифицированный метод максимального сечения, когда интенсивность перехода зависит от вектора состояния.

Ключевые слова: численные методы, стохастические дифференциальные уравнения, системы со случайной структурой.

Литература

1. Казаков И.Е., Артемьев В.М., Бухалев В.А. Анализ систем случайной структуры. — М.: Наука, 1993.

2. Артемьев В.М., Ивановский А.В. Управление дискретными системами со случайным периодом квантования. — М.: Энергоатомиздат, 1986.

3. Averina T.A. Algorithm for statistical simulation of two types of random-structure systems // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. — 2001. — Vol. 16, № 6. — P. 467-482.

4. Averina T.A. Algorithm of statistical simulation of dynamic systems with distributed change of structure // Monte Carlo Methods and Appl. — 2004. — Vol. 3-4. — P. 221-226.

5. Михайлов Г.А., Аверина Т.А. Алгоритм «максимального сечения» в методе Монте-Карло // ДАН. — 2009. — Т. 428, № 2. — С. 163-165.

6. Аверина Т.А. Новые алгоритмы статистического моделирования неоднородных пуассоновских ансамблей // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2010. — Т. 50, № 1. — С. 16-23.

7. Аверина Т.А., Михайлов Г.А. Алгоритмы точного и приближенного статистического моделирования пуассоновских ансамблей // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2010. — Т. 50, № 6. — С. 1005-1016.

8. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. — М.: Наука, 1982.

9. Coleman W.A. Mathematical verification of a certain Monte Carlo sampling technique and applications of the techniques to radiation transport problems // Nucl. Sci. and Eng. — 1968. — Vol. 32, № 1. — P. 76-81.

10. Михайлов Г.А. Метод моделирования длины свободного пробега частиц // Атомная энергия. — 1970. — Т. 28, № 2. — С. 175-180.

11. Artemiev S.S., Averina T.A. Numerical Analysis of Systems of Ordinary and Stochastic Differential Equations. — 1997. — VSP: Utrecht, The Netherlands.

12. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. — М.: Наука, 1973.

 

УДК 517.968:519.612:004.021

Алгоритмы решения обратных геофизических задач на многопроцессорных вычислительных системах с. 107-121

Акимова Елена Николаевна1,2, Белоусов Дмитрий Владимирович1,2, Мисилов Владимир Евгеньевич1

1Институт математики и механики УрО РАН, ул. С. Ковалевской, 16, Екатеринбург, 620990

2Уральский Федеральный университет, ул. Мира, 19, Екатеринбург, 620002

 aen15@yandex.ru (Акимова Е.Н.), rtfdeamon@mail.ru (Белоусов Д.В.), out.mrscreg@gmail.com (Мисилов В.Е.)

 

Аннотация

Для решения обратных задач гравиметрии предложены устойчивые параллельные алгоритмы на основе итерационных методов градиентного типа. Для решения СЛАУ с блочно-трехдиагональными матрицами применительно к задачам электроразведки построены параллельные методы матричной прогонки, квадратного корня и метод сопряженных градиентов с предобуславливателем. Алгоритмы реализованы на многопроцессорных вычислительных системах различного типа: многопроцессорном комплексе МВС-ИММ, графических процессорах NVIDIA и многоядерном процессоре Intel с использованием новых вычислительных технологий. Параллельные алгоритмы встроены в разработанную систему удаленных вычислений «Специализированный Веб-портал решения задач на многопроцессорных вычислителях». Решены задачи с квазимодельными и реальными данными.

Ключевые слова: обратные задачи гравиметрии, параллельные алгоритмы, прямые и итерационные методы, многопроцессорные вычислительные системы.

Литература

1. Мартышко П.С., Кокшаров Д.Е. Об определении плотности в слоистой среде по гравитационным данным // Геофизический журнал. — 2005. — Т. 27, № 4. — С. 678-684.

2. Нумеров Б.В. Интерпретация гравитационныx наблюдений в случае одной контактной поверхности // ДАН СССР. — 1930. — № 21. — С. 569-574.

3. Васин В.В., Еремин И.И. Операторы и итерационные процессы фейеровского типа. Теория и приложения. — Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2005.

4. Дашевский Ю.А., Суродина И.В., Эпов М.И. Квазитрехмерное математическое моделирование диаграмм неосесимметричных зондов постоянного тока в анизотропных разрезах // Сиб. журн. индустриальной математики — 2002. — Т. 5, № 3 (11). — С. 76-91.

5. Мартышко П.С., Пруткин И.Л. Технология разделения источников гравитационного поля по глубине // Геофизический журнал. — 2003. — Т. 25, № 3. — С. 159-168.

6. Воеводин Вл.В. Технологии параллельного программирования. — URL: http://parallel.ru/ (дата обращения: 06.02.2012).

7. Берилло А. NVIDIA CUDA — неграфические вычисления на графических процессорах. — URL: http://www.ixbt.com/video3/cuda-1.shtml (дата обращения: 06.02.2012).

8. Акимова Е.Н., Белоусов Д.В. Распараллеливание алгоритмов решения линейной обратной задачи гравиметрии на МВС-1000 и графических процессорах // Вестник ННГУ Ч. 1. — 2010. — № 5. — С. 193-200.

9. Bakushinsky A., Goncharsky A. Ill-Posed Problems: Theory and Applications. — London: Kluwer Akad. Publ., 1994.

10. Фаддеев В.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1963.

11. Акимова Е.Н. Распараллеливание алгоритма матричной прогонки // Математическое моделирование. — 1994. — Т. 6, № 9. — С. 61-67.

12. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978.

13. Акимова Е.Н., Гемайдинов Д.В. Параллельные алгоритмы решения обратной задачи гравиметрии и организация удаленного взаимодействия между МВС—1000 и пользователем // Вычислительные методы и программирование. — 2008. — Т. 9, № 1. — С. 133-144.

14. Мартышко П.С., Васин В.В., Акимова Е.Н., Пьянков В.А. О комплексной интерпретации гравитационных и магнитовариационных данных (на примере Башкирского Предуралья) // Геофизика. — 2011. — № 4. — С. 30-36.

15. Методика разработки многопоточных приложений: принципы и практическая реализация. — URL: http://www.rsdn.ru/article/baseserv/RUThreadingMethodology.xml (дата обращения: 06.02.2012). 

 

УДК 517.949.8

Сходимость метода расщепления для нелинейного уравнения Больцмана с. 123-131

Акыш Абдигали Шойынбайулы

Институт математики МОН РК, ул. Пушкина, д. 125, Алматы, 050010

akysh41@mail.ru

 

Аннотация

Рассматривается вопрос о сходимости схемы метода расщепления для нелинейного уравнения Больцмана. На основе схемы метода расщепления получена ограниченность положительных решений в пространстве непрерывных функций. С помощью ограниченности решения и установленных априорных оценок доказывается сходимость схемы метода расщепления и единственность предельного элемента. Найденный предельный элемент удовлетворяет эквивалентному интегральному уравнению Больцмана. Тем самым показана разрешимость нелинейного уравнения Больцмана в целом по времени.

Ключевые слова: метод расщепления, сходимость схемы метода расщепления, нелинейное уравнение Больцмана, разрешимость нелинейного уравнения Больцмана в целом по времени, существование и единственность решения уравнения Больцмана, априорные оценки.

Литература

1. Больцман Л. Лекции по теории газов. — М.: Изд-во тех.-теор. лит., 1956.

2. Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов. — М.: ИЛ, 1960.

3. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. — М.: Мир, 1978.

4. Zwifel P.F. The Boltzmann equation and its properties // Lecture Notes in Mathematics. — 1984. — Vol. 1048. — P. 111-175.

5. Неравновесные явления: Уравнения Больцмана / Пер. с англ.; Под ред. Дж.Л. Либовица, Е.У. Монтролла. — М.: Мир, 1986.

6. DiPerna R.J., Lions P.L. Solutions globales de I'equation de Boltzmann // Proc. C. R. Acad. Sci. Paris. — 1988. — Vol. 306, serie I. — P. 343-346.

7. Temam R. Sur la rèsolution exacte et approchèe d'un problème hyperbolique non linèaire de T. Carleman // Archive Rat. Mech. Anal. — 1969. — Vol. 35, № 5. — P. 351-362.

8. Sultangazin U.M. Discrete Nonlinear Models of the Boltzmann Equation: — M.: Nauka, 1987.

9. Platkowski T., Illner R. Discrete velocity models of the Boltzmann equation: A survey on the mathematical aspects of the theory // SIAM Rev. — 1988. — Vol. 30, № 2. — P. 213-255.

10. Акишев А.Ш. Глобальная теорема существования и единственности для трехмерной модели Бродуэлла // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1997. — Т. 37, № 3. — C. 367-377.

11. Акыш (Акишев) А.Ш. Об устойчивости в p некоторых разностных схем для уравнения переноса // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2002. — Т. 5, № 3. — С. 199-214.

12. Акыш (Акишев) А.Ш. Устойчивость в p некоторых разностных схем для уравнения теплопроводности // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2003. — Т. 6, № 1. — С. 1-16.

13. Акыш А.Ш. Устойчивость в p некоторых разностных схем для одной системы нелинейных параболических уравнений // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2005. — Т. 8, № 4. — С. 273-280.

 14. Акишев А.Ш., Султангазин А.У. Новые априорные оценки решения для нелинейных систем уравнения Карлемана // Вестник АН Каз. ССР. — 1991. — № 11. — C. 40-47.

15. Акыш А.Ш. О нелинейном уравнении Больцмана // Математический журнал / Институт математики МОН РК. — Алматы, 2002. — Т. 2, № 1. — С. 10-16.

16. Акыш А.Ш. О разрешимости нелинейного уравнения Больцмана // Неклассические уравнения математической физики. — Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН, 2007. — С. 15-23.

17. Красносельский М.А., Вайникко Г.М. и др. Приближенное решение операторных уравнений. — М.: Наука, 1969.

18. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. — М.: Наука, 1967.

