Сибирский журнал вычислительной математики

Том 1, 1998

Содержание

Номер 1, с. 1-98
Номер 2, с. 99-196
Номер 3, с. 197-297
Номер 4, с. 295-394


Номер 1, с. 1-98

А.C. Алексеев
О научно-образовательном потенциале Сибири
в  сфере вычислительной и прикладной математики (предисловие главного редактора)
(на русском), с. 1-2.

А.C. Алексеев
О научно-образовательном потенциале Сибири
в  сфере вычислительной и прикладной математики (предисловие главного редактора)
(на английском), с. 3-4.

Годунов С.К., Гордиенко В.М.
Пространство Крылова и уравнение Калмана
(на русском), с. 5-10.

Оптимальное, в некотором смысле, представление векторов в пространстве Крылова строится с помощью вариационной задачи. В качестве характеристики пространства Крылова предлагается использовать норму решения матричного уравнения Калмана, описывающего экстремаль. Эта характеристика может использоваться как мера управляемости в стационарных дискретных задачах оптимального управления.

Горбань А.Н.
Обобщенная аппроксимационная теорема и вычислительные возможности нейронных сетей
(на русском), с. 11-24. 

Исследуются вычислительные возможности искусственных нейронных сетей. В связи с этим наметились возврат к классической постановке вопроса о представлении функций многих переменных с помощью суперпозиций и сумм функций одного переменного и новая редакция этого вопроса (ограничение одной произвольно выбранной нелинейной функцией одного переменного). 

Показано, что можно получить сколь угодно точное приближение любой непрерывной  функции многих переменных, используя операции сложения и умножения на число, суперпозицию функций, линейные функции, а также одну произвольную непрерывную нелинейную функцию одного переменного. Для многочленов получен алгебраический вариант теоремы. 

Для нейронных сетей полученные результаты означают, что от функции активации нейрона требуется только нелинейность.

Коновалов А.Н.
Сопряженно-факторизованные модели в задачах математической физики
(на русском), с. 25-58. 

Изучаются линейные математические  модели, основанные на некотором (некоторых)  законе  (законах)  сохранения.  Показано,  что в этом случае  основные  операторы  непрерывной  модели  изначально имеют сопряженно-факторизованную структуру. Это свойство позволяет существенно  упростить  переход  к  адекватным  сеточным моделям и построить  экономичные  алгоритмы  определения  параметров модели  в  различных   постановках.  Полученные  результаты  можно рассматривать  как дальнейшее  развитие теории  опорных операторов для разностных схем дивергентного вида.

Менихес Л.Д, Танана В.П.
Конечномерная аппроксимация в методе М.М. Лаврентьева
(на русском), с. 59-66. 

Рассматривается обобщение метода М.М. Лаврентьева для решения некорректных задач. Получены необходимые и достаточные условия сходимости в терминах теории двойственности банаховых пространств.

Михайлов Г.А.
Новые методы Монте-Карло для решения краевых задач (и~связанные с этим вопросы)
(на английском), с. 67-76. 

Статья содержит обзор новых методов Монте-Карло, представленных в недавно опубликованных работах [1-9]. Они посвящены решению задачи Дирихле с комплексными параметрами, смешанной задачи для параболического уравнения, задачи оценки главного собственного значения и аналогичных задач со случайными параметрами. Рассматриваются как "блуждания по сферам", так и "блуждания по границе". Кроме того, представлен эффективный метод улучшения генераторов случайных чисел с помощью суммирования по модулю единица.

Остапенко В.В.
Аппроксимация условий Гюгонио явными консервативными разностными схемами на нестационарных ударных волнах
(на русском), с. 77-87.

Введено понятие (ε, δ)-условия Гюгонио, представляющее собой соотношение, связывающее значения обобщенного решения в точках (t-δ, x(t) + ε) и (t+δ, x(t) - ε) по обе стороны от линии фронта x=x(t) нестационарной ударной волны. Показано, что явные двухслойные по времени консервативные разностные схемы при δ 0 аппроксимируют (ε, δ)-условия Гюгонио лишь с первым порядком независимо от их точности на гладких решениях. В то же время при δ = 0 (на ударных волнах, линии фронтов которых являются достаточно гладкими) эти схемы аппроксимируют (ε, 0)-условия Гюгонио с тем же порядком, который они имеют на гладких решениях.

