Сибирский журнал вычислительной математики

Том 20, 2017

Номер 1, c. 1-120
Номер 2, c. 121-221
Номер 3, с. 223-344
Номер 4, c. 345-451

 

Номер 1, c. 1-120

Приближенное решение задачи прогнозирования для стохастических систем диффузионно-скачкообразного типа, с. 1-13

Аверина Татьяна Александровна1,2 , Рыбаков Константин Александрович3

1Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

2Новосибирский национальный исследовательский государственный университет (НГУ), ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

3Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993

ata@osmf.sscc.ru (Аверина Т.А.), rkoffice@mail.ru (Рыбаков К.А.)

 

Аннотация

В статье развивается новый подход к решению задачи прогнозирования для нелинейных стохастических дифференциальных систем с пуассоновской составляющей в уравнении объекта наблюдения. В основе предлагаемого подхода лежит метод статистических испытаний, а именно моделирование специального случайного процесса с разрывами, обрывами и ветвлениями траекторий. При решении задачи прогнозирования применяются методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений и методы моделирования неоднородных пуассоновских потоков.

УДК 519.676

DOI: 10.15372/SJNM20170101

Ключевые слова: апостериорная плотность вероятности, ветвящиеся процессы, метод статистических испытаний, оптимальная фильтрация, прогнозирование, стохастическая система, уравнение Дункана-Мортенсена-Закаи, уравнение Колмогорова-Феллера.

Литература

1. Параев Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М.: Советское радио, 1976.

2. Пугачев В.С., Синицын И.Н. Теория стохастических систем. М.: Логос, 2004.

3. Синицын И.Н. Фильтры Калмана и Пугачева. М.: Логос, 2007.

4. Рыбаков К.А. Алгоритмы прогнозирования состояний в стохастических дифференциальных системах на основе моделирования специального ветвящегося процесса // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2015. № 1. С. 25-38.

5. Рыбаков К.А. Сведение задачи нелинейной фильтрации к задаче анализа стохастических систем с обрывами и ветвлениями траекторий // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2012. № 3. С. 91-110.

6. Рыбаков К.А. Модифицированный алгоритм оптимальной фильтрации сигналов на основе моделирования специального ветвящегося процесса // Авиакосмическое приборостроение. 2013. № 3. С. 15-20.

7. Рыбаков К.А. Приближенное решение задачи оптимальной нелинейной фильтрации для стохастических дифференциальных систем методом статистических испытаний // Сиб. журн. вычисл. матем. / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2013. Т. 16, № 4. С. 377-391.

8. Пантелеев А.В., Руденко Е.А., Бортаковский А.С. Нелинейные системы управления: описание, анализ и синтез. М.: Вузовская книга, 2008.

9. Рыбаков К.А. Приближенный метод фильтрации сигналов в стохастических системах диффузионно-скачкообразного типа // Научный вестник МГТУ ГА. 2014. № 207. С. 54-60.

10. Аверина Т.А., Рыбаков К.А. Два метода анализа стохастических систем с пуассоновской составляющей // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2013. № 3. С. 85-116.

11. Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука, 1985.

12. Situ R. Theory of Stochastic Differential Equations with Jumps and Applications. Springer, 2005.

13. Казаков И.Е., Артемьев В.М., Бухалев В.А. Анализ систем случайной структуры. М.: Физматлит, 1993.

14. Аверина Т.А. Устойчивые численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений в смысле Стратоновича // Вестник Бурятского государственного университета. 2012. № 9. C. 91-94.

15. Artemiev S.S., Averina T.A. Numerical Analysis of Systems of Ordinary and Stochastic Differential Equations. Utrecht: VSP, 1997.

16. Кузнецов Д.Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения. СПб.: Изд-во Политехнического университета, 2010.

17. Kloeden P.E., Platen E. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Berlin: Springer, 1995.

18. Аверина Т.А. Новые алгоритмы статистического моделирования неоднородных пуассоновских ансамблей // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 2010. Т. 50, № 1. С. 16-23.

19. Аверина Т.А., Михайлов Г.А. Алгоритмы точного и приближенного статистического моделирования пуассоновских ансамблей // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 2010. Т. 50, № 6. С. 1005-1016.

20. Михайлов Г.А., Аверина Т.А. Алгоритм «максимального сечения» в методе Монте-Карло // Доклады АН. 2009. Т. 428, № 2. С. 163-165.

21. Михайлов Г.А., Рогазинский С.В. Модифицированный метод «мажорантной частоты» для численного моделирования обобщенного экспоненциального распределения // Доклады АН. 2012. Т. 444, № 1. С. 28-30.

22. Аверина Т.А., Рыбаков К.А. Два метода анализа стохастических мультиструктурных систем с распределенными переходами // Сиб. журн. вычисл. матем. / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2008. Т. 11, № 1. С. 1-18.

Работа выполнена при поддержке грантов «Ведущие научные школы» НШ-5111.2014.1 и РФФИ (проекты № 13-08-00323-а и № 14-01-00787-а).

Поступила в редакцию 8 июля 2015 г. 

 

О псевдополиномиальной разрешимости квадратичной евклидовой задачи поиска семейства непересекающихся подмножеств, с. 15-22

Галашов Александр Евгеньевич1, Кельманов Александр Васильевич1,2

1Новосибирский национальный исследовательский государственный университет (НГУ), ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

2Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. В.А. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090

galashov.alexandr@gmail.com (Галашов А.Е.), kelm@math.nsc.ru (Кельманов А.В.)

 

Аннотация

Рассматривается NP-трудная в сильном смысле задача поиска в конечном множестве точек евклидова пространства семейства непересекающихся подмножеств, имеющих заданные мощности. Критерием решения задачи является минимум суммы по всем подмножествам сумм квадратов расстояний от элементов подмножеств до их геометрических центров. Доказано, что задача разрешима за псевдополиномиальное время, если координаты входных точек целочисленны, а размерность пространства и число искомых подмножеств фиксированы (ограничены константами).

УДК 519.2+621.391

DOI: 10.15372/SJNM20170102

Ключевые слова: поиск подмножеств, кластерный анализ, евклидово пространство, минимум суммы квадратов расстояний, NP-трудная задача, точный псевдополинимиальный алгоритм.

Литература

1. Кельманов А.В., Пяткин А.В. NP-полнота некоторых задач выбора подмножества векторов // Дискретный анализ и исследование операций. 2010. Т. 17, № 5. С. 37-45.

2. Галашов А.Е., Кельманов А.В. 2-приближенный алгоритм для одной задачи поиска семейства непересекающихся подмножеств векторов // Автоматика и телемеханика. 2014. № 4. С. 5-19.

3. Aloise D., Deshpande A., Hansen P., and Popat P. NP-hardness of Euclidean sum-of-squares clustering // Machine Learning. 2009. Vol. 75, № 2. P. 245-248.

4. Jain A.K. Data clustering: 50 years beyond K-means // Pattern Recognition Lett. 2010. Vol. 31. P. 651-666.

5. Edwards A.W.F., Cavalli-Sforza L.L. A method for cluster analysis // Biometrics. 1965. Vol. 21. P. 362-375.

6. MacQueen J.B. Some methods for classification and analysis of multivariate observations // Proc. 5th Berkeley Symp. Math. Statist. Probability. 1967. Vol. 1. P. 281-297.

7. Garey M.R., Johnson D.S. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. San Francisco: Freeman, 1979.

8. Кельманов А.В., Романченко С.М. Приближенный алгоритм решения одной задачи поиска подмножества векторов // Дискретный анализ и исследование операций. 2011. Т. 18, № 1. С. 61-69.

9. Кельманов А.В., Романченко С.М. Псевдополиномиальные алгоритмы для некоторых труднорешаемых задач поиска подмножества векторов и кластерного анализа // Автоматика и телемеханика. 2012. № 2. С. 156-162.

10. Кельманов А.В., Романченко С.М. FPTAS для одной задачи поиска подмножества векторов // Дискретный анализ и исследование операций. 2014. Т. 21, № 3. С. 41-52.

11. Шенмайер В.В. Аппроксимационная схема для одной задачи поиска подмножества векторов // Дискретный анализ и исследование операций. 2012. Т. 19, № 2. С. 92-100.

12. Papadimitriou С.H., Steiglitz K. Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1982.

13. Mollin R.A. Fundamental Number Theory with Applications. Second Edition. CRC Press, 2008.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 15-01-00462, № 16-07-00168).

Поступила в редакцию 26 июля 2016 г. 

 

Оценка высоты цунами, распространяющейся над параболическим дном, в лучевом приближении, с. 23-35

Марчук Андрей Гурьевич

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

mag@omzg.sscc.ru

 

Аннотация

В статье рассматривается кинематика волновых лучей и фронтов цунами над неровным дном. Выводятся формулы, определяющие высоту цунами вдоль лучевой трубки. Получено точное решение для траектории волнового луча над параболическим рельефом дна, которое даёт возможность в лучевом приближении аналитически решить задачу нахождения высоты цунами от источника круглой формы в области с наклонным дном. Проведено сравнение полученного распределения максимумов высоты волны с результатами численного расчёта распространения цунами по модели мелкой воды.

УДК 550.344.42

DOI: 10.15372/SJNM20170103

Ключевые слова: распространение цунами, уравнения мелкой воды, волновой луч, кинематика волнового фронта.

Литература

1. Стокер Дж.Дж. Волны на воде. М.: ИЛ, 1959.

2. Марчук Ан.Г., Чубаров Л.Б., Шокин Ю.И. Численное моделирование волн цунами. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1983.

3. Марчук Ан.Г. Вычисление высоты цунами, распространяющейся над наклонным дном, в лучевом приближении // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2015. Т. 18, № 4. С. 377-388.

4. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений: Учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 1983.

5. Цецохо В.А., Белоносова А.В., Белоносов А.С. Формулы для вычисления линейного расхождения волновых лучей в трёхмерной блочно-неоднородной градиентной среде // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2009. Т. 12, № 3. С. 325-339.

6. Белоносов А.С. Формулы для вычисления расхождения волновых лучей в прямоугольной системе координат. Новосибирск, 1982. (Препринт ВЦ СО АН СССР; 396).

7. Kabanikhin S.I., Krivorot'ko O.I. A numerical method for determining the amplitude of a wave edge in shallow water approximation // Applied Computational Mathematics. 2013. Vol. 12, iss. 1. P. 91-96.

8. Krivorot'ko O.I. Fast algorithm for calculation of the moving tsunami wave height // Сибирские электронные математические известия. Тр. пятой Междунар. молодежной научной школы-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». Новосибирск, 2014. Т. 11. C. 115-120.

9. Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е., Тироцци Б. Асимптотические решения двумерного модельного волнового уравнения с вырождающейся скоростью и локализованными начальными данными // Алгебра и анализ. 2010. Т. 22, вып. 6. C. 67-90.

10. Доброхотов С.Ю., Тироцци Б. Локализованные решения одномерной нелинейной системы уравнений мелкой воды со скоростью c = √(x) // УМН. 2010. Т. 65, вып. 1(391). С. 185-186.

11. Маслов В.П. Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1987.

12. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980.

13. Titov V.V., Gonzalez F. Implementation and Testing of the Method of Splitting Tsunami (MOST) // NOAA Technical Memorandum ERL PMEL-112. Washington DC, 1997.

Поступила в редакцию 30 мая 2016 г. 

 

Исследование двухмасштабной модели в пористой среде, с. 37-46

Махато Х.Ш.

College of Engineering, University of Georgia, 30602 Athens, USA

hsmahato@uga.edu, harishankar.mahato@tu-dortmund.de

Аннотация

В данной статье рассматривается численное моделирование системы уравнений реакции-диффузии для пористой среды. Мы начинаем с задания микроскопической модели, а затем ее усредненной версии (т. е. гомогенизированной или континуальной модели) из предыдущих работ автора. Поскольку с помощью гомогенизации мы получаем макроскопическое описание модели, являющейся микроскопически неоднородной, посредством этого численного моделирования мы показываем, что это макроскопическое описание аппроксимирует микроскопическую модель, содержащую неоднородности и осциллирующие члены в масштабе пор такие, как коэффициенты диффузии.

AMS 35B45, 35B27, 47N99

DOI: 10.15372/SJNM20170104

Ключевые слова: периодическая среда, двухмасштабная модель, усреднение, численное моделирование.

Литература

1. Comsol User's Guide. COMSOL Multiphysics, 2010.

2. Bothe D., Rolland G. Global existence for a class of reaction-diffusion systems with mass action kinetics and concentration-dependent diffusivities // Acta Appl. Math. 2015. Vol. 139. P. 25-57.

3. Mahato H.S., Böhm M. Global existence and uniqueness for a system of nonlinear multi-species diffusion reaction equations in an H1,p setting // J. Appl. Anal. and Comput. (JAAC). 2013. Vol. 3, № 4. P. 357-376.

4. Mahato H.S., Böhm M. Homogenization of a system of semilinear diffusion-reaction equations in an H1,p setting // Electron. J. Diff. Equations (EJDE). 2013. Vol. 210. P. 1-22.

5. Marion M., Temam R. Global existence for fully nonlinear reaction-diffusion systems describing multicomponent reactive flows // J. Math. Pure Appl. 2015. Vol. 104. P. 102-138.

6. Meirmanov A., Zimin R. Compactness result for periodic structures and its application to the homogenization of a diffusion-convection equation // Electron. J. Diff. Equations (EJDE). 2011. Vol. 115. P. 1-11.

7. Pierre M. Global existence in reaction-diffusion systems with control of mass: a survey // Milan J. of Mathematics. 2010. Vol. 78, № 2. P. 417-455.

8. Prüss J., Schnaubelt R. Solvability and maximal regularity of parabolic evolution equations with coefficients continuous in time // J. Math. Anal. and Appl. 2001. Vol. 256. P. 405-430.

9. Rubin J. Transport of reacting solutes in porous media: Relation between mathematical nature of problem formulation and chemical nature of reactions // Water Resour. Res. 1983. Vol. 19, № 5. P. 1231-1252.

Поступила в редакцию 24 ноября 2015 г. 

 

Модифицированная схема двойственности для решения упругой задачи с трещиной, с. 47-58

Намм Роберт Викторович, Цой Георгий Ильич

Вычислительный центр Дальневосточного отделения Российской академии наук, ул. Ким Ю Чена, 65, Хабаровск, 680000

rnamm@yandex.ru (Намм Р.В.), tsoy.dv@mail.ru (Цой Г.И.)

Аннотация

Рассматривается схема двойственности для решения задачи с трещиной в перемещениях. Двойственный метод решения основан на модифицированном функционале Лагранжа. При этом сходимость метода исследуется при естественном предположении об H1 регулярности решения задачи с трещиной. Доказывается соотношение двойственности для исходной и двойственной задач.

УДК 519.853.2 + 519.632

DOI: 10.15372/SJNM20170105

Ключевые слова: упругая задача с трещиной, схема двойственности, модифицированный функционал Лагранжа, функционал чувствительности, соотношение двойственности, слабая полунепрерывность снизу.

Литература

1. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.

2. Хлуднев А.М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.

3. Кравчук А.С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М.: МГАПИ, 1997.

4. Khludnev A.M., Kovtunenko V.A. Analysis of crack in solids. Southhampton-Boston: WIT Press, 2000.

5. Ву Г., Намм Р.В., Сачков С.А. Итерационный метод поиска седловой точки для полукоэрцитивной задачи Синьорини, основанный на модифицированном функционале Лагранжа // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 2006. Т. 46, № 1. С. 26-36.

6. Вихтенко Э.М., Намм Р.В. Схема двойственности для решения полукоэрцитивной задачи Синьорини с трением // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 2007. Т. 47, № 12. С. 2023-2036.

7. Вихтенко Э.М., Максимова Н.Н., Намм Р.В. Функционалы чувствительности в вариационных неравенствах механики и их приложение к схемам двойственности // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2014. Т. 17, № 1. С. 43-52.

8. Вихтенко Э.М., Ву Г., Намм Р.В. Функционалы чувствительности в контактных задачах теории упругости // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 2014. Т. 54, № 7. С. 1218-1228.

9. Вихтенко Э.М., Намм Р.В. О методе двойственности для решения модельной задачи с трещиной // Тр. ИММ УрО РАН. 2016. Т. 22, № 1. С. 36-43.

10. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1988.

11. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

12. Вихтенко Э.М., Ву Г., Намм Р.В. Методы решения полукоэрцитивных вариационных неравенств механики на основе модифицированных функционалов Лагранжа // Дальневосточ. мат. журн. 2014. Т. 14, № 1. С. 6-17.

13. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Физматлит, 1981.

14. Hintermuller M., Kovtunenko V.A., and Kunisch K. The primal-dual active set method for a crack problem with non-penetration // IMA J. Appl. Math. 2004. Vol. 69, № 1. P. 1-26.

15. Вторушин Е.В. Численное исследование модельной задачи деформирования упругопластического тела с трещиной при условии возможного контакта берегов // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2006. Т. 9, № 4. С. 335-344.

Работа выполнена при финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований Дальневосточного отделения Российской академии наук (проект № 15-I-4-075).

Поступила в редакцию 31 мая 2016 г. 

 

Полулокальная сходимость метода продолжения в банаховых пространствах, с. 59-75

Прасхант М., Мотса С.

Department of Mathematics, Statistics and Computer science, University of Kawazulu-Natal, Private Bag X01, Scottsville 3209, Pietermaritzburg, South Africa

maroju.prashanth@gmail.com (Прасхант М.), sandilemotsa@gmail.com (Мотса С.)

 

Аннотация

В данной статье рассматривается полулокальная сходимость метода продолжения между двух итерационных методов третьего порядка, а именно метода Галлея и выпуклого ускорения метода Ньютона, также известного как суперметод Галлея. Анализ сходимости обсуждается с использованием рекуррентных соотношений. Этот подход упрощает анализ и приводит к лучшим результатам. Анализ сходимости проводится при предположении, что вторая производная Фреше удовлетворяет условию непрерывности Липшица. Приводится теорема существования и единственности. Кроме того, получена замкнутая форма границ ошибки для вещественного параметра α € [0,1]. Два численных примера решены для демонстрации эффективности нашего подхода. При сравнении области существования и единственности и границ ошибки для решения, полученного путем нашего анализа, с областями, полученными с использованием мажорирующих последовательностей [15], оказалось, что наш анализ дает лучшие результаты. Кроме того, для конкретных значений α наш анализ сводится к анализу метода Галлея (α = 0) и выпуклого ускорения метода Ньютона (α = 1) с получением лучших результатов.

AMS 6505, 65H99

DOI: 10.15372/SJNM20170106

Ключевые слова: метод Галлея, выпуклое ускорение метода Ньютона, метод продолжения, банахово пространство, условие Липшица, производная Фреше.

Литература

1. Traub J.F. Iterative Methods for the Solution of Equations. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1964.

2. Ostrowski A.M. Solution of Equations and Systems of Equations. Academic Press, 1966.

3. Rall L.B. Computational Solution of Nonlinear Operator Equations. New York: Robert E. Krieger, 1969.

4. Ortega J.M., Rheinboldt W.C. Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. Academic Press, 1970.

5. Garcia C.B., Zangwill W.I. Pathways to Solutions, Fixed Points, and Equilibria. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1981.

6. Kantorovich L.V., Akilov G.P. Functional Analysis. Oxford: Pergamon Press, 1982.

7. Allgower E.L., Georg K. Numerical Continuation Methods: an Introduction. New York: Springer-Verlag, 1990.

8. Candela V., Marquina A. Recurrence relations for rational cubic methods I: the Halley method // Computing. 1990. Vol. 44. P. 169-184.

9. Candela V., Marquina A. Recurrence relations for rational cubic methods II: the Chebyshev method // Computing. 1990. Vol. 45. P. 355-367.

10. Kincaid D., Cheney W. Numerical Analysis: Mathematics of Scientific Computing. Brooks: Cole Publishing Company, 1991.