 

УДК 519.626.1

Перевод системы в состояние динамического равновесия и в ε-окрестность конечного состояния при оптимальном управлении системой с неизвестным возмущением с. 133-145

Александров Владимир Михайлович

Институт математики им. Акад. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. В.А. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090

vladalex@math.nsc.ru , alexhome@yandex.ru

 

Аннотация

Рассмотрена задача перевода линейной системы в состояние динамического равновесия при одновременном действии неизвестного возмущения и оптимального по быстродействию управления. Оптимальное управление вычисляется в процессе движения по фазовой траектории и периодически обновляется для дискретных значений фазовых координат. Доказано, что фазовая траектория приходит в точку динамического равновесия и совершает незатухающие периодические движения (устойчивый предельный цикл). Исследуется влияние различных параметров на положение точки динамического равновесия и на форму предельного цикла. Показано, что вычисление и учет возмущения в алгоритме управления увеличивает точность перевода в заданное конечное состояние. Дан метод оценки достижимой точности. Приведены результаты моделирования и численных расчетов.

Ключевые слова: оптимальное управление, быстродействие, время вычисления, возмущение, фазовая траектория, динамическое равновесие, предельный цикл, точность перевода, линейная система.

Литература

1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1976.

2. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. — М.: Наука, 1969.

3. Александров В.М. Последовательный синтез оптимального управления // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1999. — Т. 39, № 9. — С. 1464-1478.

4. Александров В.М. Сходимость метода последовательного синтеза оптимального управления // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1999. — Т. 39, № 10. — С. 1650-1661.

5. Нэш Д. Бескоалиционные игры // Матричные игры / Н.Н. Воробьев. — М.: Физматгиз, 1961. — С. 205-221.

6. Белолипецкий А.А. Численный метод решения линейной задачи оптимального управления сведением ее к задаче Коши // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1977. — Т. 17, № 6. — С. 1380-1386.

7. Киселев Ю.Н. Быстросходящиеся алгоритмы для линейного оптимального быстродействия // Кибернетика. — 1990. — Т. 62, № 6. — С. 47-57.

8. Балашевич Н.В., Габасов Р., Кириллова Ф.М. Численные методы программной и позиционной оптимизации линейных систем управления // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2000. — Т. 40, № 6. — С. 838-859.

9. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимальное управление в режиме реального времени // Вторая междунар. конф. по проблемам управления. 17-19 июня 2003 г. — М.: Изд-во ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 2003. — С. 20-47. — (Пленарные доклады.)

10. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. — М.: Наука, 1978.

11. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. — М.: Физматлит, 2000.

12. Hartl R.E., Sethi S.P., and Vickson R.G. A survey of the maximum principle for optimal control problems with state constraints // SIAM Review. — 1995. — Vol. 37. — P. 181-218.

13. Александров В.М. Итерационный метод вычисления в реальном времени оптимального по быстродействию управления // Cиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2007. — Т. 10, № 1. — С. 1-28.

14. Александров В.М. Построение аппроксимирующей конструкции для вычисления и реализации оптимального по быстродействию управления в реальном времени // Cиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2012. — Т. 15, № 1. — С. 1-19.

 

УДК 57.088.5 + 519.688

Использование моментов Цернике при анализе изображений с. 147-163

Бабкина Любовь Александровна1, Гармай Юрий Петрович1,2, Лебедев Дмитрий Витальевич1,2, Пантина Римма Альбертовна1,2, Филатов Михаил Валентинович1,2, Исаев-Иванов Владимир Васильевич1,2

1Петербургский институт ядерной физики им. Б.П. Константинова, РАН, Гатчина, Россия

2Научно-образовательная структура «Биофизика» СПбГПУ и ПИЯФ РАН, Санкт-Петербург, Россия

lyubov_babkina@mail.ru (Бабкина Л.А.), yuri.from.spb@gmail.com (Гармай Ю.П.), dtry@omrb.pnpi.spb.ru (Лебедев Д.В.), filatov@omrb.pnpi.spb.ru (Филатов М.В.), isaev@omrb.pnpi.spb.ru (Исаев-Иванов В.В.)

 

Аннотация

В работе предложен метод анализа изображений АСМ ядер клеток высших путем разложения этих изображений по моментам Цернике. Предложенный метод позволяет осуществить разложение экспериментального изображения по моментам Цернике, пространственными гармониками которого являются полиномы Цернике. Показано, что обратная процедура восстановления изображения с помощью полиномов Цернике сходится к экспериментальному изображению, а амплитуды разложения являются количественной спектральной характеристикой при сравнении морфологических особенностей различных изображений. Показано, что амплитуды разложения могут быть использованы в качестве исходных векторов при кластерном анализе изображений методом PCA.

Ключевые слова: анализ изображений, моменты Цернике, атомная силовая микроскопия, ядра клеток высших, PCA.

Литература

1. Molecular Cell Biology. 4th ed. — Harvey Lodish, USA: W.H. Freeman & Company, 2000.

2. Luger K., Mäder A.W., Richmond R.K., Sargent D.F., and Richmond T.J. X-ray structure of the nucleosome core particle at 2.8 Ǻresolution // Nature. — 1997. — Vol. 389. — P. 251-259.

3. Robinson P.J.J., Fairall L., Huynh V.A.T., and Rhodes D. EM measurements define the dimensions of the «30-nm» chromatin fiber: Evidence for a compact, interdigitated structure // PNAS. — 2006. — Vol. 103. — P. 6506-6511.

4. Zlatanova J., Leuba S.H., and van Holde K. Chromatin fiber structure: morphology, molecular determinants, structural transitions // Biophys. J. — 1998. — Vol. 74, № 5. — P. 2554-2566.

5. Binnig G., Quatr C.F., and Gerber Ch. Atomic force microscope // Phys. Rev. Lett. — 1986. — Vol. 56. — P. 930-933.

6. Methods in molecular biology. Vol. 242. Atomic force microscopy. Biomedical methods and application / eds. Pier Carlo Braga, Davide Ricci. — Humana Press, 2004.

7. Marszalek Piotr E., Li Hongbin, Oberhauser Andres F., and Fernandez Julio M. Chair-boat transitions in single polysaccharide molecules observed with force-ramp AFM // PNAS. — 2002. — Vol. 99, № 7. — P. 4278-4283.

8. Galletto Roberto, Amitani Ichiro, Baskin Ronald J., and Kowalczykowski Stephen C. Direct observation of individual RecA filaments assembling on single DNA molecules // Nature. — 2006. — Vol. 443. — P. 875-878.

9. Santos Nuno C., Castanho Miguel A.R.B. An overview of the biophysical applications of atomic force microscopy // Biophys. Chem. — 2004. — Vol. 107, № 8. — P. 133-149.

10. Hu M.K. Visual pattern recognition by moment invariants // IRE Trans. Inf. Theory. — 1962. — Vol. 8, № 2. — P. 179-187.

11. Teague Michael Reed. Image analysis via the general theory of moments // J. Opt. Soc. Am. — 1980. — Vol. 70, № 8. — P. 920-930.

12. Teh C.H., Chin R.T. On image analysis by the methods of moments // IEEE Trans Pattern Anal. Mach. Intell. — 1988. — № 10. — P. 496-513.

13. Lebedev D.V., Filatov M.V., Kuklin A.I., Islamov A.Kh., Kentzinger E., Pantina R., Toperverg B.P., and Isaev-Ivanov V.V. Fractal nature of chromatin organization in interphase chicken erythrocyte nuclei: DNA structure exhibits biphasic fractal properties // FEBS Lett. — 2005, Feb. 28. — Vol. 579, № 6. — P. 1465-8.

14. Chong Chee-Way, Raveendran P., and Mukundan R. An efficient algorithm for fast computation of pseudo-Zernike moments // Int. Conf. on Image and Vision Computing - IVCNZ'01. — Dunedin, NewZealand, 2001. — P. 237-242.

15. Khotanzad A., Hong Y.H. Rotation invariant image recognition using features selected via a systematic methods // Pattern recognition. — 1990. — Vol. 23, № 10. — P. 1089-1101.

16. Belcasim S.O., Shridhar M., and Ahmadi M. Pattern recognition with moment invariants: a comparative study and new results // Pattern recognition. — 1991. — Vol. 24, № 12. — P. 1117-1138.

 

УДК 518.12

Переобусловливатель для сеточного оператора Лапласа на сгущающейся сетке с. 165-170

Мацокин Александр Михайлович

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090,

Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова 2, Новосибирск, 630090

matsokin@oapmg.sscc.ru

 

Аннотация

В работе доказано, что сеточный оператор, аппроксимирующий задачу Дирихле для уравнения Пуассона методом конечных элементов на кусочно-линейных восполнениях на «равномерно» сгущающейся сетке, топологически эквивалентной прямоугольной (т.е. полученной путем сдвига узлов прямоугольной сетки), эквивалентен по спектру оператору 5-ти точечной разностной схемы на равномерной сетке.

Ключевые слова: задача Дирихле для уравнения Пуассона, кусочно-линейные восполнения на триангуляции, аппроксимация оператора Лапласа методом конечных элементов на триангуляции, топологически эквивалентные триангуляции, переобусловливатель.

Литература

1. Мацокин А.М. Вариационно-разностный метод решения эллиптических уравнений в круге. — Новосибирск, 1975. — (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; 13).

2. Кузнецов Ю.А. Вычислительные методы в подпространствах // Вычислительные процессы и системы. Вып. 2. — М.: Наука, 1985. — С. 264-350.

3. Оганесян Л.А., Ривкинд В.Я., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ч. I и II // Дифференциальные уравнения и их приложения. — Вып. 5. — Вильнюс, Пяргале, 1973. — Вып. 8. — Вильнюс, Пяргале, 1974.

4. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. — Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1979.

5. Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы: Асимптотически оптимальные алгоритмы для эллиптических задач. — М.: Наука, 1989.

 

УДК 519.61; 577.21

Исследование математической модели перераспределения вещества в кольцевом ансамбле клеток с. 171-184

Фадеев Станислав Иванович1,3, Когай Владислав Владимирович1,3, Миронова Виктория Владимировна2, Омельянчук Надежда Анатольевна2, Лихошвай Виталий Александрович2,3

1Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. В.А. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090

2Институт цитологии и генетики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. Лаврентьева, 10, Новосибирск, 630090

3Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова 2, Новосибирск, 630090

 fadeev@math.nsc.ru (Фадеев С.И.), kogai@math.nsc.ru (Когай В.В.), kviki@bionet.nsc.ru (Миронова В.В.), nadya@bionet.nsc.ru (Омельянчук Н.А.), likho@bionet.nsc.ru (Лихошвай В.А.)

