Сибирский журнал вычислительной математики

Том 17, 2014

Номер 1, c. 1-99
Номер 2, c. 101-216
Номер 3, с. 217-313 
Номер 4, c. 315-429  

Номер 1, c. 1-99

УДК 519.621.2
О численном решении нагруженных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с неразделенными многоточечными и интегральными условиями, с.1-16

Айда-заде Камиль Раджабович1, Абдуллаев Вагиф Маариф оглы2

1
Азербайджанская государственная нефтяная академия, пр. Азадлыг, 20, Баку, Азербайджан, AZ1010
2Институт кибернетики НАН Азербайджана, ул. Б. Вахабзаде, 9, Баку Азербайджан, AZ1141
kamil_aydazade@rambler.ru (Айда-заде К.Р.), vaqif_ab@rambler.ru (Абдуллаев В.М.)

Аннотация

       Предложен численный метод решения систем линейных неавтономных обыкновенных нагруженных дифференциальных уравнений с неразделенными многоточечными и интегральными условиями. Метод основан на операции свертывания интегральных условий в локальные, что позволяет свести решение исходной задачи к решению задачи Коши относительно систем обыкновенных дифференциальных уравнений и линейных алгебраических уравнений. Были проведены многочисленные численные эксперименты на тестовых задачах с применением предложенных в данной работе формул и схем численного решения. Результаты экспериментов показали достаточно высокую эффективность описанного подхода.

Ключевые слова: нагруженные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, неразделенные условия, интегральные условия, нелокальные многоточечные условия.

Литература

1. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды: Дис. … . Петроград, 1917.

2. Kneser A. Die Integralgleichungen und ihre Anwendung in der matem. — Physik. — 1922.

3. Vallee-Poussin Ch.J. Sur l'equation differentielle lineare du second order defermination d'une integrale par deux valeurx assignees. Extension aux eqution d'orde n // J. math. Pura et appl. — 1929. — № 9. — P. 125-144.

4. Lichtenstein L. Vorlesungen über einege Klassen nichtlinear Integralgleichungen und Integraldifferentialgleihungen nebst Anwendungen. — Berlin: Springer, 1931.

5. Гюнтер Н.М. Studia Mathematica. — Т. IV. 1932.
6. Искендеров А.Д. О смешанной задаче для нагруженных квазилинейных уравнений гиперболического типа // ДАН СССР. — 1971. — Т. 199, № 6. — С. 1237-1239.

7. Нахушев A.M. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Дифф. уравнения. — 1976. — Т. 12, № 1. — С. 103-108.

8. Дикинов Х.Ж., Керефов А.А., Нахушев А.М. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения теплопроводности // Дифф. уравнения. — 1976. — Т. 12, № 1. — С. 177-179.

9. Бородин А.В. Об одной оценке для эллиптических уравнений и ее приложении к нагруженным уравнениям // Дифф. уравнения. — 1977. — Т. 13, № 1. — C. 17-22.

10. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. — М.: Высшая школа, 1995.

11. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применение. — М.: Наука, 2012.

12. Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерная схема для нагруженного уравнения теплопроводности с краевыми условиями III рода // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2009. — Т. 49, № 7. — С. 1223-1231.

13. Дженалиев М.Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. — Алматы: Компьютерный центр ИТПМ, 1995.

14. Токова A.A. Краевая задача для одного нагруженного дифференциального уравнения // Докл. Адыгской (Черкесской) международной академии наук. — 2005. — Т. 7, № 2. — С. 56-61.

15. Кигурадзе И.Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. — 1987. — Т. 30. — С. 3-103.

16. Яковлев М.Н. Оценки решений систем нагруженных интегро-дифференциальных уравнений, подчиненных многоточечным и интегральным краевым условиям // Зап. научн. сем. ЛОМИ. Т. 124. Численные методы и вопросы организации вычислений. 6. — Ленинград: Наука, Ленинградское отд-ние, 1983. — C. 131-139.

17. Алиханов А.А, Березков А.М., Шхануков-Лафишев М.Х. Краевые задачи для некоторых классов нагруженных дифференциальных уравнений и разностные методы их численной реализации // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2008. — Т. 48, № 9. — C. 1619-1628.

18. Айда-заде К.Р. О решении систем дифференциальных уравнений с нелокальными условиями // Вычислительные технологии. — 2004. — Т. 1, № 9. — С. 11-25.

19. Абдуллаев В.М., Айда-заде К.Р. О численном решении нагруженных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2004. — Т. 44, № 9. — C. 1585-1595.

20. Айда-заде К.Р., Абдуллаев В.М. Численное решение систем дифференциальных уравнений с неразделенными точечными и интегральными условиями // Известия высших технических учебных заведений Азербайджана, сер. Информатика и автоматика. — 2011. — Т. 13, № 4. — С. 64-70.

21. Абдуллаев В.М., Айда-заде К.Р. О численном решении задач оптимального управления с неразделенными многоточечными и интегральными условиями // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2012. — Т. 52, № 12. — C. 2163-2177.

22. Абдуллаев В.М. Решение дифференциальных уравнений с неразделенными и интегральными условиями // Сибирский журн. индустриальной математики. — 2012. — Т. 15, № 3 (51). — С. 3-15.

23. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи матем. наук. — 1961. — Т. 16, № 3 (99). — С. 171-174.

24. Абрамов А.А. Вариант метода прогонки // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1961. — Т. 1, № 2. — С. 349-351.

25. Абдуллаев В.М. О применении метода прямых для краевой задачи с нелокальными условиями относительно нагруженного параболического уравнения // Известия НАН Азербайджана, серия ФТМН. — 2008. — T. 28, № 3. — С. 76-81.

 

 

УДК 519.626.1

Метод вычисления в реальном времени оптимального управления линейной системой с запаздывающим управлением с. 17-30

Александров Владимир Михайлович

Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. В.А Коптюга, 4, Новосибирск, 630090

vladalex@math.nsc.ru, alexhome@yandex.ru

 

Аннотация

              Разработан новый метод решения задачи оптимального по быстродействию управления в реальном времени. Он основан на аппроксимации множеств достижимости семейством гиперплоскостей, разделении вычислительных затрат на предварительные вычисления и вычисления в процессе управления, на интегрировании дифференциальных уравнений лишь на интервалах перемещений конечного момента и моментов переключений управления. Дана оценка вычислительной трудоемкости метода. Рассмотрены особенности вычисления в реальном времени оптимального управления линейной системой с запаздывающим управлением. Приведены результаты моделирования и численных расчетов.

Ключевые слова: оптимальное управление, быстродействие, момент переключения, запаздывание, сопряженная система, фазовая траектория.

Литература

1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1976.

2. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. — М.: Наука, 1969.

3. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Тятюшкин А.И. Конструктивные методы оптимизации. Ч.1. Линейные задачи. — Минск: Изд-во «Университетское», 1984.

4. Балашевич Н.В., Габасов Р., Кириллова Ф.М. Численные методы программной и позиционной оптимизации линейных систем управления // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2000. — Т. 40, № 6. — С. 838-859.

5. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимальное управление в режиме реального времени // II Межд. конф. по проблемам управления. — М.: Изд-во Института проблем управления, 2003. — С. 20-47. — (Пленарные доклады).

6. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимальное управление и наблюдение в реальном времени // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2006. — № 3. — C. 90-111.

7. Александров В.М. Вычисление оптимального управления в реальном времени // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2012. — Т. 52, № 10. — С. 1778-1800.

8. Александров В.М. Построение аппроксимирующей конструкции для вычисления и реализации оптимального управления в реальном времени // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2012. — Т. 15, № 1. — С. 1-19.

9. Александров В.М. Приближенное решение задачи линейного быстродействия // Автоматика и телемеханика. — 1998. — № 12. — С. 3-13.

10. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. — М.: Наука, 1978.

11. Александров В.М. Последовательный синтез оптимального по быстродействию управления // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1999. — T. 39, № 9. — С. 1464-1478.

12. Александров В.М. Сходимость метода последовательного синтеза оптимального по быстродействию управления // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 1999. — Т. 39, № 10. — С. 1650-1661.

 

AMS 65H05, 65B99

Новые модифицированные оптимальные семейства методов Кинга и Трауба-Островского с. 31-42

Бел Рамандер1, Канвар В.2, Шарма Капил K.3

1School of Mathematics & Computer Applications, Thapar University, Patiala-147 004, India,

2University Institute of Engineering and Technology, Panjab University, Chandigarh-160 014, India,

3Department of Mathematics, South Asian University Akbar Bhavan, Chayankya Puri, New Delhi, India

vmithil@yahoo.co.in, ramanbehl87@yahoo.in (В. Канвар), yamanbehl81@yahoo.in (Р. Бел), kapilks@fu.ac.in (К.К. Шарма)

 

Аннотация

На основе квадратически сходящегося метода Шредера получено много новых интересных семейств многоточечных итеративных методов четвертого порядка без использования памяти для получения простых корней нелинейных уравнений с применением метода весовых функций. Классическое семейство методов Кинга четвертого порядка и метод Трауба-Островского получены как частные случаи. По предположению Кунга-Трауба, эти методы имеют максимальную эффективность, поскольку для каждого шага требуются только три функциональных значения. Поэтому семейство методов Кинга четвертого порядка и Трауба-Островского — основные результаты данной статьи. Эффективность предлагаемых многоточечных методов сравнивается с эффективностью их ближайших «конкурентов», а именно семейства Кинга, метода Трауба-Островского и метода Джарратта в серии численных экспериментов. Все рассматриваемые здесь методы оказались эффективными и сравнимыми с аналогичными надежными методами, описанными в литературе.

Ключевые слова: нелинейные уравнения, метод Ньютона, семейство Кинга, метод Трауба-Островского, метод Джарратта, оптимальный порядок сходимости, показатель эффективности.

Литература

1. Jarratt P. Some efficient fourth-order multipoint methods for solving equations // BIT. — 1969. — № 9. — P. 119-124.

2. Kanwar V., Behl Ramandeep, Sharma K.K. Simply constructed family of an Ostrowski's method with optimal order of convergence // Comput. Math. Appl. — 2011. — № 62. — P. 4021-4027.

3. King R.F. A family of fourth order methods for nonlinear equations // SIAM J. Numer. Anal. — 1973. — № 10. — P. 876-879.

4. Kung H.T., Traub J.F. Optimal order of one-point and multipoint iteration // J. Assoc. Comput. Mach. — 1974. — № 21. — P. 643-651.

5. Ostrowski A.M. Solutions of Equations and System of Equations. — New York: Academic Press, 1960.

6. Ostrowski A.M. Solution of Equations in Euclidean and Banach Spaces. — New York: Academic Press, 1973.

7. Schröder E. Über unendlich viele algorithmen zur auflösung der gleichungen // Math. Ann. — 1870. — № 2. — P. 317-365.

8. Traub J.F. Iterative Methods for the Solution of Equations. — Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1964.

9. Werner W. Some improvement of classical methods for the numerical solution of nonlinear equations // Lect. Notes Math. — 1981. — № 878. — P. 426-440.

 

УДК 519.853.2 + 519.632

Функционалы чувствительности в вариационных неравенствах механики и их приложение к схемах двойственности с. 43-52

Вихтенко Эллина Михайловна1, Максимова Надежда Николаевна2, Намм Роберт Викторович3

1Тихоокеанский государственный университет, ул. Тихоокеанская, 136, Хабаровск, 680035

Vikhtenko@mail.khstu.ru  (Вихтенко Э.М.)

2Амурский государственный университет, Игнатьевское шоссе, 21, Благовещенск, 675027

knnamursu@mail.ru (Максимова Н.Н.)
3Вычислительный центр ДВО РАН, ул. Ким Ю Чена, 65, Хабаровск, 680000

namm@mail.khstu.ru (Намм Р.В.)

Аннотация

Исследованы характеристические свойства функционала чувствительности в вариационных неравенствах механики на примере скалярной задачи Синьорини. Рассмотрены приложения функционалов чувствительности в схемах двойственности.

Ключевые слова: скалярная задача Синьорини, схема двойственности, модифицированный функционал Лагранжа, функционал чувствительности.

Литература

1. Гольштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагранжа. Теория и методы оптимизации. — М.: Наука, 1989.

2. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. — М.: Радио и связь, 1987.

3. Гроссман К., Каплан А.А. Нелинейное программирование на основе безусловной оптимизации. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1981.

4. Антипин А.С., Голиков А.И., Хорошилова Е.В. Функция чувствительности, ее свойства и приложения // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2011. — Т. 51, № 12. — С. 2126-2142.

5. Хлуднев А.М. Задачи теории упругости в негладких областях. — М.: Физматлит, 2010.

6. Mclean W. Strongly Elliptic Systems and Boundary Integral Equations. — Cambridge, United Kingdom: University Press, 2000.

7. Ву Г., Намм Р.В., Сачков С.А. Итерационный метод поиска седловой точки для полукоэрцитивной задачи Синьорини, основанный на модифицированном функционале Лагранжа // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2006. — Т. 46, № 1. — С. 26-36.

8. Вихтенко Э.М., Ву Г., Намм Р.В. О сходимости метода Удзавы с модифицированным функционалом Лагранжа в вариационных неравенствах механики // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2010. — Т. 50, № 8. — С. 1357-1366.

9. Кушнирук Н.Н., Намм Р.В. Метод множителей Лагранжа для решения полукоэрцитивной модельной задачи с трением // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2009. — Т. 12, № 4. — С. 409-420.

10. Главачек И., Гаслингер Я., Нечас И., Ловишек Я. Решение вариационное неравенств в механике. — М.: Мир, 1986.

11. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. — М.: Наука, 1980.

12. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. — М.: Мир, 1979.

13. Канторович Л.В., Акилов Г.Г. Функциональный анализ. — СПб.: Невский диалект, 2004.

14. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. — М.: Наука, 1980.

 

УДК 519.6

Об апостериорной аппроксимации множества решений системы уравнений квадратичной структуры с использованием метода Ньютона с. 53-65

Кокурин Михаил Юрьевич, Козлов Александр Иванович

Марийский государственный университет, пл. им. Ленина, 1, Йошкар-Ола, 424001

kokurinm@yandex.ru (Кокурин М.Ю.), matemanaliz@rambler.ru (Козлов А.И.)

 

Аннотация  

Для квадратичных систем алгебраических уравнений предлагается алгоритм апостериорной аппроксимации выпуклой оболочки множества решений по результатам шага метода Ньютона. Приведены результаты численных экспериментов. 