Сорокин С.Б.
Метод поэтапного обращения для теории упругости
(на английском), с. 89-98.

Работа посвящена описанию нового экономичного метода решения разностной задачи в стандартных областях - метода поэтапного обращения - для задачи теории упругости в двумерном случае. Для получения решения задачи этим методом требуется N^{3/2} арифметических операций, N - число неизвестных. Это немногим больше, чем N\ln(N) - число операций, необходимое для реализации известных экономичных методов решения эллиптических уравнений с разделяющимися переменными (быстрое преобразование Фурье, метод циклической редукции). Но существенно меньше, чем N^3 - число операций, необходимое для реализации метода Гаусса для этой задачи.


Номер 2, с. 99-196

Быкова Е.Г., Шайдуров В.В.
Неоднородная разностная схема четвертого  порядка точности в области с гладкой границей
(на русском), с. 99-118. 

Работа посвящена построению и обоснованию неоднородной разностной схемы четвертого порядка точности для двумерной краевой задачи Дирихле с эллиптическим уравнением второго порядка в области с гладкой криволинейной границей. Эта схема называется неоднородной из-за изменения шаблона разностного оператора от узла к узлу. Во внутренних узлах используются девяти- и стандартный пятиточечный шаблоны. Вблизи границы используется специальный тип шаблона. В работе приведена конструкция схемы, и дано обоснование устойчивости и точности ее решения. Численные примеры подтверждают теоретические заключения о четвертом порядке точности приближенного решения.

Войтишек А.В.
О допустимом классе восполнений для дискретно-стохастических процедур глобальной оценки функций
(на русском), с. 119-134.

В данной работе рассмотрены вопросы построения и сходимости численных дискретно-стохастических процедур аппроксимации функций, представленных в интегральной форме. Построение процедуры включает введение дискретной сетки, оценку значений функции в узлах сетки методом Монте-Карло и последующее восполнение функции по полученным значениям в узлах. Результаты, полученные ранее для мультилинейного восполнения, обобщены на случай восполнения, основанного на разложении исследуемой функции по базису из положительных функций, образующих разбиение единицы. В качестве примера такого восполнения рассмотрена аппроксимация Стренга-Фикса. Сформулированы утверждения о скорости сходимости дискретно-стохастических процедур аппроксимации интеграла, зависящего от параметра.

Мальбахов В.М.
К вопросу о статистических свойствах гидродинамических моделей, основанных на решениях уравнений Буссинеска
(на русском), с. 135-142. 

На примере упрощенных уравнений Буссинеска показано, что решения, описывающие вихревые структуры, именуемые конвективными ячейками, неустойчивы по отношению к воздействию на них возмущениями конечной амплитуды. Это свойство решений позволило выдвинуть гипотезу относительно механизма формирования спектра ансамбля конвективных ячеек и перейти от гидродинамической модели к модели статистической. Работа обобщает ранее полученные результаты, относящиеся к адиабатической атмосфере, на более общий случай политропной атмосферы. Этот случай включает в себя спонтанную конвекцию, приводящую к образованию мезомасштабных конвективных ансамблей. В атмосфере такие ансамбли, состоящие из термиков и конвективных облаков, играют важную роль в формировании погоды и климата планеты.

Намм Р.В.
К характеристике предельной точки в методе итеративной prox-регуляризации
(на русском), с. 143-152. 

Исследуется зависимость определяемого решения от вырабатываемых точек в методе итеративной prox-регуляризации в применении к полукоэрцитивным вариационным неравенствам

Рукавишников В.А., Беспалов А.Ю.
Об h-p версии метода конечных элементов для одномерной краевой задачи с сингулярностью решения
(на английском), с. 153-170. 