 

Аннотация

В работе рассматривается математическая модель, представленная автономной системой уравнений, которая описывает транспорт вещества в кольцевом клеточном ансамбле. Применением метода продолжения по параметру показано, что стационарные решения могут обладать различной симметрией, описывая замкнутые кривые. Аналогичным свойством обладают периодические решения, в которых графики компонент повторяют друг друга простым сдвигом.

Ключевые слова: ансамбль клеток, генные сети, регуляция, автономная система, кольцевая модель, стационарные решения, автоколебания, продолжение по параметру.

Литература

1. Elowitz M.B., Leibler S. A synthetic oscillatory network of transcriptional regulators // Nature. — 2000. — Vol. 403, № 6767. — P. 335-338.

2. Gardner T.S., Cantor C.R., and Collins J.J. Construction of a genetic toggle switch in Escherichia coli // Nature. — 2000. — Vol. 403, № 6767. — P. 339-342.

3. Ibañes M., Fàbregas N., Chory J., and Caño-Delgado A.I. Brassinosteroid signaling and auxin transport are required to establish the periodic pattern of Arabidopsis shoot vascular bundles // Proc. National Acad. Sci. USA. — 2009. — Vol. 106, № 32. — P. 13630-13635.

4. De Smet I., Tetsumura T., De Rybel B. et al. Auxin dependent regulation of lateral root positioning in the basal meristem of Arabidopsis // Development. — 2007. — Vol. 134, № 4. — P. 681-690.

5. Likhoshvai V.A., Matushkin Y.G., and Fadeev S.I. Relationship between a gene network graph and qualitative modes of its functioning // Molecular Biology. — 2007. — Vol. 35, № 7. — P. 926-932.

6. Лихошвай В.А., Матушкин Ю.Г., Фадеев С.И. О связи графа генной сети с качественными режимами её функционирования // Молекулярная биология. — 2001. — T. 35, № 6. — C. 1080-1087.

7. Лихошвай В.А, Матушкин Ю.Г., Фадеев С.И. Задачи теории функционирования генных сетей // Сиб. журн. индустриальной математики. — 2003. — T. 6, № 2. — C. 64-80.

8. Голубятников В.П., Голубятников И.В., Лихошвай В.А. О существовании и устойчивости циклов в пятимерных моделях генных сетей // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2010. — Т. 13, № 4. — С. 403-412.

9. Когай В.В., Фадеев С.И., Лихошвай В.А. О численном исследовании автоколебаний в гипотетических генных сетях // Вычислительные технологии. — 2005. — Т. 10, № 3. — С. 56-71.

10. Лихошвай В.А., Омельянчук Н.А., Миронова В.В., Казанцев Ф.В., Акбердин И.Р., Королев В.К., Фадеев С.И., Колчанов Н.А. Моделирование регуляции ауксином инициации латеральных органов у Arabidopsis thaliana L // Информационный Вестник ВОГиС. — 2009. — Т. 13, № 1. — C. 176-186.

11. Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991.

12. Пакет программ STEP для численного исследования систем нелинейных уравнений и автономных систем общего вида. Описание работы пакета STEP на примерах задач из учебного курса «Инженерная химия каталитических процессов»: Учеб. пособие / С.И. Фадеев, С.А. Покровская, А.Ю. Березин, И.А. Гайнова. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1998.

13. Mironova V.V., Omelyanchuk N.A., Yosiphon G., Fadeev S.I., Kolchanov N.A., Mjolsness E., and Likhoshvai V.A. A plausible mechanism for auxin patterning along the developing root // BMC Systems Biology. — 2010. — Vol. 4, article number 98.

14. Vieten A., Vanneste S., Wisniewska J., Benkovà E., Benjamins R., Beeckman T., Luschnig C., and Friml J. Functional redundancy of PIN proteins is accompanied by auxin dependent cross-regulation of PIN expression // Development. — 2005. — Vol. 132, № 20. — P. 4521-4531.

15. Лихошвай В.А., Голубятников В.П., Демиденко Г.В., Евдокимов А.А., Матвеева И.И., Фадеев С.И. Теория генных сетей // Системная компьютерная биология / Н.А. Колчанов, С.С. Гончаров, В.А. Лихошвай и В.А. Иванисенко. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2008. — C. 397-480.

 

AMS 49J20, 65N30

Сверхсходимость и апостериорные оценки ошибки смешанных методов Равьяра —Тома порядка 1 для эллиптических задач управления с интегральным ограничением с. 185-199

Хоу Т.

Hunan Key Laboratory for Computation and Simulation in Science and Engineering, Department of Mathematics, Xiangtan University, Xiangtan 411105, Hunan, P.R.China

htlchb@163.com

 

Аннотация

В данной статье мы исследуем свойство сверхсходимости и апостериорные оценки ошибки смешанных методов конечных элементов для линейной эллиптической задачи управления с интегральным ограничением. Состояние и сопряженное состояние аппроксимируются при помощи пространств смешанных конечных элементов Равьяра-Тома порядка k=1, а переменная управления аппроксимируется кусочно-постоянными функциями. Аппроксимации оптимального управления непрерывной задачи оптимального управления будут построены путем проектирования дискретного сопряженного состояния. Доказывается, что эти аппроксимации имеют порядок сходимости h2. Кроме того, мы получаем апостериорные оценки ошибки как для переменной управления, так и для переменных состояния. И, наконец, для демонстрации наших теоретических результатов приводится численный пример.

Ключевые слова: эллиптические уравнения, задачи оптимального управления, сверхсходимость, апостериорные оценки ошибки, смешанные методы конечных элементов, постобработка.

Литература

1. Arada N., Casas E., and Tröltzsch F. Error estimates for the numerical approximation of a semilinear elliptic control problem // Comput. Optim. Appl. — 2002. — № 23. — P. 201-229.

2. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. — New York: Springer-Verlag, 1991.

3. Chen Y. Superconvergence of mixed finite element methods for optimal control problems // Math. Comp. — 2008. — Vol. 77, iss. 263. — P. 1269-1291.

4. Chen Y. Superconvergence of quadratic optimal control problems by triangular mixed finite elements // Inter. J. Numer. Meths. Eng. — 2008. — Vol. 75, iss. 8. — P. 881-898.

5. Chen Y., Liu W.B. A posteriori error estimates for mixed finite element solutions of convex optimal control problems // J. Comp. Appl. Math. — 2008. — № 211. — P. 76-89.

6. Chen Y., Huang Y., Liu W.B., and Yan N. Error estimates and superconvergence of mixed finite element methods for convex optimal control problems // J. Sci. Comput. — 2009. — Vol. 42, iss. 3. — P. 382-403.

7. Chen Y., Dai Y. Superconvergence for optimal control problems governed by semi-linear elliptic equations // J. Sci. Comput. — 2009. — Vol. 39. — P. 206-221.

8. Chen Y., Yi N., and Liu W.B. A Legendre Galerkin spectral method for optimal control problems governed by elliptic equations // SIAM J. Numer. Anal. — 2008. — Vol. 46, iss. 5. — P. 2254-2275.

9. Ciarlet P.G. The Finite Element Method for Elliptic Problems. — Amsterdam: North-Holland, 1978.

10. Deng K., Chen Y., and Lu Z. Higher order triangular mixed finite element methods for semilinear quadratic optimal control problems // Numer. Math. Theor. Meth. Appl. — 2011. — Vol. 4, iss. 2. — P. 180-196.

11. Douglas J., Roberts J.E. Global estimates for mixed finite element methods for second order elliptic equations // Math. Comp. — 1985. — № 44. — P. 39-52.

12. Falk F.S. Approximation of a class of optimal control problems with order of convergence estimates // J. Math. Anal. Appl. — 1973. — № 44. — P. 28-47.

13. Gunzburger M.D., Hou S.L. Finite dimensional approximation of a class of constrained nonlinear control problems // SIAM J. Control Optim. — 1996. — № 34. — P. 1001-1043.

14. Geveci T. On the approximation of the solution of an optimal control problem governed by an elliptic equation // RAIRO. Anal. Numer. — 1979. — № 13. — P. 313-328.

15. Hou L., Turner J.C. Analysis and finite element approximation of an optimal control problem in electrochemistry with current density controls // Numer. Math. — 1995. — № 71. — P. 289-315.

16. Knowles G. Finite element approximation of parabolic time optimal control problems // SIAM J. Control Optim. — 1982. — № 20. — P. 414-427.

17. Li R., Liu W. — http://circus.math.pku.edu.cn/AFEPack.

18. Lions J.L. Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations. — Berlin: Springer-Verlag, 1971.

19. Ladyzhenskaya O.A., Uraltseva N. Linear and Quasilinear Elliptic Equations. — New York: Academic Press, 1968.

20. Lu Z., Chen Y. L-error estimates of triangular mixed finite element methods for optimal control problems governed by semilinear elliptic equations // Numer. Anal. Appl. — 2009. — Vol. 12, iss. 1. — P. 74-86.

21. Meyer C., Rösch A. Superconvergence properties of optimal control problems // SIAM J. Control Optim. — 2004. — Vol. 43, iss. 3. — P. 970-985.

22. Meyer C., Rösch A. L-error estimates for approximated optimal control problems // SIAM J. Control Optim. — 2005. — Vol. 44, iss. 5. — P. 1636-1649.

23. Meider D., Vexler B. A priori error estimates for space-time finite element discretization of parabolic optimal control problems. Part I: problems without control constraints // SIAM J. Control Optim. — 2008. — Vol. 47, iss. 3. — P. 1150-1177.

24. Meider D., Vexler B. A priori error estimates for space-sime finite element discretization of parabolic optimal control problems. Part II: problems with control constraints // SIAM J. Control Optim. — 2008. — Vol. 47, iss. 3. — P. 1301-1329.

25. McKinght R.S., Borsarge J. The Rite-Galerkin procedure for parabolic control problems // SIAM J. Control Optim. — 1973. — № 11. — P. 510-542.

26. Raviart P.A., Thomas J.M. A mixed finite element method for 2nd order elliptic problems. Mathematical aspects of the finite element method. — Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1977. — (Lect. Notes Math.; 606.).