Ключевые слова: квадратичный оператор, метод Ньютона, апостериорная оценка, числовой образ, выпуклая оболочка. 

Литература 

1. Calabi E. Linear systems of real quadratic forms. II // Proc. Amer. Math. Soc. — 1982. — Vol. 84, № 3. — P. 331-334. 

2. Бахвалов Н.C., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: БИНОМ, 2007. 

3. Годунов С.К. Современные аспекты линейной алгебры. — Новосибирск: Научная книга, 1997. 

4. Кокурин М.Ю. О кривой П.А. Широкова и теоремах Хаусдорфа и Дайнса // Ученые записки Казанского государственного университета. Сер. Физико-математические науки. — 2009. — Т. 151, кн. 4. — С. 51-53. 

5. Cowen C.C., Harel E. An Effective Algorithm for Computing the Numerical Range. — West Lafayette, Indiana: Purdue University, Department of Mathematics, 1995. — (Technical report). 

6. Morgan A. Solving Polynomial Systems Using Continuation for Engineering and Scientific Problems. — Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, 1987. 

7. Кокс Д., Литтл Дж., О'Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. — М.: Мир, 2000. 

8. Garloff J., Smith A.P. Investigation of a subdivision based algorithm for solving systems of polynomial equations // J. of Nonlinear Analysis. — 2001. — Vol. 47, № 1. — P. 167-178. 

 

AMS 65L05, 65L06 

Семейство высокоустойчивых блочных методов со второй производной для жестких НЗ в ОДУ с. 67-81 

Окуонгае Р.И., Ихиле М.Н.О.  

Department of Mathematics, University of Benin, P.M.B 1154, Benin City, Edo state, Nigeria

okunoghae01@yahoo.co.uk (Окуонгае Р.И.), mnoikhilo@yahoo.co.uk (Ихиле М.Н.О.)

 

Аннотация  

В данной статье рассматривается класс высокоустойчивых блочных методов для численного решения начальных задач (НЗ) в обыкновенных дифференциальных уравнениях (ОДУ). Граничное место точек предлагаемых параллельных одноблочных алгоритмов с выходными точками r показывает, что новые схемы являются A-устойчивыми для выходных точек r=2(2)8 и A(α)-устойчивыми для выходных точек r=10(2)20, где r — число процессоров в конкретном блочном методе семейства. Численные результаты блочных методов сравниваются с линейным многошаговым методом со второй производной [8]. 

Ключевые слова: блочные методы, непрерывные методы, коллокация, интерполяция, граничное место точек, A(α)-устойчивость, жесткие НЗ. 

Литература 

1. Butcher J.C. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. Second Edition. — Chichester: Wiley, 2008. 

2. Butcher J.C. A modified multistep method for the numerical integration of ordinary differential equations // J. Assoc. Comput. Mach. — 1965. — Vol. 12. — P. 124-135. 

3. Burrage K. Parallel and Sequential Methods for Ordinary Differential Equations. — Oxford: Clarendon Press, 1993. 

4. Cash J.R. Block Runge-Kutta methods for the numerical integration of initial value problems in ordinary differential equations. Part I. The nonstiff case // Mathematical Computation. — 1983. — Vol. 40, № 161. — P. 175-191. 

5. Chu M.T., Hamilton H. Parallel solution of ODEs by multi-block methods // SIAM J. on Scientific and Statistical Computing. — 1987. — Vol. 8, № 3. — P. 342-353. 

6. Dahlquist G. A special stability problem for linear multistep methods // BIT. — 1963. — Vol. 3. — P. 27-43. 

7. Dahlquist G. On accuracy and unconditional stability of linear multistep methods for second order differential equations // BIT Numerical Mathematics. — 1978. — Vol. 18, № 2. — P. 133-136. 

8. Enright W.H. Second derivative multistep methods for stiff ODEs // SIAM. J. Numer. Anal. — 1974. — Vol. 11, iss. 2. — P. 321-331. 

9. Enright W.H. Continuous numerical methods for ODEs with defect control // J. Comput. Appl. Math. — 2000. — Vol. 125, iss. 1-2. — P. 159-170. 

10. Enright W.H., Hull T.E., and Lindberg B. Comparing numerical methods for stiff systems of ODEs // BIT Numerical Mathematics. — 1975. — Vol. 15, № 1. — P. 10-48. 

11. Fatunla S.O. Numerical Methods for Initial Value Problems in ODEs. — New York: Academic Press, 1988. 

12. Fatunla S.O. Block methods for second order ODEs // International J. of Computer Mathematics. — 1991. — Vol. 41. — P. 55-63. 

13. Gear C.W. Hybrid multistep methods for initial value problems in ordinary differential equations // SIAM J. Numer. Anal. — 1965. — Vol. 2. — P. 69-86. 

 14. Gear C.W., Xu X. Parallelism across time in ODEs // Applied Numerical Mathematics. — 1965. — Vol. 11. — P. 45-68. 

15. Hairer E., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems. — Berlin: Springer-Verlag, 1996. 

16. Higham J.D., Higham J.N. Matlab Guide. — Philadelphia: SIAM, 2000. 

17. Ikhile M.N.O., Okuonghae R.I. Stiffly stable continuous extension of second derivative LMM with an off-step point for IVPs in ODEs // J. Nig. Assoc. Math. Physics. — 2007. — Vol. 11. — P. 175-190. 

18. Jator S.N. Solving second order initial value problems by a hybrid multistep method without predictors // Applied Mathematics and Computation. — 2010. — Vol. 217, № 8. — P. 4036-4046. 

19. Kayode S.J. An efficient zero-stable numerical method for fourth-order differential equations // International J. of Mathematics and Mathematical Sciences. — 2008. — Vol. 2008. — page Article ID 364021, 10 p. 

20. Kaps P. Rosenbrock-type methods // Numerical Methods for Solving Stiff Initial Value Problems / Dahlquist G., Jeltsch R. — Germany, Aachen: Inst. für Geometrie und praktische Math. (IGPM) der RWTH Aachen, 1981. — (Bericht № 9). 

21. Lambert J.D. Computational Methods for Ordinary Differential Systems. The Initial Value Problems. — Chichester: Wiley, 1973. 

22. Majid Z.A., Azmi N.A., and Suleiman M. Solving second order ordinary differential equations using two point four step direct implicit block method // European J. of Scientific Research. — 2009. — Vol. 31, № 1. — P. 29-36. 

23. Okuonghae R.I. Stiffly Stable Second Derivative Continuous LMM for IVPs in ODEs: Ph.D Thesis. — Nigeria, Benin City: Dept. of Math. University of Benin, 2008. 

24. Okuonghae R.I. A class of continuous hybrid LMM for stiff IVPs in ODEs // Annals of the Alexandru Ioan Cuza University. Mathematics. — 2012. — Vol. LVIII, iss. 2. — P. 239-258. 

25. Okuonghae R.I, Ikhile M.N.O. A continuous formulation of A(α)-stable second derivative linear multistep methods for stiff IVPs and ODEs // J. of Algorithms and Comp. Technology. — 2011. — Vol. 6, № 1. — P. 79-101. 

26. Okuonghae R.I., Ogunleye S.O., and Ikhile M.N.O. Some explicit general linear methods for IVPs in ODEs // J. of Algorithms and Comp. Technology. — 2013. — Vol. 7, № 1. — P. 41-63. 

27. Okuonghae R.I., Ikhile M.N.O. A(α)-stable linear multistep methods for stiff IVPs in ODEs // Acta Univ. Palacki. Olomuc., Fac. rer. nat., Mathematica. — 2011. — Vol. 50, № 1. — P. 75-92. 

28. Okuonghae R.I., Ikhile M.N.O. The numerical solution of stiff IVPs in ODEs using modified second derivative BDF // Acta Univ. Palacki. Olomuc., Fac. rer. nat., Mathematica. — 2012. — Vol. 51, № 1. — P. 51-77. 

29. Okuonghae R.I., Ikhile M.N.O. On the construction of high order A(α)-stable hybrid linear multistep methods for stiff IVPs and ODEs // J. of Numerical Analysis and Appl. — 2012. — Vol. 15, № 3. — P. 231-241. 

30. Okuonghae R.I., Ikhile M.N.O. A class of hybrid linear multistep methods with A(α)-stability properties for stiff IVPs in ODEs // J. of Numerical Mathematics. — 2013. — Vol. 21, № 2. — P. 157-172. 

31. Voss O. Fourth-order parallel Rosebrock methods for stiff systems // J. Mathematical and Comp. Modelling. — 2004. — Vol. 40. — P. 1193-1198. 

32. Widlund O. A note on unconditionally stable linear multistep methods // BIT. — 1967. — Vol. 7. — P. 65-70. 

33. Zarina B.I., Khairil I.O., and Mohammed S. Variable step block backward differentiation formula for solving first order stiff ODEs // Proc. WCE. — London: WCE, 2007. — Vol. 2166. — P. 785-789.

 

AMS 65G50, 65H10 

Полулокальная сходимость для супер-метода Галлея с. 83-99 

Прашант М., Гупта Д.К., Сингх С. 

Department of Mathematics, Indian Institute of Technology, Kharagpur, 721302, India

maroju.prashanth@gmail.com (Прашант М.), dkg@maths.iitkgp.ernet.in (Гупта Д.К.), sukhjitmath@gmail.com (Сингх С.)

 

Аннотация  

Полулокальная сходимость супер-метода Галлея для решения нелинейных уравнений в банаховых пространствах устанавливается при предположении, что вторая производная Фреше удовлетворяет условию ω-непрерывности. Это условие является более слабым, чем условия непрерывности Липшица и Гельдера. Важность нашей работы заключается в том, что при помощи численных примеров можно показать, что наш подход является успешным даже в тех случаях, когда условия непрерывности Липшица-Гельдера не удовлетворяются. Также можно избежать трудностей при вычислении второй производной Фреше, используя вместо нее разделенную разность, содержащую только первые производные Фреше. Получен ряд рекуррентных отношений, зависящих от двух параметров. Установлена теорема сходимости для определения границ априорной ошибки, а также области существования и единственности решений. Показано, что R-порядок сходимости метода по крайней мере 3. Представлено два численных примера для демонстрации эффективности нашего метода. В обоих примерах наблюдается улучшение областей существования и единственности решения по сравнению с [7]. 

Ключевые слова: нелинейные операторные уравнения, условие ω-непрерывности, рекуррентные отношения, R-порядок сходимости, границы априорной ошибки.

 Литература 

1. Kantorovich L.V., Akilov G.P. Functional Analysis. — Oxford: Pergamon Press, 1982. 

2. Ganesh M., Joshi M.C. Numerical solvability of Hammerstein integral equations of mixed type // IMA J. of Numerical Analysis. — 1991. — Vol. 11. — P. 21-31. 

3. Gutiérrez J.M., Hernández M.A. Recurrence relations for the Super-Halley method // Comput. Math. Appl. — 1998. — Vol. 36. — P. 1-8. 

4. Ezquerro J.A., Hernández M.A. Avoiding the computation of the second Frёchet-derivative in the convex acceleration of Newton's method // J. of Computational and Applied Mathematics. — 1998. — Vol. 96. — P. 1-12. 

5. Hernández M.A., Salanova M.A. Modification of the Kantorovich assumptions for semilocal convergence of the Chebyshev method // J. of Computational and Applied Mathematics. — 2000. — Vol. 126. — P. 131-143. 

6. Hernández M.A. Chebyshev's approximation algorithms and applications // Comput. & Math. with Appl. — 2001. — Vol. 41, iss. 3-4. — P. 433-445. 

7. Ezquerro J.A., Hernandez M.A. On the R-order of the Halley method // J. Math. Anal. Appl. — 2005. — Vol. 303. — P. 591-601. 

8. Xintao Ye, Chong Li. Convergence of the family of the deformed Euler-Halley iterations under the Hölder condition of the second derivative // J. of Computational and Applied Mathematics. — 2006. — Vol. 194. — P. 294-308. 

9. Yueqing Zhao, Qingbiao Wu. Newton-Kantorovich theorem for a family of modified Halley's method under Hölder continuity conditions in Banach space // Applied Mathematics and Computation. — 2008. — Vol. 202. — P. 243-251. 

10. Parida P.K., Gupta D.K. Semilocal convergence of a family of third-order Chebyshev-type methods under a mild differentiability condition // Int. J. Comput. Math. — 2010. — Vol. 87, iss. 15. — P. 3405-3419. 

11. Prashanth M., Gupta D.K. Recurrence relations for Super-Halley's method under Hölder continuous second derivative in Banach spaces // Kodai Mathematical J. — 2013. — Vol. 36, № 1. — P. 119-136.


Номер 2, c. 101-216 

 

К 70-летию академика Б.Г. Михайленко  с. 101-103

 

К юбилею Геннадия Алексеевича Михайлова с. 105-109

 

УДК 512

О собственных значениях (T+H)-циркулянтов и косых (T+H)-циркулянтов с. 111-124

Абдикалыков Абдикожа Кожанасиридинович1, Икрамов Хаким Дододжанович2, Чугунов Вадим Николаевич3

1Казахстанский филиал Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, ул. Мунайтпасова, 7, Астана, Республика Казахстан, 010010

(Kazakhstan Branch of Lomonosov Moscow State University, Munaitpasova st., 7, Astana Kazakhstan, 010010) adiko2008@gmail.com (Абдикалыков А.К.)

2Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Ленинские горы, ГСП-1, Москва, 119991

(Lomonosov Moscow State University, Leninskie gory, 1, Moscow, 119991)

ikramov@cs.msu.su (Икрамов Х.Д.)

3Институт вычислительной математики РАН, ул. Губкина, 8, Москва, 119991

(Instiute of Numerical Mathematics, Gubkin str., 8, Moscow, Russia, 119991)

chugunov.vadim@gmail.com (Чугунов В.Н.)

 

Аннотация

Получены явные формулы для вычисления собственных значений ганкелевых циркулянтов, ганкелевых косых циркулянтов, (T+H )-циркулянтов и косых (T+H )-циркулянтов. Показано, что множество матриц, представимых в виде суммы теплицева и ганкелева ϕ-циркулянтов, не образует алгебры, если ϕ ≠ ±1. 

Ключевые слова: теплицева матрица, ганкелева матрица, циркулянт, косой циркулянт, собственные значения.