11. Ezquerro J.A., Gutiérrez J.M., and Hernández M.A. A construction procedure of iterative methods with cubical convergence // Applied Mathematics and Computation. 1997. Vol. 85. P. 181-199.

12. Hernández M.A., Gutiérrez J. M. Third-order iterative methods for operators with bounded second derivative // J. of Computational and Applied Mathematics. 1997. Vol. 82. P. 171-183.

 13. Gutiérrez J.M., Hernández M.A. Recurrence relations for the Super-Halley method //

Computers \& Mathematics with Applications. 1998. Vol. 36. P. 1-8.

14. Gutiérrez J.M., Hernández M.A. An acceleration of Newton's method: Super-Halley method // Applied Mathematics and Computation. 2001. Vol. 85. P. 223-239.

15. Ezquerro J.A., Hernández M.A. A new class of third order methods in Banach spaces // Bulletin of the Institute of Mathematics Academia Sinica. 2003. Vol. 31. P. 181-199.

16. Prashanth M., Gupta D.K. A continuation method and its convergence for solving nonlinear equations in Banach spaces // Int. J. of Computational Methods. 2013. Vol. 10. P. 1-23.

17. Yonghui Ling, Xiubin Xu On the semilocal convergence behavior for Halley's method // Comput. Optim. App. 2014. Vol. 58. P. 597-618.

Работа выполнена при поддержке университета Квазулу-Натал, Питермарицбург, Южная Африка.

Поступила в редакцию 10 марта 2016 г. 

 

Численное моделирование равновесия двухслойной упругой конструкции со сквозной трещиной, с. 77-90

Рудой Евгений Михайлович, Казаринов Никита Андреевич, Слесаренко Вячеслав Юрьевич

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 15, Новосибирск, 630090

rem@hydro.nsc.ru (Рудой Е.М.), nkazarinov@gmail.com (Казаринов Н.А.), sl.slesarenko@gmail.com (Слесаренко В.Ю.)

 

Аннотация

В работе рассматривается задача о равновесии двух упругих тел, склеенных друг с другом вдоль некоторой кривой. Считается, что на части этой кривой имеется сквозная трещина, на берегах которой задаются условия одностороннего ограничения, позволяющие исключить взаимное проникание берегов трещины друг в друга. Конструкция находится в равновесии под действием поверхностных сил. Основная цель статьи построить и апробировать алгоритм численного решения задачи равновесия. Алгоритм основан на двух подходах: методе декомпозиции области и методе Удзавы для решения вариационных неравенств. Даны примеры численных вычислений, оказывающие эффективность построенного алгоритма.

УДК 519.63

DOI: 10.15372/SJNM20170107

Ключевые слова: двухслойная конструкция, трещина, условие непроникания, вариационное неравенство, метод декомпозиции области, алгоритм Удзавы.

Литература

1. Хлуднев А.М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.

2. Khludnev A.M., Kovtunenko V.A. Analysis of Cracks in Solids. Southampton, Boston: WIT-Press, 2000.

3. Khludnev A.M., Kozlov V.A. Asymptotics of solutions near crack tips for Poisson equation with inequality type boundary conditions // Z. Angew. Math. Phys. 2008. Vol. 59. P. 264-280.

4. Lazarev N.P., Rudoy E.M. Shape sensitivity analysis of Timoshenko's plate with a crack under the nonpenetration condition // Z. Angew. Math. Mech. 2014. Vol. 94, № 9. P. 730-739.

5. Андерссон Л.-Э., Хлуднев А.М. Трещина, выходящая на контактную границу. Метод фиктивных областей и инвариантные интегралы // Сиб. журн. индустр. математики. 2008. Т. 11, № 3. С. 15-29.

6. Knees D., Schröder A. Global spatial regularity for elasticity models with cracks, contact and other nonsmooth constraints // Math. Meth. Appl. Sci. 2012. Vol. 35. P. 1859-1884.

7. Rudoy E.M. Shape derivative of the energy functional in a problem for a thin rigid inclusion in an elastic body // Z. Angew. Math. Phys. 2015. Vol. 66, № 4. P. 1923-1937.

8. Rudoy E.M. First-order and second-order sensitivity analyses for a body with a thin rigid inclusion // Math. Meth. Appl. Sci. 2015. (DOI: 10.1002/mma.3332).

9. Shcherbakov V.V. The Griffith formula and J-integral for elastic bodies with Timoshenko inclusions // Z. Angew. Math. Mech. 2016. (DOI: 10.1002/zamm.201500145).

10. Khludnev A.M. On crack problem with overlapping domain // Z. Angew. Math. Mech. 2008. Vol. 88, № 8. P. 650-660.

11. Khludnev A.M. Crack on the boundary of two overlapping domains // Z. Angew. Math. Phys. 2010. Vol. 61. P. 341-356.

12. Хлуднев А.М. О равновесии двухслойной упругой конструкции с трещиной // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, № 2. С. 144-153.

13. Рудой Е.М. Метод декомпозиции области для модельной задачи теории трещин с возможным контактом берегов // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 2015. Т. 55, № 2. С. 310-321.

14. Rudoy E.M. Domain decomposition method for crack problems with nonpenetration condition // ESAIM: M2AN. 2016. Vol. 50, № 4. P. 995-1009.

15. Kovtunenko V.A. Numerical simulation of the non-linear crack problem with nonpenetration // Math. Meth. Appl. Sci. 2004. Vol. 27, № 2. P. 163-179.

16. Hintermüller M., Kovtunenko V., and Kunisch K. The primal-dual active set method for a crack problem with non-penetration // IMA J. Appl. Math. 2004. Vol. 69, № 1. P. 1-26.

17. Вторушин Е.В. Численное исследование модельной задачи для уравнения Пуассона с ограничениями типа неравенств в области с разрезом // Сиб. журн. индустр. математики. 2005. Т. 8, № 1. С. 41-49.

18. Вторушин Е.В. Численное исследование модельной задачи деформирования упругопластического тела с трещиной при условии возможного контакта берегов // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2006. Т. 9, № 4. С. 335-344.

19. Quarteroni A., Valli A. Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations. Clarendon Press, 1999.

20. Лаевский Ю.М., Мацокин A.M. Методы декомпозиции решения эллиптических и параболических краевых задач // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1999. Т. 2, № 4. С. 361-372.

21. Астрханцев Г.П. Метод декомпозиции области для задачи об изгибе неоднородной пластины // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1998. Т. 38, № 10. С. 1758-1766.

22. Рукавишников А.В. Метод декомпозиции области и численный анализ для одной задачи гидродинамики // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 2014. Т. 54, № 9. С. 1515-1536.

23. Bayada G., Sabil J., and Sassi T. Convergence of a Neumann-Dirichlet algorithm for two-body contact problems with non local Coulomb's friction law // ESAIM: M2AN. 2008. Vol. 42. P. 243-262.

24. Рудой Е.М. Численное решение задачи о равновесии упругого тела с отслоившимся тонким жестким включением // Сиб. журн. индустр. математики. 2016. Т. 19, № 2. С. 74-87.

25. Ekeland I., Temam R. Convex Analysis and Variational Problems. SIAM, 1999.

26. Ito K., Kunisch K. Lagrange Multiplier Approach to Variational Problems and Applications. SIAM, 2008.

27. Allaire G. Numerical Analysis and Optimization: An Introduction to Mathematical Modelling and Numerical Simulation. Oxford University Press, 2007.

28. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для математических задач. М.: Мир, 1980.

Работа выполнена при поддержке РНФ (проект № 15-11-10000).

Поступила в редакцию 28 апреля 2016 г. 

 

Двух- и трехточечные методы с памятью для решения нелинейных уравнений, с. 91-106

Чоубей Н.1, Джаисвал Дж.П.2

1Department of Mathematics, Oriental Institute of Science and Technology, Bhopal, M.P.,

India-462021

2Department of Mathematics, Maulana Azad National Institute of Technology, Bhopal, M.P.,

India-462051

nehachby2@gmail.com (Чоубей Н.), asstprofjpmanit@gmail.com (Джаисвал Дж.П.)

 

Аннотация

Основная цель и стимул при построении двух- и трехточечных методов с памятью достижение наилучшей вычислительной эффективности без дополнительного оценивания функций. В этой связи мы модифицировали существующие методы без памяти четвертого и восьмого порядков с оптимальным порядком сходимости с использованием различных аппроксимаций самоускоряющихся параметров. Эти параметры были вычислены с использованием эрмитового интерполяционного многочлена, ускоряющего порядок сходимости этих методов без памяти. В частности, порядок R-сходимости предлагаемых двух- и трехшаговых методов с памятью увеличивается с четвертого до пятого и с восьмого до десятого. Еще одним преимуществом этих методов является то, что условие f'(x) ≠ 0 в окрестности требуемого корня, налагаемое на метод Ньютона, может быть снято. Также приводится численное сравнение для подтверждения теоретических результатов.

AMS 34G20, 74G15, 65B99

DOI: 10.15372/SJNM20170108

Ключевые слова: итерационный метод, схема без памяти, схема с памятью, вычислительная эффективность, численный результат.

Литература

1. Wang X., Zhang T. Higher-order Newton-type iterative methods with and without memory for solving nonlinear equations // Math. Comm. 2014. Vol. 19. P. 91-109.

2. Soleymani F. Some optimal iterative methods and their with memory variants // J. Egyp. Math. Soc. 2013. Vol. 21. P. 133-141.

3. Kumar S., Kanwar V., Tomar S.K., and Singh S. Geometrically constructed families of Newton's method for unconstrained optimization and nonlinear equations // Int. J. Math. Math. Sci. 2011. Vol. 2011. (Article ID 972537).

4. Traub J.F. Iterative Methods for the Solution of Equations. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall, 1964.

5. Petkovic M.S., Neta B., Petcovic L.D., and Dzunic J. Multipoint Methods for Solving Nonlinear Equations. New York: Academic Press, 2013.

6. Behl R., Kanwar V. New highly efficient families of higher-order methods for simple roots, permitting f '(xn) = 0 // Int. J. Math. Math. Sci. 2014. Vol. 2014. (Article ID 264529).

7. Ortega J., Rheinboldt W. Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. New York: Academic Press, 2000.

8. Alefeld G., Herzberger J. Introduction to Interval Computation. New York: Academic Press, 1983.

9. Wang X., Zhang T. A new family of Newton-type iterative methods with and without memory for solving nonlinear equations // Calcolo. 2014. Vol. 51. P. 1-15.

10. Wang X., Zhang T. Some Newton-type iterative methods with and without memory for solving nonlinear equations // Int. J. Comput. Meth. 2013. Vol. 11. P. 1-20.

11. Chun C., Lee M.Y. A new optimal eighth-order family of iterative methods for the solution of nonlinear equations // Appl. Math. Comput. 2013. Vol. 223. P. 506-519.

12. Weerakoon S., Fernando T.G.I. A variant of Newton's method with accelerated third-order convergence // Appl. Math. Lett. 2000. Vol. 13. P. 87-93.

Поступила в редакцию 21 апреля 2016 г. 

 

О сплайн-вейвлетах, полуортогональных с производными, и алгоритме с расщеплением, с. 107-120

Шумилов Борис Михайлович

Государственный архитектурно-строительный университет, пл. Соляная, 2, Томск, 634003

sbm@tsuab.ru

Аннотация

В статье изучается вопрос использования для построения полуортогональных сплайн-вейвлетов скалярного произведения с производными. Показано уменьшение носителей данных вейвлетов по сравнению с классическими полуортогональными вейвлетами. Для случая сплайнов 3-й степени получен алгоритм вейвлет-преобразования в виде решения трехдиагональной системы линейных уравнений со строгим диагональным преобладанием. Представлены результаты численных экспериментов по вычислению производных дискретно заданной функции.

УДК 519.6

DOI: 10.15372/SJNM20170109

Ключевые слова: B-сплайны, вейвлеты, неявные соотношения разложения. 

Литература

1. Чуи Ч. Введение в вейвлеты: Пер. с англ. М.: Мир, 2001.

2. Столниц Э., ДеРоуз Т., Салезин Д. Вейвлеты в компьютерной графике: Пер. с англ. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002.

3. Lyche T., Mǿrken K., and Quak E. Theory and algorithms for non-uniform spline wavelets // Multivariate Approximation and Applications / N. Dyn, D. Leviatan, D. Levin, and A. Pinkus. Cambridge: Cambridge University Press. 2001. P. 152-187.

4. Cohen A., Daubechies I., and Feauveau J.C. Biorthogonal bases of compactly supported wavelets // Comm. Pure and Appl. Math. 1992. Vol. 45. P. 485-560.

5. Koro K., Abe K. Non-orthogonal spline wavelets for boundary element analysis // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2001. Vol. 25. P. 149-164.

6. Bittner K. A new view on biorthogonal spline wavelets. Ulm, 2005. (Preprint / Universitӓt Ulm; Series: 2005-03).

7. Ĉerná D., Finêk V. Construction of optimally conditioned cubic spline wavelets on the interval // Adv. Comput. Math. 2011. Vol. 34. P. 219-252.

8. Ĉerná D., Finêk V. Cubic spline wavelets with complementary boundary conditions // Appl. Math. And Comput. 2012. Vol. 219. P. 1853-1865.

9. Де Бор K. Практическое руководство по сплайнам. М.: Радио и связь, 1985.

10. Cohen A., Daubechies I. A new technique to estimate the regularity of refinable functions // Rev. Math. Iberoamericana. 1996. Vol. 12, iss. 2. P. 527-591.

11. Wang J. Cubic spline wavelet bases of Sobolev spaces and multilevel interpolation // Appl. and Computational Harmonic Analysis. 1996. Vol. 3, iss. 2. P. 154-163.

12. Cai W., Wang J. Adaptive multiresolution collocation methods for initial boundary value problems of nonlinear PDEs // SIAM J. on Numerical Analysis. 1996. Vol. 33, iss. 3. P. 937-970.

13. Kumar V., Mehra M. Cubic spline adaptive wavelet scheme to solve singularly perturbed reaction diffusion problems. // Int. J. of Wavelets, Multiresolution and Information Processing. 2007. Vol. 5. iss. 2. P. 317-331.

14. Mehra M., Goyal K. Algorithm 929: A suite on wavelet differentiation algorithms // ACM Transactions on Mathematical Software. 2013. Vol. 39, iss. 4. (Article number 27).

15. Jia R.Q., Liu S.T. Wavelet bases of Hermite cubic splines on the interval // Adv. Comput. Math. 2006. Vol. 25. P. 23-39.

16. Шумилов Б.М. Алгоритм с расщеплением вейвлет-преобразования эрмитовых

кубических сплайнов // Вестник Томского государственного университета. Сер. Математика. Механика. 2010. № 4. С. 45-55.

17. Arandiga F., Baeza A., and Donat R. Discrete multiresolution based on hermite interpolation: computing derivatives // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2004. Vol. 9. P. 263-273.

18. Ĉerná D., Finêk V. Cubic spline wavelets with short support for fourth-order problems // Appl. Math. and Comput. 2014. Vol. 243. P. 44-56.

19. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980.

20. Шумилов Б.М. Кубические мультивейвлеты, ортогональные многочленам, и алгоритм с расщеплением // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2013. Т. 16, № 3. С. 283-297.

21. Шумилов Б.М. Алгоритмы с расщеплением вейвлет-преобразования сплайнов первой степени на неравномерных сетках // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 2016. Т. 56, № 7. С. 39-50.

22. Bultheel A., Huybrechs D. Wavelets with Applications in Signal and Image Processing. 2011. http://people.cs.kuleuven.be/adhemar.bultheel/WWW/WAVE/wavelets2011.pdf.  (Ch. 6, p. 6.5: The wavelet crime).

23. Strang G., Nguyen T. Wavelets and Filter Banks. Cambridge: Wellesley-Cambridge Press, 1996. 

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Томской области (проект № 16-41-700400 ра).

Поступила в редакцию 27 апреля 2016 г.

 


Номер 2, c. 121-221

 

О существовании цикла в одной несимметричной модели молекулярного репрессилятора, с. 121-129

Аюпова Наталья Борисовна1,2, Голубятников Владимир Петрович1,2, Казанцев Максим Валерьевич3

1Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090

2Новосибирский национальный исследовательский государственный университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

3Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова, пр. Ленина, 46, Барнаул, 656038

ayupova@math.nsc.ru (Аюпова Н.Б.),

golubyatn@yandex.ru (Голубятников В.П.),

markynaz.astu@gmail.com (Казанцев М.В.)

 

Аннотация

Рассматривается нелинейная шестимерная динамическая система, моделирующая функционирование простейшего молекулярного репрессилятора. Установлены условия существования цикла  в ее фазовом портрете, построена ретрагирующаяся на  его инвариантная окрестность.

УДК 514.745.82

DOI: 10.15372/SJNM20170201

Ключевые слова: нелинейная динамическая система, модели генных сетей, дискретизация фазового портрета, гиперболические стационарные точки, циклы, теорема Брауэра о неподвижной точке.

Литература

1. Elowitz M.B., Leibler S. A synthetic oscillatory network of transcriptional regulators // Nature. 2000. Vol. 403. P. 335-338.

2. Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Явление буферности в кольцевых генных сетях // Теоретическая и математическая физика. 2016. Т. 187, № 3. С. 560-579.

3. Колесов А.Ю., Розов Н.Х., Садовничий В.А. Периодические решения типа бегущих волн в кольцевых генных сетях // Известия РАН, серия математическая. 2016. Т. 80, № 3. С. 67-94.

4. Лихошвай В.А., Матушкин Ю.Г., Фадеев С.И. Задачи функционирования генных сетей // Сиб. журн. индустриальной математики. 2003. Т. 6, № 2. С. 64-80.

5. Демиденко Г.В., Колчанов Н.А., Лихошвай В.А., Матушкин Ю.Г., Фадеев С.И. Математическое моделирование регуляторных контуров генных сетей // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 2004. Т. 44, № 12. С. 2276-2295.

6. Лихошвай В.А., Фадеев С.И., Демиденко Г.В., Матушкин Ю.Г. Моделирование уравнением с запаздывающим аргументом многостадийного синтеза без ветвления // Сиб. журн. индустриальной математики. 2004. Т. 7, № 1. С. 73-94.

7. Golubyatnikov V.P., Gaidov Yu.A., Kleshchev A.G., and Volokitin E.P. Modeling of asymmetric gene networks functioning with different types of regulation // Biophysics. 2006. Vol. 51, suppl. 1. P. 61-65.

8. Голубятников В.П., Клещев А.Г., Клещева К.А., Кудрявцева А.В. Исследования фазовых портретов трехмерных моделей генных сетей // Сиб. журн. индустриальной математики. 2006. Т. 9, № 1. C. 75-84.

9. Gedeon T. Cyclic feedback systems // Memoirs of American Math. Society. 1998. Vol. 134, № 637. P. 73.

10. Hirsch M. Systems of differential equations which are competitive or cooperative I: Limit sets // SIAM J. Math. Anal. 1982. Vol. 13. P. 167-179.

11. Hastings S., Tyson J.J., and Webster D. Existence of periodic solutions for negative feedbacks cellular control systems // J. Diff. Equations. 1977. Vol. 25. P. 39-64.

12. Golubyatnikov V.P., Golubyatnikov I.V. On periodic trajectories in odd-dimensional gene networks models // Russian J. of numerical analysis and mathematical modeling. 2011. Vol. 28, № 4. P. 397-412.

13. Аюпова Н.Б., Голубятников В.П. О двух классах нелинейных динамических систем. Четырехмерный случай // Сиб. мат. журн. 2015. Т. 56, № 2. С. 282-289.

14. Glass L., Pasternack J.S. Stable oscillations in mathematical models of biological control systems // J. of Mathematical Biology. 1978. Vol. 6. P. 207-223.