Номер 3, с. 201-301

 

Гурий Иванович Марчук выдающийся ученый, организатор науки и гражданин с. 201-204

======================================================== 

УДК 519.115

Перечислительные задачи множеств возрастающих и убывающих n-значных серийных последовательностей с двусторонним ограничением на высоты серий  с. 205-215

Амелькин Валерий Алексеевич

Учреждение Российской академии наук Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

amel-kin@yandex.ru

 

Аннотация

Решаются перечислительные задачи для множеств n-значных серийных последовательностей. Рассматриваются множества возрастающих и убывающих последовательностей, структура которых задается ограничениями на длины серий и на разность высот соседних серий в случае, когда эта разность не меньше δ1 и не больше δ2.

Получены формульные выражения мощностей этих множеств и алгоритмы прямой и обратной нумерации (приписывающие меньшие коды-номера лексикографически младшим последовательностям и приписывающие меньшие коды-номера лексикографически старшим последовательностям).

Ключевые слова: серийная последовательность, длина серии, высота серии, ограничения.

Литература

1. Амелькин В.А. Перечислительные задачи серийных последовательностей. — Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2008.

2. Амелькин В.А. Нумерация неубывающих и невозрастающих серийных последовательностей // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2009. — Т.12, № 4. — С. 389-401.

3. Cover T.M. Enumerative source encoding // IEEE Trans. Inform. Theory. — 1973. — Vol. 19, №1. — P. 73-77.

4. Амелькин В.А. Методы нумерационного кодирования. — Новосибирск: Наука, 1986.

 

УДК 519.6

Регуляризация решения системы линейных алгебраических уравнений методом максимального правдоподобия с. 217-228

Антюфеев Виктор Степанович

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 63009090

ant@osmf.sscc.ru

 

Аннотация

В статье предложен метод регуляризации, позволяющий получить неотрицательное псевдорешение системы линейных алгебраических уравнений. Доказана теорема существования наилучшего допустимого решения. Рассматриваются геометрическая интерпретация этого псевдорешения, его свойства, некоторые естественные обобщения метода.

Ключевые слова: система линейных уравнений, положительная регуляризация, вероятностное распределение, стохастический ансамбль.

Литература

1. Тихонов А.Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения // Докл. АН СССР. — 1965. — Т.163, № 6. — С. 591-595.

2. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Докл. АН СССР. — 1963. — Т.153, №1. — С. 49-52.

3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1979.

4. Турчин В.Ф. Решение уравнения Фредгольма1-го рода в статистическом ансамбле гладких функций // ЖВМиМФ. — 1967. — Т. 7, № 6. — С. 1120-1128.

5. Козлов В.Л., Малкевич С. М., Турчин В.Ф. Использование методов математической статистики для решения некорректных задач // УФН. — 1970. — Вып. 3, № 2. — С. 345-386.

6. Турчин В.Ф., Нозик В.З. Статистическая регуляризация решения некорректных задач // Изв. АН СССР, сер. ФАО. — 1969. — Т. 5, №1. — С. 255-267.

7. Butler J.P., Reeds J.A., and Dawson S.V. Estimating solutions of first kind integral equations with nonnegative constraints and optimal smoothing // SIAM J. on Numerical Analysis. — 1981. — Vol. 18, № 3. — P. 410-421.

8. Mosegaard K., Tarantola A. Monte Carlo sampling of solutions to inverse problems // J. Geophys. Res. — 1995. — Vol. 100, № 7. — P. 12431-12447.

9. Крамер Г. Математические методы статистики. — М.: Мир, 1975.

10. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. — М.: Физматгиз, 1963.

11. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — М.: Наука, 1978.

12. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. — М.: Наука, 1978.

13. Васильев В.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

14. Ермаков С. М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. — М.: Наука, 1976.

 

УДК 519.853.32 

Минимизация нелинейных функций при линейных ограничениях  с. 229-242 

Забиняко Герард Идельфонович, Котельников Евгений Алексеевич 

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

zabin@rav.sscc.ru (Забиняко Г.И.)

 

Аннотация

        В статье приводятся некоторые вопросы численной реализации алгоритмов из пакета программ для решения задач минимизации нелинейных функций (в том числе негладких) с учетом линейных ограничений, заданных разреженными матрицами. Имеются примеры решения тестовых задач. 

Ключевые слова: нелинейное программирование, приведенный градиент, метод сопряженных градиентов, квазиньютоновский метод, субградиентный метод, базис, супербазиc.  

Литература 

1. Муртаф Б. Современное линейное программирование. Теория и практика. — М.: Мир, 1984. 

2. Powell M.J.D. Restart procedures for the conjugate gradient method // Math. Programming. —1977. — Vol. 12. — P. 241-254. 

3. Забиняко Г.И. Процедуры обновления в методе сопряженных градиентов // Оптимизация. —1989. — Вып. 46 (63). — С. 5-13. 

4. Gill P. E., Murray W. Quasi-Newton methods for unconstrained optimization // J. Inst. Maths. Appl. — 1972. — Vol. 9, №1. — P. 91-108. 

5. Шор Н.З., Стеценко С. И. Квадратичные экстремальные задачи и недифференцируемая оптимизация. — Киев: Наукова думка, 1989. 

6. Bartels R.H., Golub G.H. The simplex method of linear programming using LU decomposition // Communication of ACM. —1969. — №12. — P. 266-268. 

7. Forrest J.J.H., Tomlin J.A. Updating triangular factors of the basis to maintain sparsity in the product-form simplex method // Math. Programming. —1972. — Vol. 2, iss. 1. — P. 263-278. 

8. Hellerman E., Rarick D.C. The partitioned preassigned pivot procedure (p4) // Sparse Matrices and their Applications / D.J. Rose and R.A. Willoughby. — N.Y.: Plenum Press. —1972. — P. 68-76. 

9. Olschowka M., Neumaier A. A new pivoting strategy for Gaussian elimination // Linear Algebra Appl. — 1996. — Vol. 240. — P. 131-151. 

10. Duff I.S., Koster J. The design and use of algorithms for permuting large entries to the diagonal of sparse matrices // SIAM J. Matrix Anal. Appl. —1999. — Vol. 20, № 4. — P. 889-901. 

11. Li X.S., Demmel J.W. SuperLU DIST: A scalable distributed-memory sparse direct solver for unsymmetric linear systems // ACM Trans. Math. Software. — 2003. — Vol. 29, № 2. — P. 110-140. 

12. Schenk O., Gartner K. Solving unsymmetric sparse systems of linear equation with PARDISO // Future Generation Computer Systems. — 2004. — Vol. 20. — P. 475-487. 

13. Забиняко Г.И. Перепостроение обратных матриц // Сиб. журн. индустр. матем. — 2009. — Т.12, № 3. — С. 41-51. 

14. Karypis G., Kumar V. A fast and high quality multilevel scheme for partitioning irregular graphs // SIAM J. on Sci. Computing. —1998. — Vol. 20, №1. — P. 359-392. 

15. Karypis G., Kumar V. METIS. A software package for partitioning unstructured graphs, partitioning meshes, and computing fill-reducing orderings of sparse matrices (Version 4.0). — http://www.cs.umn.edu/karypis. 

16. http://www.netlib.org/lp/data. 

17. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. — М.: Наука, 1983.

 

УДК 519.6+517.912+517.972+574

Вариационные методы построения монотонных аппроксимаций для моделей химии атмосферы с. 243-256

Пененко Владимир Викторович, Цветова Елена Александровна

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

penenko@sscc.ru (Пененко В.В.), E.Tsvetova@ommgp. sscc.ru (Цветова Е.А.)

 

Аннотация

Представлен новый метод построения экономичных монотонных численных схем для решения основных, сопряженных и обратных задач атмосферной химии. Он является синтезом применения вариационного принципа в сочетании с методами декомпозиции, расщепления и конструктивной реализации идеи интегрирующих множителей Эйлера (ИМЭ) с помощью аппарата локальных сопряженных задач. Для обеспечения эффективности вычислений предложен также способ декомпозиции операторов трансформации многокомпонентных субстанций по механизмам реакций. С применением аналитических ИМЭ декомпозированные системы жестких ОДУ приводятся к эквивалентным системам интегральных уравнений, для решения которых построены прямые многостадийные алгоритмы заданного порядка точности. Разработан оригинальный вариационный метод построения взаимно согласованных алгоритмов для прямых и сопряженных задач и методов теории чувствительности функционалов для сложных дискретно-аналитических моделей с ограничениями.

Ключевые слова: вариационный принцип, жесткие системы ОДУ, интегрирующие множители, дискретно-аналитические аппроксимации, химия атмосферы, алгоритмы исследования чувствительности моделей.

Литература

1. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. — Новосибирск: Наука, 1967.

2. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. — М.: Наука, 1982. 

3. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1983. 

4. Марчук Г.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. — М.: Наука, 1992. 

5. Пененко В.В. Методы численного моделирования атмосферных процессов. — Л.: Гидрометеоиздат, 1981. 

 6. Пененко В.В., Алоян А.Е. Модели и методы для задач охраны окружающей среды. — Новосибирск: Наука, 1985. 

7. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1988. 

8. Gear C.W. Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations. — Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, Inc., 1971. 

9. Хайрер Э., Ваннер Г. Решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. — М.: Мир, 1999. 

10. Штеттер Х. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1978. 

11. Эйринг Г., Лин С. Г., Лин С. М. Основы химической кинетики. — М.: Мир, 1983. 

12. Sandu A., Verwer J.G., van Loon M., Carmichael G.R., Potra F.A., Dabdub D., and Seinfield G.H. Benchmarking stiff ODE solvers for atmospheric chemistry problems I: Implicit versus explicit // Atmospheric Environment. — 1997. — Vol. 31. — P. 3151-3166. 

13. Sandu A., Verwer J.G., Blom J.G., Spee E.J., Carmichael G.R., and Potra F.A. Benchmarking stiff ODE solvers for atmospheric chemistry problems II: Rosenbrock solvers // Atmospheric Environment. — 1997. — Vol. 31. — P. 3459-3472. 