Литература

1. Bozzo E. Algebras of higher dimension for displacement decompositions and computations with Toeplitz plus Hankel matrices // Linear Algebra Appl. — 1995. — Vol. 230. — P. 127-150.

2. Воеводин В.В., Тыртышников Е.Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами. — М: Наука, 1987.

3. Икрамов Х.Д., Чугунов В.Н. Несколько замечаний о теплицевых и ганкелевых циркулянтах // Записки научных семинаров СПб отделения академии наук. — СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова РАН. — 2006. — Т. 334. — С. 121-127.

 

УДК 519.642

Весовые алгоритмы метода Монте-Карло для оценки и параметрического анализа решения кинетического уравнения коагуляции с. 125-138

Бурмистров Александр Васильевич1, Коротченко Мария Андреевна2

1Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

(Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, pr. Lavrentjeva, 6, Novosibirsk, Russia, 630090)

2Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

(Novosibirsk State University, Pirogova 2, Novosibirsk, Russia, 630090)

burm@osmf.sscc.ru (Бурмистров А.В.), kmaria@osmf.sscc.ru (Коротченко М.А.)

 

Аннотация

Рассматривается уравнение Смолуховского с линейными коэффициентами коагуляции, зависящими от двух параметров. Построены весовые алгоритмы для оценки линейных функционалов от решения рассматриваемого уравнения. Предложенные алгоритмы позволяют одновременно оценивать как функционалы для различных наборов параметров, так и параметрические производные. Кроме того, в работе разработаны ценностные алгоритмы и проанализирована их эффективность для вычисления двух функционалов: концентрации мономеров в ансамбле в заданный момент времени, а также концентрации мономеров и димеров. Значительное уменьшение трудоемкости достигается путем ценностного моделирования двух элементарных переходов: выбора времени между взаимодействиями и выбора номера пары взаимодействующих частиц.

Ключевые слова: статистическое моделирование, эволюция многочастичной системы, уравнение Смолуховского, функция ценности, параметрическая производная, мультипликативный вес, трудоемкость.

Литература 

1. Коротченко М.А. Статистические алгоритмы ценностного моделирования для решения уравнения Смолуховского // Вычислительные технологии. — 2008. — Т. 13, cпец. выпуск № 4. — С. 68-74. 

2. Коротченко М.А., Михайлов Г.А., Рогазинский С.В. Модификации весовых алгоритмов метода Монте-Карло для решения нелинейных кинетических уравнений // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2007. — T. 47, № 12. — С. 2110-2121. 

3. Лушников А.А. Некоторые новые аспекты теории коагуляции // Изв. АН СССР. Физ. атмосферы и океана. — 1978. — Т. 14, № 10. — С. 738-743. 

4. Михайлов Г.А., Войтишек А.В. Численное статистическое моделирование (Метод Монте-Карло). — Москва: Издательский центр «Академия», 2006. 

5. Михайлов Г.А., Рогазинский С.В. Весовые методы Монте-Карло для приближенного решения нелинейного уравнения Больцмана // Сиб. мат. журн. — 2002. — Т. 43, № 3. — С. 620-628. 

6. Михайлов Г.А., Рогазинский С.В., Урева Н.М. Весовой метод Монте-Карло для приближенного решения нелинейного уравнения коагуляции // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2006. — T. 46, № 4. — С. 714-725. 

7. Flory P.J. Principles of Polymer Chemistry. — Ithaca, New York: Cornell University Press, 1953. 

8. Korotchenko M.A. Value Monte Carlo algorithms for estimating the solution to the coagulation equation // Springer Proceedings in Mathematics \& Statistics. Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods 2010 / L. Plaskota and H. Wozniakowski. — 2012. — Springer Proceed. — Vol. 23. — P. 511-522. 

9. Mikhailov G.A. Parametric Estimates by the Monte Carlo Method. — Utrecht: VSP, 1999. 

10. Spouge J.L. Solutions and critical times for the monodisperse coagulation equation when a(i, j) = A + B(i + j) + Cij // J. Phys. A: Math. Gen. — 1983. — Vol. 16, № 4. — P. 767-773.

 

УДК 517.956.3

Применение спектрального метода для численного моделирования распространения сейсмических волн в пористых средах при наличии диссипации энергии с. 139-147

Имомназаров Холматжон Худайназарович, Михайлов Александр Анатольевич

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

(Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, pr. Lavrentjeva, 6, Novosibirsk, Russia, 630090)

imom@omzg.sscc.ru (Имомназаров Х.Х.), alex_mikh@omzg.sscc.ru (Михайлов А.А.)

 

Аннотация

Предлагается алгоритм решения динамической задачи сейсмики для пористых сред на основе спектрально-разностного метода. Рассматривается линейная двухмерная задача в виде динамических уравнений распространения волнового поля в пористой среде с учетом диссипации энергии, записанные в терминах компонент скоростей, напряжений и порового давления. Управляющие уравнения основаны на законах сохранения и согласованы с условиями термодинамики. Среда считается изотропной и двухмерно-неоднородной по пространству. Для численного решения задачи предлагается метод на основе совместного использования интегрального преобразования Лагерра по времени и конечно-разностной аппроксимации по пространственным координатам. Приводится описание численной реализации предлагаемого метода и анализируются его особенности при расчетах. Обсуждается эффективность применения преобразования Лагерра и его отличие от преобразования Фурье при использовании спектрального метода решения прямых динамических задач сейсмики. Представлены численные результаты моделирования сейсмических волновых полей для тестовой модели среды.

Ключевые слова: преобразование Лагерра, пористая среда, численное моделирование, волновое поле, разностная схема. 

Литература 

1. Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве // Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофизика. — 1944. — Т. 8, № 4. — С. 133-146. 

2. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in fluid-saturated porous solid I. low-frequency range // J. of the Acoustical Society of America. — 1956. — Vol. 28. — P. 168-178. 

3. Доровский В.Н. Континуальная теория фильтрации // Геология и геофизика. — 1989. — № 7. — С. 39-45.

4. Доровский В.Н., Перепечко Ю.В., Роменский Е.И. Волновые процессы в насыщенных пористых упругодеформируемых средах // Физика горения и взрыва. — 1993. — № 1. — C. 100-111. 

5. Blokhin A.M., Dorovsky V.N. Mathematical Modelling in the Theory of Multivelocity Continuum. — New York: Nova Science, 1995. 

6. Konyukh G.V., Mikhailenko B.G. Application of integral Laguerre transformation for solving dynamic seismic problem // Bull. Novosibirsk Comp. Center. Ser. Mathematical Modeling in Geophysics. — Novosibirsk. — 1998. — Iss. 4. — P. 79-91. 

7. Mikhailenko B.G. Spectral Laguerre method for the approximate solution of time dependent problems // Applied Mathematics Letters. — 1999. — № 12. — P. 105-110. 

8. Mikhailenko B.G., Mikhailov A.A., and Reshetova G.V. Numerical modeling of transient seismic fields in viscoelastic media based on the Laguerre spectral method // Pure apll. geophys. — 2003. — № 160. — P. 1207-1224. 

9. Mikhailenko B.G., Mikhailov A.A., and Reshetova G.V. Numerical viscoelastic modeling by the spectral Laguerre method // Geophysical Prospecting. — 2003. — № 51. — P. 37-48. 

10. Imomnazarov Kh.Kh. A mathematical model for the movement of a conducting liquid through a conducting porous medium: I. Excitation of oscillations of the magnetic field by the surface rayleigh wave // Math. Comput. Modelling. — 1996. — Vol. 24, № 1. — P. 79-84. 

11. Имомназаров Х.Х. Несколько замечаний о системе уравнений Био // Доклады РАН. — 2000. — Т. 373, № 4. — С. 536-537. 

12. Imomnazarov Kh.Kh. Some remarks on the Biot system of equations describing wave propagation in a porous medium // Applied Mathematics Letters. — 2000. — Vol. 13, № 3. — P. 33-35. 

13. Levander A.R. Fourth order velocity-stress finite-difference scheme // Proc. 57-th SEG Annual Meeting. New Orleans. — 1987. — P. 234-245.

 

УДК 517.956.3

Численное моделирование распространения сейсмических и акусто-гравитационных волн для модели «Земля-Атмосфера» при наличии ветра в атмосфере с. 149-162

Михайленко Борис Григорьевич, Михайлов Александр Анатольевич

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090 630090

(Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, pr. Lavrentjeva, 6, Novosibirsk, Russia, 630090)

mikh@sscc.ru (Михайленко Б.Г.), alex_mikh@omzg.sscc.ru (Михайлов А.А.)

 

Аннотация

В данной статье рассматривается эффективный алгоритм численного решения 2.5D динамической задачи распространения сейсмических и акусто-гравитационных волн для совмещённой математической модели «Земля-Атмосфера» при наличии ветра в атмосфере. Распространение сейсмических волн в упругой среде описывается системой уравнений первого порядка теории упругости через взаимосвязь компонент вектора скорости смещений и компонент тензора напряжений. Система уравнений, описывающая распространение акусто-гравитационных волн в неоднородной неионизированной атмосфере, записывается через взаимосвязь компонент вектора скорости смещений, давления и изменения плотности воздуха при наличии ветра, направленного в горизонтальной плоскости. Для численного решения поставленной задачи используется метод комплексирования интегральных преобразований Лагерра и Фурье с конечно-разностным методом. 

Ключевые слова: акусто-гравитационные и сейсмические волны, уравнения Навье-Стокса, конечно-разностный метод, преобразование Лагерра. 

Литература 

1. Алексеев А.С., Глинский Б.М., Дряхлов С.И. и др. Эффект акустосейсмической индукции при вибросейсмическом зондировании // Доклады РАН. — 1996. — Т. 346, № 5. — C. 664-667. 

2. Гасилова Л.А., Петухов Ю.В. К теории поверхностных волн, распространяющихся вдоль разных границ раздела в атмосфере // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. — 1999. — Т. 35, № 1. — C. 14-23. 

3. Разин А.В. Распространение сферичного акустического дельта-импульса вдоль границы газ-твёрдое тело // Изв. РАН. Физика Земли. — 1993. — № 2. — C. 73-77. 

4. Михайленко Б.Г., Решетова Г.В. Математическое моделирование распространения сейсмических и акустогравитационных волн для неоднородной модели Земля-Атмосфера // Геология и геофизика. — 2006. — Т. 47, № 5. — C. 547-556. 

5. Mikhailenko B.G. Spectral Laguerre method for the approximate solution of time dependent problems // Applied Mathematics Letters. — 1999. — № 12. — P. 105-110. 

6. Konyukh G.V., Mikhailenko B.G., and Mikhailov A.A. Application of the integral Laguerre transforms for forward seismic modeling // J. of Computational Acoustics. — 2001. — Vol. 9, № 4. — P. 1523-1541. 

7. Mikhailenko B.G., Mikhailov A.A., and Reshetova G.V. Numerical modeling of transient seismic fields in viscoelastic media based on the Laguerre spectral method // J. Pure and Applied Geophysics. — 2003. — № 160. — P. 1207-1224. 

8. Mikhailenko B.G., Mikhailov A.A., and Reshetova G.V. Numerical viscoelastic modeling by the spectral Laguerre method // Geophysical Prospecting. — 2003. — № 51. — P. 37-48. 

9. Имомназаров Х.Х., Михайлов А.А. Использование спектрального метода Лагерра для решения линейной двумерной динамической задачи для пористых сред // Сиб. журн. индустриальной математики. — 2008. — Т. 11, № 2(35). — С. 86-95. 

10. Михайлов А.А. Моделирование сейсмических полей для 2.5D неоднородных вязкоупругих сред // Тр. Междунар. конф. «Математические методы в геофизике». — Новосибирск. — 2003. — Часть 1. — С. 146-152. 

11. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. — M.: Наука, 1974. 

12. Virieux J. P-, SV.-wave propagation in heterogeneous media: velocity-stress finite-difference method // Geophysics. — 1986. — № 51. — P. 889-901. 

13. Sd Y., Van der Vorst H.A. Iterative solution of linear systems in the 20th century // J. of Computational and Applied Mathematics. — 2000. — № 123. — P. 1-33. 

14. Sonneveld P. CGS, a fast Lanczos-type solver for nonsymmetric linear system // SIAM J. of Scientific and Statistical Computing. — 1989. — № 10. — P. 36-52. 

15. Михайленко Б.Г., Михайлов А.А. Численное решение 2.5D динамической задачи сейсмики с использованием алгоритмов распараллеливания // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2012): Тр. Междунар. научн. конф. (Новосибирск, 26-30 марта 2012 г.). — Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ. — 2012. — C. 612-620.

 

УДК 550.344

Численно-аналитическое моделирование волновых полей для сред сложного строения и структуры с. 163-176

Михайленко Борис Григорьевич, Фатьянов Алексей Геннадьевич

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090 630090

(Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, pr. Lavrentjeva, 6, Novosibirsk, Russia, 630090)

mikh@sscc.ru (Михайленко Б.Г.), fat@nmsf.sscc.ru (Фатьянов А.Г.)

 

Аннотация  

В работе представлен аналитический метод моделирования сейсмических волновых полей для широкого круга геофизических сред (включая упругие, неупругие, анизотропные, анизотропно-неупругие, пористые, случайно-неоднородные и т. д.) на сверхдальние расстояния. Поскольку не используются конечно-разностные аппроксимации, не возникает сеточной дисперсии при расчетах волновых полей для произвольных моделей сред и баз наблюдений. Аналитическое представление решения в спектральной области позволяет проводить анализ полного поля по частям, в частности получать однократные волны. На основе созданной программы расчета волновых полей проведено моделирование водных волн и сейсмического «звона» на Луне. Объяснено явление монотонного смещения резонанса в область более низких частот с увеличением расстояния регистрации, обнаруженное при экспериментальных работах с вибратором. 

Ключевые слова: математическое моделирование, аналитическое решение, полные волновые поля, однократные волны, упругие, пористые, неупругие, анизотропно-неупругие, случайно-неоднородные среды. 

Литература 

1. Коновалов А.Н. Численное решение задач теории упругости в напряжениях: Учеб. пособие. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1979. 

2. Михайленко Б.Г. Моделирование распространения сейсмических волн в неоднородных средах // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2003. — Т. 6, № 4. — С. 415-429. 

3. Молотков Л.А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах. — Л.: Наука, 1984. 

4. Фатьянов А.Г. Полуаналитический метод решения прямых динамических задач в слоистых средах // ДАН. — 1990. — Т. 310, № 2. — С. 323-327. 