15. Аюпова Н.Б., Голубятников В.П. О единственности цикла в трехмерной модели молекулярного репрессилятора // Сиб. журн. индустриальной математики. 2014. Т. 17, № 1. C. 3-7.

16. Голубятников В.П., Голубятников И.В., Лихошвай В.А. О существовании и устойчивости циклов в пятимерных моделях генных сетей // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2010.

 Т. 13, № 4. С. 403-411.

17. Голубятников В.П., Голубятников И.В. О периодических траекториях нелинейных динамических систем специального вида // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2010. Т. 10. C. 3-16.

18. Акиньшин А.А., Голубятников В.П. Циклы в симметричных динамических системах // Вестник НГУ. 2012. Т. 12, № 2. С. 3-12.

19. Казанцев М.В. О некоторых свойствах графов доменов динамических систем // Сиб. журн. индустриальной математики. 2015. Т. 56, № 4. С. 42-48.

20. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнениях. Изд-е 7-е. М.: МГУ, 1984.

21. Gaidov Yu.A., Golubyatnikov V.P. On cycles and other geometric phenomena in phase portraits of some nonlinear dynamical systems // Geometry and Applications. Springer Proc. in Mathematics \& Statistics. 2014. NY: Springer. Vol. 72. P. 225-233.

 

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 15-01-00745).

Поступила в редакцию 22 сентября 2016 г.

 

О равномерной сходимости параболической сплайн-интерполяции на классе функций с большими градиентами в пограничном слое, с. 131-144

Блатов Игорь Анатольевич1, Задорин Александр Иванович2, Китаева Елена Викторовна3

1Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, ул. Льва Толстого, 23, Самара, 443010

2Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. В.А. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090

3Самарский национальный исследовательский университет им. Акад. С.П. Королева, Московское шоссе, 34, Самара, 443086

blatow@mail.ru (Блатов И.А.),

zadorin@ofim.oscsbras.ru (Задорин А.И.),

el_kitaeva@mail.ru (Китаева Е.В.)

 

Аннотация  

Рассматривается задача параболической сплайн-интерполяции по Субботину функций с большими градиентами в пограничном слое. В случае равномерной сетки доказано, а в случае сетки Шишкина экспериментально показано, что при параболической сплайн-интерполяции функций с большими градиентами в экспоненциальном пограничном слое погрешность может неограниченно расти при стремлении малого параметра к нулю при фиксированном числе узлов сетки. Предложен аппроксимационный процесс параболическими сплайнами дефекта 1, для которого получены равномерные по малому параметру оценки погрешности. 

УДК 519.652 

DOI: 10.15372/SJNM20170202 

Ключевые слова: сингулярное возмущение, пограничный слой, сетка Шишкина, параболический сплайн, модификация, оценка погрешности.

Литература

1. Ильин А.М. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Матем. заметки. 1969. Т. 6, № 2. С. 237-248.

2. Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1969. Т. 9, № 4. С. 841-890.

3. Шишкин Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург: УрО РАН, 1992.

4. Шишкин Г.И. Аппроксимация решений сингулярно возмущенных краевых задач с параболическим пограничным слоем // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1989. Т. 29, № 7. С. 963-977.

5. Ahlberg J.H., Nilson E.N., and Walsh J.L. The Theory of Splines and their Applications. New York: Academic Press, 1967.

6. Бор К.Де. Практическое руководство по сплайнам. M.: Радио и связь, 1985.

7. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976.

8. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980.

9. Задорин А.И. Метод интерполяции для задачи с пограничным слоем // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2007. Т. 10, № 3. С. 267-275.

10. Задорин А.И. Интерполяция Лагранжа и формулы Ньютона-Котеса для функций с погранслойной составляющей на кусочно-равномерных сетках // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2015. Т. 18, № 3. С. 289-303.

11. Zadorin A.I. Spline interpolation of functions with a boundary layer component // Inter. J. Numer. Anal. Mod., series B. 2011. Vol. 2, № 2-3. P. 262-279.

12. Волков Ю.С. Интерполяция сплайнами четной степени по Субботину и по Марсдену // Украинский математический журнал. 2014. Т. 66, № 7. С. 891-908.

13. Miller J.J.H., O'Riordan E., and Shishkin G.I. Fitted Numerical Methods for Singular Perturbation Problems: Error Estimates in the Maximum Norm for Linear Problems in One and Two Dimensions (Revised Edition). Singapore: World Scientific, 2012.

14. Linss T. The necessity of Shishkin decompositions // Applied Mathematics Letters. 2001. Vol. 14. P. 891-896.

15. Волков Ю.С. О нахождении полного интерполяционного сплайна через B-сплайны // Сибирские электронные математические известия. 2008. Т. 5. С. 334-338.

16. Volkov Yu.S. Obtaining a banded system of equations in complete spline interpolation problem via B-splines basis // Central Europen J. of Mathematics. 2012. Vol. 10, № 1. P. 352-356.

17. Блатов И.А., Китаева Е.В. Сходимость метода адаптации сеток Н.С. Бахвалова для сингулярно возмущенных краевых задач // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2016. Т. 19, № 1. С. 43-55.

 

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 15-01-06584, № 16-01-00727).

Поступила в редакцию 27 июня 2016 г. 

 

Об одном подходе к моделированию скважин, с. 145-155

Воронин Кирилл Владиславович1,2, Григорьев Александр Виссарионович1,3, Лаевский Юрий Миронович1,2

1Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

2Новосибирский национальный исследовательский государственный университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

3Северо-восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова, ул. Белинского, 58, Якутск, Саха (Якутия), 677000

ol_mer@mail.ru (Воронин К.В.),

re5itsme@gmail.com (Григорьев А.В.),

laev@labchem.sscc.ru (Лаевский Ю.М.)

 

Аннотация  

В статье проведено численное исследование задачи диффузии при наличии скважин, на которых задано интегральное краевое условие. Показано, что предложенная ранее методика является вполне работоспособной и обладает определенными преимуществами по сравнению с прямым моделированием скважин на основе метода конечных элементов. Приведены результаты расчетов для двух скважин. 

УДК 519.632 

DOI: 10.15372/SJNM20170203 

Ключевые слова: скважины, смешанная формулировка, смешанный метод конечных элементов, оценка погрешности. 

Литература 

1. Laevsky Yu.M. A problem with wells for the steady diffusion equation // Numerical Analysis and Applications. 2010. Vol. 3, iss. 2. P. 101-117.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.

3. Чекалин А.Н. Численные решения задач фильтрации в водонефтяных пластах. Казань: Изд-во Казанского университета, 1982.

4. Галанин М.П., Лазарева С.А., Савенков Е.Б. Численное исследование метода конечных суперэлементов на примере решения задачи о скважине для уравнения Лапласа. М., 2005. (Препринт / ИПМ им. М.В. Келдыша; 79).

5. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. New York: Springer-Verlag, 1991.

6. Raviart P-A., Thomas J.M. A mixed finite element method for 2-nd order elliptic problems // Proc. Sympos. Mathematical Aspects of the Finite Element Method (Rome, 1975). Berlin: Springer-Verlag, 1977. № 606. P. 292-315. (Lect. Notes in Math.).

7. Geuzaine Ch., Remacle J.-F. A three-dimensional finite element mesh generator with built-in pre- and post-processing facilities. http://geuz.org/gmsh/.

8. Logg A., Mardal K.-A., and Wells G.N. Automated Solution of Differential Equations by the Finite Element Method. The FEniCS Book. Springer, 2011.

9. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems (2nd ed.). Philadelphia: Soc. for Industrial and Applied Math., 2003.

 

Поступила в редакцию 6 сентября 2016 г. 

 

Анализ полулокальной сходимости в банаховых пространствах при ослабленном условии и вычислительная эффективность, с. 157-168

Джаисвал Джаи Пракаш1,2,3

1Department of Mathematics, Maulana Azad National Institute of Technology, Bhopal, M.P., 462051, India

2Faculty of Science, Barkatullah University, Bhopal, M.P., 462026, India

3Regional Institute of Education, Bhopal, M.P., 462013, India

asstprofjpmanit@gmail.com; hsmahato@uga.edu, harishankar.mahato@tu-dortmund.de 

 

Аннотация  

В данной статье исследуется полулокальная сходимость метода пятого порядка для решения нелинейных уравнений в банаховых пространствах при ослабленных условиях. Доказывается теорема существования и единственности с получением оценок ошибки. Также изучается вычислительное превосходство рассматриваемой схемы над методами такого же порядка, что подтверждает эффективность данной схемы с вычислительной точки зрения. И, наконец, теоретические результаты применяются в нелинейном интегральном уравнении.

AMS 65H10, 65J15

DOI: 10.15372/SJNM20170204

Ключевые слова: нелинейное уравнение, банахово пространство, слабое условие, полулокальная сходимость, граница ошибки.

Литература 

1. Ortega J.M., Rheinboldt W.C. Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. New York: Academic Press, 1970.

2. Amat S., Busquier S. Third-order iterative methods under Kantorovich conditions // J. Math. Anal. Appl. 2007. Vol. 336, iss. 1. P. 243-261.

3. Parida P.K., Gupta D.K. Recurrence relations for a Newton-like method in Banach spaces // J. Comput. Appl. Math. 2007. Vol. 206, iss. 2. P. 873-887.

4. Hernández M.A., Salanova M.A. Sufficient conditions for semilocal convergence of a fourth order multipoint iterative method for solving equations in Banach spaces // Southwest J. Pure and Appl. Math. 1999. Vol. 1. P. 29-40.

5. Zheng L., Gu C. Fourth-order convergence theorem by using majorizing functions for super-Halley method in Banach spaces // Int. J. Comp. Math. 2013. Vol. 90. P. 423-434.

6. Cordero A., Hernández-Verón M.A., Romero N., and Torregrosa S. Semilocal convergence by using recurrence relations for fifth-order method in Banach spaces // J. Comput. Appl. Math. 2015. Vol. 273. P. 205-213.

7. Cordero A., Ezquerro J.A., Hernández-Verón M.A., and Torregrosa S. On the local convergence of a fifth-order iterative method in Banach spaces // J. Appl. Math. Comput. 2015. Vol. 251. P. 396-403.

8. Singh S., Gupta D.K., Martínez E., and Hueso J.L. Semilocal and local convergence of a fifth order iteration with Fréchet derivative satisfying Hölder condition // J. Appl. Math. Comput. 2016. Vol. 276. P. 266-277.

9. Ganesh M., Joshi M.C. Numerical solvability of Hammerstein integral equations of mixed type // IMA. J. Numer. Anal. 1991. Vol. 11. P. 21-31.

10. Ezquerro J.A., Hernández M.A. On the R-order of the Halley method // J. Math. Anal. Appl. 2005. Vol. 303, iss. 2. P. 591-601.

11. Ezquerro J.A., Hernández M.A. New iterations of R-order four with reduced computational cost // BIT Numer. Math. 2009. Vol. 49, iss. 2. P. 325-342.

12. Bruns D.D., Bailey J.E. Nonlinear feedback control for operating a nonisothermal CSTR near an unstable steady state // Chem. Eng. Sci. 1977. Vol. 32, iss. 3. P. 257-264.

13. Argyros I.K. Remarks on the convergence of Newton's method under Hölder continuity conditions // Tamkang J. Math. 1992. Vol. 23. P. 269-277.

14. Kantorovich L.V., Akilov G.P. Functional Analysis. Oxford: Pergamon Press, 1982.

15. Ostrowski A.M. Solution of Equations and Systems of Equations. New York, London: Academic Press, 1966.

16. Traub J.F. Iterative Methods for the Solution of Equations. New York: Chelsea Publishing Company, 1982.

17. Grau-Sánchez M., Grau Á., and Noguera M. On the computational efficiency index and some iterative methods for solving systems of nonlinear equations // J. Comput. Appl. Math. 2011. Vol. 236. P. 1259-1266.

18. Gautschi W. Numerical Analysis: An introduction. Boston: Birkhӓuser, 1997.

19. Sharma J.R., Gupta P. An efficient fifth order method for solving systems of nonlinear equations // J. Comput. Math. Appl. 2014. Vol. 67, iss. 3. P. 591-601.

20. Chen L., Gu C., and Ma Y. Semilocal convergence for a fifth-order Newton's method using recurrence relations in Banach spaces // J. Appl. Math. 2011. Vol. 2011. (Article ID 786306).

21. Hernández-Verón M.A., Martínez E. On the semilocal convergence of a three steps Newton-type iterative process under mild convergence conditions // Numer. Algor. 2015. Vol. 70, iss. 2. P. 377-392.

 

Поступила в редакцию 3 октября 2016 г. 

 

Параллельный алгоритм многовариантного эволюционного синтеза нелинейных моделей, с. 169-180

Монахов Олег Геннадьевич, Монахова Эмилия Анатольевна

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

monakhov@rav.sscc.ru (Монахов О.Г.),

emilia@rav.sscc.ru (Монахова Э.А.)

 

Аннотация  

Предложен параллельный алгоритм для решения проблемы построения нелинейных моделей (математических выражений, функций, алгоритмов, программ) на основе заданных экспериментальных данных, множества переменных, базовых функций и операций. Разработанный алгоритм многовариантного эволюционного синтеза нелинейных моделей имеет: линейное представление хромосомы, модульные операции при декодировании генотипа в фенотип для интерпретации хромосомы как последовательности команд, многовариантный метод для представления множества моделей (выражений) с помощью одной хромосомы. Проведено сравнение последовательной версии данного алгоритма со стандартным алгоритмом генетического программирования и алгоритмом декартового генетического программирования и показано его преимущество по сравнению с указанными алгоритмами как по времени поиска решения (более чем на порядок в большинстве случаев), так и по вероятности нахождения заданной функции (модели). Проведены эксперименты на параллельных суперкомпьютерных системах и получены оценки эффективности предложенного параллельного алгоритма, демонстрирующие линейные ускорение и масштабируемость. 

УДК 519.7, 519.8 

DOI: 10.15372/SJNM20170205 

Ключевые слова: параллельный многовариантный эволюционный синтез, генетический алгоритм, генетическое программирование, декартово генетическое программирование, нелинейные модели. 

Литература

1. Koza J. Genetic Programming II: Automatic Discovery of Reusable Programs. Cambridge: MIT Press, 1996.

2. Langdon W.B., Poli R. Foundations of Genetic Programming. Springer-Verlag, 2002.

3. Poli R., Langdon W.B., and McPhee N.F. A Field Guide to Genetic Programming. San Francisco, California, USA: Lulu.com, 2008.

4. Емельянов В.В., Курейчик В.В., Курейчик В.М. Теория и практика эволюционного моделирования. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

5. Монахов О.Г. Исследование влияния степени специализации шаблонов на пространство поиска при эволюционном синтезе моделей // Прикладная дискретная математика. 2012. № 3. С. 84-94.

6. Miller J.F. Cartesian Genetic Programming. Springer, 2011.

7. Монахова Э.А., Монахов О.Г. Поиск рекордных циркулянтных графов с использованием параллельного генетического алгоритма // Дискретный анализ и исследование операций. 2015. Т. 22, № 6. С. 29-39.

8. Oltean M. Multi Expression Programming. Romania: Babes-Bolyai Univ, 2006. (Technical Report).

 

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 14-01-00031).

Поступила в редакцию 19 сентября 2016 г. 

 

Стохастическая модель роста нановискеров методом молекулярно-лучевой эпитаксии, с.  181-199

Сабельфельд Карл Карлович, Каблукова Евгения Геннадьевна

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

karl@osmf.sscc.ru (Сабельфельд К.К.),

kablukovae@sscc.ru (Каблукова Е.Г.)

 

Аннотация  

В работе предложена стохастическая модель роста нановискеров, выращенных методом молекулярно-лучевой эпитаксии на основе вероятностных механизмов поверхностной диффузии, взаимного затенения, перерассеяния адатомов и вероятности выживания. На основе данной модели построен алгоритм прямого моделирования, позволивший численно исследовать кинетику роста нановискеров с начального распределения высот от десятков нанометров до высот порядка нескольких тысяч нанометров, при этом временнóй диапазон соответствует экспериментальному выращиванию нановискеров вплоть до 3-4 часов. В данной работе нами сформулировано утверждение, получившее подтверждение в расчетах: при определенных условиях, вполне реализуемых в реальных экспериментах, распределение по высотам сужается, т. е. в ансамбле нановискеров высоты со временем все более выравниваются. Для этого необходимо, чтобы начальное распределение по радиусам было узким, а плотность заполнения была не очень высокой. 

УДК 519.676, 519.245, 539.2 

DOI: 10.15372/SJNM20170206 

Ключевые слова: нановискеры, адатомы, диффузия по поверхности, вероятность выживания, многократное рассеяние, устойчивое распределение по высотам. 

Литература

1. Barth S., Hernandez-Ramirez F., Holmes D.D., and Romano-Rodriguez A. Synthesis and applications of one-dimensional semiconductors // Prog. Mater. Sci. 2010. Vol. 55, № 6. P. 563-627.

2. Fern_andez-Garrido S., Kaganer V.M., Sabelfeld K.K., Gotschke T., Grandal J., Calleja E., Geelhaar L., and Brandt O. Self-regulated radius of spontaneously formed GaN nanowires in molecular beam epitaxy // Nano Letters. 2013. Vol. 13, iss. 7. P 3274-3280.

3. Kaganer V.M., Fernandez-Garrido S., Dogan P., Sabelfeld K.K., and Brandt O. Nucleation, growth and bundling of GaN nanowires in molecular beam epitaxy: Disentangling the origin of nanowire coalescence // Nano Letters. 2016. Vol. 16, № 6. P. 3717-3725.

4. Назаренко М.В., Сибирев Н.В., Дубровский В.Г. Самосогласованная модель роста и кристаллической структуры нитевидных нанокристаллов с учетом диффузии адатомов // Журн. техн. физики. 2011. Т. 81, вып. 2. С. 153-156.

5. Настовьяк А.Г., Неизвестный И.Г., Шварц Н.Л., Яновицкая З.Ш. Моделирование роста нановискеров методом Монте-Карло // Физика и техника полупроводников. 2010. Т. 4, № 1. С. 130-135.

6. Ristić J., Calleja E., Fernández-Garrido S., Cerutti L., Trampert A., Jahn U., and Ploog K.H. On the mechanisms of spontaneous growth of III-nitride nanocolumns by plasma-assisted molecular beam epitaxy // J. Cryst. Growth. 2008. Vol. 310, iss. 18. P. 4035-4045.

7. Sabelfeld K.K., Kaganer V.M., Limbach F., Dogan P., Brandt O., Geelhaar L., and Riechert H. Height self-equilibration during the growth of dense nanowire ensembles:Order emerging from disorder // Appl. Phys. Lett. 2013. Vol. 103, iss. 13. P. 133105-133109.

8. Sabelfeld K.K. Splitting and survival probabilities in stochastic random walk methods and applications // Monte Carlo Methods Appl. 2016. Vol. 22, iss. 1. P. 55-72.

9. Supercomputer center of the Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics, SB RAS. http://www2.sscc.ru/.

 

Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 14-11-0083).

Поступила в редакцию 24 июня 2016 г. 

 

Численное решение одномерного гиперболического уравнения второго порядка методом коллокации с помощью экспоненциальных В-сплайнов, с.  201-213

Сингх Суорн1, Сингх Суручи2, Раджи Арора3

1Department of Mathematics, Sri Venkateswara College, University of Delhi, New Delhi, 110021, India

2Department of Mathematics, University of Delhi, New Delhi, 110007, India

3Department of Mathematics, Aditi Mahavidyalaya, University of Delhi, Delhi, 110039, India

ssingh@svc.ac.in (Сингх Суорн),

ssuruchi2005@yahoo.co.in (Сингх Суручи),

rrajni19@gmail.com (Арора Р.)