Исследуется h-p версия метода конечных элементов для одномерной модельной краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных и с сильной сингулярностью решения. Схема метода конечных элементов построена на основе определения R_\nu-обобщенного решения задачи, при этом конечноэлементное пространство содержит сингулярные степенные функции. Благодаря использованию сеток со сгущением к точке особенности и специальному построению линейного степенного вектора аппроксимационных функций, установлена двусторонняя экспоненциальная оценка невязки метода конечных элементов, близкая к оптимальной.

Скурин Л.И.
Итерационно-маршевый метод решения задач механики жидкости и газа
(на русском), с. 171-182.

Проведено исследование возможности использования идеи глобальных итераций по давлению для решения полных систем уравнений Навье-Стокса как для жидкости, так и для газа, для задач стационарных и нестационарных, для задач двумерных и трехмерных. Дано обобщение результатов, опубликованных ранее, и изложены новые результаты, относящиеся к устойчивости и сходимости метода и к его апробации на задачах о движении жидкости (закрученные потоки с отрывными зонами, генерирование внутренних и поверхностных волн парой вихрей) и газа (движение в соплах при наличии отрыва, формирования скачка уплотнения вследствие вязких эффектов). 

Основной вывод: предложенный метод дает возможность строить численные алгоритмы решения разнообразных задач механики жидкости и газа на основе единого принципа. Эти алгоритмы просты, поскольку их основным элементом является маршевая процедура. Из сказанного следует возможность построения программ, обладающих высокой степенью универсальности.

Сушкевич Т.А., Стрелков С.А., Куликов А.К., Максакова С.В.
Модель переноса поляризованного излучения в плоском слое с границей раздела двух сред

Сформулирована новая математическая модель переноса поляризованного излучения в двухсредном плоском слое с внутренней отражающей и пропускающей границей раздела. Решение общей векторной краевой задачи для кинетического уравнения сведено к вычислению векторного оптического передаточного оператора (ВОПО). Ядрами ВОПО являются тензоры функций влияния (ТФВ) обеих сред.  Выделены базовые модели векторных функций влияния (ВФВ).  Метод Т-матриц развит и обобщен на теорию многократного рассеяния с учетом механизмов поляризации и деполяризации излучения в двухсредной системе.

Максакова С.В.
Модель переноса поляризованного излучения в плоском слое с границей раздела двух сред
(на русском), с. 183-194. 

Сформулирована новая математическая модель переноса поляризованного излучения в двухсредном плоском слое с внутренней отражающей и пропускающей границей раздела. Решение общей векторной краевой задачи для кинетического уравнения сведено к вычислению векторного оптического передаточного оператора (ВОПО). Ядрами ВОПО являются тензоры функций влияния (ТФВ) обеих сред.  Выделены базовые модели векторных функций влияния (ВФВ).  Метод Т-матриц развит и обобщен на теорию многократного рассеяния с учетом механизмов поляризации и деполяризации излучения в двухсредной системе.

Международная конференция "Обратные задачи математической физики" 21-25 сентября 1998 г. (на русском и английском), с. 195-196.


Номер 3, с. 197-297

Блатов И.А.
О методе неполной факторизации в сочетании с быстрым преобразованием Фурье для решения разностного уравнения Пуассона в области с криволинейной границей
(на русском), с. 197-216. 

Для дискретного лапласиана на прямоугольной сетке в сеточной области с криволинейной границей с N узлами построен спектрально эквивалентный предобуславливатель типа неполной блочной факторизации, обращение которого с точностью $\varepsilon=O(N^{-1}) $ осуществляется с помощью дискретного быстрого преобразования Фурье за $O(N\ln N\ln(1/\varepsilon))$ арифметических операций.

Гилева Л.В.
Каскадный многосеточный алгоритм в методе конечных элементов для трехмерной задачи Дирихле
(на русском), с. 217-226. 

Применительно к трехмерной задаче Дирихле для эллиптического  уравнения второго порядка рассматривается стандартная схема метода конечных элементов с применением кусочно-линейных элементов на тетраэдрах. Для ее решения на последовательности вложенных пространственных триангуляций применяется каскадная организация двух итерационных алгоритмов, которая дает наиболее простую версию многосеточных методов, без предобуславливания и без проекции на более редкую сетку. Каскадный алгоритм начинается на самой редкой сетке, где сеточная задача решается прямым методом. На более мелких сетках приближенные решения получаются итерационным методом; начальное приближение берется в результате интерполяции приближенного решения с предыдущей, более грубой сетки. Доказано, что скорость сходимости этого алгоритма не зависит от числа неизвестных и количества сеток.