14. Пененко В.В. Вариационные методы усвоения данных и обратные задачи для изучения атмосферы, океана и окружающей среды // Сиб. журн. вычислит. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2009. — Т.12, № 4. — С. 421-434. 

15. Penenko V., Tsvetova E. Discrete-analytical methods for the implementation of variational principles in environmental applications // J. of Computational and Applied Mathematics. — 2009. — Vol. 226, iss. 1. — P. 319-330. 

16. Penenko V., Baklanov A., Tsvetova E., and Mahura A. Direct and inverse problems in a variational concept of environmental modeling // Pure and Applied Geophysics. — 2012. — Vol. 169, № 4. — P. 447-465. 

17. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задач математической физики. — М.: Наука, 2001. 

18. Пененко В.В. О концепции природоохранного прогнозирования // Оптика атмосферы и океана. — 2010. — Т. 23, № 6. — С. 432-438. 

19. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. — М.: Мир, 1969. 

20. Kamke E. Differentialgleichungen. Lösungsmethoden und Lösungen. Band 1. — Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, 1959. 

21. Араманович И.Г., Гутер Р.С., Люстерник Л.А., Раухваргер И.Л. и др. Математический анализ // Дифференцирование и интегрирование. Серия СМБ. — М.: Физматгиз, 1961. 

22. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т 4. — М: Наука, 1974. 

23. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. 3-е изд-ние, испр. и доп. — М.: Высшая школа, 1967. 

24. Курант P. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1. — М.: Наука, 1967. 

 

УДК 519.676, 519.237

Минимум дисперсии центрированных дискретных случайных переменных  с. 257-265

Савельев Лев Яковлевич

Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. В.А. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090

Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

savelev@math.nsc.ru

 

Аннотация

Решается задача выделения случайных величин и векторов с дискретными распределениями, имеющими данное среднее значение и минимальную дисперсию. Векторная модель связана со статистическими методами вычисления кратных интегралов и решения систем интегральных уравнений.

Ключевые слова: дискретное распределение, случайная величина, случайный вектор, среднее значение, дисперсия.

Литература

1. Михайлов Г.А., Медведев И.Н. Улучшение весового статистического моделирования на основе перехода к процессу Гальтона-Ватсона // Докл. РАН. — 2009. — Т. 424, № 3. — С. 1-4.

2. Михайлов Г.А., Медведев И.Н. Использование сопряженных уравнений в методе Монте-Карло. — Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2009.

3. Войтишек А.В., Рогазинский С. В. Минимальная дисперсия целочисленной случайной величины // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2009. — Т.12, № 3. — С. 269-272.

4. Михайлов Г.А., Войтишек А.В. Численное статистическое моделирование, методы Монте-Карло. — М.: Академия, 2006.

5. Савельев Л.Я. Элементарная теория вероятностей. Ч.1-2. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 2005.

6. Савельев Л.Я. Лекции по математическому анализу. Ч.1. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1969.

7. Розенфельд Б.А., Яглом И.М. Многомерные пространства. Энциклопедия элементарной математики. Книга 5. Геометрия. — М.: Наука, 1966. — С. 349-392.

8. Болтянский В.Г., Яглом И.М. Выпуклые фигуры и тела. Энциклопедия элементарной математики. Книга 5. Геометрия. — М.: Наука, 1966. — С. 182-269.

9. Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971.

10. Пацюк В.И., Рыбакова Г.А., Берзан В.П. Метод конечных объемов для решения трехмерной задачи электростатики // Проблемы региональной энергетики. — Кишинев: Изд-во Института энергетики AHM, 2011. — Т.15, №1. — С. 31-41.

 

УДК 519.632

Аналитическое решение обобщенной спектральной задачи в методе пересчета граничных условий для бигармонического уравнения  с. 267-274

Сорокин Сергей Борисович

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090,

Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова 2, Новосибирск, 630090

sorokin@sscc.ru

 

Аннотация

Для численного решения задачи теории упругости в приближении теории пластин со смешанными граничными условиями предложен и обоснован итерационный метод с экономичным переобусловливателем. Получены неулучшаемые константы энергетической эквивалентности, необходимые для оптимизации итерационного процесса. Обращение переобусловливателя эквивалентно двукратному обращению дискретного аналога оператора Лапласа с краевыми условиями Дирихле.

Ключевые слова: бигармоническое уравнение, краевые условия, итерационный процесс, уравнение Пуассона, пластина, задача Дирихле. 

Литература 

1. Пальцев Б.В. О разложении решений задачи Дирихле и смешанной задачи для бигармонического уравнения в ряд по решениям распадающихся задач // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1966. — Т. 6, №1. — С. 43-51. 

2. Бугров А.Н. Метод фиктивных областей для уравнений с частными производными эллиптического типа // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Часть II. Материалы V Всесоюзной конференции. — Новосибирск: Изд-во ИТПМ СО АН СССР, 1978. — С. 24-35. 

3. Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. — М.: Мир, 1979. 

4. Вабищевич П.Н. Численное решение краевых задач для эллиптических уравнений четвертого порядка // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1984. — Т. 24, № 8. — С. 1196-1206. 

5. Сорокин С. Б. Переобусловливание при численном решении задачи Дирихле для бигармонического уравнения // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2011. — Т.14, № 2. — С. 205-213. 

6. Коновалов А.Н. Численное решение задачи теории упругости. — Новосибирск: Наука, 1968. 

7. Коновалов А.Н. О численном решении смешанной задачи упругости // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1969. — Т. 9, № 2. — С. 469-474. 

8. Кузнецов Ю.А. Итерационные методы в подпространствах. — М.: Изд-во ОВМ АН СССР, 1984. 

9. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. — М.: Наука, 1979. 

10. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978.

11. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1980.

 

УДК 519.929

Численно-аналитический метод исследования некоторых линейных функционально-дифференциальных уравнений с. 275-285

Черепенников Валерий Борисович

Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева Сибирского отделения Российской академии наук, ул. Лермонтова, 130, Иркутск, 664033

vbcher@mail.ru

 

Аннотация  

В настоящей работе излагаются результаты исследования скалярного линейного функционально-дифференциального уравнения (ЛФДУ) запаздывающего типа (t)=a(t)x(t-1)+b(t)x(t/q)+f(t), q>1. Основное внимание уделяется начальной задаче с начальной точкой, когда начальное условие задается в начальной точке и ищется классическое решение, подстановка которого в исходное уравнение обращает его в тождество. В качестве метода исследования применяется метод полиномиальных квазирешений, который основан на представлении неизвестной функции x(t) в виде полинома степени N. При подстановке этой функции в исходное уравнение возникает невязка δ(t)=O(tN), для которой получено точное аналитическое представление. Тогда под полиномиальным квазирешением понимается точное решение в виде полинома степени N возмущенной на невязку исходной начальной задачи. Доказаны теоремы существования у рассматриваемого ЛФДУ полиномиальных квазирешений и точных полиномиальных решений. Приведены результаты численного эксперимента.
Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения, начальная задача, полиномиальные квазирешения, точные решения. 

Литература 

1. Bernoulli J. Meditationes. Dechordis vibrantibis ... // Commentarial Academia Scientiarum Imperialis Petropolitanae. Collected Work. — 1728. — Vol. 3. — P. 198-221.
2. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. — М.-Л.: Гостехиздат, 1951.
3. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. — М.: Мир, 1967.
4. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1991.
5. Черепенников В.Б. Полиномиальные квазирешения линейных систем дифференциально-разностных уравнений // Изв. ВУЗов, сер. Математика. — 1999. — № 10. — С. 49-58.
6. Cherepennikov V.B., Ermolaeva P.G. Polynomial quasisolutions of linear differential difference equations // Opuscula Mathematica.  — 2006. — Vol. 26,
3. — P. 431-443.
7. Черепенников В.Б., Ермолаева П.Г. Гладкие решения начальной задачи для некоторых дифференциально-разностных уравнений // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2010. — Т. 13,
2. — С. 213-226.
8. Черепенников В.Б. Об аналитических решениях некоторых систем функционально-дифференциальных уравнений // Дифф. уравнения.  —1990. — T. 26,
6. — С. 1094-1095.

УДК 519.6

Кубические мультивейвлеты, ортогональные многочленам, и алгоритм с расщеплением  с. 287-301

Шумилов Борис Михайлович

Государственный архитектурно-строительный университет, пл. Соляная, 2, Томск, 634003

sbm@tsuab.ru

 

Аннотация  

В статье исследован неявный метод разложения эрмитовых кубических сплайнов, использующий новый тип мультивейвлетов с суперкомпактными носителями. Обосновано расщепление алгоритма вейвлет-преобразования на параллельное решение двух трехдиагональных систем линейных уравнений со строгим диагональным преобладанием. Представлены результаты численных экспериментов. 

Ключевые слова: эрмитовы сплайны, мультивейвлеты, неявные соотношения разложения, распараллеливание. 

Литература 

1. Strela V. Multiwavelets: Theory and Applications: Thesis PHD in Mathematics. — Cambridge, Massachusetts, 1996. 

2. Heil С., Strang G., and Strela V. Approximation by translate of refinable functions // Numer. Math. — 1996. — Vol. 73. — P. 75-94. 

3. Warming R., Beam R. Discrete multiresolution analysis using Hermite interpolation: Biorthogonal multiwavelets // SIAM J. Sci. ComP. — 2000. — Vol. 22, №1. — P. 269-317. 

4. Dahmen W., Han B., Jia R.-Q., and Kunoth A. Biorthogonal multiwavelets on the interval: cubic Hermite splines // Constr. Approx. — 2000. — Vol. 16. — P. 221-259. 

5. Han B. Approximation properties and construction of Hermite interpolants and biorthogonal multiwavelets // J. Approxim. Theory. — 2001. — Vol. 110. — P. 18-53.

6. Zhang Qin-li, Wu Bo-ying, and He Chun-jiang. Hermite multiwavelets // Harbin gongue daxue xuebao. J. Harbin Inst. Technol. — 2004. — Vol. 36, № 6. — P. 787-789. 

7. Jia R.-Q., Liu S.-T. Wavelet bases of Hermite cubic splines on the interval // Advances Computational Mathematics. — 2006. — Vol. 25. — P. 23-39. 