 

Аннотация

В данной статье предлагается метод, основанный на коллокации с помощью экспоненциальных В-сплайнов, для получения численного решения нелинейного одномерного гиперболического уравнения второго порядка, подчиняющегося соответствующим начальным условиям и граничным условиям Дирихле. Метод представляет собой комбинацию метода коллокации В-сплайнов в пространстве и состоящего из двух стадий метода Рунге-Кутты с сохранением сильной устойчивости во времени. Показано, что предлагаемый метод является безусловно устойчивым. Эффективность и точность метода успешно демонстрируется применением метода к нескольким тестовым задачам.

AMS 39A10

DOI: 10.15372/SJNM20170207

Ключевые слова: уравнение затухающей волны, SSPRK(2,2), метод экспоненциальных В-сплайнов, телеграфное уравнение, трехдиагональный решатель, безусловно устойчивый метод. 

Литература 

1. Gao F., Chi C. Unconditionally stable difference schemes for a one-space-dimensional linear hyperbolic equation // Appl. Math. and Comput. 2007. Vol. 187, iss. 2. P. 1272-1276.

2. Mohanty R.K. An unconditionally stable finite difference formula for a linear second order one space dimensional hyperbolic equation with variable coefficients // Appl. Math. and Comput. 2005. Vol. 165, iss. 1. P. 229-236.

3. Mohanty R.K., Singh S. High accuracy Numerov type discretization for the solution of one-space dimensional non-linear wave equations with variable coefficients // J. of Advanced Research in Scientific Computing. 2011. Vol. 3. P. 53-66.

4. Mohanty R.K., Gopal V. A fourth-order finite difference method based on spline in tension approximation for the solution of one-space dimensional second-order quasi-linear hyperbolic equations // Advances in Difference Equations. 2013. Vol. 70, № 1. P. 1-20. DOI: 10.1186/1687-1847-2013-70.

5. Mohanty R.K. An unconditionally stable difference scheme for the one-space-dimensional linear hyperbolic equation // Appl. Math. Letters. 2004. Vol. 17. P. 101-105.

6. Mittal R.C., Bhatia R. Numerical solution of some nonlinear wave equations using modified cubic B-spline differential quadrature method // Proc. Int. Conf. on Advances in Computing, Communications and Informatics. 2014. P. 433-439. DOI: 10.1109/ICACCI.2014.6968549.

7. Mittal R.C., Bhatia R. Numerical solution of second order one dimensional hyperbolic telegraph equation by cubic B-spline collocation method // Appl. Math. and Comput. 2013. Vol. 220. P. 496-506.

8. Dehghan M., Shokri A. A numerical method for solving the hyperbolic telegraph equation // Numerical Methods for Partial Differential Equations. 2008. Vol. 24, iss. 4. P. 1080-1093.

9. Dosti M., Nazemi A. Quartic B-spline collocation method for solving one-dimensional hyperbolic telegraph equation // J. of Information and Computing Science. 2012. Vol. 7, № 2. P. 83-90.

10. Dosti M., Nazemi A. Solving one-dimensional hyperbolic telegraph equation using cubic B-spline quasi-interpolation // Inter. J. of Mathematical, Computational, Physical, Electrical and Computer Engineering 2011. Vol. 5, № 4. P. 674-679. 

11. Ding H., Zhang Y. Parameters spline methods for the solution of hyperbolic equations // Appl. Math. and Comput. 2008. Vol. 204, iss. 2. P. 938-941. 

12. Liu Li-Bin, Liu Huan-Wen. Compact difference schemes for solving telegraphic equations with Neumann boundary conditions // Appl. Math. And Comput. 2013. Vol. 219, iss. 19. P. 10112-10121. 

13. Kharenko D., Padovani C., Pagni A., Pasquinelli G., and Semin L. Free longitudinal vibrations of bimodular beams: a comparative study // Int. J. of Structural Stability and Dynamics. 2011. Vol. 11, № 1. P. 23-56. 

14. Mohammadi R. Exponential B-spline solution of convection-diffusion equations // Appl. Math. 2013. Vol. 4, № 6. P. 933-944. 

15. Ersoy O., Dag I. The exponential cubic B-spline algorithm for Korteweg-de Vries equation // Advances in Numerical Analysis. 2015. http://dx.doi.org/10.1155/2015/367056. 

16. Spiteri R., Ruuth S. A new class of optimal high-order strong-stability-preserving time discretization methods // SIAM J. on Numerical Analysis. 2002. Vol. 40, iss. 2. P. 469-491. 

17. McCartin B.J. Theory of exponential splines // J. of Approximation Theory. 1991. Vol. 66, iss. 1. P. 1-23. 

18. McCartin B.J. Computation of exponential splines // SIAM J. on Scientific and Statistical Computing. 1990. Vol. 2. P. 242-262. 

19. Spӓth H. Exponential spline interpolation // Computing. 1969. Vol. 4. P. 225-233. 

20. Smith G.D. Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods, 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 1978.

 

Работа выполнена при поддержке РНФ (проект № 15-11-10000).

Поступила в редакцию 20 апреля 2016 г. 

 

Устойчивость в дискретной максимум-норме линеаризованной конечно-разностной схемы второго порядка для уравнения Аллена-Кана, с. 215-222 

Хоу Тиалианг, Ван Каи, Сюн Ян, Сяо Синю, Чзан Шиангсхуанг 

School of Mathematics and Statistics, Beihua University, Jilin, 132013, China 

270854140@qq.com (Хоу Т.),

1020361452@qq.com (Ван К.),

584161767@qq.com (Сюн Я.),

1239236881@qq.com (Сяо С.),

2981959761@qq.com (Чзан Ш.)

 

Аннотация  

В данной статье конечно-разностные методы используются для решения уравнения Аллена—Кана с малыми параметрами возмущения и сильной нелинейностью. Рассматривается линеаризованная трех-уровневая схема второго порядка по времени и конечно-разностная схема второго порядка по пространству. Устанавливается устойчивость дискретной ограниченности в максимум-норме: если первоначальные данные ограничены 1, то численные решения в более поздние моменты времени также могут быть равномерно ограничены 1. Будет показано, что основной результат может быть получен при наложении определенных ограничений на временной шаг. 

AMS 49M25, 65M06 

DOI: 10.15372/SJNM20170208 

Ключевые слова: уравнение Аллена-Кана, конечно-разностный метод, устойчивость дискретной ограниченности, максимум-норма. 

Литература 

1. Allen S.M., Cahn J.W. A microscopic theory for antiphase boundary motion and its application to antiphase domain coarsening // Acta Metall. 1979. Vol. 27. P. 1085-1095. 

2. Choi J.W., Lee H.G., Jeong D., et al. An unconditionally gradient stable numerical method for solving the Allen-Cahn equation // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 2009. Vol. 388, iss. 9. P. 1791-1803. 

3. Eyre D.J. An unconditionally stable one-step scheme for gradient systems. http://www.math.utah.edu/eyre/research/methods/stable.ps. 

4. Feng X., Prohl A. Numerical analysis of the Allen-Cahn equation and approximation for mean curvature flows // Numer. Math. 2003. Vol. 94, № 1. P. 33-65. 

5. Feng X., Song H., Tang T., and Yang J. Nonlinearly stable implicit-explicit methods for the Allen-Cahn equation // Inverse Probl. Imaging. 2013. Vol. 7, iss. 3. P. 679-695. 

6. Feng X., Tang T., and Yang J. Stabilized Crank-Nicolson/Adams-Bashforth schemes for phase field models // East Asian J. on Appl. Math. 2003. Vol. 3, № 1. P. 59-80. 

7. Kim J. Phase-field models for multi-component fluid flows // Commun. Comput. Phys. 2012. Vol. 12, № 3. P. 613-661. 

8. Shen J., Yang X. Numerical approximations of Allen-Cahn and Cahn-Hilliard equations // Discrete Contin. Dyn. Syst. 2010. Vol. 28, iss. 4. P. 1669-1691. 

9. Yang X. Error analysis of stabilized semi-implicit method of Allen-Cahn equation. // Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B. 2009. Vol. 11, iss. 4. P. 1057-1070. 

10. Zhang J., Du Q. Numerical studies of discrete approximations to the Allen-Cahn equation in the sharp interface limit // SIAM J. Sci. Comput. 2009. Vol. 31, iss. 4. P. 3042-3063.

 

Поступила в редакцию 2 мая 2016 г.

Номер 3, с. 223-344

 

Оптимальное по расходу ресурсов управление возмущенными системами, с. 223-238

Александров Владимир Михайлович 

Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090 

 vladalex@math.nsc.ru, alexhome.a@yandex.ru

 

Аннотация  

Разработан метод вычисления оптимального по расходу ресурса управления линейными динамическими системами при известном возмущении, включающий как нормальное, так и вырожденное решения задачи. Метод основан на разделении задачи на три независимые подзадачи: 1) учет действия возмущения на систему; 2) вычисление структуры оптимального управления; 3) вычисление моментов переключений оптимального управления. Учет действия возмущения на систему и перевод в ненулевое конечное состояние сводятся к преобразованию начального и конечного состояний системы. Вычисление структуры основано на оригинальном методе формирования квазиоптимального управления. Вычисление моментов переключений управления основано на найденной связи между отклонениями начальных условий сопряженной системы с отклонениями фазовой траектории в конечный момент. Разработан итерационный алгоритм и рассмотрены его особенности. Приведены результаты моделирования и численных расчетов. 

УДК 519.626.1 

DOI: 10.15372/SJNM20170301 

Ключевые слова: оптимальное управление, расход ресурса, возмущение, время перевода, быстродействие, моменты переключений, итерационный процесс, сопряженная система, фазовая траектория. 

Литература 

1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. 

2. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. 

3. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука,1968. 

4. Singh T. Fuel/time optimal control of the benchmark problem // J. Guid. Control Dyn. 1995. Vol. 18, № 8. P. 1225-1231. 

5. Иванов В.А., Кожевников С.А. Одна задача синтеза оптимального по ``расходу топлива'' управления линейными объектами второго порядка с производными управления // Известия РАН. Теория и системы управления. 1996. № 4. С. 77-83. 

6. Dewell L.D., Speyer J.L. Fuel-optimal periodic control and regulation in constrained hypersonic flight // J. Guid. Control Dyn. 1997. Vol. 20, № 5. P. 923-932. 

7. Liu S.W., Singh T. Fuel/time optimal control of spacecraft maneuvers // J. Guid. Control Dyn. 1997. Vol. 20, № 2. P. 394-397. 

8. Александров В.М. Приближенное решение линейной задачи на минимум расхода ресурсов // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1999. Т. 39, № 3. С. 418-430. 

9. Шевченко Г.В. Метод нахождения оптимального по минимуму расхода ресурсов управления для объектов специального вида // Автометрия. 2006. Т. 42, № 2. С. 49-67. 

10. Александров В.М. Оптимальное по расходу ресурсов управление линейными системами // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 2011. Т. 51, № 4. С. 562-579. 

11. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 

12. Любушин А.А. О применении модификаций метода последовательных приближений для решения задач оптимального управления // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1982. Т. 22, № 1. С. 30-35. 

13. Грачев Н.И., Евтушенко Ю.Г. Библиотека программ для решения задач оптимального управления // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1979. Т. 19, № 2. С. 367-387. 

14. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Конструктивные методы оптимизации. Ч.2. Задачи управления. Минск: Изд-во ``Университетское'', 1984. 

15. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М.: Физматлит, 2000. 

16. Осипов Ю.С. Пакеты программ: подход к решению задач позиционного управления с неполной информацией // Успехи мат. наук. 2006. Т. 61, вып. 4. С. 25-76. 

17. Александров В.М. Квазиоптимальное управление динамическими системами // Автоматика и телемеханика. 2016. Т. 7. С. 47-67. 

18. Александров В.М. Вычисление оптимального управления в реальном времени // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 2012. Т. 52, № 10. С. 1778-1800. 

19. Александров В.М. Итерационный метод вычисления в реальном времени оптимального по быстродействию управления // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2007. Т. 10, № 1. С. 1-28. 

20. Александров В.М., Дыхта В.А. Приближенное решение задачи минимизации расхода ресурсов. II. Оценки близости управлений // Сиб. журн. индустриальной математики. 2011. Т. 14, № 3. С. 3-13.

 

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 16-01-00592а).

Поступила в редакцию 1 июня 2016 г.  

 

Выбор уравнения состояния в математических моделях трубопроводного транспорта природного газа, с. 239-249

Бондарев Эдуард Антонович1, Воеводин Анатолий Федорович2, Аргунова Кира Константиновна1, Рожин Игорь Иванович1

1Институт проблем нефти и газа Сибирского отделения Российской академии наук, ул. Октябрьская, 1, Якутск, 677980

2Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 15, Новосибирск, 630090

bondarev@ipng.ysn.ru (Бондарев Э.А.),

voevodin@hydro.nsc.ru (Воеводин А.Ф.),

akk@ipng.ysn.ru (Аргунова К.К.),

rozhin@ipng.ysn.ru (Рожин И.И.)

 

Аннотация  

Путем сравнения с достоверными экспериментальными данными в широком диапазоне давления и температуры показано, что уравнение состояния реального газа Редлиха-Квонга адекватно отражает все особенности поведения коэффициента несовершенства, коэффициента дросселирования и приведенной разности изобарной и изохорной теплоемкостей. Установлено, что это уравнение удовлетворяет ограничениям, необходимым для гиперболичности системы уравнений, описывающих течение реального газа в трубах. 

УДК 517.956.3:62-621.2 

DOI: 10.15372/SJNM20170302 

Ключевые слова: уравнение состояния, природный газ, гиперболические уравнения. 

Литература 

1. Shashi Menon E. Gas Pipeline Hydraulic. Boca Ranton, London, New York, Singapore: Taylor\&Francis Group, CRS Press, 2005.

2. Бобровский С.А., Щербаков С.Г., Яковлев Е.И. Трубопроводный транспорт газа. М.: Наука, 1976.

3. Лурье М.А. Математическое моделирование процессов трубопроводного транспорта нефти, нефтепродуктов и газа. М.: Изд-во РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2003.

4. Чарный И.А. Основы газовой динамики. М.: Гостоптехиздат, 1961.

5. Васильев О.Ф., Воеводин А.Ф. О газотермодинамическом расчете потоков в простых и сложных трубопроводах (постановка задачи) // Известия СО АН СССР. Сер. технических наук. 1968. Вып. 13. С. 53-62.

6. Неизотермическое течение газа в трубах / О.Ф. Васильев, Э.А. Бондарев, А.Ф. Воеводин, М.А. Каниболотский. Новосибирск: Наука, 1978.

7. Термогидродинамика систем добычи и транспорта газа / Э.А. Бондарев, В.И. Васильев, А.Ф. Воеводин и др. Новосибирск: Наука, 1988.

8. Бондарев Э.А., Воеводин А.Ф., Никифоровская В.С. Методы идентификации математических моделей гидравлики. Якутск: Издательский дом СВФУ, 2014. 

9. Чарный И.А. Неустановившиеся движения реальной жидкости в трубах. М.: Недра, 1975. 

10. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Методы решения одномерных эволюционных систем. Новосибирск: Наука, 1993. 

11. Вукалович М.П., Новиков И.И. Уравнение состояния реального газа. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1948. 

12. Вулис Л.А. Термодинамика газовых потоков. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1950. 

13. Годунов С.К. Термодинамика газов и дифференциальные уравнения // УМН. 1959. Т. 14, вып. 5(89). С. 97-116. 

14. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1988. 

15. Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей. Справочное пособие / Пер. с англ. под ред. Б.И. Соколова. 3-е изд., перераб. и доп. Л.: Химия, 1982. 

16. Брусиловский А.И. Фазовые превращения при разработке месторождений нефти и газа. М.: Грааль, 2002.

17. Sloan E.D., Koh C.A. Clathrate Hydrates of Natural Gases. Third ed. Boca Raton, London, New York, Singapore: Taylor&Francis Group, CRS Press, 2008.

18. NIST Chemistry WebBook. http://webbook.nist.gov/chemistry.

 

Поступила в редакцию 20 декабря 2016 г. 

 

Преломление плоской волны на выпуклом и вогнутом углах в приближении геометрической акустики, с.  251–271

Кремлев Андрей Николаевич 

НИИ прикладной информатики и математической геофизики Балтийского федерального университета им. И. Канта, ул. Пролетарская, 131, Калининград, 236029 

ankremlev@gmail.com

 

Аннотация  

Построено точное решение уравнения эйконала для плоской волны, преломленной на границе, содержащей вогнутый и выпуклый тупые углы. Под вершиной вогнутого угла решение имеет линию разрыва поля лучевых векторов и первых производных времени первых вступлений, а под вершиной выпуклого угла -- конус из волн, дифрагированных на вершине этого угла. Этот конус соответствует конусу дифракции Келлера в геометрической теории дифракции. Рассмотрена взаимосвязь между уравнением эйконала и вытекающего из него уравнения Гамильтона-Якоби для времени прихода нисходящих волн и уравнения сохранения лучевого параметра. Решения этих уравнений совпадают только для докритических углов падения и различны при закритических углах. Показано, что времена прихода волн максимальной амплитуды, представляющие наибольший практический интерес, совпадают со временем, рассчитанным по полю лучевых векторов для уравнения сохранения лучевого параметра. Численный алгоритм, предложенный для расчета этих времен, может быть использован для произвольных скоростных моделей. 

УДК 519.63:550.34 

DOI: 10.15372/SJNM20170303 

Ключевые слова: уравнение эйконала, уравнение Гамильтона-Якоби, лучевой параметр, преломление на выпуклом и вогнутом углах, время первых вступлений, аналитическое вязкое решение, головная волна, конечно-разностная схема Годунова. 

Литература 

1. Алексеев А.С., Бабич В.М., Гельчинский Б.Я. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. 1961. Т. 5. С. 3-24. 

2. Cerveny V. Seismic Ray Theory. Cambridge: Cambridge University Press, 2001. 

3. Уизем Д. Линейные и нелинейные волны. Пер. с англ. / А.Б. Шабат. М.: Мир, 1977. 

4. Аки К., Ричардс П. Количественная сейсмология. Теория и методы. Том 1. М.: Мир. 1983. 

5. Sethian J.A. A fast marching level set method for monotonically advancing fronts // Proc. of the National Academy of Sciences. 1996. Vol. 93, № 4. P. 1591-1595. 

6. Zhao H. A fast sweeping method for eikonal equations // Mathematics of Computation. 2005. Vol. 74. P. 603-627. 

7. Vidale J. Finite-difference calculation of travel times // Bull. of the Seismological Society of America. 1988. Vol. 78, № 6. P. 2062-2076. 

8. Podvin P., Lecomte I. Finite difference computation of traveltimes in very contrasted velocity models: a massively parallel approach and its associated tools // Geophysical J. Int. 1991. Vol. 105, № 1. P. 271-284. 

9. Crandall M., Lions P. Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. Vol. 277. P. 1-42. 

10. Никитин А.А, Сердюков А.С., Дучков А.А. Параллельный алгоритм решения уравнения эйконала для трехмерных задач сейсморазведки // Вестник НГУ. Серия: Информационные технологии. 2015. Т. 13, вып. 3. С. 19-28. 

11. Kim S. The most-energetic traveltime of seismic waves // Applied Mathematics Letters. 2001. Vol. 14. P. 313-319. 

12. Geoltrain S., Brac J. Can we image complex structures with first-arrival traveltime // Geophysics. 1993. Vol. 58, № 4. P. 564-575. 

13. Van Trier J., Symes W.W. Upwind finite-difference calculation of traveltimes // Geophysics. 1991. Vol. 56. P. 812-821. 

14. Belfi C.D. Second and Third Order ENO Methods for the Eikonal Equation. Houston, Texas, USA: Rice University, 1997. (Technical report / The Rice Inversion Project). 

15. Quin J., Symes W.W. An adaptive finite-difference method for traveltimes and amplitudes // Geophysics. 2002. Vol. 67. P. 167-176. 