5. Фатьянов А.Г. Математическое моделирование волновых полей в средах с криволинейными границами // ДАН. — 2005. — Т. 401, № 4. — С. 529-532. 

6. Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред. — М.: Наука, 1989. 

7. Аки К., Ричардс П. Количественная сейсмология. — М.: Мир, 1983. 

8. Михайленко Б.Г., Фатьянов А.Г. Полуаналитический метод расчета нестационарных волновых полей для слоисто-однородных моделей сред // Математические методы решения прямых и обратных задач геофизики. — Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1981. — С. 92-104. 

9. Фатьянов А.Г., Михайленко Б.Г. Метод расчета нестационарных волновых полей в неупругих слоисто-неоднородных средах // ДАН. — 1988. — Т. 301, № 4. — С. 834-839. 

10. Глубинное сейсмическое зондирование литосферы на Анголо-Бразильском геотраверсе / С.М. Зверев, И.П. Косминская, Ю.В. Тулина. — М.: Изд-во НГК РАН, 1996. 

11. Бурмин В.Ю., Фатьянов А.Г. Аналитическое моделирование волновых полей на сверхдальние расстояния и экспериментальные исследования водных волн // Физика Земли. — 2009. — № 4. — С. 43-55. 

12. Галкин И.Н., Шварев В.В. Строение Луны. — М.: Знание, 1977. 

13. Nakamura Y., Dorman J., Duennebier F., Lammlein D., and Latham G. Shallow lunar structure determined from the passive seismic experiment // The Moon. — 1975. — Vol. 13. — P. 57-66. 

14. Latham G., Ewing M., Press F., Sutton G., Dorman J., Nakamura Y., Toksoz N., Wiggins R., Derr J., and Duennebier F. Apollo 11 passive seismic experiment // Geochim. Cosmochim. Acta.  — 1970. — Vol. 34, suppl. 1. — P. 2309-2320. 

15. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid saturated porous solid // J. Acoustical Soc. America. — 1956. Vol. 28, № 2. — P. 168-191. 

16. Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве // Известия АН СССР. Сер. Географическая и геофизическая. — 1944. — Т. 8, № 4. — С. 133-150. 

17. Блохин А.М., Доровский В.Н. Проблемы математического моделирования в теории многоскоростного континуума. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1994. 

18. Мирошников В.В., Фатьянов А.Г. Полуаналитический метод расчета волновых полей в слоистых пористых средах // Тр. ИВМиМГ СО РАН. Серия: Математическое моделирование в геофизике. — Новосибирск, 1993. — Вып. 1. — С. 27-58. 

19. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения глазами физика. — М.: Физматлит, 2001. 

20. Шапиро В.Е., Логинов В.М. Динамические системы при случайных воздействиях. — Новосибирск: Наука, 1983. 

21. Алексеев А.С., Глинский Б.М., Ковалевский В.В., Фатьянов А.Г. и др. Методы решения прямых и обратных задач сейсмологии, электромагнетизма и экспериментальные исследования в проблемах изучения геодинамических процессов в коре и верхней мантии Земли / Б.Г. Михайленко, М.И. Эпов. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2010. 

22. Глинский Б.М., Собисевич А.Л., Фатьянов А.Г., Хайретдинов М.С. Математическое моделирование и экспериментальные исследования грязевого вулкана Шуго // Вулканология и сейсмология. — 2008. — № 5. — С. 69-77. 

23. Фатьянов А.Г. Прямые и обратные задачи для тензора сейсмического момента в слоистых средах // ДАН. — 1991. — Т. 317, № 6. — С. 1357-1361. 

24. Fatyanov Alexey G., Terekhov Andrew V. High-performance modeling acoustic and elastic waves using the Parallel Dichotomy Algorithm // J. of Computational Physics. — 2011. — Vol. 230. — P. 1992-2003.

 

УДК 519.676 

Замечания о практически эффективных алгоритмах численного статистического моделирования с. 177-190 

Михайлов Геннадий Алексеевич 

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090 630090

(Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, pr. Lavrentjeva, 6, Novosibirsk, Russia, 630090) gam@osmf.sscc.ru

 

Аннотация  

Рассматривается ряд алгоритмов численного моделирования случайных величин и функций, а также параметрического численно-статистического анализа, в разработке которых принял участие автор. Даны практически важные уточнения и разъяснения формулировок и обоснований алгоритмов. 

Ключевые слова: базовое случайное число, плотность распределения, метод дискретной суперпозиции, ветвление траекторий, метод подобных траекторий, случайное поле, гистограмма. 

Литература 

1. Mikhailov G.A., Rogazinskii S.V. Probabilistic model of many-particle evolution and estimation of solutions to a nonlinear kinetic equation // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. — 2012. — Vol. 27, № 3. — P. 229-242. 

2. Михайлов Г.А. Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло. — Новосибирск: Наука, 1974. 

3. Аверина Т.А., Михайлов Г.А. Алгоритмы точного и приближенного статистического моделирования пуассоновских ансамблей // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2010. — Т. 50, № 6. — С. 1005-1016. 

4. Михайлов Г.А., Рогазинский С.В. Модифицированный метод мажорантной частоты для численного моделирования обобщенного экспоненциального распределения // Докл. РАН. — 2012. — Т. 444, № 1. — С. 28-30. 

5. Марчук Г.И., Михайлов Г.А., Назаралиев М.А., Дарбинян Р.А., Каргин Б.А., Елепов Б.С. Методы Монте-Карло в атмосферной оптике. — Новосибирск: Наука, 1976. — (Engl. transl.: Springer-Verlag, 1980). 

6. Михайлов Г.А. О методе «повторения» для моделирования случайных векторов и процессов (рандомизация корреляционных матриц) // Теория вероятностей и ее применения. — 1974. — Т. 19, № 4. — С. 873-878. 

7. Бреднихин С.А., Медведев И.Н., Михайлов Г.А. Оценка параметров критичности ветвящихся процессов методом Монте-Карло // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2010. — Т. 49, № 2. — С. 21-31. 

8. Михайлов Г.А., Роженко С.А. Минимаксная оптимизация численно-статистического «метода подобных траекторий» // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2013. — (В печати). 

9. Korda A.S., Mikhailov G.A., and Ukhinov S.A. Mathematical problems of statistical simulation of the polarized radiation transfer // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. — 2013. — Vol. 28, № 3. — P. 213-230. 

10. Ambos A.Ju., Mikhailov G.A. Statistical simulation of an exponentially correlated many-dimensional random field // Russ. J. Num. Anal. Math. Modelling. — 2011. — Vol. 26, № 3. — P. 263-273. 

11. Михайлов Г.А. Асимптотические оценки средней вероятности прохождения излучения через экспоненциально коррелированную стохастическую среду // Изв. РАН. Серия «Физика атмосферы и океана». — 2012. — Т. 48, № 6. — С. 691-697. 

12. Михайлов Г.А., Лотова Г.З. Численно-статистическая оценка потока частиц с конечной дисперсией // Докл. РАН. — 2012. — Т. 447, № 1. — C. 18-21. 

13. Марченко М.А., Михайлов Г.А. Распределенные вычисления по методу Монте-Карло // Автоматика и телемеханика. — 2007. — № 5. — C. 157-170.

 

УДК 519.622.2 

Численное и физическое моделирование динамики системы Лоренца с. 191-201 

Пчелинцев Александр Николаевич 

Тамбовский государственный технический университет, ул. Советская, д. 106, г. Тамбов, 392000

(Tambov State Technical University, 106 Sovetskaya St, Tambov, 392000, Russia)

pchelintsev.an@yandex.ru

 

Аннотация  

В работе описывается модификация метода степенных рядов для построения приближенных решений системы Лоренца. Приведены результаты вычислительного эксперимента. Также рассматривается физическое моделирование динамики системы Лоренца с помощью процессов, происходящих в электрической цепи. 

Ключевые слова: система Лоренца, аналоговый умножитель, интегратор, метод степенных рядов, радиус сходимости, свободная конвекция, аттрактор Лоренца. 

Литература 

1. Lorenz E. Deterministic nonperiodic flow // J. of the Atmospheric Sciences. — 1963. — Vol. 20, № 2. — P. 130-141. 

2. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. — М.: ЛИБРОКОМ, 2010. 

3. Покровский Л.А. Решение системы уравнений Лоренца в асимптотическом пределе большого числа Релея. I. Система Лоренца в простейшей квантовой модели лазера и приложение к ней метода усреднения // Теоретическая и математическая физика. — 1985. — Т. 62, № 2. — С. 272-290. 

4. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. — М.: ЛИБРОКОМ, 2009. 

5. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М.: Едиториал УРСС, 2004. 

6. Yorke J., Yorke E. Metastable chaos: The transition to sustained chaotic behavior in the Lorenz model // J. of Statistical Physics. — 1979. — Vol. 21, № 3. — P. 263-278. 

7. Sparrow C. The Lorenz Equations: Bifurcation, Chaos, and Strange Attractors. — New York: Springer-Verlag, 1982. 

8. Kaloshin D.A. Search for and stabilization of unstable saddle cycles in the Lorenz system // Diff. Equations. — 2001. — Vol. 37, № 11. — P. 1636-1639. 

9. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. — М.: Едиториал УРСС, 2004. 

10. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1969. 

11. The MPFR library for multiple-precision floating-point computations with correct rounding. — http://www.mpfr.org/. 

12. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. — М.: Физматлит, 2002. 

13. Texas Instruments Incorporated [SBFS017A]. MPY634: Wide Bandwidth Precision Analog Multiplier (Data Sheet). —\http://www.ti.com/lit/ds/symlink/mpy634.pdf, 2011. 

14. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Высшая школа, 1967. 

15. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. 

16. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том II. — М.: Наука, 1966.

17. Пчелинцев А.Н. О построении обобщенно-периодических решений сложной структуры неавтономной системы дифференциальных уравнений // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2013. — Т. 16, № 1. — С. 63-71. 

18. Tucker W. A rigorous ODE solver and Smale's 14th problem // Foundations of Computational Mathematics. — 2002. — Vol. 2, № 1. — P. 53-117.

УДК 551.466.66

О расчете сейшевых колебаний средней части залива Петра Великого с. 203-216

Смирнов Сергей Викторович 

Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения Российской академии наук, ул. Радио, 5, Владивосток, 690041

(Institute of Automation and Control Processes, 5 Radio St., Vladivostok, 690041, Russia)

smirnoff@iacp.dvo.ru

 

Аннотация

С применением спектрально-разностной модели рассмотрены характеристики баротропных сейшевых колебаний средней части залива Петра Великого Японского моря. Модель основана на линеаризованной системе уравнений мелкой воды. Разностная аппроксимация выполнена на нерегулярной треугольной пространственной сетке. Численный метод включает решение задачи на собственные значения и позволяет непосредственно получить набор частот и соответствующих форм сейшевых колебаний. Сетка расчетной области покрывает исследуемые акватории и в ряде расчетов включает Японское море. Наиболее подробно на сетке описаны акватории бухты Золотой Рог и бухты Алексеева. Вычислены и представлены пространственно-временные характеристики ряда сейшевых колебаний, соответствующих хорошо выраженным максимумам энергетического спектра для данных измерений уровня моря с поста «Владивосток» российской службы предупреждения о цунами. Результаты расчетов для акватории бухты Алексеева острова Попова сравнивались с данными натурных измерений и результатами решения задачи Коши.

Ключевые слова: сейши, резонансные колебания.

Литература

1. Wilson B.W. Seiches // Advances in hydrosciences / Ven Te Chow. — Academic Press., 1972. — Vol. 8. — P. 1-94.

2. Rabinovich A.B. Seiches and harbor oscillations // Handbook of Coastal and Ocean Engineering / Y.C. Kim. — Singapoure: World Scientific Publ., 2009. — Chapter 9. — P. 193-236.

3. Фролов А.В., Камаев Д.А., Мартыщенко В.А., Шершаков В.М. Опыт модернизации российской системы предупреждения о цунами // Метеорология и гидрология. — 2012. — № 6. — С. 5-21.

4. Жариков В.В., Преображенский Б.В. Ландшафтный мониторинг бухты Алексеева залива Петра Великого // Подводные исследования и робототехника. — 2010. — № 2. — C. 72-84.

5. Шевченко Г.В., Чернов А.Г., Ковалев П.Д., Горин И.И. Резонансные колебания в заливах и бухтах: натурные эксперименты и численное моделирование // Тр. Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева. — 2010. — № 1. — C. 52-62.

6. Ламб Г. Гидродинамика. Перевод с 6-го англ. издания / Н.А. Слезкин. — М.-Л.: Гостехиздат, 1947.

7. Долгих Г.И., Долгих С.Г., Смирнов С.В., Чупин В.А., Швец В.А., Яковенко С.В. Инфразвуковые колебания Японского моря // ДАН. — 2011. — Т. 441, № 1. — С. 98-102.

8. Balay S., Buschelman K., Eijkhout V., Gropp W., Kaushik D., Knepley M., McInnes L.C., Smith B., and Zhang H. PETSc Users Manual. — USA, Illinois, Argonne National Laboratory, 2008. — (Technical Report № ANL-95/11.)

9. Hernandez V., Roman J.E., and Vidal V. SLEPc: A scalable and flexible toolkit for the solution of eigenvalue problems // ACM Trans. Math. Software. — 2005. — Vol. 31. — P. 351-362.

10. Марчук Г.И., Каган Б.А. Динамика океанских приливов. — Л.: Гидрометеоиздат, 1991.

11. Вильямсон Д. Разностные аппроксимации уравнений движения жидкости на сфере / Численные методы, используемые в атмосферных моделях. Перевод с англ. — Л.: Гидрометеоиздат, 1982.

12. Марчук Ан.Г. Применение географических информационных систем для моделирования природных и антропогенных катастроф // Вычислительные технологии. — 1996. — Т. 1, № 3. — С. 57-65.

13. Лоция северо-западного берега Японского моря. — ГУНиО, 1984.

14. Атлас залива Петра Великого и северо-западного берега Японского моря до бухты Соколовская (для маломерного флота). — Владивосток: Гидрографическая служба ТОФ, 2003.

15. Amante C., Eakins B.W. ETOPO1 1 Arc-Minute Global Relief Model: Procedures, Data Sources and Analysis // NO Technical Memorandum NESDIS NGDC-24. — Colorado, Boulder, 2009.