8. Шумилов Б.М. Алгоритм с расщеплением вейвлет-преобразования эрмитовых кубических сплайнов // Вестник Томского государственного университета. Сер. Математика. Механика. — 2010. — № 4. — С. 45-55. 

9. Koro K., Ade K. Non-orthogonal spline wavelets for boundary element analysis // Engineering Analysis with Boundary Elements. — 2001. — Vol. 25. — P. 149-164. 

10. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. — М.: Наука, 1980. 

11. Столниц Э., ДеРоуз Т., Салезин Д. Вейвлеты в компьютерной графике / Пер. с англ. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. 

12. Arandiga F., Baeza A., and Donat R. Discrete multiresolution Based on hermite interpolation: computing derivatives // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2004. — Vol. 9. — P. 263-273. 

13. Шумилов Б.М. «Ленивые» вейвлеты эрмитовых кубических сплайнов и алгоритм с расщеплением // Вестник Томского государственного университета. Сер. Управление, вычислительная техника и информатика. — 2011. — №1. — С. 64-72.


Номер 4, с. 303-404

 

УДК 519.676

Численное решение стохастических дифференциальных уравнений со случайной структурой на суперкомпьютерах c. 303-311  

Артемьев Сергей Семенович1,2, Корнеев Владимир Дмитриевич1, Якунин Михаил Александрович1

1Учреждение Российской академии наук Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

2Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

ssa@osmf.sscc.ru  (Артемьев С.С.), korneev@ssd.sscc.ru  (Корнеев В.Д.), yma@osmf.sscc.ru  (Якунин М.А.)

 

Аннотация

Исследуется точность оценки математического ожидания решений стохастических дифференциальных уравнений со случайной структурой. Показана зависимость точности оценки от размера шага интегрирования обобщенного метода Эйлера и от объема моделируемых траекторий. На простейшем СДУ показана сильная потеря точности оценки в детерминированные или случайные моменты времени изменения структуры СДУ, что требует использования для статистического моделирования высокопроизводительных суперкомпьютеров. Приводятся результаты численных экспериментов, проведенных в Сибирском суперкомпьютерном центре.

Ключевые слова: стохастические дифференциальные уравнения, распараллеливание, суперкомпьютер, методы статистического моделирования, обобщенный метод Эйлера.

Литература

1. Артемьев С.С., Корнеев В.Д. Численное решение стохастических дифференциальных уравнений на суперкомпьютерах // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2011. — Т. 14, № 1. — С. 5-17.

2. Артемьев С.С., Иванов А.А., Корнеев В.Д. Численный анализ стохастических осцилляторов на суперкомпьютерах // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2012. — Т. 15, № 1. — С. 31-43.

3. Казаков И.Е., Артемьев В.М., Бухалев В.А. Анализ систем случайной структуры. — М.: Физматлит, 1993.

4. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. — М.: Сов. радио, 1977.

 

УДК 519.644

Аналог формулы Ньютона-Котеса с четырьмя узлами для функции с погранслойной составляющей c. 313-323

Задорин Александр Иванович, Задорин Никита Александрович

Омский филиал Института математики Сибирского отделения Российской академии наук, ул. Певцова, 13, 644099, Омск

zadorin@ofim.oscsbras.ru  (Задорин А.И.), nik-zadorin@yandex.ru  (Задорин Н.А.)

 

Аннотация

Построение квадратурных формул Ньютона-Котеса основано на приближении подынтегральной функции полиномом Лагранжа. В случае функции с погранслойной составляющей применение таких формул может привести к большим погрешностям. В работе строится аналог формулы Ньютона-Котеса с четырьмя узлами. Построение основано на использовании неполиномиальной интерполяции, точной на погранслойной составляющей. Получены оценки точности квадратурной формулы, не зависящие от градиентов погранслойной составляющей. Проведены численные эксперименты.

Ключевые слова: функция одной переменной, погранслойная составляющая, большие градиенты, определенный интеграл, неполиномиальная интерполяция, квадратурная формула, оценка погрешности.

Литература

1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. — М.: Наука, 1966.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы. — M.: Наука, 1975.

3. Задорин А.И. Метод интерполяции для задачи с пограничным слоем // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2007. — Т. 10, № 3. — С.

 267-275.

4. Задорин А.И., Задорин Н.А. Сплайн-интерполяция на равномерной сетке функции с погранслойной составляющей // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2010. — Т. 50, № 2. — С. 221-233.

5. Zadorin A.I. Spline interpolation of functions with a boundary layer component // Int. J. of Num. Analysis and Modeling. Series B. — 2011. — Vol. 2, № 2, 3. — P. 562-579.

6. Задорин А.И., Задорин Н.А. Квадратурные формулы для функций с погранслойной составляющей // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2011. — Т. 51, № 11. — С. 1952-1962.

7. Шишкин Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. — Екатеринбург: УрО РАН, 1992.

8. Miller J.J.H., O'Riordan E., and Shishkin G.I. Fitted Numerical Methods for Singular Perturbation Problems. — Singapore: World Scientific, 1996.

9. Kellogg R.B., Tsan A. Analysis of some difference approximations for a singular perturbation problems without turning points // Math. Comput. — 1978. — Vol. 32. — P. 1025-1039.

10. Милн В.Э. Численный анализ. — М.: ИЛ, 1951.

11. Никольский С.М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1974.

12. Дулан Э., Миллер Д., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. — М.: Мир, 1983.

 

УДК 550.834

Численное решение обратной задачи для уравнений Максвелла с использованием функций Лагерра c. 325-335

Мастрюков Александр Федорович 

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

maf@omzg.sscc.ru

 

Аннотация

В работе рассматривается решение обратной задачи оптимизационным методом с использованием функций Лагерра. Численные расчеты проводятся для уравнений Максвелла в одномерной постановке в волновом и диффузионном приближениях. По известному решению в некоторой точке пространства ищется распределение диэлектрической проницаемости и проводимости среды. Минимизируется функция от гармоник Лагерра. Минимизации проводится методом сопряженных градиентов.

  Приводятся результаты определения диэлектрической проницаемости и проводимости. Исследуется влияние формы источника электромагнитных волн и его спектра на точность решения обратной задачи. Сравниваются точность решения обратной задачи при использовании широкополосного и гармонического источников электромагнитных волн.

Ключевые слова: численный алгоритм, уравнения Максвелла, электромагнитные волны, проводимость, обратная задача, метод Лагерра, конечно-разностный метод, система линейных уравнений, точность.

Литература

1. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. — М.: Наука, 1978.

2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1980.

3. Newman G.A., Alumbaugh D.L. Three-dimensional magnetotelluric inversion using non-linear conjugate gradients // Geophysical J. International. — 2000. — Vol. 140, № 3. — P. 410-424.

4. Мастрюков А.Ф. Решение обратной задачи для уравнения диффузии на основе спектрального преобразования Лагерра // Математическое моделирование. — 2007. — Т. 19, № 9. — С. 15-26.

5. Мастрюков А.Ф., Михайленко Б.Г. Решение обратной задачи для волнового уравнения на основе спектрального преобразования Лагерра // Геология и геофизика. — 2007. — Т. 44, № 7. — С. 747-754.

6. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. — М.: Наука, 1979.

7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1982.

8. Электроразведка. Справочник геофизика / Под ред. А.Г. Тархова — М.: Недра, 1980.

9. Эпов М.И., Миронов В.Л., Комаров С.А., Музалевский К.В. Распространение сверхширокополосного электромагнитного импульса в нефтенасыщенной среде // Геология и геофизика. — 2009. — Т. 50, № 1. — С. 58-66.

10. Fornberg B., Ghrist M. Spatial finite difference approximation for wave-type equations // SIAM J. Numer. Anal. — 1999. — Vol. 37. — P. 105-130.

 

УДК 532.546+536.24

Численное моделирование влияния теплообмена пласта-коллектора с вмещающими породами на отбор газа через одиночную скважину c. 337-346

Николаев Владимир Егорович1, Иванов Гаврил Иванович1, Рожин Игорь Иванович2

1ФГАОУ ВПО Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова, Институт математики и информатики, ул. Кулаковского, 48, г. Якутск, 677000

2Институт проблем нефти и газа Сибирского отделения Российской академии наук, ул. Октябрьская, 1, г. Якутск, 677980

venik60@mail.ru  (Николаев В.Е.), ivganya@mail.ru  (Иванов Г.И.), rozhin@ipng.ysn.ru  (Рожин И.И.)

 

Аннотация

В вычислительном эксперименте исследовано влияние теплообмена через кровлю и подошву газоносного пласта на динамику полей температуры и давления при отборе реального газа через одиночную скважину. Эксперимент выполнен в рамках модифицированной математической модели неизотермической фильтрации газа, которая выводится из законов сохранения массы и энергии, а также из закона Дарси. В качестве замыкающих соотношений использованы физическое и калорическое уравнения состояния, а также закон Ньютона-Рихмана, описывающий теплообмен газоносного пласта с окружающими вмещающими породами. Показано, что влияние теплообмена с окружающей средой на температурное поле газоносного пласта локализовано в узкой зоне вблизи кровли и подошвы, хотя со временем размер этой зоны увеличивается.

Ключевые слова: математическое моделирование, неизотермическая фильтрация, реальный газ, конечно-разностные методы.

Литература

1. Бондарев Э.А., Васильев В.И., Воеводин А.Ф. и др. Термогидродинамика систем добычи и транспорта газа / Бондарев Э.А., Васильев В.И., Воеводин А.Ф., Павлов Н.К., Шадрина А.Г. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988.

2. Бондарев Э.А., Рожин И.И., Аргунова К.К. Влияние неизотермических эффектов на добычу газа в северных регионах // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2011. — Т. 14, № 1. — С. 19-28.

3. Латонов В.В., Гуревич Г.Р. Расчет коэффициента сжимаемости природного газа // Газовая промышленность. — 1969. № 2. — С. 7-9.

4. Бондарев Э.А., Аргунова К.К., Рожин И.И. Плоскопараллельная неизотермическая фильтрация газа: роль теплопереноса // Инженерно-физический журнал. — 2009. — Т. 82, № 6. — С. 1059-1065.

5. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. — Новосибирск: Наука, 1967.

6. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учебное пособие. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

7. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1971.