16. Karlsen K.H., Towers J.D. Convergence of the Lax-Friedrichs scheme and stability for conservation laws with a discontinuous space-time dependent flux // Chinese Ann. Math. Ser. B. 2004. Vol. 25. P. 287-318. 

17. LeVeque R.J. Numerical Methods for Conservation Laws. // Basel: Birkhauser Verlag, 1990. (Lectures in Mathematics, ETH Zürich). 

18. Keller J.B. Geometrical theory of diffraction // J. Opt. Soc. Am. 1962. Vol. 52. P. 116-130. 

19. Klem-Musatov K.D., Aizenberg A.M. Seismic modeling by methods of the theory of edge waves // Geophysics. 1985. Vol. 57. P. 90-105. 

20. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Математический сборник. 1959. Т. 47(89), № 3. С. 271-306. 

21. Jeong W.-K., Whitaker R. A fast iterative method for eikonal equations // SIAM J. on Scientific Computing. 2008. Vol. 30, iss. 5. P. 2512-2534. 

22. Crandall M.G., Evans L.C., and Lions P.L. Some properties of viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations // Trans. of the American Mathematical Society. 1984. Vol. 282, iss. 2. P. 487-502.

 

Поступила в редакцию 1 ноября 2016 г. 

 

Априорные оценки ошибки метода конечных объемов для нелинейной задачи оптимального управления, с. 273–287

Лу З.1, 2, Ли Л.1, Као Л.1, Хоу С.3

1Key Laboratory for Nonlinear Science and System Structure, Chongqing Three Gorges University, Chongqing, 404000, P.R. China

2Research Center for Mathematics and Economics, Tianjin University of Finance and Economics, Tianjin, 300222, P.R. China

3Huashang College Guangdong University of Finance, Guangzhou, 511300, P.R. China

zulianglux@126.com (Лу З.),

linligx@126.com (Ли Л.),

caolongzhou@126.com (Као Л.),

houchunjuanhao@163.com (Хоу С.)

 

Аннотация  

В данной статье исследуются априорные оценки ошибки для конечно-объемной элементной аппроксимации нелинейной задачи оптимального управления. В схемах используется дискретизация на основе метода конечных объемов. Для вариационного неравенства применяется метод вариационной дискретизации для получения управления. При некоторых разумных предположениях получены оценки ошибки оптимального порядка. Порядок аппроксимации переменных состояния, сопряженного состояния и управления - O(h2) или O(h2√|ln h|)$ в смысле L2-нормы или L-нормы. Представлен численный эксперимент для проверки теоретических результатов. В заключение даны выводы и планы будущих работ. 

AMS 49J20, 65N30 

DOI: 10.15372/SJNM20170304 

Ключевые слова: априорные оценки ошибки, нелинейная задача оптимального управления, метод конечных объемов, вариационная дискретизация. 

Литература 

1. Arada N., Casas E., and F. Tröltzsch Error estimates for the numerical approximation of a semilinear elliptic control problem // Comput. Optim. Appl. 2002. Vol. 23. P. 201-229. 

2. Bank R.E., Rose D.J. Some error estimates for the box method // SIAM J. Numer. Anal. 1987. Vol. 24. P. 777-787. 

3. Boyer F., Hubert F. Finite volume method for 2D linear and nonlinear elliptic problems with discontinuities // SIAM J. Numer. Anal. 2008. Vol. 6. P. 3032-3070. 

4. Casas E., Tröltzsch F. Second-order necessary optimality conditions for some state-constrained control problems of semilinear elliptic equations // Appl. Math. Optim. 1999. Vol. 39. P. 211-227. 

5. Casas E., Tröltzsch F., and Unger A. Second order sufficient optimality conditions nonlinear elliptic control problem // Z. Anal. Anwendungen. 1996. Vol. 15. P. 687-707. 

6. Cai Z. On the finite volume element method // Numer. Math. 1991. Vol. 58. P. 713-735. 

7. Chatzipantelidis P. A finite volume method based on the Crouzeix-Raviart element for elliptic PDEs in two dimensions // Numer. Math. 1999. Vol. 82. P. 409-432. 

8. Chen Y., Lu Z. High Efficient and Accuracy Numerical Methods for Optimal Control Problems. Beijing: Science Press, 2015. 

9. Chen Y., Lu Z. Error estimates of fully discrete mixed finite element methods for semilinear quadratic parabolic optimal control problems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2010. Vol. 199. P. 1415-1423. 

10. Chen Y., Lu Z. Error estimates for parabolic optimal control problem by fully discrete mixed finite element methods // Finite Elem. Anal. Des. 2010. Vol. 46. P. 957-965. 

11. Chen Y., Lu Z., and Huang Y. Superconvergence of triangular Raviart-Thomas mixed finite element methods for bilinear constrained optimal control problem // Comp. Math. Appl. 2013. Vol. 66. P. 1498-1513. 

12. Chen Y., Lu Z., and Guo R. Error estimates of triangular mixed finite element methods for quasilinear optimal control problems // Front. Math. China. 2012. Vol. 1. P. 397-413. 

13. Chen Y., Yi N., and Liu W. A Legendre-Galerkin spectral method for optimal control problems governed by elliptic equations // SIAM J. Numer. Anal. 2008. Vol. 46. P. 2254-2275. 

14. Chen Z., Li R., and Zhou A. A note on the optimal L2 estimate of the finite volume element method // Adv. Comput. Math. 2002. Vol. 16. P. 291-303. 

15. Chou S., Li Q. Error estimates in L2, H1 and L in covolume methods for elliptic and parabolic problems: a unified approach // Math. Comp. 2000. Vol. 69. P. 103-120. 

16. Chou S., Ye X. Unified analysis of finite volume methods for second order elliptic problems // SIAM J. Numer. Anal. 2007. Vol. 45. P. 1639-1653. 

17. Estep D., Pernice M., and Du P. A posteriori, error analysis of a cell-centered finite volume method for semilinear elliptic problems // J. Comput. Appl. Math. 2009. Vol. 2. P. 459-472. 

18. Ewing R.E., Lin T., and Lin Y. On the accuracy of the finite volume element method based on piecewise linear polynomials // SIAM J. Numer. Anal. 2002. Vol. 39. P. 1865-1888. 

19. Falk F.S. Approximation of a class of optimal control problems with order of convergence estimates // J. Math. Anal. Appl. 1973. Vol. 44. P. 28-47. 

20. Geveci T. On the approximation of the solution of an optimal control problem governed by n elliptic equation // RAIRO: Numer. Anal. 1979. Vol. 13. P. 313-328. 

21. Hinze M. A variational discretization concept in control constrained optimization: the linear-quadratic case // Comput. Optim. Appl. 2005. Vol. 30. P. 45-61. 

22. Hoppe R.H.W., Iliash Y., Iyyunni C., and Sweilam N.H. A posteriori error estimates for adaptive finite element discretizations of boundary control problems // J. Numer. Math. 2006. Vol. 14. P. 57-82. 

23. Lions J.L. Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations. Berlin: Springer, 1971. 

24. Li R., Liu W., Ma H., and Tang T. Adaptive finite element approximation for distributed elliptic optimal control problems // SIAM J. Control Optim. 2002. Vol. 41. P. 1321-1349. 

25. Liu W., Yan N. A posteriori error estimates for convex boundary control problems // SIAM J. Numer. Anal. 2001. Vol. 39. P. 73-99. 

26. Liu W., Yan N. A posteriori error estimates for control problems governed by nonlinear elliptic equations // Appl. Numer. Math. 2003. Vol. 2. P. 173-187. 

27. Liu W., Yan N. Adaptive Finite Element Methods for Optimal Control Governed by PDEs. Beijing: Science Press, 2008. 

28. Liu W., Tiba D. Error estimates for the finite element approximation of a class of nonlinear optimal control problems // J. Numer. Func. Optim. 2001. Vol. 22. P. 935-972. 

29. Lu Z. A residual-based posteriori error estimates for hp finite element solutions of general bilinear optimal control problems // J. Math. Ineq. 2015. Vol. 9. P. 665-682. 

30. Lu Z., Chen Y. A posteriori error estimates of triangular mixed finite element methods for semilinear optimal control problems // Adv. Appl. Math. Mech. 2009. Vol. 1. P. 242-256. 

31. Lu Z., Chen Y., and Zheng W. A posteriori error estimates of lowest order Raviart-Thomas mixed finite element methods for bilinear optimal control problems // East Asia J. Appl. Math. 2012. Vol. 2. P. 108-125. 

32. Luo X., Chen Y., Huang Y., and Hou T. Some error estimates of finite volume element method for parabolic optimal control problems // Optimal Control Appl. Methods. 2014. Vol. 35. P. 145-165. 

33. Shi Z., Wang M. Finite Element Method. Beijing: Science Press, 2010.

 

Работа выполнена при поддержке National Science Foundation of China (№ 11201510, № 11171251), Innovation Team Building at Institutions of Higher Education in Chongqing (№ CXTDX201601035), China Postdoctoral Science Foundation (№ 2015M580197), Chongqing Research Program of Basic Research and Frontier Technology (№ cstc2015jcyjA20001), Ministry of education Chunhui projects (№ Z2015139), Science and Technology Project of Wanzhou District of Chongqing

Поступила в редакцию 8 декабря 2016 г. 

 

Метод внешнего слоя для решения краевых задач теории упругости, с. 289–296

Машуков Владимир Иванович

Сибирский государственный университет путей сообщения, ул. Дуси Ковальчук, 191, Новосибирск, 630049

mvimash@pochta.ru

 

Аннотация  

В статье представлен вычислительный алгоритм для решения краевых задач теории упругости, пригодный для решения контактных задач и задач, область деформирования которых содержит тонкие слои среды. Решение представляется в виде линейной комбинации вспомогательных решений и фундаментальных решений уравнений Ляме. Сингулярные точки фундаментальных решений уравнений Ляме располагаются слоем вне области деформирования вблизи граничной. Коэффициенты линейной комбинации определяются путём минимизации отклонения линейной комбинации от граничных условий. Для минимизации отклонений применяется метод сопряжённых градиентов. Приведены примеры расчётов для смешанных граничных условий. 

УДК 539.371:519.632.4 

DOI: 10.15372/SJNM20170305 

Ключевые слова: теория, упругость, граничные интегральные уравнения, внешний слой, двумерные, задачи, метод сопряжённых градиентов. 

Литература 

1. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Наука, 1988. 

2. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963. 

3. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трёхмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976.

4. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1986.

 

Поступила в редакцию 12 февраля 2013 г. 

 

Разностная схема для сопряженно-операторной модели задачи теплопроводности в полярных координатах, с. 297–312

Сорокин Сергей Борисович1,2

1Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

2Новосибирский национальный исследовательский государственный университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

sorokin@sscc.ru

 

Аннотация  

В полярных координатах построен дискретный аналог сопряженно-операторной модели задачи теплопроводности, сохраняющий структуру исходной модели. Разностная схема сходится со вторым порядком точности для случаев разрывных параметров среды в законе Фурье и неравномерных сеток. Предложен экономичный алгоритм решения дискретной сопряженно-операторной модели в случае, когда тензор теплопроводности является единичным оператором. 

УДК 519.632 

DOI: 10.15372/SJNM20170306 

Ключевые слова: задача теплопроводности, математическая модель, дискретный аналог, полярные координаты, сходимость, разностная схема. 

Литература 

1. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.

2. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для квазилинейных эллиптических уравнений на полярной сетке // Численные методы механики сплошной среды. 1972. Т. 3, № 4. С. 77-88.

3. Глушенкова В.Д., Ляшко А.Д. Разностные схемы для квазилинейных эллиптических уравнений в полярных координатах // Дифф. уравнения. 1976. Т. 12, № 6. С. 1052-1060.

4. Самарский А.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Разностные аналоги основных дифференциальных операторов первого порядка. Москва, 1981. (Препринт / ИПМ АН СССР; 8).

5. Самарский А.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Операторные разностные схемы // Дифф. уравнения. 1981. Т. 17, № 7. С. 1317-1321.

6. Самарский А.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. О представлении разностных схем математической физики в операторной форме // ДАН СССР. 1981. Т. 258, № 5. С. 1092-1096.

7. Samarski A.A., Tishkin V.F., Favorksii A.P., and Shashkov M. Employment of the reference-operator methods in the construction of finite difference analog of tensor operations // Differ. Equ. 1983. Vol. 18, № 7. P. 881-885.

8. Коновалов А.Н., Сорокин С.Б. Структура уравнений теории упругости. Статическая задача. Новосибирск, 1986. (Препринт ВЦ СО АН СССР; 665).

9. Коновалов А.Н. Сопряженно-факторизованные модели в задачах математической физики // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1998. Т. 1, № 1. С. 25-57.

10. Сорокин С.Б. Обоснование дискретного аналога сопряженно-операторной модели задачи теплопроводности // Сиб. журн. индустр. математики 2014. Т. 60, № 4. С. 98-110.

11. Сорокин С.Б. Разностная схема для сопряженно-операторной модели задачи теплопроводности на несогласованных сетках // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2016. Т. 19, № 4. С. 429-439.

12. Beirao da Veiga L., Lipnikov K., and Manzini G. The Mimetic Finite Difference Method for Elliptic Problems. Berlin: Springer-Verlag, 2014. (Modeling, Simulation and Applications; Vol. 11).

13. Lipnikov K., Manzini G., and Shashkov M. Mimetic finite difference method // J. of Comput. Physics. 2014. Vol. 257. P. 1163-1227.

14. Карчевский М.М., Волошановская С.Н. Об аппроксимации тензора деформации в криволинейных координатах. Разностная схема для задачи о равновесии упругого цилиндра // Изв. вузов. Математика. 1977. Т. 10. С. 70-80.

15. Цуриков Н.В. Об аппроксимации ковариантных производных компонент векторов и тензоров в произвольной криволинейной системе координат // Вариационные методы в задачах численного анализа. Новосибирск, 1986. С. 150-157.

16. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

 

Работа выполнена при финансовой поддержке программы Фундаментальных исследований ОМН РАН ``Современные вычислительные и информационные технологии решения больших задач'', программы Фундаментальных исследований Президиума РАН ``Интеллектуальные информационные технологии, математическое моделирование, системный анализ и автоматизация''.

Поступила в редакцию 26 января 2017 г. 

 

Решение стохастического уравнения Дарси на основе полиномиального разложения хаоса, с.  313–327

Шалимова Ирина Александровна, Сабельфельд Карл Карлович

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

ias@osmf.sscc.ru (Шалимова И.А.),

karl@osmf.sscc.ru (Сабельфельд К.К.)

 

Аннотация  

Настоящая работа посвящена решению смешанной краевой задачи для уравнения Дарси со случайным коэффициентом гидравлической проницаемости. В работе представлен подход, основанный на разложении полиномиального хаоса в вероятностном пространстве входных данных. Коэффициенты разложения полиномиального хаоса находятся методом стохастических коллокаций. Трудоемкость алгоритма определяется порядком приближения полиномиального хаоса и числом гармоник в разложении Кархунена-Лоэва. Для решения стационарного уравнения Дарси рассчитаны различные эйлеровы и лагранжевы статистические характеристики течения методом Монте-Карло и предложенным методом стохастических коллокаций. Сравнительные расчеты показывают существенный выигрыш в эффективности по сравнению с традиционным методом Монте-Карло.

УДК 519.245, 519.676, 539.2 

DOI: 10.15372/SJNM20170307 

Ключевые слова: полиномиальный хаос, метод стохастических коллокаций, стационарное уравнение Дарси, метод Монте-Карло, разложение Кархунена-Лоэва. 

Литература 

1. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 

2. Dian-Qing Lirx, Shui-Hua Jianga, Yong-Gang Chengb, and Chuang-Bing Zhouc A comparative study of three collocation point methods for odd order stochastic response surface method // Structural Engineering and Mechanics. 2013. Vol. 45, № 5. P. 595-611. DOI: 10.12989/sem.2013.45.5.595. 

3. Ghanem, R.G., Spanos P. Stochastic Finite Element: A Spectral Approach. New York: Springer, 1991. 

4. Kurbanmuradov O.A., Sabelfeld K.K. Stochastic flow simulation and particle transport in a 2D layer of random porous medium // Transport in Porous Medium. 2010. Vol. 85. P. 347-373. DOI: 10.1007/s11242-010-9567-y. 

5. Le Maitre O.P., Knio O.M. Spectral Methods for Uncertainty Quantification: with Applications to Computational Fluid Dynamics. Houten, Netherlands: Springer, 2010. 

6. Li H., Zhang D. Probabilistic collocation method for flow in porous media: Comparisons with other stochastic methods // Water Resources Research. 2007. Vol. 43, W09409. DOI: 10.1029/2006WR005673. 

7. Muller F., Jenny P., and Meyer D.W. Probabilistic collocation and lagrangian sampling for advective tracer transport in randomly heterogeneous porous media // Advances in Water Resources. 2011. Vol. 34, № 12. P. 1527-1538. DOI: 10.1016/j.advwatres.2011.09.005. 

8. Sabelfeld K.K., Brandt O., and Kaganer V.M. Stochastic model for the fluctuation-limited reaction-diffusion kinetics in inhomogeneous media based on the nonlinear Smoluchowski equations // J. Math. Chemistry. 2015. Vol. 53, iss. 2. P. 651-669. DOI: 10.1007/s10910-014-0446-6. 

9. Sabelfeld K.K., Mozartova N.S. Sparsified Randomization algorithms for low rank approximations and applications to integral equations and inhomogeneous random field simulation // Math. Comput. Simul. 2011. Vol. 82. P. 295-317. DOI: 10.1016/j.matcom.2011.08.002. 

10. Schoutens W. Stochastic Processes and Orthogonal Polynomials. Springer, 2000.  

11. Shalimova I., Sabelfeld K. Stochastic polynomial chaos based algorithm for solving PDS with random coefficients // Monte Carlo Methods and Applications. 2014. Vol. 20, iss. 4. P. 279-289. DOI: 10.1515/mcma-2014-0006.

12. Thomas Y., Hou W.L., Rozovskii B., and Zhou H.-M. Wiener Chaos expansions and numerical solutions of randomly forced equations of fluid mechanics // J. of Computational Physics. 2006. Vol. 216. P. 687-706. DOI: 10.1016/j.jcp.2006.01.008.

13. Wiener N. The homogenous chaos // Amer. J. Math. 1938. Vol. 60, № 4. P. 897-936. DOI: 10.2307/2371268.

14. Xiu D., Lucor D., Su C.-H., and Karniadakis G.E. Stochastic modeling of flow-structure interactions using generalized polynomial chaos // J. Fluids Eng. 2001. Vol. 124, № 1. P. 51-59. DOI: 10.1115/1.1436089.

15. Xiu D. Fast numerical methods for stochastic computations // Commun. Comput. Phys. 2009. Vol. 5, № 2-4. P. 242-272. (A Review). DOI: 10.1137/040615201.

16. Xiu D., Hesthaven J.S. High-order collocation methods for differential equations with random inputs // SIAM J. Sci. Comput. 2006. Vol. 27, № 3. P. 1118-1139. DOI: 10.1137/040615201.

 

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 14-11-00083).

Поступила в редакцию 15 июля 2016 г. 

 

Многоточечный численный интегратор с тригонометрическими коэффициентами для начальных задач с периодическими решениями, с. 329–344

Эхиги Дж.О.1,2, Джатор С.Н.3, Окунуга С.А.2

1College of Horticulture, Nanjing Agricultural University, Nanjing 210095, China

2Department of Mathematics, University of Lagos, Lagos 23401, Nigeria

3Department of Mathematics and Statistics, Austin Peay State University, Clarksville, TN, USA

jehigie@unilag.edu.ng (Эхиги Дж.О.),

Jators@apsu.edu (Джатор С.Н.),

sokunuga@unilag.edu.ng (Окунуга С.А.)

