Сибирский журнал вычислительной математики

Том 2, 1999

Содержание

Номер 1, с. 1-98
Номер 2, с. 99-196
Номер 3, с. 197-294
Номер 4, с. 295-394


Номер 1, с. 1-98

Артемьев С.С., Якунин М.А.
Оценки параметров, линейно входящих в систему стохастических дифференциальных уравнений
(на русском), с. 1-11.

Приведен способ вычисления оценок максимального правдоподобия параметров нелинейной системы стохастических дифференциальных уравнений в случае, когда неизвестные параметры входят линейно в правую часть системы. Функция максимального правдоподобия построена на основе схемы Эйлера, описывающей дискретные наблюдения решения системы уравнений. Указаны условия, при которых функция правдоподобия достигает максимума. Оценки параметров вычисляются на основе итерационного метода. Рассмотрены системы уравнений частных видов и примеры вычислений.

Боган Ю.А.
Стационарные краевые задачи теории упругости с малой вязкостью
(на русском), с. 13-20.

Изучен ряд сингулярно возмущенных краевых задач теории упругости, возникающих при осреднении слоистых сред с нестандартными условиями контакта на межслойной границе. Даны вариационные постановки исходных краевых задач и доказаны теоремы о сходимости к решениям предельных.

Задорин А.И.
Перенос краевого условия из бесконечности при численном решении уравнений второго порядка с малым параметром
(на русском), с. 21-36.

Рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения  второго порядка с малым параметром при старшей производной на полубесконечном интервале. Предлагается способ перехода к задаче на конечном интервале. Для решения вспомогательной сингулярной задачи Коши предлагается использовать асимптотический подход.

Кучинский К.И.
Оценка погрешности ΣΠ-аппроксимации с помощью статистических методов
(на английском), с. 37-46. 

В работе предложен статистический подход для получения численной оценки эффективности на фиксированном функциональном классе алгоритма ΣΠ-аппроксимации. Он состоит из двух этапов. На первом этапе находится распределение коэффициентов ΣΠ-аппроксимации. Вторым этапом является моделирование случайного вектора с полученной плотностью вероятностей и нахождение числа s (количества слагаемых в ΣΠ-ряде), при котором обеспечивается требуемая точность с заданной вероятностью.

Остапенко~В.В.
Разностная схема повышенного порядка сходимости на нестационарной ударной волне
(на русском), с. 47-56. 

Для гиперболической системы двух законов сохранения теории "мелкой воды'' построена разностная схема, имеющая не менее чем второй порядок слабой сходимости при расчете нестационарной ударной волны. Эта схема не является монотонной, однако, в отличие от всех известных в настоящее время схем "повышенной точности" (в том числе и монотонных) она передает условия Гюгонио с повышенной точностью и соответственно сохраняет повышенный порядок сильной локальной сходимости в области влияния нестационарной ударной волны.

Пригарин С.М.
О сходимости и оптимизации функциональных оценок метода Монте-Карло в пространствах Соболева
(на русском), с. 57-67.

Работа посвящена исследованию сходимости и проблемам оптимизации несмещенных функциональных оценок в статистическом моделировании. Для вычисления интегралов, зависящих от параметра, и семейств функционалов от решения интегрального уравнения второго рода предложены оценки, оптимальные в гильбертовых пространствах Соболева. Результаты получены в рамках новой концепции, предложенной автором для сравнения эффективности функциональных оценок в методе Монте-Карло. В~работе также приведены условия, гарантирующие сходимость монте-карловских оценок с порядком N^{-1/2} в пространствах непрерывных функций.

Сабинин В.И.
Решение задачи подземного теплосолевлагопереноса методом неполной факторизации
(на русском), с. 69-80.

Описывается математическая модель подземного теплосолевлагопереноса, на который влияют замораживающие охладители в качестве фильтрационных завес. Предлагается численный метод решения, реализующий эту модель с помощью итерационных методов неполной факторизации. Приводятся результаты расчетов подземной фильтрации загрязнителя к двум речным стокам и водозабору, а также динамики обледенения горизонтального ряда подземных охладителей в подсоленном потоке, которые демонстрируют эффективность и экономичность метода.

Сорокин С.Б.
Сопряженно-факторизованные модели в теории пластин
(на английском) с. 81-88.

В работе cформулирована сопряженно-факторизованная модель задачи о прогибе тонкой пластины. Описаны постановки "в прогибах" и "в моментах". Показано, что в обоих случаях оператор задачи имеет сопряженно-факторизованную структуру вида P*BP, где P дифференциальный матричный оператор второго порядка, а B числовая матрица. Приведенные результаты полностью соответствуют аналогичным, полученным для задачи теории упругости, и позволяют использовать метод опорных операторов для построения разностной схемы и применить для численного решения разностной задачи либо итерационные методы в подпространстве, либо прямой метод поэтапного обращения.