Номер 3, с. 217-313 

 

УДК 519.17

Клеточно-автоматная модель динамики популяций трех видов организмов озера Байкал с. 217-227

Афанасьев Иван Владимирович

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090
(Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, pr. Lavrentjeva, 6, Novosibirsk, Russia, 630090)
ivafanas@gmail.com

Аннотация

Предложена композиционная клеточно-автоматная модель динамики популяций трех видов организмов: макрогектопуса, малой и большой голомянок. Каждый из видов разделен на возрастные группы. Всего 8 групп организмов. Между группами определены демографические отношения и отношения хищник-жертва. Модель позволяет учитывать перемещение особей по области моделирования, сезонность и влияние загрязнений.  Проведен вычислительный эксперимент для случая загрязнения южной части озера Байкал.   Модель  в результате колебаний численности приходит к устойчивому колебательному процессу с  периодом в 1 год. Получены оценки минимального загрязнения, ведущего к полному   вымиранию, и максимального загрязнения, не оказывающего заметного влияния на   динамику популяций. Модель верифицирована по критерию отношения продукции к   среднегодовой биомассе и относительных частот встречаемости организмов.

Ключевые слова: клеточный автомат, дискретное моделирование, динамика  численности, Байкал,  хищник-жертва.

Литература

1. Wolfram S.  A New Kind of Science.   USA: Wolfram Media Inc., 2002.

2. Chua L.O.  CNN: A Paradigm for Complexity. Series A: World Scientific Series on Nonlinear Science. —  Vol. 31.   Singapore: World Scientific Publishing Company, 1998.

3. Ванаг В.К.  Диссипативные структуры в реакционно-диффузионных  системах. —  Ижевск: ИКИ, 2008.

4. Madore B., Freedman W.  Computer simulation of the  Belousov-Zhabotinski reaction // Science. —  1983. —  Vol. 222. —  P. 615-618.

5. Bandman O.L.  Cellular Automata Composition Techniques for Spatial  Dynamics Simulating. Simulating Complex Systems by Cellular Automata  / A.G. Hoekstra et al. eds. —  Berlin: Springer, 2010.

6. Афанасьев И.В.  Исследование эволюции клеточных автоматов,  моделирующих процесс «разделения фаз» на треугольной сетке // Прикладная дискретная  математика. —  2010. —  № 4. —  С. 79-90.

7. Bandman O.L.  A method for construction of cellular automata simulating pattern formation processes // Theoretical backgrounds of applied discrete mathematics. —  2010. —  № 4. —  P. 91-99.

8. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О.  Устойчивость биологических сообществ. —  Москва: Наука, 1978.

9. Базыкин А.Д.  Нелинейная динамика взаимодействующих популяций.   Ижевск: ИКИ, 2003.

10. Зоркальцев В.И., Казазаева А.В., Мокрый И.В.  Модель взаимодействия трех пелагических видов организмов озера Байкал // Современные  технологии. Системный анализ. Моделирование. —  Иркутский государственный  университет путей сообщения, 2008. —  № 1. —  C. 182-193.

11. Бандман О.Л.  Клеточно-автоматные модели пространственной динамики // Системная информатика. —  2006. —  № 10. —  C. 58-113.

12. Medvedev Y.G.  Multi-particle cellular automata models for diffusion simulation // Methods and tools of parallel programming multicomputers. —  2011. —  Vol. 6083/2011. —  P. 204-211.

13. Дзюба Е.В., Тереза Е.П., Помазкова Г.И. и др.  Связь сезонной динамики зоопланктона, питания рыб и их зараженности паразитами в пелагиали озера Байкал // Теория, методы и инструменты принятия решений в живых, социальных и  технических системах: Материалы к 19-му заседанию Междунар. постоянно действующего    семинара «Гомеостатика живых, природных, технических и социальных систем».     Иркутск, 2001. —  С. 90-95.

14. Мазепова Г.Ф., Тимошкин О.А., Мельник Н.Г., Оболкина Л.А.,  Таничев А.И.  Атлас и определитель пелагобионтов Байкала.    Новосибирск: Наука, 1995.

15. Стариков Г.В.  Голомянки Байкала.   Новосибирск: Наука, 1977.

 

УДК 519.6,532.546

OpenMP-версия параллельного алгоритма расчета нестационарных течений газа через пористые объекты с источниками энерговыделения: анализ и применение с. 229-244

Луценко Николай Анатольевич1,2, Тарасов Георгий Витальевич 1,2, Гырник Константин Анатольевич 2

1Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения Российской академии наук, ул. Радио, д. 5, Владивосток, 690041

(Institute of Automation and Control Processes, 5 Radio St., Vladivostok, 690041, Russia)

2Дальневосточный федеральный университет, ул. Суханова, 8, Владивосток, 690950

(Far Eastern Federal University, Suhanova st. 8, Vladivostok, , 690050, Russia)

nickl@inbox.ru (Луценко Н.А.), george@dvo.ru (Тарасов Г.В.), kostochkin92@mail.ru (Гырник К.А.)

 

Аннотация

Исследуется движение газа в поле силы тяжести через пористые объекты с источниками энерговыделения, которые могут возникать в результате природных или техногенных катастроф. Для моделирования нестационарных двумерных течений газа через пористую саморазогревающуюся среду сложной формы разработана OpenMP-версия параллельного алгоритма расчета. Рассмотрена структура последовательного алгоритма и переход от него к OpenMP-версии; проанализированы производительность и эффективность распараллеливания. С помощью разработанного параллельного алгоритма исследованы нестационарные течения газа через осесимметричные пористые саморазогревающиеся объекты с частично закрытым выходным отверстием (верхней крышкой). Проанализировано влияние частичного закрытия выходного отверстия на процесс охлаждения пористых объектов с неравномерным распределением источников тепла.

Ключевые слова: параллельные алгоритмы, численное моделирование, пористые среды, газовое охлаждение, тепловыделение.

Литература

1. Маслов В.П., Мясников В.П., Данилов В.Г. Математическое моделирование аварийного блока Чернобыльской АЭС. — М.: Наука, 1987.

2. Маслов В.П., Молотков И.А. Условие отсутствия перегрева в реакторе, оценка критической константы // ДАН. — 2007. — Т. 415, № 4. — С. 475-477.

3. Маслов В.П., Молотков И.А. Переход от стационарного охлаждения к перегреву в аварийном реакторе // ДАН. — 2008. — T. 418, № 4. — С. 482-485.

4. Маслов В.П., Молотков И.А. Аварийный реактор в режиме перегрева // ДАН. — 2008. — Т. 421, № 4. — С. 482-485.

5. Молотков И.А. Локализация тепловой знергии в аварийном реакторе в процессе его перегрева // ДАН. — 2008. — Т. 422, № 5. — С. 608-611.

6. Маслов В.П., Молотков И.А. Режимы стационарного охлаждения и глобального перегрева в аварийном реакторе // Прикладная математика и механика. — 2008. — Т. 72, № 5. — С. 759-765.

7. Маслов В.П., Молотков И.А. Высокотемпературные процессы в пористой среде // Теплофизика высоких температур. — 2009. — Т. 47, № 2. — С. 242-246.

8. Луценко Н.А. Одномерный стационарный режим фильтрации газа через слой неподвижного тепловыделяющего конденсированного материала // Дальневосточный математический журнал. — 2002. — Т. 3, № 1. — С. 123-130.

9. Луценко Н.А. Нестационарные режимы охлаждения пористого тепловыделяющего элемента // Математическое моделирование. — 2005. — Т. 17, № 3. — С. 120-128.

10. Левин В.А., Луценко Н.А. Возникновение неустойчивых режимов охлаждения пористого тепловыделяющего элемента при докритических краевых условиях // Горение и плазмохимия. — 2005. — Т. 3, № 2. — С. 81-92.

11. Левин В.А., Луценко Н.А. Течение газа через пористую тепловыделяющую среду при учете температурной зависимости вязкости газа // Инженерно-физический журнал. — 2006. — Т. 79, № 1. — С. 35-40.

12. Теплицкий Ю.С., Ковенский В.И. Термомеханика тепловыделяющего зернистого слоя // Инженерно-физический журнал. — 2008. — Т. 81, № 4. — С. 637-645.

13. Теплицкий Ю.С., Ковенский В.И., Луценко Н.А., Виноградова М.В. О применимости граничного условия первого рода в задачах теплопереноса в тепловыделяющих зернистых слоях // Инженерно-физический журнал. — 2009. — Т. 82, № 6. — С. 1097-1104.

14. Ковенский Г.И., Теплицкий Ю.С., Ковенский В.И. О свободной конвекции в тепловыделяющем зернистом слое // Инженерно-физический журнал. — 2010. — Т. 83, № 2. — С. 229-234.

15. Теплицкий Ю.С., Ковенский В.И. О термомеханике тепловыделяющего слоя при переменном размере частиц // Инженерно-физический журнал. — 2011. — Т. 84, № 5. — С. 933-937.

16. Теплицкий Ю.С., Малевич В.Л. Свободная конвекция в зернистом слое при тепловыделении различной природы // Инженерно-физический журнал. — 2012. — Т. 85, № 2. — С. 259-265.

17. Левин В.А., Луценко Н.А. Численное моделирование двумерных нестационарных течений газа через пористые тепловыделяющие элементы // Вычислительные технологии. — 2006. — Т. 11, № 6. — С. 44-58.

18. Левин В.А., Луценко Н.А. Движение газа через пористые объекты с неравномерным локальным распределением источников тепловыделения // Теплофизика и аэромеханика. — 2008. — Т. 15, № 3. — С. 407-417.

19. Левин В.А., Луценко Н.А. Нестационарные течения газа через осесимметричные пористые тепловыделяющие объекты // Математическое моделирование. — 2010. — Т. 22, № 3. — С. 26-44.

20. Левин В.А., Луценко Н.А. Моделирование двумерных нестационарных течений газа в саморазогревающихся полигонах твердых бытовых отходов // Вычислительная механика сплошных сред. — 2011. — Т. 4, № 1. — С. 55-64.

21. Луценко Н.А., Мирошниченко Т.П., Одякова Д.С., Харитонов Д.И. Параллельная реализация алгоритма для расчета двумерных нестационарных течений газа через пористые объекты с источниками тепловыделения // Вычислительные технологии. — 2011. — Т. 16, № 2. — С. 98-110.

22. Lutsenko N.A. Modeling of heterogeneous combustion in porous media under free convection // Proc. of the Combustion Institute. — 2013. — Vol. 34, № 2. — P. 2289-2294.

23. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. — М.: Наука, 1978.

24. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. В 2-х т. Т. 1: Пер. с англ. — М.: Мир, 1990.

 

УДК 519.853.4

Метод генерации тестовых квадратично-линейных задач двухуровневой оптимизации с гарантированным решением с. 245-257

Орлов Андрей Васильевич1, Малышев Антон Валентинович2

1Институт динамики систем и теории управления Сибирского отделения Российской академии наук, ул. Лермонтова, 134, Иркутск, 664033

(Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences, Lermontov str., 134, 664033, Irkutsk, Russia)

2Luxand, Inc., 901 N. Pitt str. Suite 325 Alexandria, VA 22314 USA

anor@icc.ru (Орлов А.В.), anton@luxand.com (Малышев А.В.)

 

Аннотация

В работе предложен и обоснован новый метод генерации тестовых квадратично-линейных задач двухуровневой оптимизации в гарантированной постановке. Доказаны утверждения, позволяющие описать точный вид всех локальных и глобальных гарантированных решений в сгенерированных задачах, а также их количество.

Ключевые слова: генерация тестовых задач, двухуровневая оптимизация, гарантированное (пессимистическое) решение, задачи-ядра. 

Литература 

1. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. — М.: Наука, 1983. 

2. Стрекаловский А.С., Орлов А.В. Биматричные игры и билинейное программирование. — М.: Физматлит, 2007. 

3. DIMACS Implementation Challenges. — URL: http://dimacs.rutgers.edu/Challenges/.  

4. Hock W., Schittkowski K. Test Examples for Nonlinear Programming Codes. — Berlin etc.: Springer-Verlag, 1981. — (Lect. Notes in Economics and Math. Systems; 187). 

5. Schittkowski K. More Test Examples for Nonlinear Programming Codes — Berlin etc.: Springer-Verlag, 1987. — (Lect. Notes in Economics and Math. Systems; 282). 

6. Floudas C.A., Pardalos P.M. A Collection of Test Problems for Constrained Global Optimization Algorithms. — Berlin etc.: Springer-Verlag, 1990. — (Lect. Notes in Economics and Math. Systems; 455).

7. Sven Leyffer's Test Problems. — URL: http://wiki.mcs.anl.gov/leyffer/index.php/Sven_Leyffer's_ Test_Problems.

8. Moshirvaziri K. Construction of test problem for a class of reverse convex program // J. of Optimization Theory and Applications. — 1994. — Vol. 81, № 2. — P. 343-354.

9. Moshirvaziri K. Generalization of the construction of test problems for nonconvex optimization // J. of Global Optimization. — 1994. — Vol. 5, № 1. — P. 21-34.

10. Moshirvaziri K., Amouzegar M.A., and Jacobsen S.E. Test problem construction for linear bilevel programming problem // J. of Global Optimization. — 1996. — Vol. 8. — P. 235-243. 

11. Moshirvaziri K. Construction of test problems for concave minimization under linear and nonlinear constraints // J. of Optimization Theory and Applications. — 1998. — Vol. 98, № 1. — P. 83-108. 

12. Vicente L., Calamai P., and Judice J. Generation of disjointly constrained bilinear programing test problems // Computational Optimization and applications. — 1992. — Vol. 1, № 3. — P. 299-306. 

13. Calamai P., Vicente L. Generating linear and linear-quadratic bilevel programming problems // SIAM J. on Scientific Computing. — 1993. — Vol. 14, № 4. — P. 770-782. — (Archive). 

14. Calamai P., Vicente L. Generating quadratic bilevel programming test problems // ACM Transactions on Mathematical Software. — 1994. — Vol. 20. — P. 103-119. 

15. Vicente L., Calamai P., and Judice J. A new technique for generating quadratic test problems // Mathematical programming. — 1993. — Vol. 61. — P. 215-231. 

16. Gaviano M., Kvasov D.E., Lera D., and Sergeyev Y.D. Algorithm 829: Software for generation of classes of test functions with known local and global minima for global optimization // ACM Transactions on Mathematical Software. — 2003. — Vol. 29, № 4. — P. 469-480. 