 

Аннотация  

На основе метода коллокации мы вводим унифицированный подход для получения семейства многоточечных численных интеграторов с тригонометрическими коэффициентами для численного решения периодических начальных задач. Представлен практический трехточечный численный интегратор, коэффициенты которого являются обобщением классических линейных многошаговых методов, коэффициенты которых являются функциями оценки угловой частоты ω. Метод коллокации дает непрерывный метод, из которого восстанавливаются основной и вспомогательные методы и выражаются в виде блочно-матричной конечно-разностной формулы, которая интегрирует дифференциальное уравнение второго порядка по неперекрывающимся интервалам без предикторов. Представлены и исследованы некоторые свойства численного интегратора. Приводятся численные примеры для иллюстрации точности метода. 

AMS 65L04, 65L05, 65L06 

DOI: 10.15372/SJNM20170308 

Ключевые слова: блочный метод, периодическое решение, тригонометрические коэффициенты, метод коллокации. 

Литература 

1. Aceto L., Ghelardoni P., and Magherini C. PGSCM: a family of P-stable boundary value methods for second-order initial value problems // J. of Comput. and Appl. Math. 2012. Vol. 236, iss. 16. P. 3857-3868.

2. Brugnano L., Trigiante D. Solving Differential Problems by Multistep Initial and Boundary Value Methods. Amsterdam: Gordon and Breach, 1998.

3. Chawla M.M. Canonical Runge-Kutta-Nyström methods: Thesis Ph. D. de Vallidolid: Universidad de Vallidolid, 1992.

4. Chawla M.M., Rao P.S. A Numerov-type method with minimal phase-lag for the integration of second order periodic initial-value problems. II: explicit methods // J. of Comput. and Appl. Math. 1986. Vol. 15. P. 329-337.

5. Chawla M.M., Rao P.S., and Neta B. Two-step fourth-order P-stable methods with phase lag of order six for y'=f (t,y) // J. of Comput. and Appl. Math. 1986. Vol. 6. P. 233-236.

6. Coleman J.P. Numerical methods for y''=f (x,y) via rational approximations for the cosine // IMA J. of Numerical Analysis. 1989. Vol. 9. P. 145-165.

7. Coleman J.P., Ixaru L.G. P-stability and exponential fitting methods for y''=f (x,y) // IMA J. of Numerical Analysis. 1996. Vol. 16. P. 179-199.

8. Ehigie J.O., Okunuga S.A., and Sofoluwe A.B. 3-point block methods for direct integration of second order ordinary differential equations // Advances in Numerical Analysis. 2011 Vol. 2011. (Article ID 513148). DOI: 10.1155/2011/513148.

9. Ehigie J.O., Jator S.N., Sofoluwe A.B., and Okunuga S.A. Boundary value technique for initial value problems with continuous second derivative multistep method of Enright // Comput. and Appl. Math. 2014. Vol. 33. P. 81-93. DOI: 10.1007/s40314-013-0044-4.

10. Ehigie J.O., Okunuga S.A. A stiffly stable second derivative block multistep formula with Chebyshev collocation points for stiff problems // Int. J. of Pure and Appl. Math. 2014. Vol. 96, № 4. P. 457-481.

11. Fang Y., Song Y., and Wu X. A robust trigonometrically fitted embedded pair for pertubed oscillators // J. of Comp. and Appl. Math. 2009. Vol. 225, iss. 2. P. 347-355.

12. Fatunla S.O. Block methods for second order IVPs // Int. J. of Comp. Math. 1991. Vol. 41. P. 55-63.

13. Franco J.M. An explicit hybrid method of Numerov-type for second-order periodic initial value problems // J. of Comp. and Appl. Math. 1995. Vol. 59. P. 79-90.

14. Franco J.M. Runge-Kutta-Nyström methods adapted to the numerical integration of perturbed oscillators // Comp. Physics Communications. 2002. Vol. 147, iss. 3. P. 770-787.

15. Gautschi W. Numerical integration of ordinary differential equations based on trigonometric polynomials // Numerische Mathematik. 1961. № 3. P. 381-397.

16. Hairer E., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential Algebraic Problems. Second Revised Edition. Germany: Springer Verlag, 1996.

17. Hindmarsh A.C. Odepack, a systematized collection of ODE solvers // Scientific Computing / R.S. Stepleman et al. North-Holland, Amsterdam, 1983. Vol. 1. P. 55-64.

18. Ixaru L.Gr., Vanden Berghe G. Exponential Fitting. Kluwer: Academic Publishers, 2004.

19. Ixaru L.Gr., Vanden Berghe G., and De Meyer H. Frequency evaluation in exponential fitting multistep algorithms for ODEs // J. of Comput. and Appl. Math. 2002. Vol. 140, iss. 1-2. P. 423-434.

20. Jator S.N. Solving second order initial value problems by a hybrid multistep methods without predictors // Appl. Math. and Comput. 2010. Vol. 217. P. 4036-4046.

21. Jator S.N., Swindle S., and French R. Trigonometrically fitted block Numerov type method for y''=f (x,y,y') // Numer. Algor. 2013. Vol. 62, № 1. P. 13-26.

22. Lambert J.D. Computational Methods in Ordinary Differential Equations. New York: John Wiley and Sons, 1973.

23. Li J., Wang X. Multistep hybrid methods for special second-order differential equations y''=f (t,y(t)) // Numer. Algor. 2016. Vol. 73, iss. 3. P. 711-733. DOI: 10.1007/s11075-016-0114-y.

24. Lyche T. Chebyshevian multistep methods for ordinary differential equations // Numerische Mathematik. 1972. Vol. 19. P. 65-75.

25. Nguyen H.S., Sidje R.B., and Cong N.H. Analysis of trigonometrically fitted implicit Runge-Kutta methods // J. of Comput. and Appl. Math. 2007. Vol. 198, iss. 1. P. 187-207.

26. Ngwane F.F., Jator S.N. Solving oscillatory problems using a block hybrid trigonometrically fitted method with two off-step point // Electronic J. of Differential Equations. 2013. Vol. Conference 20. P. 119-132.

27. Paternoster B. Runge-Kutta (Nystr\"{o. m) methods for ODEs with periodic solutions based on trigonometric polynomials // Appl. Numer. Math. 1998. Vol. 28. P. 401-412.

28. Paternoster B. Present state-of-the-art in exponential fitting. A contribution dedicated to Liviu Ixaru on his 70th birthday // Comput. Physics Communications. 2012. Vol. 183, № 12. P. 2499-2512.

29. Ramos H., Kalogiratou Z., Monovalis Th., and Simos T.E. An optimized two-step hybrid block method for solving general second order initial value problem // Numer. Algor. 2016. Vol. 72, iss. 4. P. 1089-1102. DOI: 10.1007/s11075-015-0081-8.

30. Shampine L.F., Watts H.A. Block implicit one-step methods // Math. of Comput. 1969. Vol. 23. P. 731-740.

31. Simos T.E. An exponentially-fitted Runge-Kutta method for the numerical integration of initial-value problems with periodic or oscillating solutions // Comput. Physics Communications. 1998. Vol. 115, iss. 1. P. 1-8.

32. Simos T.E., Dimas E., and Sideridis A.B. A Runge-kutta method for the numerical integration of special second-order periodic initial-value problems // J. of Comput. and Appl. Math. 1994. Vol. 51, iss. 3. P. 317-326.

33. Vigo-Aguiar J., Ramos H. On the choice of the frequency in trigonometrically-fitted methods for periodic problems // J. of Comput. and Appl. Math. 2015. Vol. 277, iss. 15. P. 94-105.

34. Wang Z., Zhao D., Dai Y., and Wu D. An improved trigonometrically fitted P-stable Obrechkoff method for periodic initial-value problems // Proc. of the Royal Society A. 2005. Vol. 461. P. 1639-1658.

 

Поступила в редакцию 23 мая 2016 г.


Номер 4, с. 345-451  

 

Потоковая схема предиктор-корректор для решения 3D задачи теплопереноса, с.  345-358

Воронин Кирилл Владиславович1, Лаевский Юрий Миронович1,2 

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090 

2Новосибирский национальный исследовательский государственный университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090 

ol_mer@mail.ru  (К.В. Воронин),

laev@labchem.sscc.ru  (Ю.М. Лаевский)

 

Аннотация

В работе предложена и исследована потоковая схема предиктор-корректор в трехмерном случае, лишенная недостатков схемы, построенной на основе схемы-прообраза Дугласа-Ганна. Численно продемонстрирован второй порядок точности предложенной схемы.

УДК 519.63

DOI: 10.15372/SJNM20170401

Ключевые слова: смешанный метод конечных элементов, тепловой поток, схема расщепления, схема предиктор-корректор. 

Литература 

1. Воронин К.В., Лаевский Ю.М. О схемах расщепления в смешанном методе конечных элементов // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2012. Т. 15, № 2. С. 183-189. Перевод: Voronin K.V., Laevsky Yu.M. On splitting schemes in the mixed finite element method // Numerical Analysis and Applications. 2012. Vol. 5, iss. 2. P. 150-155. 

2. Воронин К.В., Лаевский Ю.М. Схемы расщепления в смешанном методе конечных элементов решения задач теплопереноса // Математическое моделирование. 2012. Т. 24, № 8. С. 109-120. Перевод: Voronin K.V., Laevsky Yu.M. Splitting schemes in the mixed finite-element method for the solution of heat transfer problems // Mathematical Models and Computer Simulations. 2013. Vol. 5, iss. 2. P. 167-174. 

3. Воронин К.В., Лаевский Ю.М. Об одном подходе к построению потоковых схем расщепления в смешанном методе конечных элементов // Математическое моделирование. 2014. Т. 26, № 12. С. 33-47. 

4. Воронин К.В., Лаевский Ю.М. Об устойчивости некоторых потоковых схем расщепления // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2015. Т. 18, № 2. С. 135-145. Перевод: Voronin K.V., Laevsky Yu.M. On the stability of some flux splitting schemes // Numerical Analysis and Applications. 2015. Vol. 8, iss. 2. P. 113-121. 

5. Voronin K.V., Laevsky Yu.M. A new approach to constructing splitting schemes in mixed FEM for heat transfer: a priori estimates // Lecture Notes in Computer Science. 2015. Vol. 9045. P. 417-425. 

6. Voronin K.V., Laevsky Yu.M. On splitting schemes of predictor-corrector type in mixed finite element method // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2015. Vol. 12. P. 752-765. 

7. Voronin K.V., Laevsky Yu.M. A new approach to constructing vector splitting schemes in mixed finite element method for parabolic problems // J. of Numerical Mathematics. 2017. Vol. 25, iss. 1. (Published Online: 2017-03-30). (DOI: 10.1515/jnma-2015-0076). 

8. Raviart P.-A., Thomas J.M. A mixed finite element method for 2-nd order elliptic problems // Lecture Notes in Mathematics. 1977. Vol. 606. P. 292-315. 

9. Peaceman D.W., Rachford H.H.-Jr. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations // J. Soc. Indust. Appl. Math. 1955. Vol. 3, iss. 1. P. 28-41. 

10. Douglas J.-Jr., Gunn J.E. A general formulation of alternating direction methods // Numerische Mathematik. 1964. Vol. 6, iss. 1. P. 428-453. 

11. Самарский А.А. Локально-одномерные разностные схемы на неравномерных сетках // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1963. Т. 3, № 3. С. 431-466. 

12. Yanenko N.N. The Method of Fractional Steps. New York: Springer-Verlag, 1971. 

13. Douglas J.-Jr. Alternating direction methods for three space variables // Numerische Mathematik. 1962. Vol. 4, iss. 1. P. 41-63. 

14. Arbogast T., Huang C.-S., and Yang S.-M. Improved accuracy for alternating-direction methods for parabolic equations based on regular and mixed finite elements // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 2007. Vol. 17, iss. 8. P. 1279-1305. 

15. Brezzi P., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. New York: Springer-Verlag, 1991. 

16. Vabishchevich P.N. Flux-splitting schemes for parabolic problems // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2012. Vol. 52, iss. 8. P. 1128-1138. 

17. Vabishchevich P.N. Additive Operator-Difference Schemes. Berlin: de Gruyter, 2013. 

18. Marchuk G.I. Splitting Methods. Moscow: Nauka, 1988. 

19. Richtmyer G.I., Morton K.W. Difference Methods for Initial-Value Problems. New York: Jhon Wiley and Sons, 1967.

 

Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 15-11-10024). 

Поступила в редакцию 22 декабря 2016 г.  

 

Вокруг степенного закона распределения компонент вектора PageRank. Часть 1. Численные методы поиска вектора PageRank, с.  359–378

Гасников Александр Владимирович1,2, Гасникова Евгения Владимировна1, Двуреченский Павел Евгеньевич2,3, Мохаммед Ахмед Абдельнафи Махмуд1, Черноусова Елена Олеговна1

1Московский физико-технический институт, Институтский пер., 9, Долгопрудный, Московская обл., 141700 

2Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН, Большой Каретный пер., 19, строение 1, Москва, 127051 

3Институт прикладного анализа и стохастики им. К. Вейерштрасса, Моренштрассе, 39, Берлин, Германия, 10117 

gasnikov.av@mipt.ru  (Гасников А.В.),

egasnikova@yandex.ru  (Гасникова Е.В.),

pavel.dvurechensky@wias-berlin.de  (Двуреченский П.Е.),

a.nafea@science.sohag.edu.eg  (Мохаммед А.А.М.),

lena-ezhova@rmbler.ru  (Черноусова Е.О.)

 

Аннотация  

В этой, первой из двух, части работы рассматривается задача поиска вектора рангов веб-страниц, также известная как задача поиска вектора PageRank и Google problem. Обсуждается связь этой задачи и эргодической теоремы, дается описание различных численных методов решения этой задачи и используемых в них теоретических конструкций, таких как Markov chain Monte Carlo, равновесие макросистемы. 

УДК 519.217.2, 519.614.2 

DOI: 10.15372/SJNM20170402 

Ключевые слова: марковская цепь, эргодическая теорема, мультиномиальное распределение, концентрация меры, оценка максимального правдоподобия, Google problem, градиентный спуск, автоматическое дифференцирование, степенной закон распределения. 

Литература 

1. Агаев Р.П., Чеботарев П.Ю. Сходимость и устойчивость в задачах согласования характеристик (обзор базовых результатов) // Управление большими системами. 2010. Т. 30, № 1. С. 470-505.

2. Аникин А.С., Гасников А.В., Горнов А.Ю., Камзолов Д.И., Максимов Ю.В., Нестеров Ю.Е. Эффективные численные методы решения задачи PageRank для дважды разреженных матриц // Труды МФТИ. 2015. Т. 7, № 4. С. 74-94.

3. Арнольд В.И. Цепные дроби. М.: Изд-во МЦНМО, 2001. (Библиотека Математическое просвещение; вып. 14).

4. Баймурзина Д.Р., Гасников А.В., Гасникова Е.В. Теория макросистем с точки зрения стохастической химической кинетики // Труды МФТИ. 2015. Т. 7, № 4. С. 95-103.

5. Батищева Я.Г., Веденяпин В.В. II-й закон термодинамики для химической кинетики // Мат. моделирование. 2005. Т. 17, № 8. С. 106-110. 

6. Бланк М.Л. Устойчивость и локализация в хаотической динамике. М.: Изд-во МЦНМО, 2001. 

7. Богданов К.Ю. Кинетика социального неравенства // Квант. 2004. № 5. С. 7-12. 

8. Богданов К.Ю. Хищник и жертва: уравнение сосуществования // Квант. 2014. № 4-5. С. 13-17. 

9. Бузун Н.О., Гасников А.В., Гончаров Ф.О., Горбачев О.Г., Гуз С.А., Крымова Е.А., Натан А.А., Черноусова Е.О. Стохастический анализ в задачах. Часть 1 / А.В. Гасников. М.: Изд-во МФТИ, 2016. 

10. Вайдлих В. Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках. Пер. с англ. 3-е изд. М.: УРСС, 2010. 

11. Гальперин Г.А., Земляков А.Н. Математические бильярды. М.: Наука, 1990. (Серия Библиотечка Квант; вып. 77). 

12. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986. 

13. Введение в математическое моделирование транспортных потоков. 2-е изд. / А.В. Гасников. М.: Изд-во МЦНМО, 2013. 

14. Гасников А.В. Эффективные численные методы поиска равновесий в больших транспортных сетях: Дис. ... докт. физ.-мат. наук: 05.13.18. М.: Изд-во МФТИ, 2016. 

15. Гасников А.В., Гасникова Е.В. Об энтропийно-подобных функционалах, возникающих в стохастической химической кинетике при концентрации инвариантной меры и в качестве функций Ляпунова динамики квазисредних // Мат. заметки. 2013. Т. 94, № 6. С. 816-824. 

16. Гасников А.В., Гасникова Е.В., Мендель М.А., Чепурченко К.В. Эволюционные выводы энтропийной модели расчета матрицы корреспонденций // Мат. моделирование. 2016. Т. 28, № 4. С. 111-124. 

17. Гасников А.В., Дмитриев Д.Ю. Об эффективных рандомизированных алгоритмах поиска вектора PageRank // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 2015. Т. 55, № 3. С. 355-371. 

18. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике. Вводный курс. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009. 

19. Занг В.-Б. Синергетическая экономика: время и перемены в нелинейной экономической теории. М.: Мир, 1999. 

20. Зорич В.А. Математический анализ задач естествознания. М.: Изд-во МЦНМО, 2008. 

21. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1979. 

22. Калинкин А.В. Марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием // Успехи мат. наук. 2002. Т. 57, № 2(344). С. 23-84. 

23. Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике. М.: Мир, 1965. 

24. Кельберт М.Я., Сухов Ю.М. Марковские цепи как отправная точка теории случайных процессов и их приложений. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Т. 2. М.: Изд-во МЦНМО, 2010. 

25. Красносельский М.А., Крейн С.Г. Замечание о распределении ошибок при решении системы линейных уравнений при помощи итерационного процесса // Успехи мат. наук. 1952. Т. 7, № 4(50). С. 157-161. 

26. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные линейные системы. Метод положительных операторов. М.: Наука, 1985. 

27. Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика: учебное пособие. 3-е изд. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2013. 

28. Малышев В.А., Пирогов С.А. Обратимость и необратимость в стохастической химической кинетике // Успехи мат. наук. 2008. Т. 63, № 1(379). С. 4-36. 

29. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972. 

30. Поляк Б.Т., Тремба А.А. Решение задачи PageRank для больших матриц с помощью регуляризации // Автоматика и телемеханика. 2012. Вып. 11. С. 144-166. 

31. Пурмаль А.П., Слободецкая Е.М., Травин С.О. Как превращаются вещества. М.: Наука, 1984. (Серия Библиотечка Квант; вып. 36). 

32. Разжевайкин В.Н. Анализ моделей динамики популяций. Учебное пособие. М.: Изд-во МФТИ, 2010. 

33. Райгородский А.М. Модели интернета. Долгопрудный: Изд. дом Интеллект, 2013. 

34. Санов И.Н. О вероятности больших отклонений случайных величин // Мат. сборник. 1957. Т. 42(84), № 1. С. 11-44. 

35. Синай Я.Г. Как математики изучают хаос // Мат. просвещение. 2001. Т. 5. С. 32-46. 

36. Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах и минимумах. М.: Наука, 1986. (Серия Библиотечка Квант; вып. 56). 

37. Avrachenkov K., Lebedev D. PageRank of scale-free growing networks // Internet Math. 2006. Vol. 3, № 2. P. 207-232. 

38. Aldous D., Fill J. Reversible Markov Chains and Random Walks on Graphs. Berkeley: University of California, 2002. 

39. Ball K. An elementary introduction to modern convex geometry // Flavors of Geometry. MSRI Publ. 1997. Vol. 31. P. 1-58. 