Дебелов В.А., Мацокин А.М., Упольников С.А.
Разбиение плоскости и теоретико-множественные операции (на русском), с. 227-247.

В работе предложен и обоснован алгоритм разделения плоскости на непересекающиеся области конечным набором простых жордановых дуг. Каждая из областей однозначно задается набором своих граничных дуг и признаком ограниченности, определяющих ее характеристическую функцию. Для областей без разрезов обоснован алгоритм реализации регуляризованных теоретико-множественных операций, основанный на разделении плоскости их общей границей на подобласти и формирования из последних результата операции и его теоретико-множественного дополнения. Для вычисления точек пересечения граничных дуг применяется метод Ньютона, квадратичная сходимость которого доказана для случая выпуклых и монотонных кривых.

Задорин А.М.
Численное решение уравнения с малым параметром и точечным источником на бесконечном интервале
(на русском), с. 249-260. 

Рассматривается уравнение второго порядка с малым параметром при старшей производной на бесконечном интервале. Предполагается, что производная  решения имеет разрыв первого рода при x=0. Задано условие на скачок производной. Исследуется вопрос переноса краевых условий на конечный интервал, строится и обосновывается разностная схема для решения возникающей на конечном интервале задачи.

Михайленко Б.Г., Соболева О.Н.
Поглощающие граничные условия для уравнений теории упругости
(на русском), с. 261-269.

Рассмотрены поглощающие граничные условия высокого порядка точности на фиктивной границе для двумерных уравнений теории упругости. Система уравнений с граничными условиями решается с помощью спектрально-разностного алгоритма, использующего конечные косинус и синус преобразования Фурье. Для полученных обыкновенных дифференциальных уравнений предложена разностная схема.

Рапута В.Ф., Крылова А.И., Платов Г.А.
Обратная задача оценивания суммарного выброса примеси в условиях нестационарного пограничного слоя атмосферы
(на русском), с. 271-279. 

На основе нестационарных моделей пограничного слоя атмосферы и переноса примеси рассмотрены оптимизационные задачи определения верхней и нижней границ выброса примеси от совокупности источников по данным измерений концентрации. В качестве целевой функции используется суммарная мощность источников эмиссии примеси. Представлены результаты численных экспериментов по оцениванию суточной динамики изменения границ суммарного выброса для различных вариантов наблюдений.

Шишкин Г.И.
Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных систем параболических уравнений конвекции-диффузии с противопотоком
(на английском), с. 281-297. 

На полосе рассматривается первая краевая задача для системы двух сингулярно возмущенных параболических уравнений. Возмущающие параметры при старших производных каждого уравнения являются взаимно независимыми и могут принимать произвольные значения из интервала (0,1]. При нулевом значении этих параметров система параболических уравнений вырождается в систему гиперболических уравнений первого порядка, связанных реакционными членами. Конвективные члены в различных уравнениях - их компоненты, ортогональные границам полосы - имеют противоположное направление (конвекция с противопотоком). При стремлении параметров к нулю в окрестности обеих границ полосы появляются пограничные слои. Для таких краевых задач с использованием метода сгущающихся сеток строятся разностные схемы, сходящиеся равномерно относительно возмущающих параметров. Рассматривается также построение равномерно по параметру сходящихся схем для системы сингулярно возмущенных эллиптических уравнений, вырождающихся в уравнения первого порядка при значении параметра равном нулю.


Номер 4, с. 299-400

К юбилею Анатолия Семеновича Алексеева (на русском), с. 299-300.

Василенко В.А., Елисеев А.А.
Абстрактные сплайны с натяжением как функции параметров энергетического оператора
(на русском), с. 301-311. 