17. Dempe S. Foundations of Bilevel Programming. — Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 2002. 

18. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. — М.: Наука, 1976. 

19. Малышев А.В., Стрекаловский А.С. О взаимосвязи некоторых задач двухуровневой и нелинейной оптимизации // Известия вузов. Математика. — 2011. — № 4. — С. 99-103. 

20. Малышев А.В., Стрекаловский А.С. Глобальный поиск гарантированных решений в квадратично-линейных задачах двухуровневой оптимизации // Известия Иркутского государственного университета. Математика. — 2011. — Т. 4, № 1. — С. 73-82. 

21. Wiesemann W., Tsoukalas A., Kleniati P.-M., and Rustem B. Pessimistic bilevel optimization // SIAM J. on Optimization. — 2013. — Vol. 23, № 1. — P. 353-380. 

22. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. — М.: Факториал, 1998. 

23. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. — М.: Мир, 1982. 

24. Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы: Учеб. пособие. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. 

25. Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва «Наука», 1978.

 

УДК 534.18

Метод Рунге-Кутты/WENO для расчета уравнений волн малой амплитуды в насыщенной упругой пористой среде с. 259-271

Романьков Антон Сергеевич1, Роменский Евгений Игоревич2

1Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

(Novosibirsk State University, Pirogova 2, 630090, Novosibirsk, Russia)

2Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. В.А. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090

(Sobolev Institute Mathematics of SB RAS, 4 Acad. Koptyug avenue, 630090, Novosibirsk, Russia)

anton.romankov@gmail.com (Романьков А.С.), evrom@math.nsc.ru (Роменский Е.И.)

 

Аннотация

Для численного моделирования волн малой амплитуды в неподвижной насыщенной пористой упругой среде разработан метод Рунге-Кутты/WENO высокого порядка точности до четвертого порядка по времени и до пятого порядка по пространству. Система определяющих уравнений получена из общих уравнений термодинамически согласованной модели течения сжимаемой жидкости в насыщенной пористой упругой среде, представляющей собой гиперболическую систему законов сохранения, моделирующую процессы в случае конечных деформаций среды. Тестовые расчеты одномерных и двумерных волновых полей показали эффективность метода.

Ключевые слова: методы высокого порядка точности, гиперболические системы законов сохранения, насыщенные пористые упругие среды, распространение волн.

Литература

1. Роменский Е.И. Термодинамически согласованная система законов сохранения течения сжимаемой жидкости в пористой упругой среде // Сиб. журн. индустр. матем. — 2011. — Т. 14, № 4. — С. 86-97.

2. Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошной среды и законы сохранения. — Новосибирск: Научная книга, 1998.

3. Dumbser M., Zanotti O., Hidalgo A., and Balsara D.S. ADER-WENO finite volume schemes with space-time adaptive mesh refinement // J. Comput. Physics. — 2013. — Vol. 248, № 1. — P. 257-286.

4. Дмитриев М.Н., Роменский Е.И. WENO/Рунге-Кутта метод высокой точности для моделирования упругих волн // Уфимск. матем. журн. — 2010. — Т. 2, № 1. — С. 59-70.

5. Spiteri R.J., Ruuth S.J. A new class of optimal high-order strong-stability preserving time discretization methods // SIAM J. Numer. Anal. — 2002. — Vol. 40, № 2. — P. 469-491.

6. Gottlieb S. On high order strong stability preserving Runge-Kutta and multi step time discretizations // J. of Scientific Computing. — 2005. — Vol. 25, № 1, 2. — P. 105-128.

7. Shu C.W. Essentially Non-Oscillatory and Weighted Essentially Non-Oscillatory Schemes for Hyperbolic Conservation Laws — NASA/CR-97-206253, 1997. — (ICASE Report № 97-65).

8. Доровский В.Н., Роменский Е.И., Перепечко Ю.В., Федоров А.И. Резонансный метод измерения проницаемости горных пород // Геология и Геофизика. — 2011. — Т. 52, № 7. — С. 950-961.

 

AMS 65M60, 65M15, 65M12

Сходимость H1-смешанного метода конечных элементов Галеркина для параболических задач с уменьшенной регулярностью исходных данных с. 273-288

Трипати М., Синха Р. Кумар

Department of Mathematics, Indian Institute of Technology Guwahati, Guwahati, 781039, India

madhusmita.tripathy@gmail.com (Трипати М.), rajen@iitg.ernet.in (Синха Р. Кумар)

 

Аннотация

Исследуется сходимость H1-смешанного метода конечных элементов Галеркина для параболических задач в одномерном пространстве. Анализируются как полудискретные, так и полностью дискретные схемы при предположении об уменьшенной регулярности исходных данных. Точнее, для пространственно дискретной схемы установлены оценки ошибки порядка O (h2t -1/2) при предположении, что начальная функция p0 ϶ H 2(Ω) ∩ H01 (Ω). Кроме того, мы используем энергетический метод совместно с параболической дуальностью для получения оценок ошибки порядка O (h2t -1), когда p0 находится только в H01 (Ω). Анализируется дискретный во времени обратный метод Эйлера и устанавливаются границы ошибки почти оптимального порядка. 

Ключевые слова: параболические задачи, H1-смешанный метод конечных элементов Галеркина, полудискретная схема, обратный метод Эйлера, оценки ошибки.

Литература

1. Adams R.A. Sobolev Spaces. — New York: Academic Press, 1975.

2. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. — New York: Springer-Verlag, 1991.

3. Brezzi F., Douglas J., and Marini J.L.D. Two families of mixed finite elements for second order elliptic problems // Numer. Math. — 1985. — Vol. 47. — P. 217-235.

4. Campbell S.L., Brenan K.E., and Petzold L.R. Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential-Algebraic Equations. — New York: American Elsevier Science, 1989.

5. Chen H., Ewing R., and Lazarov R.D. Superconvergence of mixed finite element methods for parabolic problems with nonsmooth initial data // Numer. Math. — 1998. — Vol. 78. — P. 495-521.

6. Douglas J., Dupont T.F., and Wheeler M.F. H1-Galerkin methods for the Laplace and heat equations // Mathematical aspects of Finite Elements in Partial Differential Equations / C. de Boor. — 1975. — New York: Academic Press. — P. 383-415.

7. Johnson C., Thomèe V. Error estimates for some mixed finite element methods for parabolic type problems // RAIRO Analyse numrèrique. — 1981. — Vol. 15. — P. 41-78.

8. Luskin M., Rannacher R. On the smoothing property of the Galerkin method for parabolic equations // SIAM J. Numer. Anal. — 1982. — Vol. 19, № 1. — P. 93-113.

9. Neittaanmӓki P., Saranen J. A mixed finite element method for the heat flow problem // BIT. — 1981. — Vol. 21, iss. 3. — P. 342-346.

10. Pani A.K. An H1-Galerkin mixed finite element method for parabolic partial differential equations // SIAM J. Numer. Anal. — 1998. — Vol. 35, № 2. — P. 712-727.

11. Pani A.K., Das P.C. An H1-Galerkin method for quasilinear parabolic partial differential equations // Methods of Functional Analysis in Approximation Theory / C.A. Micchelli, D.V. Pai, and B.V. Limaye. ISNM 76. — Basel: Birkhӓuser-Verlag, 1986. — P. 357-370.

12. Pani A.K., Fairweather G. H1-Galerkin mixed finite element methods for parabolic partial integro-differential equations // IMA J. Numer. Anal. — 2002. — Vol. 22. — P. 231-252.

13. Pehlivanov A.I., Carey G.F., and Lazarov R.D. Least-squares mixed finite elements for second order elliptic problems // SIAM J. Numer. Anal. — 1994. — Vol. 31, № 5. — P. 1368-1377.

14. Raviart P.A., Thomas J.M. A Mixed Finite Element Method for Second Order Elliptic Problems. — New York: Springer-Verlag, 1977. — P. 293-315. — (Lecture Notes in Mathematics; 606).

15. Thomée V. Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems. 2nd Ed. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2006.

УДК 512.64, 519.61

Об интервальных матрицах полного ранга с. 289-304

Шарый Сергей Петрович

Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

(Institute of computationatl technologies SB RAS, pr. Lavrentjeva, 6, 630090, Novosibirsk, Russia)

shary@ict.nsc.ru

 

Аннотация

Для интервальных матриц рассматривается задача определения полноранговости. Предложены признак полноранговости, основанный на выделении подматрицы с диагональным преобладанием, а также признаки на основе псевдообращения средней матрицы и сравнения норм матриц середин и радиусов исследуемой интервальной матрицы.

Ключевые слова: интервальная матрица, полный ранг, признак полноранговости.

Литература

1. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. — СПб.: БХВ, 2006.

2. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984.

3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Физматлит, 2010.

4. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999.

5. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. — М.: Мир, 2001.

6. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. — М.: Мир, 1964.

7. Ерохин В.И. Оптимальная матричная коррекция и регуляризация несовместных линейных моделей // Дискретный анализ и исследование операций. — 2002. — Т. 9, № 2. — С. 41-77.

8. Ерохин В.И. Необходимые и достаточные условия невырожденности интервальных матриц // Междунар. конф. по вычисл. Математике МКВМ-2004. Рабочие совещания / Ю.И. Шокин и др. — Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2004. — С. 193-200.

9. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. — Новосибирск: Наука, 1986.

10. Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1982.

11. Родионова О.Е. Интервальный метод обработки результатов многоканальных экспериментов: Дис. … д-ра физ.-мат. наук. — М.: Институт физической химии РАН, 2008.

12. Задачи линейной оптимизации с неточными данными / М. Фидлер, Й. Недома, Я. Рамик, И. Рон, К. Циммерманн. — М.: Ижевск: Изд-во РХД, 2008.

13. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М.: Мир, 1989.

14. Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ. — Новосибирск: Институт вычислительных технологий СО РАН, 2013. — Электронная книга, \\ URL: http://www.nsc.ru/interval/Library/InteBooks/SharyBook.pdf

15. Шарый С.П. Разрешимость интервальных линейных уравнений и анализ данных с неопределённостями // Автоматика и Телемеханика. — 2012. — № 2. — С. 111-125.

16. Berman A., Plemmons R.J. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences. — New York: Academic Press, 1979.

17. Naimark L., Zeheb E. An extension of Levy-Desplanque theorem and some stability conditions for matrices with uncertain entries // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications. — 1997. — Vol. 44, № 2. — P. 167-170.

18. Nemirovski A. Several NP-hard problems arising in robust stability // Mathematics of Control Signals and Systems. — 1993. — Vol. 6, № 2. — P. 99-105.

19. Neumaier A. Interval Methods for Systems of Equations. — Cambridge: Cambridge University Press, 1990.

20. Poljak S., Rohn J. Checking robust nonsingularity is NP-hard // Mathematics of Control Signals and Systems. — 1993. — Vol. 6, № 1. — P. 1-9.

21. Rex G., Rohn J. Sufficient conditions for regularity and singularity of interval matrices // SIAM J. Matrix Anal. Appl. — 1999. — Vol. 20, № 2. — P. 437-445.

22. Rohn J. Enclosing solutions of overdetermined systems of linear interval equations // Reliable Computing. — 1996. — Vol. 2, № 2. — P. 167-171.

23. Rohn J. A Handbook of Results on Interval Linear Problems. — Institute of Computer Science, Academy of Sciences of the Czech Republic: Prague, 2012. — E-book, \\ URL: http://www.nsc.ru/interval/Library/InteBooks/!handbook.pdf.

24. Rump S.M. Verification methods for dense and sparse systems of equations // Topics in Validated Numerics / J. Herzberger. — Amsterdam: Elsevier, 1994. — P. 63-135.

25. Scilab: The Free Platform for Numerical Computation: e-resource. URL: http: //www.scilab.org. 

 

УДК 551.482.215.1

Численная модель плотностных течений в устьевых областях сибирских рек с. 305-313

Шлычков Вячеслав A.1, Крылова Aлла Ивановна 2,3

1Институт водных и экологических проблем Сибирского отделения Российской академии наук, Морской просп., 2, Новосибирск, 630090 (Institute for Water and Environmental Problems, 630090, Novosibirsk, Russia)

2Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

(Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, pr. Lavrentjeva, 6, 630090, Novosibirsk, Russia)

3Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

(Novosibirsk State University, Pirogova 2, 630090, Novosibirsk, Russia)

slav@ad-sbras.nsc.ru; slav@iwep.nsc.ru (Шлычков В.A.), alla@climate.sscc.ru (Крылова A.И.)

 

Аннотация

Представлена численная модель для исследования динамического смешения морских и речных вод в устьевой области. В основу модели положены двумерные продольно-вертикальные уравнения механики стратифицированной жидкости и уравнение переноса соли. Модель ориентирована на воспроизведение локальных плотностных течений в устье рукавов разветвленных дельт сибирских рек. Приводятся результаты численных экспериментов, динамическая структура потока и профиль солености сопоставляются с данными наблюдений.

Ключевые слова: численное моделирование, турбулентность, градиентно-плотностные течения, речной поток, морская акватория, перенос соли.

Литература

1. Самолюбов Б.И. Плотностные течения и диффузия примесей. — M.: Изд-во ЛКИ, 2007.

2. Иванов В.В., Святский А.З. Численное моделирование вторжения морских вод в устья рек в сезонном временном масштабе // Водные ресурсы.-- 1987. — № 5. — С. 46-51.

3. Vasiliev O.F., Dumnov S.V. A two-dimensional model for salt water intrusion in a estuary // Proc. of the XX IAHR Congress. Moscow. USSR. — 1983. — Vol. 2. — P. 10-16.

4. Доронин Ю.П. Моделирование вертикальной структуры устьевой области реки с морским галоклином // Метеорология и гидрология. — 1992. — № 8. — С. 76-83.

5. Система моря Лаптевых и прилегающих морей Арктики. Современное состояние и история развития / Отв. редакторы: Х. Кассенс, А.П. Лисицын, Й. Тиде, Е.И. Полякова, Л.А. Тимохов, И.Е. Фролов. — М.: Изд-во МГУ, 2009.

6. Овчинникова Т.Э., Бочаров О.Б. О влиянии минерализованных теплых вод притока на развитие весенне-летней конвекции в глубоком озере // Вычислительные технологии. — 2006. — Т. 11, № 1. — С. 71-80.