Сушкевич Т.А., Стрелков С.А.
Модель переноса поляризованного излучения в системе атмосфера - земная поверхность
(на русском), с. 89-98.

Общая векторная краевая задача для кинетического уравнения, описывающая перенос поляризованного излучения в плоском слое с горизонтально-неоднородной анизотропно отражающей границей, не разрешима конечно-разностными методами. Предложена и обоснована математическая модель, дающая асимптотически точное в классе функций медленного роста решение краевой задачи. Новая модель сформулирована методом функций влияния и пространственно-частотных характеристик и эффективна для алгоритмов с параллельными вычислениями.


Номер 2, с. 99-196

Белинская И.И.
Решение прямой и обратной задач для уравнения колебаний методом Монте-Карло
(на русском), с. 99-110.

Хорошо известны вероятностные методы решения задач математической физики для эллиптических и параболических уравнений. Для гиперболических уравнений такие методы используются значительно реже в силу ряда объективных трудностей. В данной работе предложен алгоритм решения обратной и прямой задач для уравнения колебаний.

Войтишек А.В.
Применение аппроксимации Стренга-Фикса при вычислении многократных интегралов методом Монте-Карло
(на русском), с. 111-122.

В данной работе    исследована   возможность применения аппроксимации Стренга-Фикса при построении оптимальной плотности в стандартном методе Монте-Карло для вычисления многократных интегралов. Получены оптимальные параметры для построенной плотности распределения. Произведено   сравнение   построенного   алгоритма выборки по важности с алгоритмом выделения главной части и предложен комбинированный метод, использующий    преимущества   обоих алгоритмов.

Йованович Б.С., Матус П.П., Щеглик В.С.
Оценки скорости сходимости разностных схем на неравномерных сетках для параболических задач с переменными коэффициентами и обобщенными решениями
(на русском), с. 123-136. 

Исследована сходимость разностных схем второго порядка локальной аппроксимации по пространству для одномерного уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами на произвольной неравномерной сетке. Для схем с усредненным коэффициентом теплопроводности и усредненной правой частью получены оценки скорости сходимости в сеточной норме , согласованные с гладкостью решения краевой задачи.

Карчевский А.Л.
О поведении функционала невязки для одномерной гиперболической обратной задачи
(на русском), с. 137-160.

В статье исследуется поведение функционала невязки для одномерной гиперболической обратной задачи, когда неизвестный коэффициент стоит при младшем члене дифференциального уравнения. Предполагая, что решение обратной задачи существует, доказано, что функционал имеет единственную стационарную точку. Получены оценки скорости сходимости предложенного в работе метода спуска при условии, что минимизационная последовательность принадлежит некоторому ограниченному множеству.

Кузнецов Ю.И.
Дополнение якобиевой матрицы
(на русском), с. 161-170. 

Описаны новые свойства якобиевых матриц. Для ортогональных многочленов получены матричные аналоги операторов гипергеометрического типа и Пирсона исключительно на основе свойств якобиевых матриц порядка n: из рассмотрения системы Штурма симметричной матрицы T получена сопряженная система Штурма и найдена дополнительная якобиева матрица , для которой сопряженная система является обычной системой Штурма.

 Рукавишников В.А., Кашуба Е.В.
О свойствах ортонормированной системы сингулярных полиномов
(на английском), с. 171-184.

Вводится понятие сингулярных полиномов, строится ортонормированная система этих полиномов. Дана рекуррентная формула для трех соседних ортонормированных сингулярных полиномов и найден аналог формулы Родрига. Установлено, что производные полиномов из построенной системы обладают свойством, близким к свойству ортогональности. Получены дифференциальное уравнение и семейство соотношений, связывающих производные ортонормированных сингулярных полиномов. Результаты применимы для построения и исследования метода конечных элементов для задач математической физики с сильной сингулярностью решения.

Шадиметов Х.М.
Весовые оптимальные кубатурные формулы в периодическом пространстве Соболева
(на русском), с. 185-196. 

В данной работе строятся весовые решетчатые оптимальные кубатурные формулы в периодическом пространстве Соболева . При выписывании алгоритма их построения находится экстремальная функция, и с помощью этой функции вычисляется норма функционала погрешности кубатурной формулы. Минимизируя нормы, получаются периодические системы Винера-Хопфа. Доказана единственность решения этой системы.


Номер 3, с. 197-294

Бежаев А.Ю.
О выборе касательных при интерполяции плоских кривых
(на русском), с. 197-206. 