40. Blum A., Hopcroft J., and Kannan R. Foundations of Data Science. http://www.cs.cornell.edu/jeh/book.pdf. 

41. Bogolubsky L., Dvurechensky P., Gasnikov A., Gusev G., Nesterov Yu., Raigorodskii A.,

Tikhonov A., and Zhukovskii M. Learning Supervised PageRank with Gradient-Based and Gradient-Free Optimization Methods // The Thirtieth Annual Conference on Neural Information Processing Systems (NIPS 2016). Barcelona, 2016. 

42. Boucheron S., Lugosi G., and Massart P. Concentration Inequalities: A Nonasymptotic Theory of Independence. Oxford University Press, 2013. 

43. Brin S., Page L. The anatomy of a large-scale hypertextual web search engine // Comput. Network ISDN Syst. 1998. Vol. 30, № 1-7. P. 107-117. 

44. Diaconis P. The Markov chain Monte Carlo revolution // Bulletin (New Series) of the AMS. 2009. Vol. 49, № 2. P. 179-205. 

45. Ethier N.S., Kurtz T.G. Markov Processes. New York: John Wiley & Sons Inc., 1986. 

46. Chung F. Laplacians and the Cheeger inequality for directed graphs // Annals of Combinatorics. 2005. Vol. 9, № 1. P. 1-19. 

47. Franceschet M. PageRank: Standing on the shoulders of giant // Communication of ACM. 2011. Vol. 54, № 6. P. 92-101. 

48. Grechnikov E.A. The degree distribution and the number of edges between nodes of given degrees in the Buckley-Osthus model of a random web graph // Internet Math. 2012. Vol. 8, № 3. P. 257-287. 

49. Jaynes E.T. Probability Theory. The Logic of Science. Cambridge University Press, 2003. 

50. Joulin A., Ollivier Y. Curvature, concentration and error estimates for Markov chain Monte Carlo // The Annals of Probability. 2010. Vol. 38, № 6. P. 2418-2442. 

51. Kapur J.N. Maximum - Entropy Models in Science and Engineering. New York: John Wiley & Sons Inc., 1989. 

52. Langville A.N., Meyer C.D. Google's PageRank and Beyond: The Science of Search Engine Rankings. Princeton University Press, 2006. 

53. Ledoux M. The Concentration of Measure Phenomenon // Math. Surveys Monogr. Providence, RI: AMS, 2001. Vol. 89. 

54. Levin D.A., Peres Y., and Wilmer E.L. Markov Chain and Mixing Times. AMS, 2009. 

55. Lezaud P. Chernoff-type bound for finite Markov chains // The Annals of Applied Probability. 1998. Vol. 8, № 3. P. 849-867. 

56. Meyn S.P., Tweedie R.L. Markov Chains and Stochastic Stability. London: Springer-Verlag, 2005. 

57. Montenegro R., Tetali P. Mathematical aspects of mixing times in Markov chains // Foundations and Trends in Theoretical Computer Science. 2016. Vol. 1, № 3. P. 237-354. 

58. Nesterov Yu., Nemirovski A. Finding the stationary states of Markov chains by iterative methods // Appl. Math. and Comput. 2015. Vol. 255. P. 58-65. 

59. Pandurangan G., Raghavan P., and Upfal E. Using PageRank to characterize web structure // Internet Math. 2006. Vol. 3, № 1. P. 1-20. 

60. Paulin D. Concentration inequalities for Markov chains by Marton couplings // Electron J. Probab. 2015. Vol. 20, № 79. P. 1-32. 

61. Sandholm W. Population Games and Evolutionary Dynamics. Economic Learning and Social Evolution. Cambridge: MIT Press, 2010. 

62. Spielman D. Lecture № 7. 2009. http://www.cse.cuhk.edu.hk/ chi/csc5160/notes/L07.pdf. 

63. Spokoiny V. Parametric estimation. Finite sample theory // The Annals of Statistics. 2012. Vol. 10, № 6. P. 2877-2909. 

64. Van Handel R. Probability in High Dimension. Princeton University, 2014. (Lecture Notes; ORF 570). 

65. Chaos IX: Chaotic or not? Chaos research today. http://www.chaos-math.org/fr/chaos-ix-chaotique-ou-pas. 

Статья написана по материалам курсов, прочитанных А.В. Гасниковым в ЛШСМ 2012, 2013 гг. (Ратмино, Дубна) и в июльской смене 2016 г. лагеря Сириус (Сочи). Исследование П.Е. Двуреченского в пункте 4 поддержано грантом Президента РФ (МК-1806.2017.9). Исследование А.В. Гасникова и П.Е. Двуреченского в пункте 5 выполнено в ИППИ РАН за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-50-00150).

Поступила в редакцию 7 марта 2017 г.  

 

Аппроксимационная схема для задачи поиска подпоследовательности, с.  379–392

Кельманов Александр Васильевич1,2, Романченко Семён Михайлович1, Хамидуллин Сергей Асгадуллович1 

1Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, просп. Акад. В.А. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090 

2Новосибирский национальный исследовательский государственный университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090  

kelm@math.nsc.ru (Кельманов А.В.),

rsm@math.nsc.ru (Романченко С.М.),

kham@math.nsc.ru (Хамидуллин С.А.)

 

Аннотация  

Рассматривается NP-трудная в сильном смысле задача поиска подпоследовательности с заданным числом элементов в конечной последовательности точек евклидова пространства. Критерием решения является минимум суммы квадратов расстояний от элементов искомой подпоследовательности до их геометрического центра. Выбор элементов подпоследовательности подчинен условию: разность между номерами последующего и предыдущего искомых элементов ограничена сверху и снизу заданными константами. Предложен приближенный алгоритм решения задачи. Доказано, что он является полностью полиномиальной аппроксимационной схемой (FPTAS), если размерность пространства ограничена константой. 

УДК 519.2+621.391 

DOI: 10.15372/SJNM20170403 

Ключевые слова: последовательность, евклидово пространство, минимум суммы квадратов расстояний, NP-трудность, FPTAS. 

Литература 

1. Кельманов А.В., Пяткин А.В. О сложности некоторых задач выбора подпоследовательности векторов // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 2012. Т. 52, № 12. С. 2284-2291.

2. Кельманов А.В., Романченко С.М., Хамидуллин С.А. Приближенные алгоритмы для некоторых труднорешаемых задач поиска подпоследовательности векторов // Дискретный анализ и исследование операций. 2012. Т. 19, № 3. С. 27-38. Перевод: Kel'manov A.V., Romanchenko S.M., and Khamidullin S.A. Approximation algorithms for some intractable problems of choosing a vector subsequence // J. Appl. Indust. Math. 2012. Vol. 6, № 4. P. 443-450. 

3. Кельманов А.В., Романченко С.М., Хамидуллин С.А. Точные псевдополиномиальные алгоритмы для некоторых труднорешаемых задач поиска подпоследовательности векторов // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 2013. Т. 53, № 1. С. 143-153. 

4. Aggarwal C.C. Data Mining: The Textbook. Springer International Publishing, 2015. 

5. Tak-chung Fu. A review on time series data mining // Engineering Applications of Artificial Intelligence. 2011. Vol. 24, iss. 11. P. 164-181. 

6. Kuenzer C., Dech S., and Wagner W. Remote Sensing Time Series. Remote Sensing and Digital Image Processing. Vol. 22. Switzerland: Springer International Publishing, 2015. 

7. Warren Liao T. Clustering of time series data - a survey // Pattern Recognition. 2005. Vol. 38, № 11. P. 1857-1874. 

8. Кельманов А.В., Пяткин А.В. NP-полнота некоторых задач выбора подмножества векторов // Дискретный анализ и исследование операций. 2010. Т. 17, № 5. С. 37-45. Перевод: Kel'manov A.V., Pyatkin А.V. NP-completeness of some problems of choosing a vector subset // J. Appl. Indust. Math. 2011. Vol. 5, № 3. P. 352-357. 

9. Aggarwal A., Imai H., Katoh N., and Suri S. Finding k points with minimum diameter and related problems // J. Algorithms. 1991. Vol. 12. P. 38-56. 

10. Кельманов А.В., Романченко С.М. Приближенный алгоритм решения одной задачи поиска подмножества векторов // Дискретный анализ и исследование операций. 2011. Т. 18, № 1. С. 61-69. Перевод: Kel'manov A.V., Romanchenko S.M. An approximation algorithm for solving a problem of search for a vector subset // J. Appl. Indust. Math. 2012. Vol. 6, № 1. P. 90-96. 

11. Шенмайер В.В. Аппроксимационная схема для одной задачи поиска подмножества векторов // Дискретный анализ и исследование операций. 2012. Т. 19, № 2. С. 92-100. Перевод: Shenmaier V.V. An approximation scheme for a problem of search for a vector subset // J. Appl. Indust. Math. 2012. Vol. 6, № 3. P. 381-386. 

12. Кельманов А.В., Романченко С. М. Псевдополиномиальные алгоритмы для некоторых труднорешаемых задач поиска подмножества векторов и кластерного анализа //  Автоматика и телемеханика. 2012. № 2. С. 156-162. Перевод: Kel'manov A.V., Romanchenko S.M. Pseudopolynomial algorithms for certain computationally hard vector subset and cluster analysis problems // Automation and Remote Control. 2012. Vol. 73, № 2. P. 349-354. 

13. Кельманов А.В., Романченко С.М. FPTAS для одной задачи поиска подмножества векторов // Дискретный анализ и исследование операций. 2014. Т. 21, № 3. С. 41-52. Перевод: Kel'manov A.V., Romanchenko S.M. An FPTAS for a vector subset search problem // J. Appl. Indust. Math. 2014. Vol. 8, № 3. P. 329-336. 

14. Кельманов А. В., Хамидуллин С. А. Апостериорное обнаружение заданного числа одинаковых подпоследовательностей в квазипериодической последовательности // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2001. Т. 41, № 5. С. 807-820. Перевод: Kel'manov A.V., Khamidullin S.A. Posterior detection of a given number of identical subsequences in a quasi-periodic sequence // Comput. Mathem. and Math. Phys. 2001. Vol. 41, № 5. P. 762-774.

 

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 15-01-00462, № 16-31-00186-мол-а, № 16-07-00168). 

Поступила в редакцию 1 сентября 2016 г. 

 

Исследование корректности задачи о распространении нелинейных акустико-гравитационных волн в атмосфере от переменного давления на нижней границе, с.  393–412

Курдяева Юлия Андреевна1, Кшевецкий Сергей Петрович1, Гаврилов Николай Михайлович2, Голикова Елена Владимировна3 

1Балтийский федеральный университет им. И. Канта, ул. Ал. Невского, 14, Калининград, Россия, 236006 

2Санкт-Петербургский государственный университет, ул. Ульяновская, Петергоф, Санкт-Петербург, Россия, 198504 

3Институт физики атмосферы им. А.М. Обухова РАН, Пыжевский пер., 3, Москва, Россия, 119017 

yakurdyaeva@gmail.com  (Курдяева Ю.A.),

SPKshev@gmail.com  (Кшевецкий С.П.),

n.gavrilov@spbu.ru  (Гаврилов Н.М.),

E.V.Golikova@gmail.com  (Голикова Е.В.)

 

Аннотация  

В настоящее время существуют международные сети микробарографов, с высоким разрешением записывающих волновые вариации давления на поверхности Земли. Это создает интерес к задачам о распространении волн в атмосфере от вариаций атмосферного давления. Рассматривается полная система нелинейных гидродинамических уравнений для атмосферного газа с нижними граничными условиями в виде волнообразных вариаций давления на поверхности Земли. Поскольку амплитуда волн у поверхности Земли мала, при анализе корректности задачи используются линеаризованные уравнения. Методом функционала волновой энергии показано, что в случае отсутствия диссипации решение граничной задачи однозначно определяется переменным полем давления на поверхности Земли. Соответствующая диссипативная задача корректна, если, кроме поля давления, заданы подходящие условия на скорость и температуру на поверхности Земли. Результаты исследования линейных задач обобщены на нелинейные уравнения. В случае изотермической атмосферы задача допускает гармонические по переменным x и t аналитические решения. Показано хорошее согласие численных решений с аналитическими. Исследование показало, что в граничной задаче температура и плотность могут быстро изменяться у нижней границы. Приведен пример решения трехмерной задачи с переменным давлением на поверхности Земли, взятом из экспериментальных наблюдений. Разработанные алгоритмы и компьютерные программы могут быть использованы для моделирования атмосферных волн от вариаций давления на поверхности Земли.

УДК 519.635.8; 519.635.4; 517.967; 532.59; 551.5

DOI: 10.15372/SJNM20170404

Ключевые слова: численное моделирование, модель атмосферы, акустико-гравитационные волны, нелинейность, корректность, граничная задача, суперкомпьютерная программа. 

Литература 

1. Gossard E.E., Hooke W.H. Waves in the Atmosphere. Amsterdam-Oxford-New York: Elsevier Sci. Publ. Co., 1975. 

2. Beer T. Atmospheric Waves. London: Adam Hilder, 1974.` 

3. Григорьев Г.И. Акустико-гравитационные волны в атмосфере Земли // Известия ВУЗов. Радиофизика. 1999. Т. 17, № 1. С. 3-23. 

4. Fritts D.C., Alexander M.J. Gravity wave dynamics and effects in the middle atmosphere // Rev. Geophys. 2003. Vol. 41. P. 1003. (Doi: 10.1029/2001RG000106). 

5. Fritts D.C., Vadas S. L, Wan K., and Werne J.A. Mean and variable forcing of the middle atmosphere by gravity waves // J. Atmos. Sol.-Terr. Phys. 2006. Vol. 68. P. 247-265. 

6. Ploogonven R., Snyder Ch. Inertial gravity waves spontaneously generated by jets and fronts. Part I: different baroclinic life cycles // J. of the Atmospheric Sciences. 2007. Vol. 64. P. 2502-2520. 

7. Plougonven R., Zhang F. Internal gravity waves from atmospheric jets and fronts // Rev. Geophys. 2014. Vol. 52. P. 33-76. (Doi: 10.1002/2012RG000419). 

8. Medvedev A.S., Gavrilov N.M. The nonlinear mechanism of gravity wave generation by meteorological motions in the atmosphere // J. Atmos. Terr. Phys. 1995. Vol. 57. P. 1221-1231. 

9. Blanc E., Farges T., Le Pichon A., and Heinrich P. Ten year observations of gravity waves from thunderstorms in western Africa // J. of Geophysical Research: Atmospheres. 2014. Vol. 119. P. 6409-6418. (Doi: 10.1002/2013JD020499). 

10. Pierce A.D., Coroniti S.C. A mechanism for the generation of acoustic-gravity waves during thunder-storm formation // Nature. 1966. Vol. 210. P. 1209-1210. (Doi: 10.1038/2101209a0). 

11. Balachandran N.K. Gravity waves from thunderstorms // Monthly weather review. 1980. Vol. 108. P. 804-816. 

12. Alexander M., May P., and Beres J. Gravity waves generated by convection in the Darwin area during the Darwin Area Wave Experiment // J. of Geophysical Research. 2004. Vol. 109, № D20S04. P. 1-11. 

13. Miller D.V. Thunderstorm induced gravity waves as a potential hazard to commercial aircraft // Presented at the American Meteorological Society 79th Annual conference, Windham Anatole Hotel, Dallas, TX, January 10-15. Dallas: American Meteorological Society, 1999. 

14. Fovell R., Durran D., and Holton J.R. Numerical simulation of convectively generated stratospheric gravity waves // J. of the Atmospheric Sciences. 1992. Vol. 49, № 16. P. 1427-1442. 

15. Gavrilov N.M., Yudin V.A. Model for coefficients of turbulence and effective Prandtl number produced by breaking gravity waves in the upper atmosphere // J. of Geophysical Research. 1992. Vol. 97. P. 7619-7624. (Doi: 10.1029/92JD00185). 

16. Gavrilov N.M., Fukao S. A comparison of seasonal variations of gravity wave intensity observed by the MU radar with a theoretical model // J. of the Atmospheric Sciences. 1999. Vol. 56. P. 3485-3494. (Doi: 10.1175/1520-0469(1999)056<3485:ACOSVO>2.0.CO;2). 

17. Baker D., Schubert G. Convectively generated internal gravity waves in the lower atmosphere of Venus. Part II: mean wind shear and wave-mean flow interaction // J. of the Atmospheric Sciences. 2000. Vol. 57. P. 200-215. 

18. Fritts D.C., Garten J.F. Wave breaking and transition to turbulence in stratified shear flows // J. of the Atmospheric Sciences. 1996. Vol. 53. P. 1057-1085. 

19. Andreassen O., Hvidsten O., Fritts D., and Arendt S. Vorticity dynamics in a breaking internal gravity wave. Part 1. Initial instability evolution // J. Fluid. Mech. 1998. Vol. 367. P. 27-46. 

20. Yu Y., Hickey M.P., and Liu Y. A numerical model characterizing internal gravity wave propagation into the upper atmosphere // Adv. Space Res. 2009. Vol. 44. P. 836-46. (Doi: 10.1016/j.asr.2009.05.014). 

21. Liu X., Xu J., Liu H.L., and Ma R. Nonlinear interactions between gravity waves with different wavelengths and diurnal tide // J. of Geophysical Research. 2008. Vol. 113, № D08112. (Doi: 10.1029/2007JD009136). 

22. Liu H.L., Foster B.T., Hagan M.E., McInerney J.M., Maute A., Qian L., Richmond A.D., Roble R.G., Solomon S.C., Garcia R.R., Kinnison D., Marsh D.R., Smith A.K., Richter J., Sassi F., and Oberheide J. Thermosphere extension of the whole atmosphere community climate model // J. of Geophysical Research. 2010. Vol. 115, № A12302. (Doi: 10.1029/2010JA015586). 

23. Gavrilov N.M., Kshevetskii S.P. Numerical modeling of propagation of breaking nonlinear acoustic-gravity waves from the lower to the upper atmosphere // Adv. Space Res. 2013. Vol. 51. P. 1168-1174. (Doi: 10.1016/j.asr.2012.10.023). 

24. Gavrilov N.M., Kshevetskii S.P. Numerical modeling of the propagation of nonlinear acoustic-gravity waves in the middle and upper atmosphere // Izvestiya, Atmospheric and Oceanic Physics. 2014. Vol. 50, iss. 1. P. 66-72. (Doi: 10.1134/S0001433813050046). 

25. Kshevetskii S.P., Kulichkov S.N. Effects that internal gravity waves from convective clouds have on atmospheric pressure and spatial temperature-disturbance distribution // Izvestiya, Atmospheric and Oceanic Physics. 2015. Vol. 51, № 1. P. 42-48. (Doi: 10.1134/S0001433815010065). 

26. Karpov I.V., Kshevetskii S.P. Formation of large-scale disturbances in the upper atmosphere caused by acoustic gravity wave sources on the earth's surface // Geomagnetism and Aeronomy. 2014. Vol. 54, № 4. P. 553-562. (Doi: 10.1134/S0016793214040173). 

27. Jonson R.H., Young G.S. Heat and moisture budjets of tropical mesoscale anvil clouds // J. of the Atmospheric Sciences. 1983. Vol. 80. P. 2138-2147. 

28. Sao Sabbas F.T., Rampinelli V.T., and Santiago J. Characteristics of sprite and gravity wave convective sources present in satellite IR images during the SpreadFEx 2005 in Brazil // Ann. Geophys. 2009. Vol. 27. P. 1279-1293. 

29. Ермаков В.И., Стожков Ю.И. Физика грозовых облаков. М.: ФИAН, 2004. 

30. Lehmiller G.S., Bluestein H.B., Neiman P.J., Ralf F.M., and Feltz F.W. Wind structure in a supercell thunder storm as a measured by a UHF wind profiler // Mon. Weather Rev. 2001. Vol. 129. P. 1968-1986. 