7. Марчук Г.И., Кочергин В.П., Саркисян А.С. и др. Математические модели циркуляции в океане. — Новосибирск: Наука. Сибирское отд-ние, 1980.

8. Васильев О.Ф., Воеводин А.Ф., Никифоровская В.С. Численное моделирование стратифицированных течений в системах открытых русел и водоемах разветвленной формы // Вычислительные технологии. — 2004. — Т. 9, № 2. — С. 26-41.

9. Chen C.T., Millero F.J. Precise thermodynamic properties for natural waters covering only the limnological range // Limnol. Oceanogr. — 1986. — Vol. 31, № 3. — P. 657-662.

10. Молчанов В.Н. Численная модель циркуляции вод на устьевом взморье с учетом эффектов жидкого, теплового и ионного стоков // Тр. Арктического и Антарктического научно-исследовательского института. — 1976. — Т. 314. — С. 36-43.

11. Бочаров О.Б., Васильев О.Ф., Овчинникова Т.Э. Двумерная вертикальная модель гидротермических процессов в температурно-стратифицированном водоеме вытянутой формы // Докл. РАН. — 1994. — Т. 339, № 3. — С. 327-330.

12. Роди В. Модели турбулентности окружающей среды // Методы расчета турбулентных течений / Под ред. В. Кольмана. — М.: Мир, 1984. — С. 227-322.

13. Шлычков В.А. Численная модель для уравнений мелкой воды на криволинейной сетке с сохранением интеграла Бернулли // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2012. — Т. 52, № 7. — С. 1317-1324.

14. Kassens H. Russian-German Cooperation in the Siberian Shelf Seas: Geo-System Laptev Sea. — Bremerhaven: Alfred-Wegener-Institut für Polar und Meeresforschung, 1994.

15. Симонов А.И. Гидрология и гидрохимия вод устьевого взморья в морях без приливов. — M.: Гидрометеоиздат, 1969.

Номер 4, с. 315-429

 

Первая страница в номере 

ПАМЯТИ академика Бориса Григорьевича Михайленко

 

Некролог

------------------------------------------------------------------------------------------------

УДК 681.3.06; 681.323

Клеточные автоматы с динамической структурой для моделирования роста биологических тканей с. 315-327 

Витвицкий Антон Александрович

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

(Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, pr. Lavrentieva, 6, Novosibirsk, Russia, 630090)

vitvit@ssd.sscc.ru

 

Аннотация

Предложено понятие клеточного автомата с динамической структурой клеточного пространства (ДКА), которое расширяет возможности классических клеточных автоматов (КА) и позволяет применять клеточно-автоматный подход к задачам моделирования роста биологических тканей. ДКА отличаются от классических КА тем, что структура пространства клеток ДКА может изменяться во времени, а межклеточные связи описываются явно при помощи матрицы соседства. Для ДКА также введены оператор вставки и оператор разбиения клеточного массива, позволяющие динамически менять структуру пространства клеток. На основе этого расширения построена ДКА-модель роста апикальной меристемы побега растения Arabidopsis Thaliana, состоящая из параллельной композиции двух ДКА: асинхронного двухмерного ДКА, моделирующего взаиморегуляцию веществ в биологических клетках, и синхронного одномерного ДКА,моделирующего рост и деление этих биологических клеток. Результаты компьютерного моделирования показали, что поведение предложенной ДКА-модели соответствует поведению существующей модели, основанной на композиции дифференциальных уравнений и метода L-системы (системы Линденмайера). Кроме того, предложенная ДКА-модель позволила ввести имитационный рост отдельных биологических клеток, а также визуализировать динамику веществ в этих клетках (распад, диффузию и синтез).

Ключевые слова: компьютерное моделирование, клеточные автоматы, клеточные автоматы с динамической структурой, морфогенез, апикальная меристема побега, Arabidopsis Thaliana.

Литература

1. Николаев С.В., Зубаирова У.С., Фадеев С.И., Мьолснесс Э., Колчанов Н.А. Исследование одномерной модели регуляции размеров возобновительной зоны в биологической ткани с учетом деления клеток // Сиб. журн. индустр. математики. — 2010. — Т. 13, № 4. — С. 70-82.

2. Swat M., Belmonte J., Heiland R., Zaitlen B., Glazier J., and Shirinifard A. CompuCell3D Reference Manual — http://www.compucell3d.org/Manual/.

3. Лазарева Г.Г., Миронова В.В., Омельянчук Н.А., Шваб И.В., Вшивков В.А., Горпинченко Д.Н., Николаев С.В., Колчанов Н.А. Математическое моделирование морфогенеза растений // Сиб. журн. вычисл. математики. / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2008. — Т. 11, № 2. — С. 151-166.

4. Wolfram S. A New Kind of Science. — Champaign, Ill., USA: Wolfram Media Inc., 2002.

5. Бандман О.Л. Клеточно-автоматные модели пространственной динамики // Системная информатика. — 2005. — Вып. 10. — С. 57-113.

6. Бандман О.Л. Параллельная реализация клеточно-автоматных алгоритмов моделирования пространственной динамики // Сиб. журн. вычисл. математики. / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2007. — Т. 10, № 4. — С. 335-348.

7. Зубаирова У.С., Пененко А.В., Николаев С.В. Моделирование роста и развития растительных тканей в формализме L-систем // Вавиловский журнал генетики и селекции. — 2012. — Т. 16, № 4/1. — С. 816-824.

8. Toffolli T. Computation and construction universality of reversible automata // J. of Computer and System Science. — 1977. — Vol. 15, iss. 2. — P. 213-231. 

 

УДК 519.853.32 

Минимизация квадратичной функции на шаре с. 329-338

Котельников Евгений Алексеевич 

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

(Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, pr. Lavrentieva, 6, Novosibirsk, Russia, 630090)

 

Аннотация

В работе предлагается последовательный алгоритм решения задачи минимизации квадратичной функции на шаре. На каждой итерации схемы решается двухмерная задача минимизации. Приведены численные сравнения с другими методами. 

Ключевые слова: квадратичная минимизация на шаре, разложение Холесского, доверительная область, траектория шага, квадратичная модель. 

Литература 

1. Hager W.W. Minimizing a quadratic over a sphere // SIAM J. Optim. — 2001. — Vol. 12, iss. 1. — P. 188-208. 

2. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. — М.: Мир, 1988. 

3. Забиняко Г.И., Ходаев Ю.В. О применении метода доверительной области к минимизации функций // Тр. Вычислительного центра СО РАН. Сер. Системное моделирование. — Новосибирск. — 1995. — Bып. 3 (21). — С. 47-54. 

4. Котельников Е.А. Об одном способе выбора шага в методе доверительной области // Проблемы информатики. — 2013. — Т. 1, № 18. — С. 16-26.

 

УДК 517.397 

Для каких обратных задач априорная оценка точности приближенного решения может иметь порядок ошибки данных с. 339-348 

Леонов Александр Сергеевич 

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ), Каширское шоссе, 31, Москва, 115409

(National Research Nuclear University MEPhI (Moscow Engineering Physics Institute) 115409, Moscow, Kashirskoe shosse, 31)

asleonov@mephi.ru, ilposed@sumail.ru

 

Аннотация

Доказывается, что глобальная априорная оценка точности приближенных решений линейного операторного уравнения первого рода с возмущенными данными может иметь тот же порядок точности, что и у приближенных данных задачи, только для корректных по Тихонову задач. Предлагается метод оценки качества множества корректности, выбранного для решения обратной задачи, по сравнению с другими множествами. Использование «обобщенного метода невязки на множестве корректности» позволяет устойчиво решить обратную задачу и получить апостериорную оценку точности приближенного решения сравнимую по порядку с точностью данных задачи. Методика иллюстрируется вычислительным примером.

Ключевые слова: линейные обратные задачи, априорная и апостериорная оценка точности, корректность по Тихонову.

Литература

1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1979. 

2. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. — М.: Наука, 1986. 

3. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1989. 

4. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. — Новосибирск: Изд-во СОАН СССР, 1962. 

5. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — М.: Наука, 1978. 

6. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. — М.: Наука, 1981. 

7. Танана В.П., Рекант М.А., Янченко С.И. Оптимизация методов решения операторных уравнений. — Свердловск: Изд-во Уральского университета, 1987. 

8. Engl H.W., Hanke M., and Neubauer A. Regularization of Inverse Problems. — Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 1996. 

9. Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю. Итерационные методы решения некорректных операторных уравнений с гладкими операторами. — М.: Едиториал УРСС, 2002. 

10. Bakushinsky A.B., Kokurin M.Yu. Iterative Methods for Approximate Solution of Inverse Problems. — Dordrecht: Springer, 2004. 

11. Винокуров В.А. О погрешности приближенного решения линейных обратных задач // ДАН СССР. — 1979. — Т. 246, № 4. — С. 792-793. 

12. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. — М.: Наука, 1987. 

13. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. — M.: Наука, 1995. 

14. Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. — M.: Мир, 1969. 

15. Тихонов А.Н. Oб устойчивости обратных задач // ДАН СССР. — 1943. — Т. 39, № 5. — С. 195-198. 

16. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1990. 

17. Ягола А.Г., Дорофеев К.Ю. Метод расширяющихся компактов решения некорректных задач при условии истокопредставимости // Вестник Московского университета. Сер. 3. Физика. Астрономия. — 1999. — № 2. — С. 64-66. 

18. Titarenko V.N., Yagola A.G., Dorofeev K.Yu., and Nikolaeva N.N. New approach to error estimation to ill-posed problems with applications to inverse problems of heat conductivity // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. — 2002. — Vol. 10, № 2. — P. 155-170. 

19. Леонов А.С. Решение некорректно поставленных обратных задач. Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в МАТЛАБ. — М.: УРСС, 2010. 

20. Леонов А.С. Численная реализация специальных регуляризующих алгоритмов для решения одного класса некорректных задач с истокообразно представимыми решениями // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2001. — Т. 4, № 3. — С. 269-280. 

 

УДК 519.6

Численные стохастические модели поверхности морского волнения и гигантских океанических волн с. 349-361 

Литвенко Кристина Валерьевна, Пригарин Сергей Михайлович 

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

(Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, pr. Lavrentieva, 6, Novosibirsk, Russia, 630090)

Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

(Novosibirsk State University, Pirogova 2, Novosibirsk, Russia, 630090)

litchristina@gmail.com (Литвенко К.В.), sergeim.prigarin@gmail.com (Пригарин С.М.)

 

Аннотация  

Работа посвящена численному моделированию пространственно-временнόй стохастической структуры поверхности морского волнения и гигантских океанических волн-убийц. Численные алгоритмы строятся на основе условных спектральных моделей случайных полей и моделей временных рядов с использованием данных наблюдений. Изучаются оценки частоты возникновения гигантских волн на основе теории выбросов случайных процессов и полей. 

Ключевые слова: численное моделирование случайных полей, условные спектральные модели, временные ряды, поверхность морского волнения, гигантские океанические волны. 

Литература 

1. Pelinovsky E., Kharif Ch. Extreme Ocean Waves / E. Pelinovsky, Ch. Kharif. — Berlin: Springer, 2008. 

2. Куркин А.А., Пелиновский Е.Н. Волны-убийцы: факты, теория и моделирование. — Нижний Новгород.: Нижегородский государственный технический университет, 2004. 

3. Prigarin S.M. Conditional spectral models of Gaussian homogeneous fields // Russ. J. of Numerical Analysis and Math. Modelling. — 1998. — Vol. 13, № 1. — P. 57-68. 

4. Анваров С.Р., Пригарин С.М. Численное моделирование пространственно-временной структуры поверхности морского волнения для решения оптических задач // Оптика атмосферы и океана. — 1994. — Т. 7, № 5. — С. 685-693. 

5. Kargin B.A., Oppel U.G., Prigarin S.M. Simulation of the undulated sea surface and study of its optical properties by Monte Carlo method // Proc. SPIE. — 1999. — Vol. 3583. — P. 316-324. 

6. Каргин Б.А., Пригарин С.М. Имитация поверхности морского волнения и исследование ее оптических свойств методом Монте-Карло // Оптика атмосферы и океана. — 1992. — Т. 5, № 3. — С. 285-291. 

7. Товстик П.Е., Товстик Т.М., Шеховцов В.А. О влиянии формы спектральной плотности случайного волнения на колебания морской стационарной платформы // Вестник СПбГУ. — 2012. — Сер. 1., вып. 2. — С. 61-68. 

8. Давидан И.М., Лопатухин Л.И., Рожков В.А. Ветровое волнение в Мировом океане. — Л.: Гидрометеоиздат, 1985. 

9. Крылов Ю.М. Спектральные методы исследования и расчета ветровых волн. — Л.: Гидрометеоиздат, 1966. 

10. Kraichnan R.H. Diffusion by a random velocity field // Phys. Fluids, — Vol. 13, № 1. — P. 22-31. 

11. Matheron G. The intrinsic random functions and their applications // Advances in Applied Probability. — 1973. — № 5. — P. 439-468. 

12. Orfeuil J.P. Simulation du Wiener-Lévi et de ses Intégrales. — Fontaineblau: Centre de Morphologie Mathématique, 1972. — (Internal report). 

13. Shinozuka M. Simulation of multivariate and multidimensional random processes // J. of Acoust. Soc. Am. — Vol. 49. — P. 357-368. 

14. Михайлов Г.А. Численное построение случайного поля с заданной спектральной плотностью // ДАН СССР. — 1978. — Т. 238, № 4. — С. 793-795. 

15. Михайлов Г.А. Приближенные модели случайных процессов и полей // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1983. — Т. 23, № 3. — С. 558-566. 

16. Kurbanmuradov O. Weak convergence of approximate models of random fields // Russ. J. Num. Anal. and Math. Modell. — 1995. — 10, № 6. — P. 500-517. 

17. Kramer P., Kurbanmuradov O., Sabelfeld K. Comparative analysis of multiscale Gaussian random field simulation algorithms // J. Comp. Phys. — 2007. — Vol. 226, iss. 1. — P. 897-924. 

18. Prigarin S.M. Spectral Models of Random Fields in Monte Carlo Methods. — Utrecht: VSP, 2001. 

19. Пригарин С.М. Методы численного моделирования случайных процессов и полей. — Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2005. 

20. Михайлов Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. — М.: Наука, 1987. 

21. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. — М.: Наука, 1968. 

22. Тихонов В.И., Хименко В.И. Выбросы траекторий случайных процессов. — М.: Наука, 1987. 