Рассмотрена задача проведения плоской кривой по заданным опорным точкам. В методах построения кривых, основанных на кусочно-эрмитовой интерполяции полиномами третьей степени (подходы Фергюссона и Безье), важное значение имеет выбор касательных векторов в опорных точках. В работе предложены два метода для выбора касательных, представляющих, в некотором смысле, экстремальные варианты интерполяции. Выпуклые комбинации этих вариантов дают многопараметрическое семейство интерполяционных кривых, среди которых выделено однопараметрическое семейство, параметр которого влияет на визуальную гладкость и кривизну в равной степени на всех кусках кривой. На основании численных экспериментов выяснены пределы изменения параметра, при которых обеспечивается естественность изменения кривой и достаточная визуальная гладкость при интерактивном управлении опорными точками.

Беляков В.Г., Мирошниченко Н.А.
Методы теории сетей массового обслуживания в анализе реалистических моделей телекоммуникационных систем
(на русском), с. 207-222.

Развиваются методы анализа замкнутых неоднородных мультипликативных сетевых моделей массового обслуживания с интенсивностью обслуживания в каждом узле, являющейся функцией двух переменных: суммарного числа требований различных классов, пребывающих в данном узле, и суммарного числа требований, пребывающих в фиксированном множестве узлов. Получены основные аналитические выражения для методов конволюции, соединенных вычислений, анализа средних, асимптотического разложения и декомпозиции.

Гейт В.Э.
О полиномах, наименее уклоняющихся от нуля в метрике
(на русском), с. 223-238.

Для многочленов, наименее уклоняющихся от нуля в метрике , с произвольно заданным числом их старших коэффициентов получено представление через так называемые максимальные полиномы наименьшего уклонения, у которых количество перемен знака на (-1,1) равно их степени.  Излагаются средства эффективного вычисления этих полиномов.

Горбунова Е.О.
Формально-кинетическая модель бесструктурного мелкозернистого параллелизма
(на русском), с. 239-256.

Рассматривается новая абстрактная модель параллельных вычислений - кинетическая машина Кирдина (КМК). Ожидается, что эта модель сыграет ту же роль для параллельных вычислений, что и нормальные алгоритмы Маркова, машины Колмогорова и Тьюринга или схемы Поста для последовательных вычислений. В статье описаны основные способы реализации вычислений, исследована корректность для простейших программ КМК, доказано, что детерминированная КМК является эффективным вычислителем.

Леонов А.С.
Применение функций нескольких переменных с ограниченными вариациями для численного решения двумерных некорректных задач
(на русском), с. 257-272. 

Рассматривается проблема численной кусочно-равномерной регуляризации двумерных некорректных задач с ограниченными разрывными решениями. Для ее решения применяются алгоритмы, использующие функции двух переменных с ограниченными вариациями различных видов (полная вариация, вариация Арцела). В конечномерной форме эти алгоритмы сводятся к задачам математического программирования с негладким целевым функционалом или с негладкими ограничениями. После гладкой аппроксимации алгоритмы эффективно реализуются численно и обеспечивают кусочно-равномерную сходимость приближений к искомому решению. Приведены примеры расчетов, иллюстрирующих влияние разных видов вариаций на качество получаемого решения в задачах реконструкции искаженного изображения.

ЛеусВ.А.
Сильная линейная независимость дифференциальных образов потенциалов Гаусса
(на русском), с. 273-280. 

Согласно теореме Дж. Мэрхьюбера единственность обобщенного интерполяционного полинома может быть обеспечена лишь на одномерных компактах. В данной статье предпринята попытка преодоления этого ограничения посредством вероятностной интерпретации понятия разрешимости. С этой точки зрения изучена многопараметрическая система потенциалов Гаусса. Доказана сильная линейная независимость элементов этой системы и их образов от воздействия линейным дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами. Исследована задача дифференциально обусловленного генерирования вещественно-аналитической функции многих переменных линейным комбинированием гауссовых потенциалов.

Мохраби И.А.Р., Обейд Самир А.
Многошаговые квази-ньютоновские методы на основе методов минимальной кривизны для задач оптимизации без ограничений
(на английском), с. 281-294.

Было доказано [1-3], что многошаговые методы на практике серьезно конкурируют по эффективности с общепринятыми квази-ньютоновскими методами на основе линейного уравнения секущих. К настоящему времени методы минимальной кривизны, подстраивающие интерполяционный процесс при построении новой аппроксимaции Гессиана многошагового типа, относятся к наиболее эффективным [3]. В данной работе мы конструируем новые методы этого типа с помощью общей технологии, базирующейся на параметризованной нелинейной модели. Одной из главных целей данной работы является проведение экспериментов с этими методами. Для сравнения используются методы из [1-7]. Результаты численных экспериментов показывают, что предложенные методы существенно улучшают эффективность квази-ньютоновских методов.