31. Gavrilov N.M., Kshevetskii S.P., and Koval A.V. Verifications of the high-resolution numerical model and polarization relations of atmospheric acoustic-gravity wave // Geosci. Model Dev. 2015. Vol. 8. P. 1831-1838. (Doi: 10.5194/gmd-8-1831-2015). 

32. “AtmoSym” model of atmospheric processes. 2016. http://atmos.kantiana.ru. 

33. Picone J.M., Hedin A.E., Drob D.P., and Aikin A.C. NRL-MSISE-00 empirical model of the atmosphere: statistical comparisons and scientific issues // J. of Geophysical Research. 2002. Vol. 107, № A12. (Doi: 10.1029/2002JA009430). 

34. Banks P.M., Kockarts G. Aeronomy. Part B. New York: Elsevier, 1973. 

35. Gavrilov N.M., Kshevetskii S.P. Three-dimensional numerical simulation of nonlinear acoustic-gravity wave propagation from the troposphere to the thermosphere // Earth Planets Space. 2014. Vol. 66, № 88. (Doi: 10.1186/1880-5981-66-88). 

36. Gavrilov N.M. Estimates of turbulent diffusivities and energy dissipation rates from satellite measurements of spectra of stratospheric refractivity perturbations // Atmos. Chem. Phys. 2013. Vol. 13. P. 12107-12116. (Doi: 10.5194/acp-13-12107-2013). 

37. Lax P.D., Wendroff B. Hyperbolic systems of conservation laws // Comm. Pure Appl. Math. 1960. Vol. 13. P. 217-237. 

38. Gavrilov N.M., Kshevetskii S.P. Dynamical and thermal effects of nonsteady nonlinear acoustic-gravity waves propagating from tropospheric sources to the upper atmosphere // Adv. Space Res. 2015. Vol. 55. (Doi: 10.1016/j.asr.2015.01.033). 

39. Kshevetskii S.P. Modelling of propagation of internal gravity waves in gases // Comp. Math. Math. Phys. 2001. Vol. 41. P. 295-310. 

40. Kshevetskii S.P. Internal gravity waves in nonexponentially density-stratified fluids // Comp. Math. Math. Phys. 2002. Vol. 42, № 10. P. 1510-1521.

 

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект № 17-05-00574).

Поступила в редакцию 20 марта 2017 г. 

 

Кубатурные формулы на сфере, инвариантные относительно группы вращений икосаэдра с инверсией, с. 413–423 

Попов Анатолий Степанович

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090 

popov@labchem.sscc.ru

 

Аннотация

     Описывается алгоритм поиска наилучших (в некотором смысле) кубатурных формул на сфере, инвариантных относительно преобразований группы вращений икосаэдра с инверсией. Проведены расчёты по этому алгоритму с целью определить параметры всех наилучших кубатурных формул данного вида симметрии до 79-го порядка точности. Даются с 16-ю значащими цифрами параметры новых кубатурных формул 21-го, 25-го и 29-го порядков точности. 

УДК 519.644.7 

DOI: 10.15372/SJNM20170405 

Ключевые слова: численное интегрирование, инвариантные кубатурные формулы, инвариантные многочлены, группа вращений икосаэдра. 

Литература 

1. Соболев С.Л. О кубатурных формулах на сфере, инвариантных при преобразовании конечных групп вращений // Докл. АН СССР. 1962. Т. 146, № 2. C. 310-313. 

2. Соболев С.Л. О формулах механических кубатур на поверхности сферы // Сиб. матем. журн. 1962. Т. 3, № 5. C. 769-796. 

3. McLaren A.D. Optimal numerical integration on a sphere // Math. Comput. 1963. Vol. 17, № 83. P. 361-383. 

4. Лебедев В.И. Значения узлов и весов квадратурных формул типа Гаусса-Маркова для сферы от 9-го до 17-го порядка точности, инвариантных относительно группы октаэдра с инверсией // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1975. Т. 15, № 1. С. 48-54. 

5. Лебедев В.И. О квадратурах на сфере // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1976. Т. 16, № 2. С. 293-306. 

6. Лебедев В.И. Квадратурные формулы для сферы 25-29-го порядка точности // Сиб. матем. журн. 1977. Т. 18, № 1. C. 132-142. 

7. Лебедев В.И. Квадратурная формула 35-го порядка для сферы // Теория кубатурных формул и вычисл. математика / Тр. конференции по дифф. уравнениям и вычисл. математике. Отв. редактор акад. С.Л. Соболев. Hовосибирск: Наука, 1980. C. 110-114. 

8. Лебедев В.И., Скороходов А.Л. Квадратурные формулы для сферы 41-, 47- и 53-го порядков // Докл. РАH. 1992. Т. 324, № 3. C. 519-524. 

9. Лебедев В.И. Квадратурная формула для сферы 59-го алгебраического порядка точности // Докл. РАH. 1994. Т. 338, № 4. C. 454-456. 

10. Лебедев В.И., Лайков Д.Н. Квадратурная формула для сферы 131-го алгебраического порядка точности // Докл. РАH. 1999. Т. 366, № 6. C. 741-745. 

11. Лебедев В.И., Лайков Д.Н. Квадратурные формулы для сферы гауссова типа порядков 65, 71, 77, 83, 89, 95 и 101 // Кубатурные формулы и их приложения / Материалы 5-го Международного семинара-совещания. Красноярск, 2000. C. 106-118. 

12. Лебедев В.И., Лайков Д.Н. Квадратурные формулы для сферы гауссового типа порядков 107, 113, 119 и 125 // Кубатурные формулы и их приложения / Тр. 6-го Международного семинара-совещания. Уфа, 2002. C. 82-94. 

13. Коняев С.И. Квадратурные формулы на сфере, инвариантные относительно группы икосаэдра. Москва, 1975. (Препринт / Ин-т атомной энергии АН СССР; ИАЭ-2516). 

14. Коняев С.И. Квадратуры типа Гаусса для сферы, инвариантные относительно группы икосаэдра с инверсией // Матем. заметки. 1979. Т. 25, № 4. C. 629-634. 

15. Коняев С.И. Формулы численного интегрирования на сфере // Теоремы вложения и их приложения / Тр. семинара акад. С.Л. Соболева. Новосибирск, 1982. № 1. C. 75-82. 

16. Коняев С.И. Квадратурные формулы для сферы 23 и 27 порядков, инвариантные относительно группы икосаэдра с инверсией. Москва, 1990. (Препринт / Ин-т атомной энергии АН СССР; ИАЭ-5072/16).  

17. Konyaev S.I. On invariant quadrature formulae for a sphere // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1995. Vol. 10, № 1. P. 41-47. 

18. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. М.: Наука, 1981. 

19. Попов А.С. Кубатурные формулы для сферы, инвариантные относительно группы тетраэдра // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1995. Т. 35, № 3. C. 459-466. Перевод: Popov A.S. Cubature formulae for a sphere which are invariant with respect to the tetrahedral group // Comput. Mathem. and Math. Physics. 1995. Vol. 35, № 3. P. 369-374. 

20. Попов А.С. Кубатурные формулы высоких порядков точности для сферы, инвариантные относительно группы тетраэдра // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1996. Т. 36, № 4. C. 5-9. Перевод: Popov A.S. Cubature formulae of high orders of accuracy for a sphere which are invariant with respect to the tetrahedral group // Comput. Mathem. and Math. Physics. 1996. Vol. 36, № 4. P. 417-421. 

21. Попов А.С. Кубатурные формулы на сфере, инвариантные относительно группы вращений октаэдра // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1998. Т. 38, № 1. C. 34-41. Перевод: Popov A.S. Cubature formulas on a sphere that are invariant with respect to octahedron rotation groups // Comput. Mathem. and Math. Physics. 1998. Vol. 38, № 1. P. 30-37. 

22. Попов А.С. Новые кубатурные формулы для сферы, инвариантные относительно группы вращений октаэдра // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2001. Т. 4, № 3. C. 281-284. 

23. Попов А.С. Поиск наилучших кубатурных формул для сферы, инвариантных относительно группы вращений октаэдра // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2002. Т. 5, № 4. C. 367-372. 

24. Попов А.С. Поиск наилучших кубатурных формул для сферы, инвариантных относительно группы вращений октаэдра с инверсией // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2005. Т. 8, № 2. C. 143-148. 

25. Попов А.С. Кубатурные формулы на сфере, инвариантные относительно группы вращений икосаэдра // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2008. Т. 11, № 4. C. 433-440. Перевод: Popov A.S. Cubature formulas on a sphere invariant under the icosahedral rotation group // Numerical Analysis and Applications. 2008. Vol. 1, № 4. P. 355-361. 

26. Попов А.С. Новые кубатурные формулы на сфере, инвариантные относительно группы вращений икосаэдра // Кубатурные формулы и их приложения / Материалы 10-го Международного семинара-совещания. Улан-Удэ, 2009. C. 111-118. 

27. Попов А.С. Кубатурные формулы на сфере, инвариантные относительно группы тетраэдра с инверсией // Сибирские электронные математические известия. 2014. Т. 11. C. 372-379. 

28. Попов А.С. Кубатурные формулы на сфере, инвариантные относительно групп симметрии правильных многогранников // Сибирские электронные математические известия. 2017. Т. 14. C. 190-198.  

29. Диткин В.А. О некоторых приближенных формулах для вычисления трехкратных интегралов // Докл. АН СССР. 1948. Т. 62, № 4. C. 445-447. 

30. Диткин В.А., Люстерник Л.А. Об одном приеме практического гармонического анализа на сфере // Вычисл. математика и вычисл. техника. М.: Машгиз, 1953. № 1. C. 3-13.

 

Поступила в редакцию 21 февраля 2017 г. 

 

Краевая задача для одной переопределенной стационарной системы, возникающей в двухскоростной гидродинамике, с.  425–437

Урев Михаил Вадимович1,2,3, Имомназаров Холматжон Худайназарович1, Тан Жиан-Ган4

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, просп. Акад. М.А. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090

2Новосибирский национальный исследовательский государственный университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090

3Сибирский институт управления - филиал РАНХиГС, ул. Нижегородская, 6, Новосибирск, 630102

4YiLi Normal University, 448, Jiefang Road, Yinning Xinjiang, P.R. of China 

mih.urev2010@yandex.ru  (Урев М.В.),

imom@omzg.sscc.ru (Имомназаров Х.Х.),

tjg@ylsy.edu.cn  (Тан Жиан-Ган).

 

Аннотация  

Рассматривается стационарная система двухскоростной гидродинамики с одним давлением и неоднородными дивергентными и краевыми условиями для двух скоростей. Данная система является переопределенной. Заменой искомых функций задача приводится к однородной. Решение полученной системы сводится к последовательному решению двух краевых задач: задачи Стокса для одной скорости и давления и переопределенной системы для другой скорости. Приведены обобщенные постановки этих задач и их дискретные аппроксимации по методу конечных элементов. Для решения переопределенной задачи применяется новый вариант метода регуляризации. 

УДК 519.632 

DOI: 10.15372/SJNM20170406 

Ключевые слова: переопределенная стационарная система двухскоростной гидродинамики, множитель Лагранжа, метод конечных элементов.

Литература 

1. Доровский В.Н. Образование диссипативных структур в процессе необратимой передачи импульса литосферы // Геология и геофизика. 1987. № 6. С. 108-117.

2. Доровский В.Н., Перепечко Ю.В. Теория частичного плавления // Геология и геофизика. 1989. № 9. С. 56-64.

3. Джураев Д., Имомназаров Х.Х., Урев М.В. Краевая задача для одной переопределенной системы, возникающей в двухскоростной гидродинамике // Тез. Республиканской научной конф. (с участием зарубежных ученых) ``Математическая физика и родственные проблемы современного анализа'', Бухара, 26-27 ноября 2015 г. Бухара, 2015. C. 197-198.

4. Имомназаров Х.Х., Имомназаров Ш.Х., Маматкулов М.М., Черных Е.Г. Фундаментальное решение для стационарного уравнения двухскоростной гидродинамики с одним давлением // Сиб. журн. индустр. матем. 2014. Т. 17, № 4. С. 60-66. 

5. Жабборов Н.М., Имомназаров Х.Х. Некоторые начально-краевые задачи механики двухскоростных сред. Ташкент: Изд-во НУУз, 2012. 

6. Гудович И.С., Крейн С.Г., Куликов И.М. Краевые задачи для уравнений Максвелла // Доклады АН СССР. 1972. Т. 207, № 2. С. 321-324. 

7. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 

8. Girault V., Raviart P.-A. Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations. Berlin: Springer-Verlag, 1986. 

9. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 

10. Кремер И.А., Урев М.В. Регуляризация стационарной системы Максвелла в неоднородной проводящей среде и решение ее методом конечных элементов // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2009. Т. 12, № 2. С. 161-170.

11. Nedelec J.C. A new family of mixed finite elements in \mathbb R3 // Numer. Math. 1986. Vol. 50. P. 57-81. 

12. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. 

13. Кремер И.А., Урев М.В. Решение методом конечных элементов регуляризованной версии стационарной системы Максвелла в неоднородной проводящей среде // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2010. Т. 13, № 1. С. 33-49. 

14. Иванов М.И., Кремер И.А., Урев М.В. Решение методом регуляризации квазистационарной системы Максвелла в неоднородной проводящей среде // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 2012. Т. 52, № 3. С. 564-576. 

15. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М.: Мир, 1991. 

16. Иванов М.И., Катешов В.А., Кремер И.А., Эпов М.И. Программное обеспечение МОДЕМ 3D для интерпретации данных нестационарных зондирований с учетом эффектов вызванной поляризации // Записки Горного института. 2009. Т. 183. С. 242-245.

 

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 14-11-00485П). 

Поступила в редакцию 10 января 2017 г. 

 

Об описании пар квазикоммутирующих теплицевых и ганкелевых матриц, с.  439–444

Чугунов Вадим Николаевич 1, Икрамов Хаким Дододжанович2 

1Институт вычислительной математики РАН, ул. Губкина, 8, Москва, 119333 

2Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Ленинские горы, ГСП-1, Москва, 119991 

chugunov.vadim@gmail.com  (Чугунов В.Н.),

ikramov@cs.msu.su  (Икрамов Х.Д.)

 

Аннотация  

Квадратные матрицы A и B одного порядка квазикоммутируют, если ABBA для некоторого параметра σ. Классические определения коммутирования и антикоммутирования являются частными случаями этого определения. Мы даем полное описание множеств пар квазикоммутирующих теплицевых и ганкелевых матриц для σ ≠ ± 1. 

УДК 512.643 

DOI: 10.15372/SJNM20170407 

Ключевые слова: теплицева матрица, ганкелева матрица, ϕ-циркулянт, квазикоммутирующие матрицы.

Литература

1. Гельфгат В.И. Условия коммутирования теплицевых матриц // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1998. Т. 38, № 1. C. 11-14. Перевод: Gel'fgat V.I. Commutation criterion for Toeplitz matrices // Comput. Mathem. and Math. Physics. 1998. Vol. 38, № 1. P. 7-10. 

2. Икрамов Х.Д. Об описании нормальных теплицевых матриц // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1994. Т. 34, № 3. С. 473-479. Перевод: Ikramov Kh.D. Describing normal Toeplitz matrices // Comput. Mathem. and Math. Physics. 1994. Vol. 34, № 3. P. 399-404. 

3. Chugunov V.N., Ikramov Kh.D. A complete solution of the normal Hankel problem // Linear Algebra and its Appl. 2010. Vol. 432, № 12. P. 3210-3230. 

4. Гельфгат В.И. Условия коммутирования ганкелевых матриц // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 2011. Т. 51, № 7. С. 1181-1193. Перевод: Gel'fgat V. I. Commutation conditions for Hankel matrices // Comput. Mathem. and Math. Physics. 2011. Vol. 51, № 7. P. 1102-1113. 

5. Чугунов В.Н. Об описании пар антикоммутирующих ганкелевых матриц // Записки научных семинаров ПОМИ им. В.А. Стеклова Российской академии наук. 2016. T. 453. C. 243-257. Перевод: Chugunov V.N. On the description of pairs of anti-commuting Hankel matrices// J. of Mathematical Sciences. 2016. Vol. 453, № 6. P. 971-981. 

6. Chugunov V.N., Ikramov Kh.D. Permutability of Toeplitz and Hankel matrices // Linear Algebra Appl. 2015. Vol. 467. P. 226-242. 

7. Kassel C. Quantum Groups. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 155. New York: Springer-Verlag, 1995. 

8. Manin Yu.I. Quantum Groups and Non-Commutative Geometry. Montreal: CRM, 1988.

 

Работа первого автора поддержана грантом Российского научного фонда (проект № 14-11-00806). 

Поступила в редакцию 27 февраля 2017 г. 

 

Константа Лебега локальных кубических сплайнов с равноотстоящими узлами, с.  445–451

Шевалдин Валерий Трифонович 1, Шевалдина Ольга Яковлевна2 

1Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, ул. С. Ковалевской, 16, Екатеринбург, 620990 

2Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина, ул. Мира, 19, Екатеринбург, 620002 

Valerii.Shevaldin@imm.uran.ru  (Шевалдин В.Т.),

o.ja.shevaldina@urfu.ru  (Шевалдина О.Я.)

 

Аннотация

Доказано, что равномерная константа Лебега (норма линейного оператора из C в C) локальных кубических сплайнов с равноотстоящими узлами, точных на кубических многочленах, равна 11/9. 

УДК 519.65 

DOI: 10.15372/SJNM20170408 

Ключевые слова: константа Лебега, локальные кубические сплайны, равноотстоящие узлы. 

Литература

1. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980.

2. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984.

3. Шевалдин В.Т. Аппроксимация локальными сплайнами. Екатеринбург: УрО РАН, 2014.

4. Стрелкова Е.В., Шевалдин В.Т. О константах Лебега локальных параболических сплайнов // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21, № 1. С. 213-219. Перевод: Strelkova E.V., Shevaldin V.T. On Lebesgue constants of local parabolic splines // Proc. of the Steklov Institute of Mathematics. 2015. Vol. 289, suppl. 1. P. 192-198.

5. Стрелкова Е.В., Шевалдин В.Т. О равномерных константах Лебега локальных экспоненциальных сплайнов с равноотстоящими узлами // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21, № 4. С. 261-272. Перевод: Strelkova E.V., Shevaldin V.T. On uniform Lebesgue constants of local exponential splines with equidistant knots // Proc. of the Steklov Institute of Mathematics. 2017. Vol. 296, suppl. 1. P. 206-217. 

6. Стрелкова Е.В., Шевалдин В.Т. О равномерных константах Лебега локальных тригонометрических сплайнов третьего порядка // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 2. С. 245-254. 

7. Волков Ю.С., Стрелкова Е.В., Шевалдин В.Т. Локальная аппроксимация сплайнами со смещением узлов // Матем. труды. 2011. Т. 14, № 2. С. 73-82. Перевод: Volkov Yu.S., Strelkova E.V., Shevaldin V.T. Local approximation by splines with displacement of nodes // Siberian Advances in Mathematics. 2013. Vol. 23, № 1. P. 63-75. 

8. Richards F. Best bounds for the uniform periodic spline interpolation operator // J. Approx. Theory. 1973. Vol. 7, № 3. P. 302-317. 

9. Волков Ю.С., Субботин Ю.Н. 50 лет задаче Шенберга о сходимости сплайн-интерполяции // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 1. С. 52-67. Перевод: Volkov Yu.S., Subbotin Yu.N. Fifty years of Schoenberg's problem on the convergence of spline interpolation // Proc. of the Steklov Institute of Mathematics. 2015. Vol. 288, suppl. 1. P. 222-237.

 

Работа выполнена при финансовой поддержке Программы УрО РАН (проект № 15-16-1-4), а также при финансовой поддержке в рамках Постановления Правительства РФ № 211 (контракт № 02.А03.21.0006). 

Поступила в редакцию 20 марта 2017 г.