В связи с общей задачей оптимизации параметров функционала энергии при вариационной сплайн-интерполяции рассмотрено многопараметрическое семейство энергетических операторов, линейно зависящих от параметров. По очевидной аналогии, это соответствует абстрактным сплайнам с натяжением. Основной результат работы - представление сплайна с натяжением в виде функции параметров оператора энергии. Это позволяет явно вычислить целевые функции для последующего решения задачи выбора параметров.

Гаврилов А.В.
О квадратурных формулах, наилучших в гильбертовом пространстве с воспроизводящим ядром
(на русском), с. 313-320. 

Рассматриваются квадратурные формулы со свободными узлами, наилучшие в некотором гильбертовом пространстве с воспроизводящим ядром. Показано, что они одновременно являются оптимальными среди формул с теми же узлами, содержащих производные по направлению. Для доказательства определяется градиент нормы погрешности формулы с оптимальными весами как функция узлов.

Ильин В.П., Лаевский К.Ю.
О методах неполной факторизации с обобщенной компенсацией
(на русском), с. 321-336. 

Исследуются итерационные методы неполной факторизации, основанные на определении предобуславливающей матрицы B из обобщенного принципа компенсации By_{k}=Ay_{k}, k=1,..., m, где A - матрица исходной системы линейных алгебраических уравнений, а {y_{k}} - совокупность алгоритмов при решении блочно-трехдиагональных систем стилтьесовского типа, а также условия положительной определенности предобуславливающих матриц для некоторых конкретных наборов пробных векторов. Выводятся оценки чисел обусловленности матричных произведений B^{-1}A, определяющие скорость сходимости итераций, в зависимости от свойств элементов исходных матриц.

Клименко О.А.
Устойчивость обратной задачи для уравнения переноса с дискретными данными
(на английском), с. 337-345.

В статье изучается вопрос обоснования численных алгоритмов. А именно, рассматривается устойчивость определения правой части уравнения переноса по дискретным данным. Предполагается, что отсутствует падающий поток излучения на область, где происходит перенос частиц, и известна информация о выходящем потоке излучения в конечном числе точек на границе области. Получены две теоремы устойчивости для разных постановок задач. В первом случае рассматривается уравнение переноса без учета рассеивающих свойств среды. Во втором случае эти свойства учитываются.

Лаевский Ю.М., Руденко О.В.
О локально-одномерных схемах решения третьей краевой параболической задачи в непрямоугольных областях
(на русском), с. 347-362. 

В статье изучаются некоторые модификации локально-одномерных схем решения смешанной и третьей краевых параболических задач в непрямоугольных областях. В отличие от обычных схем с оценкой погрешности O(h+τ/(h), эти модификации имеют безусловную сходимость с оценкой погрешности O(h+τ) для задачи со смешанными краевыми условиями специального вида и O(h+τ^{5/6}) для третьей краевой задачи.

Леус В.А.
О дифференциально обусловленном генерировании функций на базе степенных потенциалов
(на русском), с. 363-371. 

Введено понятие сильной линейной независимости функций многих вещественных переменных. Изучена многопараметрическая система степенных потенциалов (с произвольными показателями) и их частных производных всех порядков. Для этой системы доказана линейная независимость в сильном смысле. Поставлена задача генерирования функции многих переменных, удовлетворяющей различным дифференциальным условиям в конечном числе хаотически разбросанных точек. Исследован геометрический аспект задачи и намечен путь ее решения с использованием степенных потенциалов в качестве базисных функций.

Роженко А.И.
Сплайн-аппроксимация в тензорном произведении пространств
(на русском), с. 373-390. 

В работе устанавливается нормальная разрешимость энергетического оператора задачи сплайн\-/аппроксимации в тензорном произведении абстрактных гильбертовых пространств, т.е. обосновывается корректность рассматриваемой задачи (существование решения). Предлагается также общий метод регуляризации воспроизводящего отображения полугильбертова пространства, позволяющий конструктивно строить воспроизводящее отображение в тензорном случае. Общая теория иллюстрируется на примерах.

Смелов В.В.
О полноте системы полусферических гармоник
(на русском), с. 391-395. 

Доказана полнота системы полусферических гармоник, а также найдена точная формула для квадрата их нормы (с одновременным выводом рекуррентной формулы для присоединенных функций Якоби).