Номер 4, с. 295-394

Андреев А.Б., Тодоров Т.Д.
Изопараметрическая аппроксимация методом конечных элементов с концентрированной матрицей масс для задачи на собственные значения
(на английском), с. 295-308. 

Рассматривается изопараметрический вариант модификации стандартного метода Галеркина по методу концентрированных масс для эллиптических задач второго порядка на собственные значения. Приведение матрицы масс к диагональному виду (концентрирование массы) достигается использованием подходящей изопараметрической квадратурной формулы для интегралов по треугольным лагранжевым конечным элементам. Анализируются преобразования семиточечного конечного элемента. Доказана сходимость приближений собственных значений.

Багаев Б.М., Роос Х.Г.
Метод конечных элементов на адаптивных сетках для двумерных задач  конвекции-диффузии
(на английском), с. 309-320. 

Рассматривается сингулярно возмущенная эллиптическая задача, которая моделирует специальный канал течения потока. Основываясь на разложении точного решения, получены априорные оценки для производных точного решения. Для численного решения применяется метод конечных элементов на адаптивных сетках, в конце обсуждается метод выделения особенностей. Получены равномерные оценки для приближенного решения в некоторых энергетических нормах.

Воеводин А.Ф., Юшкова Т.В.
Численный метод решения начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса в замкнутых областях на основе метода расщепления
(на русском), с. 321-332.

На основе метода расщепления по физическим процессам предложен численный метод решения начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса, записанных в терминах "функция тока - вихрь".  Для решения систем неявных разностных уравнений предложена модификация "двухполевого" (раздельного) расчета значений функции тока и завихренности. Впервые при решении уравнения Пуассона для функции тока одновременно используются два граничных условия на границах (). Проведено исследование устойчивости по линейному приближению разностных схем. Приводятся тестовые примеры расчета.

Кельманов А.В., Хамидуллин С.А.
Оптимальное обнаружение заданного числа одинаковых подпоследовательностей в квазипериодической последовательности
(на русском), с. 333-349. 

Изложено решение задачи и обоснован апостериорный вычислительный алгоритм обнаружения заданного числа одинаковых подпоследовательностей в квазипериодической последовательности, искаженной некоррелированной гауссовской помехой с известной дисперсией. Рассмотрен случай, когда границы интервала начала и окончания наблюденийнад искаженной последовательностью не разбивают первую и последнюю подпоследовательности скрытой от наблюдения квазипериодической последовательности на две части, причем моменты времени начала подпоследовательностей являются детерминированными величинами. Установлено, что данная задача является специфической задачей проверки гипотез о среднем гауссовского случайного вектора. Получены рекуррентные формулы пошаговой дискретной оптимизации, обеспечивающие принятие решения по критерию максимального правдоподобия. Дана оценка временной и емкостной сложности алгоритма. Приведены результаты численного моделирования.

Колобов Б.П., Молородов Ю.И.
Расчет оптимальных узлов коллокации для решения параболических уравнений схемой высокого порядка точности
(на русском), с. 351-360. 

На основе построения квадратурных формул Гауссова типа для ошибки аппроксимации, рассчитаны узлы коллокаций для четырeхугольного конечного элемента, повышающие точность коллокационно-сеточного алгоритма решения начально-краевой  задачи для одномерных параболических уравнений второго  порядка.

Лаевский Ю.М., Мацокин А.М.
Методы декомпозиции решения эллиптических и параболических краевых задач
(на русском), с. 361-372. 

В работе представлен краткий обзор исследований по методам декомпозиции для эллиптических и параболических задач, проводившихся в ИВМиМГ СО РАН в течение 20 лет.

Паасонен В.И.
Улучшенные соотношения в точках особенностей координатных систем для нестационарных краевых задач
(на русском), с. 373-384.

В работе рассматриваются два типа нестационарных краевых задач в полярных, цилиндрических и сферических координатах - это симметричные задачи, входные данные которых не зависят от угловых переменных, и произвольные задачи, не имеющие симметрии. Построены разностные граничные условия четвертого порядка аппроксимации в точках особенностей (в полюсах) координатных систем с целью их применения в схемах повышенной точности. Условия представляют собой специальные разностные аналоги дифференциального уравнения в декартовых координатах, записанные в полюсах. Разработаны способы реализации граничных условий в схемах повышенной точности, основанные на методе приближенной факторизации.

Смелов В.В.
О представлении кусочно-гладких функций быстросходящимися тригонометрическими рядами
(на русском), с. 385-394. 

Предложен специфический вариант разложения гладких и кусочно-гладких функций в быстросходящиеся ряды по комбинациям тригонометрических функций. Этот главный теоретический результат отражен в теоремах. Работа является дальнейшим развитием опубликованных ранее результатов автора [1-3] и служит основой для эффективных аппроксимаций функций заявленного класса.