8. Kay W.B. Density of hydrocarbon gases and vapors at high temperature and pressures // Industrial & Engineering Chemistry Research. — 1936. — Vol. 28. — P. 1014-1019.

AmSclassification 65L05, 65L06

Класс A(α)-устойчивых численных методов для жестких задач в обыкновенных дифференциальных уравнениях c. 347-364

Окуонгае Р.И.

Department of Mathematics, University of Benin, P.M.B 1154, Benin City,Edo state. Nigeria

okunoghae01@yahoo.co.uk

 

Аннотация

Предложены A(α)-устойчивые численные методы (AЧМ) при числе шагов k ≤ 7 для решения жестких начальных задач (НЗ) в обыкновенных дифференциальных уравнениях (ОДУ). Предлагаемые дискретные схемы получены из их эквивалентных непрерывных схем. Масштабная временная переменная t в непрерывном методе, которая определяет дискретные коэффициенты дискретного метода, выбирается таким образом, чтобы гарантировать, что дискретная схема имеет высокий порядок и A(α)-устойчивость. Мы выбираем значение α, для которого предлагаемые схемы абсолютно устойчивы. Установлено, что точность новых алгоритмов сравнима с точностью формулы дифференцирования назад (ФДН), которая обсуждается в [12] и реализует Ode15s в программах Matlab.

Ключевые слова: жесткие начальные задачи, непрерывный линейный многошаговый метод, подход коллокации и интерполяции, граничное место точек.

Литература

1. Butcher J.C. A modified multistep method for the numerical integration of ordinary differential equations // J. ACM. — 1965. — Vol. 12, № 1. — P. 125-135.

2. Butcher J.C. The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations: Runge-Kutta and General Linear Methods. — Chichester: Wiley, 1987.

3. Butcher J.C. Some new hybrid methods for IVPs // Computational ODEs / J.R. Cash and Glad Well, eds. — Oxford: Clarendon Press. — 1992. — P. 29-46.

4. Butcher J.C. High order A-stable numerical methods for stiff problems // J. of Scientific Computing. — 2005. — Vol. 25. — P. 51-66.

5. Butcher J.C. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. Second Edition. —  Chichester: Wiley, 2008.

6. Dahlquist G. A special stability problem for linear multistep methods // BIT. — 1963. — Vol. 3. — P. 27-43.

7. Enright W.H. Continuous numerical methods for ODEs with defect control // J. Comput. Appl. Math. — 2000. — Vol. 125. — P. 159-170.

8. Enright W.H. Second derivative multistep methods for stiff ordinary differential equations // SIAM. J. Numer. Anal. — 1974. — Vol. 11. — P. 321-331.

9. Fatunla S.O. Numerical Methods for Initial Value Problems in ODEs. — New York: Academic Press, 1978.

10. Gragg W.B., Stetter H.J. Generalized multistep predictor-corrector methods // J. Assoc. Comput. Mach. — 1964. — Vol. 11. — P. 188-209.

11. Gear C.W. Hybrid methods for initial value problems in ordinary differential equations // SIAM. J. Numer. Anal. — 1965. — Vol. 2. — P. 69-86.

12. Gear C.W. Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations. Englewood Cliffs. — NJ: Prentice-Hall, 1971.

13. Hairer E., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems. — Berlin: Springer-Verlag, 1996.

14. Higham J.D., Higham J.N. Matlab Guide. — Philadelphia: SIAM, 2000.

15. Ikhile M.N.O., Okuonghae R.I. Stiffly stable continuous extension of second derivative LMM with an off-step point for IVPs in ODEs // J. Nig. Assoc. Math. Physics. — 2007. — Vol. 11. — P. 175-190.

16. Ikhile M.N.O., Okuonghae R.I., and Ogunleye S.O. Some general linear methods for the numerical solution of non-stiff IVPs in ODEs // J. of Algorithms and Computational Technology. — 2013. — Vol. 7, iss. 1. — P. 41.

17. Ikhile M.N.O. Coefficients for studding one-step rational schemes for IVPs in ODEs:

III. Extrapolation methods // Comp. and Maths. with Appli. — 2004. — Vol. 47. — P. 1463-1475.

18. Lie I., Norsett S.P. Superconvergence for multistep collocation // Math. Comp. — 1989. — Vol. 52, № 185. — P. 65-79.

19. Lambert J.D. Numerical Methods for Ordinary Differential Systems. The Initial Value Problems. — Chichester: Wiley, 1991.

20. Lambert J.D. Computational Methods for Ordinary Differential Systems. The Initial Value Problems. — Chichester: Wiley, 1973.

21. Okuonghae R.I. Stiffly Stable Second Derivative Continuous LMM for IVPs in ODEs: Ph.D Thesis. — Nigeria, Benin City: Dept. of Math. University of Benin, 2008.

22. Okuonghae R.I. A Class of Continuous Hybrid LMM for Stiff IVPs in ODEs. Annals of the Alexandru Ioan Cuza University. Mathematics. — 2012. — Vol. LVIII, iss. 2. — P. 239-258.

23. Okuonghae R.I., Ikhile M.N.O. A continuous formulation of A(α)-stable second derivative linear multistep methods for stiff IVPs and ODEs // J. of Algorithms and Comp. Technology. — 2012. — Vol. 6, iss. 1. — P. 80-100.

24. Okuonghae R.I., Ikhile M.N.O. A(α)-stable linear multistep methods for stiff IVPs and ODEs // Acta Univ. Palacki. Olomuc. Fac. rer. nat. Mathematica. — 2011. — Vol. 50, № 1. — P. 75-92.

25. Okuonghae R.I., Ikhile M.N.O. On the construction of high order A(α)-stable hybrid linear multistep methods for stiff IVPs and ODEs // J. of Numerical Analysis and Applications. — 2012. — Vol. 15, № 3. — P. 231-241.

26. Okuonghae R.I., Ikhile M.N.O. The numerical solution of stiff IVPs in ODEs using modified second derivative BDF // Acta Univ. Palacki. Olomuc. Fac. rer. nat. Mathematica. — 2012. — Vol. 51. — P. 51-77.

27. Okuonghae R.I., Ikhile M.N.O. A class of hybrid linear multistep methods with A(α)-stability properties for stiff IVPs in ODEs // J. of Numerical Mathematics. — (Accepted for publication.)

28. Kaps P. Rosenbrock-type methods // Numerical Methods for Solving Stiff Initial Value Problems / G. Dahlquist, R. Jeltsch, eds. — Aachen, Germany: Inst. für Geometrie und praktische Math. (IGPM) der RWTH Aachen, 1981. — Bericht № 9.

29. Nordsieck A. On numerical integration of ordinary differential equations // Math. Comp. — 1962. — Vol. 16. — P. 22-49.

30. Selva M., Arevalo C., and Fuhrer C. A collocation formulation of multistep methods for variable step-size extensions // Appl. Numer. Math. — 2002. — Vol. 42. — P. 5-16.

31. Sirisena U., Onumanyi P., and Chollon J.P. Continuous hybrid methods through multistep collocation // ABACUS. — 2002. — Vol. 28. — P. 58-66.

32. Widlund O. A note on unconditionally stable linear multistep methods // BIT. — 1967. — Vol. 7. — P. 65-70.

УДК 517.972.5+519.65

О построении сплайнов методом воспроизводящих ядер c. 365-376

Роженко Александр Иосифович1,2, Шайдоров Тимофей Сергеевич3

1Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090,

2Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова 2, Новосибирск, 630090

3ООО НПФ ``АРС ТЕРМ'', Красный просп., 220, к. 36, к. 408, Новосибирск, 630000

rozhenko@oapmg.sscc.ru  (Роженко А.И.), shaydorov@gmail.com  (Шайдоров Т.С.)

 

Аннотация

Изучается метод сплайн-аппроксимации с помощью воспроизводящего ядра полугильбертова пространства. Сформулированы условия, при которых естественное функциональное пространство однозначно определяется по воспроизводящему ядру, тренду сплайна и области, в которой выполняется сплайн-аппроксимация. Предложена конструкция сплайна с внешним дрейфом, позволяющая аппроксимировать функции, имеющие зоны больших градиентов или разрывы первого рода. Доказана условная положительная определенность нескольких известных радиальных базисных функций.

Ключевые слова: сплайн, воспроизводящее ядро, тренд, радиальная базисная функция, внешний дрейф.

Литература

1. Aronszajn N. Theory of reproducing kernels // Trans. Amer. Math. Soc. — 1950. — Vol. 68, № 1-3. — P. 337-404.

2. Atteia M. Fonctions “spline” et noyaux reproduissants d'Aronszain-Bergman // RAIRO. — 1970. — Vol. 4, № 3. — P. 31-43.

3. Bezhaev A.Yu. Reproducing mappings and vector spline-functions // Sov. J. Numer. Anal. Math. Modelling. — 1990. — Vol. 5, № 2. — P. 91-109.

4. Dubrule O. Geostatistics for Seismic Data Integration in Earth Models. — Tulsa: Society of Exploration Geophysicists & European Association of Geoscientists and Engineers, 2003; О. Дюбрул. Использование геостатистики для включения в геологическую модель сейсмических данных. — EAGE, 2002.

5. Bozzini M., Rossini M., and Schaback R. Generalized Whittle-Matèrn and polyharmonic kernels // Adv. Comput. Math. — August 2012. — doi:10.1007/s10444-012-9277-9.

6. Mitáš L., Mitášová H. General variational approach to the interpolation problem // Comput. Math. Appl. — 1988. — Vol. 16, № 12. — P. 983-992.

7. Роженко А.И. Теория и алгоритмы вариационной сплайн-аппроксимации / А.М. Мацокин. — Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2005.

8. Micchelli C.A. Interpolation of scattered data: distance matrices and conditionally positive definite functions // Constr. Approx. — 1986. — Vol. 2. — P. 11-22.

9. Madych W.R., Nelson S.A. Multivariate interpolation and conditionally positive definite functions II // Math. Comput. — 1990. — Vol. 54. — P. 211-230.

10. Волков Ю.С., Мирошниченко В.Л. Построение математической модели универсальной характеристики радиально-осевой гидротурбины // Сиб. журн. индустр.  матем. — 1998. — Т. 1, № 1. — С. 77-88.