23. Lehner S.H. Extreme wave statistics from radar data sets // Geoscience and Remote Sensing Symposium, 2004. IGARSS'04. Proc. 2004 IEEE International. — 2004. — Vol. 3. — P. 1880-1883. 

24. Nikolkina I., Didenkulova I. Rogue waves in 2006-2010 // Nat. Hazards Earth Syst. Sci. — 2011. — Vol. 11, № 11. — P. 2913-2924. 

25. Baschek B., Imai J. Rogue wave observations off the US West Coast // Oceanography. — 2011. — Vol. 24, № 2. — P. 158-165. 

 

УДК 517.958

О нахождении точных решений двумерного уравнения эйконала для случая, когда фронт волны, распространяющейся в среде, является окружностью с. 363-372

Москаленский Ефим Давыдович

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

(Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, pr. Lavrentieva, 6, Novosibirsk, Russia, 630090)

edm@omzg.sscc.ru

 

Аннотация  

           Рассматривается задача о распространении в двумерной среде волны, фронт которой в каждый момент времени t представляет собой окружность с центром в точке (a(t),0) и радиусом r(t). Ставится вопрос, каково в этом случае распределение скоростей в среде. Приведены общие характеристики и примеры таких сред. 

Ключевые слова: распространение волн, фронт волны, уравнение эйконала. 

Литература 

1. Гурвич И.И., Боганик Г.Н. Сейсмическая разведка. — М.: Недра, 1980.

2. Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. — М.: Либроком, 2010. 

3. Москаленский Е.Д. О нахождении точных решений двумерного уравнения эйконала // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2009. — Т. 12, № 2. — С. 201-209. 

4. Энциклопедия элементарной математики. Книга 4. Геометрия. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. 

 

AMS 65L05, 65L06

L(α)-устойчивые неявные методы Рунге-Кутты переменного порядка со второй производной с. 373-387

Окуонгае Р.И., Ихиле М.Н.О

Department of Mathematics, University of Benin, P.M.B 1154, Benin City, Edo state, Nigeria
okunoghae01@yahoo.co.uk (Окуонгае Р.И.), mnoikhilo@yahoo.com (Ихиле М.Н.О.)

 

Аннотация  

           В данной статье рассматривается обобщение популярных методов Рунге-Кутты (МРК) до методов Рунге-Кутты со второй производной (МРКВП) для прямого решения жестких начальных задач (НЗ) обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В этих методах используется техника коллокации и интерполяции. Последняя стадия входной аппроксимации идентична методу на выходе. МРКВП являются L(α)-устойчивыми для исследуемых методов. Приводятся численные эксперименты, в которых один из этих методов сравнивается с методом Рунге-Кутты с двумя производными (МРКДП) и линейным многошаговым методом со второй производной (ЛММВП).

Ключевые слова: вторая производная, метод Рунге-Кутты, коллокация, интерполяция. 

Литература 

1. Butcher J.C. A multistep generalization of Runge Kutta methods with four or five stages // J. ACM. — 1967. — Vol. 14, № 1. — P. 84-99. 

2. Butcher J.C. The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations: Runge Kutta and General Linear Methods. — Chichester: Wiley, 1987. 

3. Butcher J.C. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. Second Edition. — Chichester: Wiley, 2008. 

4. Butcher J.C. Trees and numerical methods for ordinary differential equations // Numerical Algorithms. — 2010. — Vol. 53. — P. 153-170. 

5. Dahlquist G. A special stability problem for linear multistep methods // BIT. — 1963. — Vol. 3. — P. 27-43. 

6. Enright W.H. Second derivative multistep methods for stiff ODEs // SIAM. J. Numer. Anal. — 1974. — Vol. 11, iss. 2. — P. 321-331. 

7. Fatunla S.O. Numerical Methods for Initial Value Problems in ODEs. — New York: Academic Press, 1988. 

8. Hairer E., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems. — Berlin: Springer-Verlag, 1996. 

9. Kastlunger K.H., Wanner G. Runge Kutta processes with multiple nodes // Computing (Arch. Elektron. Rechnen). — 1972. — P. 9-24. 

10. Kastlunger K.H., Wanner G. On Turan type implicit Runge Kutta methods // Computing (Arch. Elektron. Rechnen). — 1972. — P. 317-325. 

11. Chan R.P.K., Tsai A.Y.J. On explicit two-derivative Runge Kutta methods // Numerical Algorithms. — 2010. — Vol. 53, № 2-3. — P. 171-194. 

12. Tsai A.Y.J. Two-derivative Runge Kutta methods for differential equations // Ph.D. Thesis. — New Zealand, Auckland: University of Auckland, 2011. 

13. Ikhile M.N.O., Okuonghae R.I. Stiffly stable continuous extension of second derivative LMM with an off-step point for IVPsin ODEs // J. Nig. Assoc. Math. Physics. — 2007. — Vol. 11. — P. 175-190. 

14. Okuonghae R.I. Stiffly Stable Second Derivative Continuous LMM for IVPs in ODEs // Ph.D. Thesis. — Nigeria, Benin City: Dept. of Math., University of Benin, 2008. 

15. Okuonghae R.I. A class of continuous hybrid LMM for stiff IVPs in ODEs // Annals of the Alexandru Ioan Cuza University. Mathematics. — 2012. — Vol. LVIII, iss. 2. — P. 239-258. 

16. Okuonghae R.I, Ikhile M.N.O. A continuous formulation of L(α)-stable second derivative linear multistep methods for stiff IVPs and ODEs // J. of Algorithms and Comp. Technology. — 2011. — Vol. 6, № 1. — P. 79-101. 

17. Okuonghae R.I., Ogunleye S.O., and Ikhile M.N.O. Some explicit general linear methods for IVPs in ODEs // J. of Algorithms and Comp. Technology. — 2013. — Vol. 7, № 1. — P. 41-63. 

18. Okuonghae R.I., Ikhile M.N.O. A(α)-stable linear multistep methods for stiff IVPs in ODEs // Acta Univ. Palacki. Olomuc., Fac. rer. nat., Mathematica. — 2011. — Vol. 50, № 1. — P. 75-92. 

19. Okuonghae R.I., Ikhile M.N.O. The numerical solution of stiff IVPs in ODEs using modified second derivative BDF // Acta Univ. Palacki. Olomuc., Fac. rer. nat., Mathematica. — 2012. — Vol. 51, № 1. — P. 51-77. 

20. Okuonghae R.I., Ikhile M.N.O. On the construction of high order L(α)-stable hybrid linear multistep methods for stiff IVPs and ODEs // Numerical Analysis and Appl. — 2012. — Vol. 5, № 3. — P. 231-241. 

21. Okuonghae R.I., Ikhile M.N.O. A class of hybrid linear multistep methods with L(α)-stability properties for stiff IVPs in ODEs // J. of Numerical Mathematics. — 2013. — Vol. 21, № 2. — P. 157-172. 

22. Stoer J., Bulirsch R. Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.). — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002.

УДК 519.24

Новый непараметрический статистический критерий для задач с тремя выборками, частный случай которого эквивалентен критерию Уитни с. 389-397 

Салов Геннадий Иосифович 

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

(Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, pr. Lavrentieva, 6, Novosibirsk, Russia, 630090)

sgi@ooi.sscc.ru

 

Аннотация  

       Предлагается новый непараметрический статистический критерий (тест) для проверки гипотезы однородности трех выборок против альтернативной гипотезы, состоящей в том, что случайные величины одной из этих выборок имеют тенденцию быть стохастически больше случайных величин каждой из двух других выборок по отдельности. Известный критерий Уитни эквивалентен частному случаю нового критерия. Сравниваются мощности этих критериев в случаях с экспоненциальными и равномерными распределениями.

Ключевые слова: три выборки, критерий однородности, непараметрический статистический критерий. 

Литература 

1. Cалов Г.И. Новый статистический критерий для задач с двумя и тремя выборками, более мощный, чем критерии Вилкоксона и Уитни // Автометрия. — 2011. — Т. 47, № 4. — С. 58-70. 

2. Cалов Г.И. О мощности одного нового статистического критерия и двухвыборочного критерия Вилкоксона // Автометрия. — 2014. — Т. 50, № 1. — С. 44-59. 

3. Whitney D.R. A bivariate extension of the U statistic // Annals of Mathematical Statistic. — 1951. — Т. 22. — P. 274-282. 

4. Mann H.B., Whitney D.R. On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other // Annals of Mathematical Statistic. — 1947. — Vol. 18. — P. 50-60. 

5. Cалов Г.И. О мощности непараметрических критериев для обнаружения протяженных объектов на случайном фоне // Автометрия. — 1997. — № 3. — С. 60-75. 

6. Wilks S.S. Order statistics // Bull. Amer. Math. Soc. — 1948. — Vol. 54. — P. 5-50. 

7. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. — М.: Наука, 1977.

УДК 518.12+519.34

Сеточный вариант нестандартного тригонометрического базиса и его преимущества относительно аналогичного полиномиального базиса с. 399-409

Смелов Владислав Владимирович 

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

(Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, pr. Lavrentieva, 6, Novosibirsk, Russia, 630090) vl.smelov@gmail.com

 

Аннотация  

В сеточном варианте предложен основанный на тригонометрии функциональный базис, ориентированный на аппроксимацию с высоким порядком точности гладких и кусочно-гладких функций. Дается сравнительный анализ качеств предложенного и полиномиального базисов. Показано преимущество тригонометрического варианта перед полиномиальным. 

Ключевые слова: функциональный базис, эллиптический оператор, энергетическое скалярное произведение, функционал, обобщенное решение, условие сопряжения. 

Литература 

1. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1981. 

2. Смелов В.В. Задачи Штурма-Лиувилля и разложения функций в быстросходящиеся ряды. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 

3. Смелов В.В. О представлении кусочно-гладких функций быстросходящимися тригонометрическими рядами // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. —Новосибирск, 1999. — Т. 2, № 4. — С. 385-394. 

4. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. — М.: Наука, 1983. 

5. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. — М.: Наука, 1965. 

6. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1966. 

7. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука, 1970. 

8. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. -М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. 

9. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1971. 

10. Глесстон С., Эдлунд М. Основы теории ядерных реакторов. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1954. 

11. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. — М.: Атомиздат, 1981. 

12. Смелов В.В. Лекции по теории переноса нейтронов. — М.: Атомиздат, 1978. 

13. Смелов В.В. Об обобщенном решении двумерной эллиптической задачи с кусочно-постоянными коэффициентами на основе расщепления дифференциального оператора и использования специфических базисных функций // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2003. — Т. 6, № 1. — С. 59-72.

УДК 519.624.3+519.632.6+519.642 

Итерационная схема нахождения спектра от произведения двух некоммутативных операторов с. 411-427 

Тараканов Виктор Иванович, Лысенкова Светлана Александровна, Нестеренко Мария Владимировна

Сургутский государственный университет, пр. Ленина, 1, г. Сургут, Тюменская обл., ХМАО-Югра, 628400

(Surgut State University of KHMAO, Lenien Ave. 1, Surgut, 628400)

sprtdv@mail.ru (Тараканов В.И.), lsa1108@mail.ru (Лысенкова С.А.), chernaya@gmail.com  (Нестеренко М.В.)

 

Аннотация

Рассматриваются спектральные свойства и итерационная схема нахождения спектра от произведения двух некоммутативных частично симметричных операторов в гильбертовом пространстве H, при этом предполагается, что один из операторов является компактным, а второй не обязательно компактным и даже ограниченным в H, но их произведение является компактным в H. Приводится численная реализация итерационной схемы для нахождения спектра оператора при численном решении задачи о собственных колебаниях балки Релея.

Ключевые слова: оператор, спектр, итерационный алгоритм.

Литература

1. Гильберт Д. Избранные труды. В 2 томах. Том 2. Анализ. Физика. Проблемы. Personalia. — М.: Факториал, 1998.

2. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979.

3. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. — М.: Изд-во МГУ, 1989.

4. Тараканов В.И. Уравнения с компактными операторами в гильбертовом пространстве и итерационные алгоритмы их решения. — Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2007.

5. Никифоров И.В., Тараканов В.И. Методы селективного численного анализа спектра оператора, компактного в гильбертовом пространстве // Вычислительные технологии. — 2004. — Т. 9, № 3. — С. 58-71.

6. Тараканов В.И., Нестеренко М.В. Итерационные алгоритмы исследования и численного решения спектральных задач для линейного пучка компактных, частично симметричных операторов // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2010. — Т. 13, № 3. — С. 343-359.

7. Тараканов В.И., Лысенкова С.А. Итерационные алгоритмы определения устойчивости уравнения колебаний при наличии демпфирования // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2012. — Т. 15, № 1. — С. 103-119.

8. Tarakanov V.I., Nesterenko M.V. Iterative algorithm of investigation and numerical solving spectral problems for a linear bunch of compact, partially symmetrical operators //Numerical Analysis and Application. — 2010. — Vol. 3, iss. 3. — P. 279-293. — (DOI: 10.1134/S 1995423910030079).

9. Tarakanov V.I., Lysenkova S.A. Iterative algorithm of determining the stability of an equation of oscillations with damping // Numerical Analysis and Application. — 2012. — Vol. 5, iss. 1. — P. 84-98. — (DOI: 10.1134/S1995423912010089).

10. Крейн С.Г. Функциональный анализ. Справочник. — М.: Наука, 1972.

11. Садовничий В.А. Теория операторов. — М.: Изд-во МГУ, 1986.

12. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. — Л.: Изд-во «Политехник», 1990.

13. Стретт Дж. В. (лорд Релей) Теория звука. Пер. с 3-го англ. издания 1926 г., 1-го издания в 1878 г. — М.-Л.: Гостехиздат, 1940.

14. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1962.

Замеченные опечатки с. 429-429

В № 3, T. 17, 2014 г. в статье: Н.А. Луценко, Г.В. Тарасов, К.А. Гырник "OpenMP версия параллельного алгоритма расчета нестационарных течений газа через пористые объекты с источниками энерговыделения: анализ и применение" были допущены опечатки:

 

1) на с. 229  в ссылках на гранты следует читать:

 Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (соглашение № 14.Y26.31.0003), РФФИ (проекты № 12-01-31064-мол-а, № 14-01-90008-Бел_а), Российской академии наук (программа № 18), ДВФУ, ДВО РАН.

2) На с. 240 во второй строке с формулами (12 строка сверху последняя формула) следует читать:

Q0=105 Дж/(м3с)