11. Bogdanov V.V., Karsten W.V., Miroshnichenko V.L., and Volkov Yu.S. Application of splines for determining the velocity characteristic of a medium from a vertical seismic survey // Cent. Eur. J. Math. — 2013. — Vol. 11, iss. 4. — P. 779-786.

12. Matheron G. Splines and kriging; their formal equivalence // Solutions Looking for Geological Problems / D.F. Merriam. — Syracuse NY, 1981. — P. 77-95. — (Syracuse Univ. Geology Contribution; 8).

13. Бежаев А.Ю. Приближение линейных функционалов и многомерная сплайн-интерполяция // ДАН. — 1989. — Т. 307, № 6. — С. 1293-1296; A.Yu. Bezhaev. Approximation of linear functional and multidimensional spline-interpolation // Soviet Math. Dokl. — 1990. — Vol. 40, № 1. — P. 221-224.

14. Bezhaev A.Yu., Vasilenko V.A. Variational Theory of Splines. — New York: Kluwer Academic/Plenum Publishers, 2001.

15. Duchon J. Spline minimizing rotation-invariant seminorms in Sobolev spaces // Lect. Notes Math. — 1977. — Vol. 571. — P. 85-100.

16. Игнатов М.И., Певный А.Б. Натуральные сплайны многих переменных. — Л.: Наука. Ленингр. отд-ние, 1991.

17. Hardy R.L. Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces // J. Geophys. Res. — 1971. — Vol. 76. — P. 1905-1915.

18. Schaback R., Wendland H. Characterization and construction of radial basis functions // Multivariate Approximation and Applications / N. Din, D. Leviatan, D. Levin, A. Pinkus, eds. — Cambridge: Cambridge University Press, 2001. — P. 1-24.

19. Wedland H. Scattered Data Approximation. — Cambridge: Cambridge University Press, 2005. — (Cambridge Monographs on Appl. and Comput. Math.; 17).

20. Buhmann M.D. Radial Basis Functions: Theory and Implementation. — Cambridge: Cambridge University Press, 2004. — (Cambridge Monographs on Appl. and Comput. Math.; 12).

21. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Пер. с англ. под ред. В.А. Диткина и Л.Н. Кармазиной; Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. — М.: Наука, 1979; Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables / M. Abramowitz, I.A. Stegun, eds. — New York: Dover Publications, 1972.

УДК 519.676

Приближенное решение задачи оптимальной нелинейной фильтрации для стохастических дифференциальных систем методом статистических испытаний c. 377-391

Рыбаков Константин Александрович

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Волоколамское шоссе, д. 4,  A-80, ГСП-3, г. Москва, 125993

rkoffice@mail.ru

Аннотация

Предлагается алгоритм решения задачи оптимальной нелинейной фильтрации методом статистических испытаний. В основе алгоритма лежит переход от задачи фильтрации к задаче анализа стохастических систем с обрывами и ветвлениями траекторий, использующий общность структуры уравнений Дункана-Мортенсена-Закаи и обобщенного уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Решение такой задачи анализа можно найти приближенно, используя методы численного интегрирования стохастических дифференциальных уравнений и методы моделирования неоднородных пуассоновских потоков.

Ключевые слова: апостериорная плотность вероятности, ветвящиеся процессы, метод статистических испытаний, оптимальная фильтрация, стохастическая система, уравнение Дункана-Мортенсена-Закаи.

Литература

1. Аверина Т.А. Новые алгоритмы статистического моделирования неоднородных пуассоновских ансамблей // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2010. — Т. 50, № 1. — С. 16-23.

2. Артемьев В.М., Наумов А.О., Йениш Г.-Р. Реконструкция динамических изображений в томографии процессов. — Минск: Изд. центр БГУ, 2004.

3. Казаков И.Е., Артемьев В.М., Бухалев В.А. Анализ систем случайной структуры. —  М.: Физматлит, 1993.

4. Кузнецов Д.Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения. — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010.

5. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов (нелинейная фильтрация и смежные вопросы). — М.: Наука, 1974.

6. Марковская теория оценивания в радиотехнике; Под ред. М.С. Ярлыкова. — М.: Радиотехника, 2004.

7. Михайлов Г.А., Аверина Т.А. Алгоритм “максимального сечения” в методе Монте-Карло // Доклады АН. — 2009. — Т. 428, № 2. — С. 163-165.

8. Ориентация и навигация подвижных объектов: современные информационные технологии; Под ред. Б.С. Алешина, К.К. Веремеенко и А.И. Черноморского. — М.: Физматлит, 2006.

9. Пантелеев А.В., Руденко Е.А., Бортаковский А.С. Нелинейные системы управления: описание, анализ и синтез. — М.: Вузовская книга, 2008.

10. Рыбаков К.А. Сведение задачи нелинейной фильтрации к задаче анализа стохастических систем с обрывами и ветвлениями траекторий // Дифф. уравнения и процессы управления. — 2012. — № 3. — С. 91-110. — http://www.math.spbu.ru/diffjournal (30.09.12).

11. Синицын И.Н. Фильтры Калмана и Пугачева. — М.: Логос, 2006.

12. Скороход А.В. Ветвящиеся диффузионные процессы // Теория вероятностей и ее применения. — 1964. — Т. 9, № 3. — С. 492-497.

13. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. — М.: Советское радио, 1975.

14. Artemiev S.S., Averina T.A. Numerical Analysis of Systems of Ordinary and Stochastic Differential Equations. — VSP, 1997.

15. Bain A., Crisan D. Fundamentals of Stochastic Filtering. — Springer, 2009.

16. Chen Z. Bayesian Filtering: From Kalman Filters to Particle Filters, and Beyond / Technical Report: Adaptive Syst. Lab. — McMaster University, Hamilton, ON, Canada, 2003.

17. Dynkin E.B. Superprocesses and partial differential equations // Annals of Probability. —  1993. — Vol. 21, № 3. — P. 1185-1262.

18. Hazewinkel M. Lectures on linear and nonlinear filtering // Analysis and Estimation of Stochastic Mechanical Systems / W.O. Schiehlen, W. Wedig, eds. — Springer-Verlag, 1988. — P. 103-136.

19. Schurz H. Numerical analysis of stochastic differential equations without tears // Handbook of Stochastic Analysis and Applications / V. Lakshmikantham, D. Kannan, eds. — Marcel Dekker, 2002. — P. 237-359.

20. Yau S.-T., Yau S.S.-T. Existence and uniqueness of solutions for Duncan-Mortensen—Zakai equations // Proc. of the 44th IEEE Conf. on Decision and Control, and the European Control Conference. — IEEE, 2005. — P. 536-541.

=====================================================

УДК 519.632.6+519.624.2+519.642 

Прецессия при параметрических колебаниях маятника на кардановом подвесе c. 393-404

Тараканов Виктор Иванович, Лысенкова Светлана Александровна, Нестеренко Мария Владимировна

Сургутский государственный университет, пр. Ленина, 1, г. Сургут, Тюменская обл., ХМАО-Югра, 628400

sprtdv@mail.ru (Тараканов В.И.), lsa1108@mail.ru (Лысенкова С.А.),chernaya@gmail.com (Нестеренко М.В.)

 

Аннотация

Рассматривается возможность прецессии маятника в кардановом подвесе в условиях колебания точки подвеса за счет внешней периодической силы. Исследование проведено аналитически и на основе численных расчетов параметров прецессии в зависимости от геометрических характеристик маятника и частоты внешнего воздействия.

Ключевые слова: оператор, спектр, итерационный алгоритм, параметрические колебания, устойчивость.

Литература

1. Капица П.А. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // Журн. экспер. и теорет. физики. — 1951. — Т. 21, вып. 5. — С. 588-597.

2. Челомей В.Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибраций // ДАН СССР. — 1956. — Т. 110, вып. 3. — С. 345-347.

3. Миндлин И.Н. О параметрическом резонансе маятников с вибрирующей точкой подвеса // Изв. АН СССР. Мех. тверд. тела. — 1969. — № 4. — С. 36-40.

4. Валеев К.Г. Динамическая стабилизация неустойчивых систем // Изв. АН СССР. Мех. тверд. тела. — 1971. — № 4. — С. 13-21.

5. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. — М.: Наука, 1987.

6. Стрижак Т.Г. Методы исследования динамических систем типа ``маятник''. — Алма-Ата: Наука, 1981.

7. Стретт Дж.В. (лорд Релей) Теория звука / Пер. с 3-го англ. изд. — М.-Л.: Гостехиздат, 1940.

8. Стрелков С.П. Маятник Фроуда // Журн. техн. физики. — 1933. — Т. 3, вып. 4. — С. 563-573.

9. Табуева В.А. О круговом движении маятника Фроуда // Прикл. матем. и механика. — 1961. — Т. 25, вып. 3. — С. 576-578.

10. Болотин В.В. Динамическая устойчивость и колебания упругих систем. — М.: Гостехиздат, 1950.

11. Тараканов В.И., Лысенкова С.А. Итерационный алгоритм определения устойчивости уравнения колебаний при наличии демпфирования // Сиб. журн. вычисл. математики. / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2012. — Т. 15, № 1. — С. 103-119.

12. Крейн С.Г. Функциональный анализ. Справочник. — М.: Наука, 1972.

13. Тараканов В.И. Уравнения с компактными операторами в гильбертовом пространстве и итерационные алгоритмы их решения. — Томск: Из-во Томского политехн. ун-та, 2007.

14. Тараканов В.И., Нестеренко М.В. Итерационный алгоритм исследования и численного решения спектральных задач для линейного пучка компактных, частично симметричных операторов // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2010.

  Т. 13, № 3. — С. 343-359.

15. Tarakanov V.I., Nesterenko M.V. Iterative algorithm of investigating and numerical solving spectral problems for a linear bunch of compact, partially symmetric operators // Numerical Analysis and Application. — Pleiades Publishing Inc., 2010. — Vol. 3, № 3. — P. 279-293. — (DOI: 10.1134/S1995423910030079).

16. Tarakanov V.I., Lysenkova S.A. Iterative algorithm of determining the stability of an equation of oscillations with damping // Numerical Analysis and Application. — Pleiades Publishing Inc., 2012. — Vol. 5, № 1. — P. 84-98. — (DOI: 10.1134/S1995423912010089).